北京市2014届九年级数学下册 切线长定理的应用课后练习一 新人教版
数学北师大九年级下册(2014年新编)《切线长定理》同步练习1
《切线长定理》同步练习1一、选择题1. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．182. 如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等的角(不包括∠PAB 本身)有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3. 如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与各边相切于点D 、E 、F ，则点O 是△DEF 的 ( ) A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点 C ．三条角平分线的交点 D ．三条边的垂直平分线的交点4.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°5.一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60 ，则OP =( )A ．50 cmB ．253cmC ．3350cm D ．503cm6．如图1，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（ ）．A ．60°B ．75°C ．105°D ．120°(1) (2)7．圆外一点P ，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，C 为优弧AB 上一点，若∠ACB=a ，则∠APB=（ ） A ．180°-a B ．90°-a C ．90°+a D ．180°-2a二、填空题8. 如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cosB 35=．如果⊙O，且经过点B 、C ，那么线段AO= cm ．9.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且60=∠AEB ，则=∠P _____度．10. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，则△ABC 的周长是 ．11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o，弦ABPB的长为------．三、解答题：12. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．13. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，AD 、BC 、CD 为⊙O 的切线，切点分别是A 、B 、E ，则有一下结论：（1）CO ⊥DO ；（2）四边形OFEG 是矩形.试说明理由.14. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长．15. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC的面积．参考答案1. C2. B (提示：②④错误)3. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）4. C5. D6. C7.D8. A （提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50） 9. 3（提示：连接OB ，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos ∠AOB=cos ∠35=OB OA AO =） os 300=ABAC∴AB=10. ∠P=60011. 760 （提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520 ∴∠DIF=1040 ∵D 、F 是切点 ∴DI ⊥AB,IF ⊥AC∴∠ADI=∠AFI=900 ∴∠A=1800-1040=760） 12. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)13. 1150 (提示：∵∠A=500 ∴∠ABC+∠ACB=1300 ∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150)14. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=40 14 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30° ∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°． （2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30° 又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30°∴AP ＝tan 30OA°＝15 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △设半径为r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2—r 2=16 解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900 ∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x = ∴S △ABC =186242⨯⨯=。
2014-2015学年华师大版九年级数学下册课后练习：切线长定理的应用+课后练习二及详解
学科：数学专题：切线长定理的应用重难点易错点解析题一：题面：直线AB 与⊙O 相切于B 点，C 是⊙O 与OA 的交点，点D 是⊙O 上的动点(D 与B 、C 不重合)，若∠A ＝40°，则∠BDC 的度数是( ).A .25°或155°B .50°或155°C .25°或130°D .50°或130°CABOD 2D 1金题精讲题一：题面：如图，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为_________. 满分冲刺题一：题面：如图，⊙A 与⊙B 外切于点D ，PC ，PD ，PE 分别是圆的切线，C ，D ，E 是切点，若∠CED =x °，∠ECD= y °，⊙B 的半径为R ，则DE 的长度是（） A ．(90)90x R B ．(90)90y R C ．(180)180x R D ．(180)180y R题二：题面：如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若243SDE，求△ABC的周长.CP DO BAE课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：A解析：连接OB .∵直线AB 与⊙O 相切于点B ，∴OB ⊥AB ，∴∠ABO ＝90°．当点D 在优弧CB 上时∠BDC 为∠D 1；当点D 在劣弧CB 上时∠BDC 为∠D 2. ∵∠A ＝40°，∴∠AOB ＝90°－∠A ＝50°，∴∠D 1＝21∠AOB ＝25°．∵四边形BD 1CD 2内接于⊙O ，∴∠D 1＋∠D 2＝180°，∴∠D 2＝155°．综上，∠BDC 的度数为25°或155°．∴答案选A .金题精讲题一：答案：6+π解析：不妨设扇形的圆心为O ，内切圆的圆心为O 1，⊙O 1与半径的切点为B ，连接O 1B.∵⊙O 1内切于扇形，∴∠OBO 1=90°，∠O 1OB =30°，∴112OO O B ，即12OA ，解得AO =3，∴扇形的弧长为603180，∴扇形的周长为6+π.满分冲刺题一：答案：B解析：本题考查圆的相关知识，难度较大.根据弧长的计算公式：180n Rp ，可知只要求出∠EBD。
九年级数学切线长定理同步练习含答案
第 2 章 对称图形 —— 圆第 4 课时 切线长定理知识点 切线长定理的应用1． 如图 2－ 5－ 32，PA ，PB 分别切⊙ O 于 A ， B 两点．若∠ P ＝60° ， PA ＝ 2，则弦 AB的长为 ()A ． 1B ．2C ． 3D ． 4图 2－ 5－32图 2－ 5－33.如图 2－5－ 33， CD 是⊙ O 的切线 ，切点为 E ， AC ， BD 分别与⊙ O 相切于点 A ， B.如果 CD ＝7， AC ＝ 4，那么 BD 等于 ()A ． 5B ．4C ． 3D ． 23． [教材习题 2.5 第 13 题变式 ]如图 2－ 5－ 34，四边形 ABCD 的边AB ， BC ，CD ， DA 和⊙ O 分别相切．若四边形ABCD 的周长为 20，则 AB ＋ CD 等于 ()A ． 5B ． 8C ． 10D ．12︵4． 已知线段 PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，AB120°， ⊙ O 的半径为 4，则的度数为 线段 AB 的长为 ()A ． 8B ． 43C ． 6 3D ． 83图 2－ 5－34图 2－ 5－35.如图 2－5－ 35， PA， PB 是⊙ O 的切线，A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠P＝ 40°，则∠ BAC 的度数为 ________．6．如图 2－ 5－ 36，PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，∠ AOP ＝50°，则∠PAB ＝ ________°，∠ OPB＝ ________°.图2－ 5－36图2－ 5－377．如图 2－ 5－ 37，PA ， PB， DE 分别切⊙ O 于点 A， B， C，若⊙ O 的半径为5， OP＝13，则△ PDE 的周长为 ________．图2－ 5－388．如图 2－ 5－ 38，P 是⊙ O 的直径 AB 的延长线上一点， PC， PD 分别切⊙ O 于点C，D. 若 PA ＝ 6，⊙O 的半径为 2，则∠ CPD 的度数为 ________．9．如图 2－ 5－ 39，PA ， PB 为⊙ O 的两条切线， A ， B 为切点．若是⊙ O 的半径为5，∠OPA ＝ 30°，求两条切线的夹角∠APB 的度数及切线PA 的长．图2－ 5－39图 2－ 5－40 10． [2016 ·梁溪区一模 ]AB ＝ 4， AD ＝ 5，AD ， AB ， BC 分别与⊙BC 于点 M ，切点为 N ，则 DM 的长为 (O 相切于点)如图2－5－40，在矩形ABCD 中，E，F， G，过点 D 作⊙ O 的切线交139 A. 34 13C. 39D． 2511．如图 2－ 5－ 41， PA， PB 是⊙ O 的切线， A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠ ACB ＝ 70°.求∠ P 的度数．图2－ 5－4112．如图 2－ 5－ 42，△ ABC 的内切圆⊙ O 与 AC ， AB ， BC 分别相切于点D， E， F，且AB ＝5 cm， BC＝ 9 cm， AC ＝ 6 cm，求 AE ， BF 和 CD 的长．图2－ 5－4213．如图 2－ 5－ 43， PA， PB 为⊙ O 的两条切线，切点分别为 A ，B ，直线 CD 切⊙ O 于点 E.(1)试试究△ PCD 的周长与线段 PA 的数量关系；(2)若∠ P＝α，求∠ COD 的度数．图2－ 5－4314．如图 2－ 5－ 44， AB 是⊙ O 的直径， AM ， BN 分别切⊙ O 于点 A ， B， CD 分别交AM ， BN 于点 D ，C， DO 均分∠ ADC.(1)求证： CD 是⊙ O 的切线；(2)若 AD ＝ 4， BC＝9，求⊙ O 的半径 R.图2－ 5－4415．如图 2－ 5－ 45， PA， PB 分别与⊙ O 相切于点 A ， B，点 M 在 PB 上，且OM ∥ AP， MN ⊥ AP，垂足为 N.(1)求证： OM ＝ AN ；(2)若⊙ O 的半径 R＝ 3， PB＝ 9，求 OM 的长．图2－ 5－ 45详解详析1． B2． C3． C4． B5． 20°[ 剖析 ]∵ PA，PB是⊙ O的切线，A，B为切点，1∴PA ＝ PB，∴∠ BAP ＝∠ ABP ＝2×(180° － 40° )＝ 70° .由 PA 是⊙ O 的切线， A 为切点，AC 是⊙ O 的直径，得∠ PAC ＝ 90°，∴∠ BAC ＝90° － 70°＝20°. 6． 50 407． 24 [ 剖析 ]∵ PA，PB，DE分别切⊙ O于A，B，C三点，∴AD ＝ CD ， CE＝ BE ， PA＝ PB，OA ⊥ PA.在Rt△ OAP 中，依照勾股定理，得 AP ＝ 12，∴△ PDE 的周长为PD＋ DE＋ PE＝ PD＋ AD ＋ BE ＋ PE＝ 2PA ＝ 24.8． 60°[ 剖析 ] 连接 OC.∵ PA＝ 6，⊙O 的半径为2，∴OP＝ PA － OA ＝4.∵PC， PD 分别切⊙ O 于点 C，D ，∴∠ OPC＝∠ OPD， OC⊥ PC.∵OP＝ 2OC，∴∠ OPC＝ 30°，∴∠ CPD＝60° .9．解：连接 OA ， OB，则 OA ⊥PA， OB ⊥ PB.∵OA ＝ OB ，OP＝ OP，∴Rt△ OAP≌ Rt△ OBP ，∴∠ OPA＝∠ OPB，∴∠ APB ＝2∠ OPA＝ 60° .在Rt△ AOP 中，可求得 OP＝ 2OA ＝ 10，∴PA＝ OP2－ OA 2＝5 3.10． A [剖析 ] 如图，连接 OE， OF，ON ， OG.在矩形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝ 90°， CD ＝ AB ＝ 4.∵ AD ， AB ，BC 分别与⊙ O 相切于点 E， F，G，∴∠ AEO ＝∠ AFO ＝∠ OFB＝∠ BGO ＝ 90°.又∵ OE＝ OF＝ OG，∴四边形AFOE ，四边形 FBGO 是正方形，∴AF ＝ BF＝ AE ＝ BG ＝2，∴DE ＝ 3.∵ DM 是⊙ O 的切线，∴DN ＝ DE ＝3， MN ＝ MG ，∴CM ＝5－ 2－ MG ＝ 3－ MN.在Rt△ DMC 中， DM 2＝ CD2＋ CM 2，∴ (3＋ MN) 2＝ 42＋ (3－ MN) 2，4 4 13∴MN ＝3，∴ DM ＝ 3＋3＝3.应选 A.11．解：连接 AB.∵AC 是⊙ O 的直径，∴∠ CBA ＝ 90°，∴∠ BAC ＝ 90° －∠ ACB ＝ 20° .∵PA ， PB 是⊙ O 的切线，∴PA ＝ PB，∠ CAP＝ 90°，∴∠ PAB ＝90° － 20°＝ 70°.∵PA ＝ PB，∴∠ PBA ＝∠ PAB ＝ 70°，∴∠ P＝180° －∠ PAB －∠ PBA ＝ 40°.12．解：∵⊙ O 与△ ABC 的三边都相切，∴AE ＝ AD ，BE ＝ BF ，CD ＝ CF.设AE ＝ x cm， BF＝ y cm， CD＝z cm，x＋ y＝ 5，x＝1，{y＋z＝9，) {y＝4，)则 z＋ x＝ 6，解得z＝ 5.即AE ＝ 1 cm， BF＝ 4 cm， CD＝5 cm.13．解： (1) △ PCD 的周长＝ 2PA. 原由以下：∵ PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，CD 切⊙ O 于点 E，∴PA ＝ PB， AC ＝ CE， BD ＝ DE，∴△ PCD 的周长＝ PD＋DE ＋ PC＋ CE＝ PB＋ PA＝ 2PA ，即△ PCD 的周长＝ 2PA.(2)如图，连接 OA， OE， OB.由切线的性质，得OA⊥ PA，OB⊥PB，OE⊥ CD，BD＝DE，AC＝CE.∵OA ＝ OE＝OB ，易证△ AOC ≌△ EOC ，△EOD ≌△ BOD ，∴∠ AOC ＝∠ EOC，∠ EOD＝∠ BOD ，11∴∠ COD ＝∠ EOC＋∠ EOD＝ 2(∠ AOE ＋∠ BOE) ＝ 2∠ AOB.∵∠ P＝α，OA ⊥ PA， OB⊥PB ，∴∠ AOB ＝ 180°－α，1∴∠ COD ＝ 90°－2α.14 解： (1)证明：如图，过点 O 作 OE⊥ CD 于点 E.∵ AM 切⊙ O 于点 A，∴OA ⊥ AD.又∵ DO 均分∠ ADC ，∴OE＝ OA.∵ OA 为⊙ O 的半径，∴OE 是⊙ O 的半径，∴CD 是⊙ O 的切线．(2) 过点 D 作 DF⊥ BC 于点 F.∵ AM ，BN 分别切⊙ O 于点 A， B，∴AB ⊥ AD ，AB ⊥ BC，∴四边形 ABFD 是矩形，∴AD ＝ BF ， AB ＝ DF.又∵ AD ＝4， BC ＝ 9，∴ FC＝ 9－ 4＝5.∵AM ，BN ， DC 分别切⊙ O 于点 A ， B， E，∴ AD ＝ DE ，BC＝ CE，∴CD ＝ DE ＋ CE＝AD ＋ BC ＝ 4＋9＝13. 在 Rt△ DFC 中， CD2＝ DF2＋ FC2，∴DF ＝ CD2－ FC2＝ 12，∴AB ＝ 12，∴⊙ O 的半径 R 为 6.15．解： (1) 证明：如图，连接 OA ，则 OA ⊥PA.∵MN ⊥PA ，∴ MN ∥OA.∵OM ∥PA ，∴四边形ANMO 是平行四边形．又∵ MN ⊥ AP，∴?ANMO 是矩形，∴OM ＝AN.(2)如图，连接 OB，则 OB⊥ PB，∴∠ OBM ＝∠ MNP ＝ 90° .∵四边形ANMO 是矩形，∴OA ＝ MN.又∵ OA ＝OB ，∴OB ＝ MN.∵OM ∥AP ，∴∠ OMB ＝∠ MPN ，∴△ OBM ≌△ MNP ，∴ OM ＝ MP.设OM ＝x，则 MP＝ x， AN ＝ x.∵PA ＝ PB＝ 9，∴NP ＝9－ x.在Rt△ MNP 中，有 x2＝ 32＋ (9－ x)2，解得 x＝ 5，即 OM ＝ 5.。
九年级数学下3.7切线长定理课时练习北师大有答案和解释
适用精选文件资料分享九年级数学下 3.7 切线长定理课时练习（北师大有答案和解说）北师大版数学九年级下册第 3 章第 7 节切线长定理同步检测一、选择题 1. 如图，一圆内切四边形 ABCD，且 BC=10，AD=7，则四边形的周长为（） A ．32 B．34 C．36 D．38 答案： B 解析：解答：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（ 7+10）=34．应选： B．解析：依据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长． 2. 以以以下图， P 为⊙O外一点， PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA、PB于点C、D，若 PA=15，则△ PCD的周长为（） A ．15 B．12 C．20 D．30 答案： D 解析：解答：∵P为⊙O外一点， PA、PB分别切⊙O于 A、B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA、PB于点 C、D，∴AC=EC，BD=DE，AP=BP，∵PA=15，∴△ PCD的周长为： PA+PB=30．应选： D．解析：直接利用切线长定理得出AC=EC，BD=DE，AP=BP，从而求出答案． 3. 如图，△ ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是此中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线 MN剪下一块三角形（△ AMN），则剪下的△ AMN的周长为（） A ．20cmB．15cmC．10cm D．随直线 MN的变化而变化答案： A 解析：解答：如图：∵△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点 D是此中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F 分别是⊙O 的切点，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．应选：A．解析：利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，从而得出答案． 4. 如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（）A ．8 B．9 C．10 D．11 答案：D 解析：解答：∵⊙O内切于四边形 ABCD，∴AD+BC=AB+CD，∵AB=10，BC=7，CD=8，∴AD+7=10+8，解得：AD=11．应选： D．解析：依据圆外切四边形的性质对边和相等从而得出 AD的长． 5. 圆外切等腰梯形的一腰长是 8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（） A ．4 B．8 C．12 D．16 答案： D 解析：解答：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，∴梯形对边和为：8+8=16，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．应选： D．解析：直接利用圆外切四边形对边和相等，从而求出即可． 6. 如图，⊙O是△ ABC的内切圆，点 D、E 分别为边 AB、 AC上的点，且 DE为⊙O的切线，若△ ABC的周长为 25，BC的长是 9，则△ ADE的周长是（） A ．7 B．8 C．9 D．16 答案： A 解析：解答：∵ AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI=BG， CI=CH，DG=DF，EF=EH．∴BG+CH=BI+CI=BC=9，∴△ ADE 的周长 =AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC 的周长 - （BG+EH+BC）=25- 2×9=7．应选 A．解析：依据切线长定理，可得BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH，△ ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长 -（BG+EH+BC），据此即可求解． 7. 如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B．假如∠ APB=60°， PA=8，那么弦AB的长是（）A ．4 B．8 C．4 D．8 答案：B 解析：解答：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠ P=60°，∴△ PAB是等边三角形，即 AB=PA=8，应选 B．解析：依据切线长定理知 PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．8. 如图，PA、PB分别是⊙O 的切线， A、B 为切点， AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（） A．35° B．45° C．60° D．70°答案： D 解析：解答：依据切线的性质定理得∠ PAC=90°，∴∠ PAB=90° - ∠BAC=90° - 35°=55°．依据切线长定理得 PA=PB，所以∠ PBA=∠PAB=55°，所以∠ P=70°．应选 D．解析：依据切线长定理得等腰△ PAB，运用内角和定理求解． 9. 如图， AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠ A=70°，则∠ BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°答案： C 解析：解答：∵AB、AC是⊙O的两条切线， B、C是切点，∴∠ B=∠C=90°，∠BOC=180° - ∠A=110°．应选 C．解析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为 360 度可解． 10. 如图， PA、PB是⊙O的两条切线，切点是 A、B．假如 OP=4，PA= ，那么∠ AOB等于（） A ．90° B．100° C．110° D．120°答案： D 解析：解答：∵△ APO≌△ BPO（HL），∴∠ AOP=∠BOP．∵sin∠AOP=AP：OP=2 ：4= ：2，∴∠ AOP=60°．∴∠ AOB=120°．应选 D．解析：由切线长定理知△ APO≌△ BPO，得∠ AOP=∠BOP．可求得 sin ∠AOP=：2，所以可知∠ AOP=60°，从而求得∠ AOB的值． 11. 如图， PA切⊙O于 A，PB切⊙O于 B，OP交⊙O于 C，以下结论中，错误的选项是（）A．∠ 1=∠2 B． PA=PBC．AB⊥OPD． =PC?PO答案： D 解析：解答：连接 OA、OB，AB，∵PA切⊙O于 A，PB切⊙O于 B，由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB，∴△ ABP是等腰三角形，∵∠ 1=∠2，∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），故 A，B，C正确，依据切割线定理知： =PC? （PO+OC），所以 D错误．应选 D．解析：由切线长定理可判断出 A、B选项均正确．易知△ ABP是等腰三角形，依据等腰三角形三线合一的特色，可求出 AB⊥OP，故 C 正确．而 D选项明显不切合切割线定理，所以 D错误． 12. 如图， P为⊙O外一点， PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA，PB于点 C，D．若 PA=5，则△ PCD的周长和∠ COD分别为（）A．5，（90°+∠P）B．7，90°+ C．10，90° - ∠P D． 10，90°+ ∠P 答案： C 解析：解答：∵ PA、PB切⊙ O于 A、B，CD切⊙O于 E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△ PCD 的周长 =PD+DE+PC+CE=2PA，即△ PCD的周长 =2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△ AOC≌△ EOC（ SAS），△ EOD≌△ BOD（ SAS），∴∠ AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠ COD=∠AOB，∴∠ AOB=180°- ∠P，∴∠ COD=90°- ∠P．应选： C．解析：依据切线长定理，即可获得 PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长 =2PA；连接 OA、OE、OB依据切线性质，∠ P+∠AOB=180°，再依据 CD为切线可知∠ COD=∠AOB． 13. 圆外切等腰梯形的中位线等于8，则一腰长等于（）A．4 B．6 C．8 D．10答案：C解析：解答：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为 E、H、N、中位线为 MN，∴MN= （AB+CD），依据切线长定理得： DE=DH，CF=CH，而且等腰梯形和圆都是轴对称图形，∴CD=DH+CH=DE+CF=（AB+CD），∴CD=MN，而 MN=8，∴CD=8．应选 C．解析：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为 E、H、N、中位线为 MN，依据中位线定理可以获得上下底之和，此后利用切线长定理可以获得一腰长等于中位线，由此即可解决问题． 14. 如图，⊙O为△ ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点 D，E分别为 BC，AC上的点，且 DE为⊙O的切线，则△ CDE 的周长为（） A．9 B．7 C．11 D．8 答案： C 解析：解答：如图：设 AB，AC，BC和圆的切点分别是 P，N，M，CM=x，依据切线长定理，得CN=CM=x，BM=BP=9-，xAN=AP=10-x．则有9-x+10-x=8 ，解得：x=5.5 ．所以△CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11．应选：C．解析：设 AB，AC，BC和圆的切点分别是 P，N，M．依据切线长定理得到 NC=MC，QE=DQ．所以三角形 CDE的周长即是 CM+CN的值，再进一步依据切线长定原由三角形 ABC的三边进行求解即可． 15. 已知四边形 ABCD是梯形，且 AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与 AB、AD、CD分别相切于点 E、F、G，圆心 O在 BC上，则 AB+CD与 BC的大小关系是（）A．大于 B ．等于 C．小于 D．不可以确立答案：A解析：解答：连接OF，∵AD是切线，∴OF⊥AD，又∵ AD∥BC，∴AB≥OF，CD≥OF，又∵ AD＜BC，∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立．∴AB+CD＞2OF，∵BC=2OF，∴AB+CD＞ BC．应选 A，解析：连接 OF，则 OF是梯形的高，则 AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不可以同时成立，据此即可证得．二、填空题 16. 如图，PA、PB分别切圆 O于 A、B，并与圆 O的切线，分别订交于 C、D，已知△ PCD的周长等于 10cm，则 PA=cm. 答案： 5解析：解答：如图，设DC与⊙O的切点为 E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得： DE=DA，CE=CB；则△ PCD的周长 =PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为： 5．解析：因为 DA、DC、BC都是⊙O的切线，可依据切线长定理，将△PCD的周长变换为PA、PB的长，然后再进行求解． 17. 如图， PA、PB、DE分别切⊙O 于 A、B、C，DE分别交 PA，PB于 D、E，已知 P 到⊙O的切线长为 8cm，那么△ PDE的周长为答案： 16 解析：解答：∵ PA、 PB、DE分别切⊙O 于 A、 B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16；∴△ PDE的周长为16．故答案为16．解析：因为PA、PB、DE都是⊙O的切线，可依据切线长定理将切线PA、PB的长转变成△PDE的周长．18. 如图，PA，PB切⊙O于 A，B 两点， CD切⊙O于点 E，交 PA，PB于 C，D，若⊙O的半径为 r ，△ PCD的周长等于 3r ，则 tan ∠APB的值是答案：解析：解答：连接 PO，AO，∵PA，PB切⊙O于 A，B 两点， CD切⊙O于点 E，交 PA，PB于 C，D，∴∠ APO=∠BPO，AC=EC，DE=BD，PA=PB，∴PA+PB=△PCD的周长 =3r ，∴，∴tan ∠APB=AO: PA=r :1.5r = ，故答案为：．解析：利用切线长定理得出，再联合锐角三角函数关系得出答案． 19. 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边 AB，BC分别相切于点 D、E，过劣弧 DE（不包含端点 D，E）上任一点 P 作⊙O的切线MN与 AB，BC分别交于点 M，N，若⊙O的半径为 4cm，则 Rt△MBN的周长为答案： 8cm 解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O是 Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ ABC=90°，∴∠ ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形 ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形 ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切 AB于 D，切 BC于 E，切 MN于 P，NP与 NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM， NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm，故答案为：8cm．解析：连接 OD、OE，求出∠ ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形 ODBE 是正方形，得出 BD=BE=OD=OE=4cm，依据切线长定理得出 MP=DM，NP=NE，代入 MB+NB+MN得出 BD+BE，求出即可． 20.如图，已知以直角梯形ABCD的腰 CD为直径的半圆 O与梯形上底 AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰 AB为 5，则该梯形的周长是答案：14 解析：解答：依据切线长定理，得 AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是 5×2+4=14，故答案为：14．解析：由切线长定理可知： AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．三、计算题 21. 已知四边形 ABCD外切于⊙ O，四边形 ABCD的面积为24，周长 24，求⊙O的半径．答案： 2 解析：解答：设四边形 ABCD 是⊙O的外切四边形，切点分别为： F，G，M，E，连接 FO，AO，OG，CO，OM，DO，OE，四边形 ABCD的面积为：×EO×AD+OM×DC+GO×BC+ FO×AB = EO（AD+AB+BC+DC）= EO×24 =24，解得：EO=2．故 r=2 ．分析：利用切线的性质从而利用三角形面积求法得出⊙O 的半径． 22. 如图，AB为⊙O的直径，点 C在 AB的延长线上， CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若 AD=2，∠ DAC=∠DCA，求 CE. 答案： 2 解析：解答：∵CD、CE分别与⊙O相切于点 D、E，∴CD=CE，∵∠ DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴AD=CE，∵AD=2，∴CE=2．故答案为： 2．解析：由条件可得 AD=CD，再由切线长定理可得： CD=CE，所以 AD=CE，问题得解． 23. 如图，已知 PA、PB分别切⊙O于点 A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O的半径 .答案：3解析：解答：连接OA、OB，则 OA=OB（⊙O的半径），∵PA、PB分别切⊙O于点 A、B，∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，已知∠ P=90°，∴∠ AOB=90°，∴四边形 APBO为正方形，∴OA=OB=PA=3，则⊙O的半径长是 3，故答案为： 3．解析：连接OA、OB，已知 PA、PB分别切⊙O于点 A、B，由切线的性质及切线长定理可得： PA=PB，∠ OAP=∠OBP=90°，再由已知∠ P=90°，所以得到四边形 APBO为正方形，从而得⊙O的半径长即 PA的长．24. 如图，P是⊙O的直径 AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点 C、D．若 PA=6，⊙O的半径为 2，求∠ CPD. 答案： 60°解析：解答：∵ PA=6，⊙O的半径为 2，∴PB=PA-AB=6-4=2，∴OP=4，∵PC、PD切⊙O于点 C、D．∴∠ OPC=∠OPD，∴CO⊥PC，∴sin ∠OPC=2: 4 =0.5 ，∴∠OPC=30°，∴∠ CPD=60°，故答案为： 60°．解析：依据切线的性质定理和切线长定理求出 OP=4，∠ OPC=∠OPD，再利用解直角三角形的知识求出∠ OPC=30°，即可得出答案． 25. 如图，⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，且∠ ACB=90°，∠ A，∠ B，∠C所对的边长挨次为3，4，5，求⊙O的半径 . 答案：2 解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD， OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ ACB=90°，∴四边形ODCE 是正方形，设 OD=r，则 CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r ，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r ，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r ，r=2 ，则⊙O的半径是 2．故答案为： 2．解析：先连接 OD、OE依据⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，得出 AF=AD，BE=BF，CE=CD，再依据 OD⊥AD，OE⊥BC，∠ ACB=90°，得出四边形 ODCE是正方形，最后设 OD=r，列出 5+3-r=4+r ，求出 r=2 即可．。
初三数学《切线长定理及三角形内切圆》课时练习(附答案)
PBA O《切线长定理及三角形内切圆》课时练习（附答案）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线∴PA=PB，PO平分∠BPA例题精选：例1．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长．例2、如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数。
例3．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=5cm，C是AB上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？（例3图）（例4图）例4如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．习题巩固：1．如图，圆O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 相切，且DE 与圆O 相切于E 点．若圆O 的半径为5，且AB=11，则DE 的长度为何？（ ）A ．5B ．6C ．30D ．211（第1题） （第2题） （第3题）2．如图，AB 、CD 分别为两圆的弦，AC 、BD 为两圆的公切线且相交于P 点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB 的周长为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．14 3．如图，圆外切等腰梯形ABCD 的中位线EF=15cm ，那么等腰梯形ABCD 的周长等于（ ）A ．15cmB ．20cmC ．30cmD ．60cm4．如图，⊙O 的外切梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为（ ）A ．70°B ．90°C ．60°D ．45°（第4题） （第5题） （第6题）5．如图，PA 、PB 、CD 分别切⊙O 于点A 、B 、E ，CD 交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE 的度数为（ ）A ．50°B ．62°C ．66°D ．70°6．已知：如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点（异于A 、B ），过点P 作半圆O 的切线分别交过A 、B 两点的切线于D 、C ，连接OC 、BP ，过点O 作OM ∥CD 分别交BC 与BP 于点M 、N ．下列结论：①S 四边形ABCD =21AB•CD；②AD=AB ；③AD=ON ；④AB 为过O 、C 、D 三点的圆的切线．其中正确的个数有（ ）A 1B 2C 3D 47．以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，若△CDE 的周长为12，则直角梯形ABCE 周长为（ ）A 12B 13C 14D 158．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，与边BC 交于点E ，若AD=59，AC=3．则DE 长为（ ） A 23 B 2 C 25 D 5（第7题） （第8题） （第9题）9．正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A ．12B ．24C ．8D ．610．如图，在等腰三角形△ABC 中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AB ，AC 相切，切点分别为D ，E ．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AB ，AC 于M ，N ．那么2BC CN BM •的值等于（ ） A 81 B 41 C 21 D 1（第10题） （第11题） （第12题）11如图，PA 、PB 、EF 分别切⊙O 于A 、B 、D ，若PA=10cm ，则△PEF 的周长是 cm ，若∠P=35°，则∠AOB= （度），∠EOF= （度）．12．如图，正方形ABCD 的边长为4，以AB 为直径向正方形内作半圆，CE 与DF 是半圆的切线，M ，N 为切点，CE ，DF 交于点P ．则AE= ，△PMN 的面积是 。
3.7切线长定理(解析版)九年级下册
3.7切线长定理分层练习考查题型一利用切线长定理求线段长度1.（2023•怀化三模）如图，AB、AC、BD是OAC ，的切线，切点分别是P、C、D．若10AB ，6则BD的长是()A．3B．4C．5D．6【分析】由于AB、AC、BD是O，求出BP的长即可求出BD的长．的切线，则AC AP，BP BD【解答】解：AC∵、AP为O的切线，，6AC AP∵、BD为OBP的切线，BP BD，．BD PB AB AP1064故选：B．2.（2022秋•新会区校级期末）如图所示，P是O切于A，B两点，C是 AB外一点，PA，PB分别和O上任意一点，过C作O的周长为12，则PA的长为() 的切线分别交PA，PB于D，E．若PDEA ．12B ．6C ．8D ．4【分析】由PA ，PB 分别和O 切于A ，B 两点与DE 是O 的切线，根据切线长定理，即可得PA PB ，DA DC ，EB EC ，又由PDE 的周长为12，易求得12PA PB ，则可求得答案．【解答】解：PA ∵，PB 分别和O 切于A ，B 两点，PA PB ，DE ∵是O 的切线，DA DC ，EB EC ，PDE ∵的周长为12，即212PD DE PE PD DC EC PE PD AD EB PE PA PB PA ，6PA ．故选：B ．3.（2023秋•沙河口区期中）如图，AB 、AC 、BD 是O 的切线，P 、C 、D 为切点，如果8AB ，5AC ，则BD 的长为．【分析】由AB 、AC 、BD 是O 的切线，则AC AP ，BP BD ，求出BP 的长即可求出BD 的长．【解答】解：AC ∵、AP 为O 的切线，AC AP，∵、BD为OBP的切线，，BP BD．BD PB AB AP853故答案为：3．考查题型二利用切线长定理求周长4.（2022秋•潮州期末）如图，P为O于点E，于点A、B，CD切O外一点，PA、PB分别切O分别交PA、PB于点C、D，若8的周长为()PA ，则PCDA．8B．12C．16D．20【分析】由切线长定理可求得PA PB，则可求得答案．，AC CE，BD ED【解答】解：PA∵、PB分别切O于点E，于点A、B，CD切O，，BD ED8，AC ECPA PB，PC CD PD PC CE DE PD PA AC PD BD PA PB8816即PCD的周长为16．故选：C．5.（2022秋•宛城区校级期末）如图，O的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE是ABC为O的周长是()的切线，若ABC的周长为25，BC的长是9，则ADEA ．7B ．8C ．9D ．16【分析】根据切线长定理，可得BI BG ，CI CH ，DG DF ，EF EH ，则()ADE ABC C AD AE DE AD AE DF EF AD DG EH AE AG AH C BG CH BC ，据此即可求解．【解答】解：AB ∵、AC 、BC 、DE 都和O 相切，BI BG ，CI CH ，DG DF ，EF EH ．9BG CH BI CI BC ，()25297ADE ABC C AD AE DE AD AE DF EF AD DG EH AE AG AH C BG EH BC ．故选：A ．6.（2023秋•吴中区校级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于A 、B ，CD 切O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若5PA ，则PCD 的周长为．【分析】由于CA、CE，DE、DB都是O的周长转换为PA、PB的的切线，可由切线长定理将PCD长．【解答】解：PA∵、PB切O于A、B，；PA PB5同理，可得：EC CA；，DE DB．PC CE DE DP PC AC PD DB PA PB PA的周长210PDC即PCD的周长是10．考查题型三利用切线长定理求度数7.（2022秋•东莞市校级期末）如图：EB、EC是O上两的两条切线，B、C是切点，A、D是O 点，如果46的度数是度．，则ADCFE，32【分析】根据切线长定理得EC EBECB EBC，再根结合内接四边形的对角互补得，则67A ECB DCF．673299【解答】解：EB∵、EC是O的切线，，EB EC又46∵，E，ECB EBC67；BCD BCE DCF180()1809981∵四边形ADCB内接于O，180A BCD ，1808199A ，故答案为：99．1.（2023秋•金乡县期中）如图，直线AB 、CD 、BC 分别与O 相切于E 、F 、G ，且//AB CD ，若6OB cm ，8OC cm ，则BE CG 的长等于()A ．13B ．12C ．11D ．10【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明90BOC ，再根据勾股定理即可求得BC 的长，再结合切线长定理即可求解．【解答】解：//AB CD ∵，180ABC BCD ，CD ∵、BC ，AB 分别与O 相切于G 、F 、E ，12OBC ABC ，12OCB BCD ，BE BF ，CG CF ，90OBC OCB ，90BOC ，2210BC OB OC ，10()BE CG cm ．故选：D ．2.（2022秋•天河区校级期末）如图，PA 、PB 切O 于点A 、B ，直线FG 切O 于点E ，交PA 于F ，交PB 于点G ，若8PA cm ，则PFG 的周长是()A ．8cmB ．12cmC ．16cmD ．20cm【分析】由于PA 、FG 、PB 都是O 的切线，可根据切线长定理，将ABC 的周长转化为切线长求解．【解答】解：根据切线长定理可得：PA PB ，FA FE ，GE GB ；所以PFG 的周长PF FG PG ，PF FE EG PG ，PF FA GB PG ，PA PB16cm ，故选：C ．3.（2022秋•南开区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点(6,0)A 、(0,6)B ，O 的半径为2(O 为坐标原点），点P 是直线AB 上的一动点，过点P 作O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为()A 7B ．3C ．32D 14【分析】连接OP ．根据勾股定理知222PQ OP OQ ，当OP AB 时，线段OP 最短，即线段PQ 最短．【解答】解：连接OP 、OQ ．PQ ∵是O 的切线，OQ PQ ；根据勾股定理知222PQ OP OQ ，∵当PO AB 时，线段PQ 最短；又(6,0)A ∵、(0,6)B ，6OA OB ，62AB 1322OP AB ，2OQ ∵，2214PQ OP QO ，故选：D ．。
北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》说课稿1
北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》是本节课的主要内容。
切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它揭示了圆的切线与半径之间的关系。
在本节课中，学生将学习如何运用切线长定理解决实际问题，为后续学习圆的性质和几何问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数和几何知识，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但是，对于圆的切线性质和切线长定理的理解还需要进一步引导和培养。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习兴趣，激发他们的探究欲望，并通过实例演示和动手操作，让学生更好地理解切线长定理的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握切线长定理，并能够运用切线长定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作和思考，培养直观思维和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生培养对数学的兴趣和自信心，培养合作意识和问题解决能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握切线长定理，并能够运用切线长定理解决实际问题。
2.教学难点：学生对于圆的切线性质和切线长定理的理解，以及如何运用切线长定理解决复杂问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型和黑板进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考圆的切线与半径之间的关系，激发学生的学习兴趣。
2.探究：学生分组讨论，观察和操作几何模型，发现切线长定理的规律。
3.讲解：教师引导学生总结切线长定理的定义和证明过程，并解释切线长定理的应用。
4.练习：学生独立完成一些练习题，巩固对切线长定理的理解和运用。
5.拓展：学生分组讨论，探索切线长定理在实际问题中的应用，并进行展示和交流。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出切线长定理的主要内容。
可以采用以下板书设计：切线长定理：1.定义：从圆外一点引出的切线与圆的半径垂直。
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。
2.运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。
3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.圆规、直尺、彩色粉笔。
3.练习题和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。
然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。
同时，解释切线长定理的意义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。
例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。
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专题：切线长定理的应用
重难点易错点解析 题一：
题面：⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A 、B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P =60°，求∠ACB 的度数.
金题精讲 题一：
题面：如图1，△ABC 中，CA =CB ，点O 在高CH 上，OD ⊥CA 于点D ，OE ⊥CB 于点E ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O ．
（1）求证：⊙O 与CB 相切于点E ；
（2）如图2，若⊙O 过点H ，且AC =5，AB =6，连结EH ，求△BHE 的面积．
图1 图2
满分冲刺 题一：
题面：如图，直角梯形ABCD 中，以AD 为直径的半圆与BC 相切于E ，BO 交半圆于F ，DF 的延
长线交AB 于点P ，连DE ．以下结论：①DE ∥OF ；②AB +CD =BC ；③PB =PF ；④AD 2
=4AB •DC ．其中正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．只有①②
C ．只有①②④
D ．只有③④
题二：
题面：如图①所示，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE 延长线上一点，且CE＝CB.
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图②所示)．若AB＝25，AD＝2，求线段BC和EG的长．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：60或120度
解析：连接OA、OB，
∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=60°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，
当点C在优弧AC上时，如图
又∵∠ACB和∠AOB分别是AC所对的圆周角和圆心角，
∴∠ACB=1
2
∠AOB=60°．
当点C在劣弧AC上时，∠ACB=180°-1
2
∠AOB=120°．
金题精讲
题一：
答案：（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE=OD
∴⊙O与CB相切于E点．
（2）解：∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH=1
2
AB=
1
6
2
⨯=3，∴CH
．
∵点O在高CH上，⊙O过点H，∴⊙O与AB相切于H点．
由（1）知⊙O与CB相切于E点，∴BE=BH=3.
如图，过E作EF⊥AB于点F，则EF∥CH，∴△BEF∽△BCH．
∴BE EF
BC CH
=，即：
3
54
EF
=，∴EF=
12
5
∴
111218
3
2255 BHE
s BH EF
∆
=⨯=⨯⨯=
解析：（1）由等腰三角形的性质易得CH是∠ACB的平分线，再根据角平分线的性质定理得OE=OD，即圆心O到直线CB的距离等于半径，所以结论得证；（2）先由等腰三角形的性质，得BC=AC=5，BH=AH=3，在Rt△BCH中，由勾股定理得CH=4；再由切线长定理得BE=BH=3；然后，过点E作EF⊥AB于点F，则易得△BEF∽△BCH，根据相似三角形的对应边成比例得EH的
长，这样得△BHE的面积=1
2
BH EF．
本题系几何大型综合题．以等腰三角形和圆为背景，综合考查圆中的三大定理，即圆的切线
的判定定理与性质定理、切线长定理，又对相似形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义进行考查，需要综合运用所学知识解答这类问题；另外合理的作辅助线也是解决问题的关键所在．
满分冲刺
题一：
答案：C
解析：∵BA，BE是圆的切线．
∴AB=BE，BO是△ABE顶角的平分线．
∴OB⊥AE
∵AD是圆的直径．
∴DE⊥AE
∴DE∥OF
故①正确；
∵CD=CE，AB=BE
∴AB+CD=BC
故②正确；
∵OD=OF
∴∠ODF=∠OFD=∠BFP
若PB=PF，则有∠PBF=∠BFP=∠ODF
而△ADP与△ABO不一定相似，故PB=PF不一定成了．
故③不正确；
连接OC．可以证明△OAB∽△CDO
∴OA•OD=AB•CD
∴AD2=4AB•DC
故④正确．
故正确的是：①②④．
故选C．
题二：
答案：（1）连接OE，OC
∵CB ＝CE ，OB ＝OE ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△OEC ． ∴∠OBC ＝∠OEC ．
又∵DE 与⊙O 相切于点E ， ∴∠OEC ＝90°． ∴∠OBC ＝90°． ∴BC 为⊙O 的切线
（2）过点D 作DF ⊥BC 于点F ，
∵AD ，DC ，BG 分别切⊙O 于点A ，E ，B ， ∴DA ＝DE ，CE ＝CB ．
设BC 为x ，则CF ＝x －2，DC ＝x ＋2．
在Rt △DFC 中，(x ＋2)2
－(x －2) 2
＝) 2
，解得：x ＝52
． ∵AD ∥BG ， ∴∠DAE ＝∠EGC ． ∵DA ＝DE ， ∴∠DAE ＝∠AED ． ∵∠AED ＝∠CEG ， ∴∠EGC ＝∠CEG ． ∴CG ＝CE ＝CB ＝52
． ∴BG ＝5．
∴AG ＝． 解法一：连接BE ，ABG S ∆＝12AB •BG ＝1
2
AG •BE ，
∴． ∴BE ＝
10
3
．
在Rt △BEG 中，EG
解法二：∵∠DAE ＝∠EGC ，∠AED ＝∠CEG ， ∴△ADE ∽△GCE ．
∴
AD CG ＝AE EG
，2
2.5EG ．
解析：（1）欲证明BC 为⊙O 的切线，依据切线的判定定理，需证明OB ⊥BC ，为此要连接OC ，OE ，设法证明△OBC ≌△OEC ，得∠OBC ＝∠OEC ＝90°．（2）需顺着（1）问结论，灵活运用切线长定理，勾股定理，相似三角形知识解答，关键有二：一连接BE ，发现EC ＝BC ＝CG ；二通过过点D 作BG 边上的高构造直角三角形，应用勾股定理求出CE 的长．。