848理论力学复习指导
2017北理车辆工程848理论力学复习计划详解
北理车辆工程848理论力学复习计划详解摘要：计划是成功的开始，如何统筹自己的时间，安排好复习进度是考研的第一步。
北京理工大学车辆工程专业的考研专业课为理论力学或热力学，本文就理论力学的复习给出了具体计划，希望能够起到借鉴作用。
计划的时间段：2015年5月——12月中旬计划的内容范围：北京理工大学在学校网站主页的研究生招生一栏里有指定关于初试专业课为理论力学的参考书，所用指定参考书为《工程力学》上·下册（梅凤翔，周际平，水小平编，北京理工大学出版社），《工程力学学习指导》上·下册（梅凤翔，周际平，水小平编，北京理工大学出版社）。
参考书的作用并不是给大家指定关于某一问题的标准答案或复习的标准方向，参考书的作用仅仅在于给大家指出一个初试复习的范围，理论力学的基础内容复习主要围绕这四本参考书进行就可以了，但是在巩固强化以及冲刺阶段一定要高度重视前四年（最好有五年的真题）的历年北京理工大学考研《理论力学真题》。
从现在开始到十一国庆前这段时间是大家考研复习相对轻松的一段时间，一定要趁着这段时间梳理知识点，熟悉考试内容。
这样在后期的复习中会事半功倍。
参考书目：《工程力学》上·下册，梅凤翔，周际平，水小平编《工程力学学习指导》上·下册，梅凤翔，周际平，水小平编计划的阶段划分：1．从现在开始到9月31日之前为基础阶段2．12月31日之前为强化巩固阶段3．初试之前为冲刺阶段（大家可根据自身复习情况和进度做适当调整）基础阶段复习预期效果：这个时期关键的是对理论力学有一个总体的了解，把握本课程的的概念与知识点，因此应该在这一段时间把教材熟悉，做到心中有数大概要考查的知识点。
在这个阶段的要求熟识并理解一些细节性的问题，做地毯式轰炸在这份《全程复习计划》的基础阶段中提出的每一个概念和知识点，做熟做烂提供的“考点习题”，以达到对理论力学的大体上的理解和把握，形成做题的大体思路与模式。
基础阶段复习建议：在时间的安排上，可以根据自己的具体情况来进行合理的分配，建议每天拿出两到三个小时的时间来复习，同时最好自己做一个简单的关于概念区分，联系以及公式使用条件的复习笔记，理出一定范围，每章内部的脉络。
848理论力学-北京理工大学
北京理工大学2012年硕士研究生入学考试理论力学试题一、圆盘半径为r ，匀速转动，角速度为o ω，在固定圆弧上逆时针滚动。
圆弧半径为R=2r 。
杆AB 长为l=2r ，C 为杆AB 中点。
杆OA 长为OA l =r 。
A 、B 处为滑动铰接，O 为固定铰链。
杆OA 、AB 、圆盘重量以及各处摩擦不计，求杆AB 的角速度和角加速度。
二、已知1O 和2O 是固定铰链，A 、B 是光滑铰链接触。
杆1O A 的角速度、角加速度分别为和ωα，且都是顺时针方向。
圆盘O 半径为r ，杆1O A 与杆2O B 的长度为r ，杆1O A 、2O B 、GH 、圆盘重量及各处摩擦不计，试求杆GH 的速度和加速度。
三、已知A 端为固定铰链，杆AB 长为l=4r 。
半径为r 的圆盘O 在倾角为o 30的固定斜面上，其重量为W 。
杆AB 与圆盘的摩擦系数为B f =3，圆盘与固定斜面的摩擦系数为D f =4。
作用于杆AB 上一转矩M 。
杆AB 重量不计，为使圆盘静止，试求转矩M 的取值范围。
四、已知1O 和2O 是滑动铰链，杆1O A 长为l ，杆AB 长为2l 。
杆AB 与杆AD 的夹角为o 30，杆AB 与杆2O B 垂直。
E 为杆1O A 中点，F=ql ，M=32ql 。
各杆重量以及各处摩擦不计，试求杆AB 的内力。
五、已知1O 和2O 是固定铰链，A 、B 是滑动铰链。
圆盘1C 的半径为r ，质量为m ，绕1O 作匀速转动，角速度为 。
杆AB 长为l=2r ，质量为m 。
圆盘22C 半径R=r ，质量为3m 。
各处摩擦不计，试求系统的动能、动量、以及对固定点1O 的动量矩。
六、已知圆盘C 半径为r ，重量m 。
杆BD 长为l=2r ，质量为m 。
绳子OA 与圆盘C 在A 点相接，且绳子处于铅垂方向。
杆BD 与圆盘C 在B 点焊接。
杆BD 的另一端D 与滑块铰接。
滑块和绳子质量不计且滑到光滑。
系统由静止释放，求滑块的约束力、绳子拉力以及圆盘的角加速速。
北京理工大学848理论力学考试大纲
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详情请查阅理硕教育官网848 理论力学（1）考试要求①了解：点的运动描述，刚体的平移、定轴转动和平面运动的描述，约束和自由度的概念，力系的两个特征量及力系简化的四种最简形式，二力构件的特点，静摩擦力应满足的物理条件，刚体的质心和规则刚体(均质细长直杆、圆盘、圆环等)对中心惯性主轴的转动惯量，动力学三个基本定理及其守恒定律，达朗贝尔原理与动量原理的关系，利用虚位移原理求解平衡问题的特点，利用动力学普遍方程求解动力学问题的优势。
②理解：用弧坐标表示点的速度、切向加速度和法向加速度，平面运动刚体的角速度和角加速度，平面运动刚体的速度瞬心，平面运动刚体的加速度瞬心，平面运动刚体上点的曲率中心，绝对运动、相对运动和牵连运动(尤其是动点的相对速度和相对加速度，动点的牵连速度和牵连加速度，动点的科氏加速度)，常见约束的约束力特点，纯滚动圆盘的运动描述和所受摩擦力特性，物体平衡与力系平衡的差别，刚体转动惯量的平行轴定理，刚体的平移、定轴转动、平面运动的动能、动量、对某点的动量矩及达朗贝尔惯性力系的简化结果的计算，动静法的含义，虚位移概念和虚位移原理，动力学普遍方程的本质。
③掌握：用速度瞬心法、速度投影定理，两点速度关系的几何法或投影法对平面运动刚体系统进行速度分析，用两点加速度关系的投影法或特殊情况下加速度瞬心法对平面运动刚体系统进行加速度分析，用点的速度合成公式的几何法或投影法以及加速度合成公式的投影法对平面运动刚体系统进行运动学分析，力系的主矢和对某点的主矩的计算，最简力系的判定，物系平衡问题的求解（尤其要掌握通过巧妙选取研究对象和平衡方程对问题进行快速求解），带摩擦物系平衡问题的求解，物系动力学基本特征量(动能、动量、对某点的动量矩、达朗伯惯性力系的等效力系等)的计算，动能定理的积分或微分形式的应用，动量守恒、质心运动守恒和质心运动定理的应用，对定点的动量矩定理、相对于质心的动量矩定理及其守恒定律的应用，用达朗贝尔原理(动静法)求解物系的动力学问题（包括动力学正问题：已知主动力求运动和约束力，以及动力学逆问题：已知运动求未知主动力和约束力），用虚位移原理求解物系的平衡问题（特别是利用虚位移原理求解作用于平衡的平面机构上主动力之间应满足的关系，会利用虚位移原理求解平面结构的某个外部约束力或求解其中某根二力杆的内力），用动力学普遍方程快速求解物系动力学问题中某点加速度或某刚体角加速度。
北京理工大学848理论力学2015年考研冲刺班辅导讲义
内部资料翻版必究1.2，1.3，1.4，1.5，1.62.4，2.9，2.10，2.12，2.16，2.18，2.23，2.24，2.29，2.30，2.32，2.333.6，3.7，3.8，3.16，3.17，3.18，3.19，3.20，3.21，3.305.2，5.3，5.4，5.6，6.2，6.3，6.4，6.5，6.6，7.7，7.8，7.9，7.10，7.12，7.14，7.15，7.20，7.26，7.2719.5，19.10，19.12，19.13，19.15，19.16，19.18，19.19；20.5，20.10，20.12，20.13，20.14，20.1521.1，21.2，21.4，21.9，21.11，21.12，21.13，21.14理论力学静力学 刚体在力系作用下平衡规律 运动学 运动特性之间的几何关系动力学 物体变化规律与其所受力之间的关系理论力学上半部分重点 运动学点的运动学：直角坐标法 弧坐标法刚体运动学：平动 定轴转动 一般平面运动运动学——刚体一般平面运动平面图形上任意两点的速度关系B A BA v v v =+平面图形上任意两点的加速度关系nB A BA BAτ=++a a a a平面图形上点的速度分析方法 1. 基点法B A BA v v v =+2. 速度投影定理[][]A B AB AB v v = 不能求出刚体的角速度！3. 速度瞬心法BA AB ω=⋅v BA AB ω=⋅vM MP v v =确定速度瞬心 P 点位置的方法1.已知平面图形上A,B 两点的速度方向 a.两点速度不相平行b.两点速度平行，AB 连线不垂直于速度2.已知平面图形上A,B 两点的速度方向，且AB 连线垂直于两点上的速度方向 a.两点速度大小不相同 b.两点速度大小相同3.平面图形沿某固定曲线作纯滚动运动学——点的合成运动基本概念绝对运动、牵连运动；动点、动系 点的速度合成定理 牵连运动为平动时的加速度合成定理(1) 动点的选择----两部件之间的接触点（明确指明是哪个部件上的哪个点） ----圆轮的圆心 ----相交点(2) 动系的选择a.动点对动系一定要有相对运动(故动系不能固结于动点所在的刚体上)b.相对运动的轨迹要清楚2. 分析动点的绝对运动轨迹、相对运动轨迹及动系相对于定系的牵连运动状态3. 对动点写出速度合成关系 分析各速度矢量的方向、大小，求解矢量方程 选取合适的动点，动系v(a) (b) (c)MP MPω=⋅v v v v a e r=+a e r =+a a a re a v v v +=(d) (e)FDEC A BO 1O 2θω(f)OOv O 1CBA60︒(g)BωOCϕDEF O1A(h)静力学基本概念力偶、约束和约束反力、受力分析；力系平衡与等效的基本性质，二力体（杆）力系的简化主矢、主矩，平面平行力系的简化分布载荷力系的平衡平衡的充分必要条件平面任意力系平衡方程的形式（3 个独立方程）()0ixiyA iFFM⎧=⎪=⎨⎪=⎩∑∑∑F(x , y 互不平行) （x 不垂直于AB）（A、B、C 三点不共线）物系平衡()0iA A iM M⎧'==⎪⎨==⎪⎩∑∑F FF()0()0ixA iB iFMM⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑FF()0()0()0A iB iC iMMM⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑FFF（a ）aF（b ）q 2q（c ）特殊的空间力系及独立平衡方程个数（1） 空间汇交力系 3个独立方程 （3） 空间力偶系 3个独立方程 （3） 空间平行力系 3个独立方程 平面任意力系的独立平衡方程为3个 一矩式 二矩式 三矩式对于单个刚体，在平面力系作用下的平衡问题，只能写出3个独立的平衡方程，求解3个未知量；当未知量超过3个时，问题无法求解。
理论力学复习大纲
理论力学复习大纲复习重点：课堂笔记、例题、作业、书中例题 需要着重掌握的内容：1. 受力图的正确画法。
(力、力偶、惯性力)1. 确定研究对象,画分离体图。
2.由已知条件画所有主动力。
3.由约束类型画约束反力。
4.受力图上只画外力,不画内力。
5.受力图要互相协调(1)整体受力图与局部受力图间要协调。
(2)作用力与反作用力间要协调。
6.明确判断出二力构件。
注意：力是矢量，带箭头；载荷集度不带箭头；力偶不能落下；作用力与反作用力标号之间的关系2. 各种约束反力的表示方法。
✓ 光滑接触面：约束反力作用于接触点，方向沿接触面的公法线并指向受力物体✓ 绳索：约束反力作用于接触点，沿柔索背离物体 ✓ 固定铰链支座：一对正交约束反力来表示✓ 圆柱铰链支座：一对正交约束反力来表示✓ 滚动铰链支座：一个法向约束力，垂直于支承面AyA F AxF✓3.平面汇交力系：同一刚体平面内，位于不同点的各力作用线汇交于同一点的力系，称为平面汇交力系。
平面力偶系:平面任意力系:作用在物体上的所有力的作用线都在同一平面内，作用线既不汇交也不全平行(呈任意分布)。
4. 平面任意力系、物体系平衡问题的解法(熟练掌握)。
平面任意力系：独立方程的个数是3个(选择方法：尽可能一个方程只求解一个知量，计算结束后要使用其他的方程验证) 两个投影方程，一个力矩方程⎩⎨⎧==00y x F F ∑=0M一个投影方程，两个力矩方程，三个力矩方程,,物体系：两个或多个物体通过一定的约束方式连接起来而组成的物体系统，简称为物体系。
基本经验：一般可采用‘先试整体，后拆开’的原则5. 摩擦力的大小、方向的确定，解释一个范围。
静摩擦力、最大静摩擦力、动摩擦力判断最大静摩擦力和主动力之间的关系，最终求解摩擦力6. 空间力的投影，对轴的矩的计算，对点的矩的计算。
掌握空间力的投影，力对轴的矩和力对点的矩之间的关系，力对轴的矩的计算公式AB 连线与x 轴不垂直⎪⎩⎪⎨⎧===∑∑∑000)F (o y x M F F ⎪⎩⎪⎨⎧===∑∑∑000)F ()F ()F (C B A M M M ⎪⎩⎪⎨⎧===∑∑∑000)F ()F (B Ax M M F A 、B 、C 三点不共线⎪⎭⎪⎬⎫-=-=-=x y z z x y y z x yF xF M xF zF M zF yF M )F ()F ()F (k)F (j )F (i )F (F r M Oz y x M M M ++=⨯=7.切向、法向加速度的概念、算法。
北京理工大学考研848理论力学
848 理论力学（1）考试要求①了解：点的运动描述，刚体的平移、定轴转动和平面运动的描述，约束和自由度的概念，力系的两个特征量及力系简化的四种最简形式，二力构件的特点，静摩擦力、滚动摩阻力偶应满足的物理条件，刚体的质心和规则刚体(均质细长直杆、圆盘、圆环等)对中心惯性主轴的转动惯量，动力学三个基本定理及其守恒定律，达朗贝尔原理与动量原理的关系，利用虚位移原理求解平衡问题的特点，利用动力学普遍方程求解动力学问题的优势。
②理解：用弧坐标表示点的速度、切向加速度和法向加速度，平面运动刚体的角速度和角加速度，速度瞬心，加速度瞬心，曲率中心，绝对运动、相对运动和牵连运动(尤其是相对速度和相对加速度，牵连速度和牵连加速度，科氏加速度)，常见约束的约束力特点，纯滚动圆盘的运动描述和所受摩擦力特性，物体平衡与力系平衡的差别，转动惯量的平行轴定理，刚体的平移、定轴转动、平面运动的动能、动量、动量矩及达朗贝尔惯性力系的简化结果的计算，动静法的含义，虚位移概念和虚位移原理，动力学普遍方程的本质。
③掌握：用速度瞬心法、速度投影定理，两点速度关系的几何法或投影法对平面运动刚体系统进行速度分析，用两点加速度关系的投影法或特殊情况下加速度瞬心法对平面运动刚体系统进行加速度分析，用点的速度合成公式的几何法或投影法以及加速度合成公式的投影法对平面运动刚体系统进行运动学分析，力系的主矢和对某点的主矩的计算，最简力系的判定，物系平衡问题的求解（尤其要掌握通过巧妙选取研究对象和平衡方程对问题进行快速求解），带摩擦单刚体或物系平衡问题的求解，物系动力学基本特征量(动能、动量、动量矩、达朗伯惯性力系的等效力系等)的计算，动能定理的积分或微分形式的应用，动量守恒、质心运动守恒和质心运动定理的应用，对定点的动量矩定理、相对于质心的动量矩定理及其守恒定律的应用，用达朗贝尔原理(动静法)求解物系的动力学问题（包括动力学正问题：已知主动力求运动和约束力，以及动力学逆问题：已知运动求未知主动力和约束力），用虚位移原理求解物系的平衡问题（特别是利用虚位移原理求解作用于平衡的平面机构上主动力之间应满足的关系，会利用虚位移原理求解平面结构的某个外部约束力或求解其中某根二力杆的内力），用动力学普遍方程快速求解物系动力学问题中某点加速度或某刚体角加速度或调速器匀速转动时角速度与对应稳定位置的关系。
北京理工大学848理论力学2019年考研专业课初试大纲
2019年北京理工大学考研专业课初试大纲848 理论力学（1）考试要求①了解：点的运动描述，刚体的平移、定轴转动和平面运动的描述，约束和自由度的概念，在水平地面、圆凸面、圆凹面上作纯滚动的圆盘的运动描述，力系的两个特征量及力系简化的四种最简形式，二力构件的特点，静摩擦力应满足的物理条件，刚体的质心和规则刚体(均质细长直杆、均质圆盘、均质细圆环等)对中心惯性主轴的转动惯量，动力学三个基本定理及其守恒定律，达朗贝尔原理与动量原理的关系，利用虚位移原理求解平衡问题的特点，利用动力学普遍方程求解动力学问题的优势。
②理解：用弧坐标表示点的速度、切向加速度和法向加速度，平面运动刚体的角速度和角加速度，平面运动刚体的速度瞬心，平面运动刚体的加速度瞬心，平面运动刚体上点的曲率中心，圆盘在水平地面、圆凸面、圆凹面上作纯滚动时圆心的速度、切向加速度、法向加速度与圆盘角速度、角加速度的关系，绝对运动、相对运动和牵连运动(尤其是动点的相对速度和相对加速度，动点的牵连速度和牵连加速度，动点的科氏加速度)，常见约束的约束力特点，纯滚动圆盘所受摩擦力的特性，物体与物系的受力分析，物体平衡与力系平衡的差别，刚体转动惯量的平行轴定理，刚体的平移、定轴转动、平面运动的动能、动量、对某点的动量矩及达朗贝尔惯性力系的简化结果的计算，动静法的含义，虚位移和虚位移原理，动力学普遍方程的本质。
③掌握：用速度瞬心法、速度投影定理，两点速度关系的几何法或投影法对平面运动刚体系统进行速度分析，用两点加速度关系的投影法或特殊情况下加速度瞬心法对平面运动刚体系统进行加速度分析，用点的速度合成公式的几何法或投影法以及点的加速度合成公式的投影法、刚体的角速度合成定理和角加速度合成定理对平面运动系统进行运动学分析，力系的主矢和对某点的主矩的计算，最简力系的判定，物系平衡问题的求解（尤其要掌握通过巧妙选取研究对象和平衡方程对问题进行快速求解），带摩擦的物系平衡问题中主动力或主动力偶的取值范围或摩擦因数的取值范围或平衡位置的求解，平面物体系统动力学基本特征量(动能、动量、对某点的动量矩、达朗伯惯性力系的等效力系等)的计算，动能定理的积分或微分形式的应用，动量守恒、质心运动守恒和质心运动定理的应用，对定点的动量矩定理、相对于质心的动量矩定理及其守恒定律的应用，用达朗贝尔原理(动静法)求解平面物体系统的动力学问题（包括动力学正问题：已知主动力求运动和约束力，以及动力学逆问题：已知运动求未知主动力和约束力），用虚位移原理求解平面物系的平衡问题（特别是利用虚位移原理求解作用于平衡的平面机构上主动力之间应满足的关系，会利用虚位移原理求解平面结构的某个外部约束力或求解其中某根二力杆的内力），用动力学普遍方程快速求解平面物体系统动力学问题中某点加速度或某刚体角加速度。
《理论力学》考研重点知识汇总(各校通用版)
考试复习重点资料（最新版）资料见第二页封面第1页01章绪论一、理论力学的研究对象理论力学：是研究物体机械运动一般规律的一门学科。
机械运动：是指物体在空间的位置随时间的变化。
理论力学的研究对象：质点系和刚体，低速宏观物体，属古典力学范畴二、理论力学的研究内容、方法与目的1、理论力学的研究内容静力学：研究物体的平衡规律，及力的一般性合成法则。
运动学：研究物体运动的几何性质，不涉及引起物体运动的原因。
动力学：研究物体运动与受力之间的关系。
2、理论力学的研究方法:几点说明：(1)由抽象化,得到质点和刚体等力学模型.3、理论力学的学习目的与任务:(1)学习质点系和刚体机械运动的一般规律，为后续课程打下坚实基础。
(2)能应用所学理论，解决一些较简单的实际问题。
(3)培养辨证唯物主义的世界观,提高分析问题解决问题的能力.如:人在水平面上行走,脚与地面间的摩擦力做功如何计算?4.理论力学是一门理论性较强的技术基础课。
二、学习理论力学的几点注意：1、理论联系实际。
2、培养科学的逻辑思维方法。
3、注意表达式中的物理意义。
4、认真对待作业。
5、学习方法（1）作听课笔记（2）及时复习，温故而知新。
6、学习态度：认真、务实三、理论力学的发展史抽象综合公理应用定理、结论实践逻辑推理数学演绎《理论力学》考研重点知识汇总1、理论力学基础建立时期早在(公元前287-212)古希腊阿基米德著的《论比重》就奠定了静力学基础，我国的墨翟（公元前468-382）所著的《墨经》是最早记述有关力学理论的著作。
意大利的达芬奇(1452-1519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。
波兰的哥白尼(1473-1543)创立宇宙“日心说”。
德国的开普勒(1571-1630)提出行星运动三定律。
意大利的伽利略(1564-01642)自由落体规律、惯性定律及加速度的概念。
英国伟大科学家牛顿(1643-1727)在1687年版的《自然哲学的数学原理》一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体力学等，是力学奠基人。
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《理论力学学习指导与题解》：典型课后题
使用：
了解 《理论力学教程》：考试大纲
理解
掌握：重点在于知识点公式
以“点的速度合成定理”为例：推导过程
X
Va = Vr + Ve
√
真题：
（1）严格做题时间，步骤，画图，然后对答案并改正。 （2）至少两遍
复习经验：
（1）连续性复习，不要间隔，每天3小时
（2）不要只看知识点，要边看边做题。通过题目来加深理解。 （3）学习例题的解题方法和步骤，那就是最标准的答案。
（4）坚持不懈，学会调整。
谢谢大家
848理论力学复习指导
理硕教育
（1）命题规律
详细介绍848理论力学真题的考查内容，题目形式，命题方法，分值分布
等。 （2）复习方法 复习资料及其使用方法，复习经验等。
（1）命题规律
第一题：
主要考查刚体平面运动的知识点。要求我们求解速度、角速度、加速度和 角加速度等量，因此要把两点速度关系和两点加速度关系熟练掌握，并按照步
骤进行解题，正确画出矢量图对解题有很大帮助，而且画图也是分数的一部分，
因此做题步骤和图解缺一不可。
第二题：
考查复合运动的知识点，正确选取动点、动系，分析出绝对运动、相对运
动和牵连运动形式是解这道题目的关键。要熟者带摩擦的平衡问题。对于力系的简化，要按
照要求求解力系的主矢和主矩，得到力系的简化形式；而对于带摩擦的平衡问 题，要熟练使用库仑定律，求解使系统处于平衡状态的某个力或力偶的范围。
带摩擦的平衡问题也是公认的难题。
第四题：
考查力系的平衡问题，也就是通过研究对象，画出受力图，求解约束反力或 者杆的内力，要学会合理的选取不同分离体为研究对象，做到一个平衡方程有 一个未知量，从而简化计算步骤和节约时间。
第五题：
考查动力学知识点，要求求解系统的动能、动量、和对某固定点的动量矩，
所以要会求解刚体质心的速度以及刚体的角速度，而且可能会用到两点的速度 关系，机械能守恒等知识点，偶尔也会考查质心运动定理相关的知识点，所以 都要掌握。
第六题：
考查达朗贝尔原理的应用，也就是动静法。这一题综合了运动学、静力学 和动力学的很多知识点，是一道综合题，也是分值最高的一道题，所以一定要 把前面的知识点都熟练掌握。做这一题的关键在于正确的求解达朗贝尔惯性力，
并能够正确的在图中画出，然后按照力系平衡的思路去研究对象，列平衡方程，
从而求解。
（2）复习方法 参考书：
《理论力学教程》，电子工业出版社，水小平、白若阳、刘海燕，2013年9月 《理论力学学习指导与题解》，电子工业出版社，白若阳、水小平、刘海燕， 2014年3月
真题：
至少近十年真题。
知识点 《理论力学教程》 例题：至少两遍