高中数学必修二 空间几何体的体积教案(高二数学)
高中数学体积试讲教案
高中数学体积试讲教案
主题：体积
目标：学生能够理解和计算各种几何体的体积
一、导入（5分钟）
引导学生回顾一下体积的定义：体积是三维物体所占的空间大小。
举例说明，比如一个长方体的体积就是底面积乘以高度。
提问学生是否知道其他几何体的体积公式。
二、讲解（10分钟）
1. 讲解各种几何体的体积公式：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体和球体。
2. 通过实际例题演示如何计算各种几何体的体积，并强调公式的应用。
3. 讲解体积的单位及换算。
三、练习（15分钟）
1. 分发练习题让学生尝试计算各种几何体的体积。
2. 让学生互相交流讨论解题方法，鼓励他们用不同的方式去解答问题。
3. 在学生完成练习后，答疑并讲解练习题的解答过程。
四、应用（10分钟）
1. 设计一个真实场景问题，要求学生应用所学知识计算实际问题中的体积。
2. 让学生以小组形式讨论问题，并给予解答和解决问题的机会。
3. 强调体积的应用在日常生活中的重要性。
五、总结（5分钟）
1. 总结本节课所学内容，重点强调各种几何体的体积公式和计算方法。
2. 鼓励学生将所学知识运用到实际生活中，并提醒他们在未来应用数学时要灵活运用所学的概念。
六、作业布置（5分钟）
1. 作业内容：完成课堂练习题以及布置的实际应用问题。
2. 提醒学生勤加练习，巩固所学的知识，并在下节课前准备好作业。
高中数学教案：立体几何中的体积和表面积
高中数学教案：立体几何中的体积和表面积一、引言在高中数学教学中，立体几何是一个重要的内容模块。
其中，体积和表面积是立体几何的核心概念，也是解题的关键点。
本文将围绕立体几何中的体积和表面积展开讨论，旨在帮助教师们更好地掌握教学方法和策略。
二、体积的基本概念与计算方法2.1 体积的定义在立体几何中，体积是指三维物体所占据的空间大小。
通常用单位立方米（m³）来表示。
2.2 体积的计算方法根据不同几何形状的特点，计算其体积有不同的方法。
（1）直角棱柱：直角棱柱的底面可以是任意多边形，通过底面面积乘以高即可计算得到。
（2）圆柱：圆柱由两个平行且相等的底面及其之间的曲面组成。
通过底面面积乘以高得到侧面积，并加上两个底面的圆形部分，可以求得整个圆柱的体积。
（3）球：球是由所有与所定球心距离相等于半径r处点组成的集合。
球的体积计算公式为4/3πr³，其中π取近似值3.14即可。
（4）其他几何体：如圆锥、棱锥、棱台等均有特定的体积计算公式。
三、表面积的概念及应用3.1 表面积的定义在立体几何中，表面积指一个物体外部所包围的总面积，常用单位平方米（m²）表示。
3.2 表面积与实际问题表面积在实际生活中有广泛的应用，例如：（1）家具选购：购买家具时，我们需要考虑其空间占用和布置情况，因此了解家具的表面积是很有帮助的。
（2）建筑施工：工程项目需要测量建筑物或构件的表面积以确定所需材料和成本。
（3）图形包装：在设计礼品包装或产品包装时，需要计算其表面积以保证材料质量和成本控制。
四、教学策略与方法4.1 概念理解与示例讲解相结合针对不同几何体的体积和表面积计算方法，可以先通过简单而常见的示例进行讲解和演示，帮助学生理解概念，并引导学生运用公式进行计算练习。
4.2 多角度观察与实物操作在教学中，可以让学生多角度观察不同几何体的形状，并利用实物进行操作。
通过直观的展示，能够加深学生对体积和表面积的认知。
高中数学必修2《空间几何体的表面积与体积》教案
⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 ⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析 通过学习空间⼏何体的结构特征，空间⼏何体的三视图和直观图，了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系，从中反映出⼀个思想⽅法，即平⾯图形和空间⼏何体的互化，尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。
该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识，提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想，总结出⼀般的求解⽅法，在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。
3重点难点 重点：知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。
难点：会求柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 课时设计课堂实录 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、 ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、。
1.空间几何体的表面积与体积(通用)-人教A版必修二教案
1.空间几何体的表面积与体积（通用）-人教A版必修二教案一、教学目标1.了解空间几何体的定义及分类，并掌握它们的表面积与体积公式。
2.能够运用所学知识计算空间几何体的表面积与体积。
二、教学重点和难点1.教学重点：空间几何体的定义及分类、表面积与体积的公式。
2.教学难点：如何运用所学知识计算空间几何体的表面积与体积。
三、教学过程1. 空间几何体的定义及分类1.引入空间几何体的概念，定义几何体。
2.给出空间几何体的常见分类：点、线、面、体。
3.介绍不同空间几何体的定义和特点。
2. 空间几何体的表面积公式1.引入空间几何体的表面积概念，定义表面积。
2.分别介绍正方体、长方体、正棱柱、正棱锥、球的表面积公式，并进行计算演示。
3. 空间几何体的体积公式1.引入空间几何体的体积概念，定义体积。
2.分别介绍正方体、长方体、正棱柱、正棱锥、球的体积公式，并进行计算演示。
4. 计算练习1.给出一些空间几何体的基本参数，要求学生自行计算其表面积和体积。
2.教师进行现场指导和解答，强调运用公式的方法。
四、教学评估1.给出一些空间几何题目，要求学生自行计算其表面积和体积。
2.对学生的计算结果进行点评和总结，引导同学们继续加强实践和掌握。
五、教学拓展1.引导同学们了解空间几何体中的其他几何体类型，例如多面体、四面体、棱锥等，拓宽知识面。
2.提供更多计算练习，让学生运用公式娴熟地计算各种空间几何体的表面积和体积。
六、教学反思教学中应注意具体问题具体分析，让学生感受到所学知识的实际应用。
此外，在计算时也要避免公式的生搬硬套，而应注重运用创新思维。
高中数学必修二 (教案)简单几何体的表面积与体积
简单几何体的表面积与体积【第一课时】【教学目标】1．了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积2．能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系【教学重难点】1．柱、锥、台的表面积2．锥体、台体的表面积的求法【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？二、新知探究柱、锥、台的表面积例1：（1）若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的（）A.2倍B．3 倍C．2 倍D．5 倍（2）已知正方体的8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为（）A．1∶ 2B．1∶3C．2∶ 2D．3∶6（3）已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为（）A．7B．6C．5D．3【解析】（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意可知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知选 C.（2）棱锥B′ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝2，S△B′AC＝3 2.三棱锥的表面积S锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝23∶6＝1∶ 3.（3）设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π（r＋3r）＝84π，解得r＝7.【答案】（1）C（2）B（3）A[规律方法]空间几何体表面积的求法技巧（1）多面体的表面积是各个面的面积之和．（2）组合体的表面积应注意重合部分的处理．（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．柱、锥、台的体积例2：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．（1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥AA1BD的体积及高．【解】（1）V三棱锥A1ABD＝13S△ABD·A1A＝13×1 2·AB·AD·A1A＝16a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1ABD＝a3－16a3＝56a3.（2）V三棱锥AA1BD＝V三棱锥A1ABD＝1 6a 3.设三棱锥AA1BD的高为h，则V三棱锥AA1BD＝13·S△A1BD·h＝13×12×32（2a）2h＝36a2h，故36a2h＝16a3，解得h＝3 3a.[规律方法]求几何体体积的常用方法（1）公式法：直接代入公式求解．（2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．（4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[提醒]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面（尤其为圆柱、圆锥时），准确求出几何体的高和底面积．组合体的表面积和体积例3：如图在底面半径为2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．【解】设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ，表面积为 S . 则 R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3. 如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，所以AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，所以 r ＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. 所以 S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π ＝（2＋23）π.1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比． 解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r ＝1，高 h ＝3，所以圆柱的体积 V 1＝πr 2h ＝π×12×3＝3π.圆锥的体积 V 2＝13π×22×23＝833π.所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r ＝1，下底面半径 R ＝2，高 h ＝3，母线 l ＝2，所以圆台的表面积 S ＝π（r 2＋R 2＋r ·l ＋Rl ）＝π（12＋22＋1×2＋2×2）＝11π.圆台的体积 V ＝13π（r 2＋rR ＋R 2）h ＝13π（12＋2＋22）×3＝733π. 3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为 h ”，试求圆柱侧面积的最大值．解：设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ，则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB∽△AOC，所以AEAO ＝EBOC，即23－h23＝r2，所以h＝23－3r，S圆柱侧＝2πrh＝2πr（23－3r）＝－23πr2＋43πr，所以当r＝1，h＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为23π.[规律方法]求组合体的表面积与体积的步骤（1）分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．（2）设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．（3）计算求值：根据设计的计算方法求值．【课堂总结】1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积（1）V棱柱＝Sh；（2）V棱锥＝13Sh；V棱台＝13h（S′＋SS′＋S），其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积名称图形公式圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2体积：V＝πr2l[名师点拨]1．柱体、锥体、台体的体积（1）柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .（2）锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh . （3）台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13()S ′＋SS ′＋S h .2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π（r ′＋r ）l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13（S ′＋S ′S ＋S ）h ――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .【课堂检测】1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）A ．22B ．20C ．10D ．11解析：选A.所求长方体的表面积S ＝2×（1×2）＋2×（1×3）＋2×（2×3）＝22.2．正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为（ ）A.274B.94C.2734D.934解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V ＝13×34×32×3＝934.故选D.3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是________．解析：圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x ，5x ，则中截面半径为4x ，设上台体的母线长为l ，则下台体的母线长也为l ，上台体侧面积S 1＝π（3x ＋4x ）l ＝7πxl ，下台体侧面积S 2＝π（4x ＋5x ）l ＝9πxl ，所以S 1∶S 2＝7∶9.答案：7∶9 4.如图，三棱台ABC A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1ABC ，三棱锥B A 1B 1C ，三棱锥CA 1B 1C 1的体积之比．解：设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S .所以VA 1ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h （S ＋4S ＋2S ）＝73Sh ， 所以VB A 1B 1C ＝V 台－VA 1ABC －VCA 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， 所以体积比为1∶2∶4.【第二课时】 【教学目标】1．记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积 2．能解决与球有关的组合体的计算问题【教学重难点】1．球的表面积与体积 2．与球有关的组合体【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．球的表面积公式是什么？2．球的体积公式什么？二、新知探究球的表面积与体积例1：（1）已知球的体积是32π3，则此球的表面积是（）A．12πB．16πC.16π3 D.64π3（2）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（）A．17π B．18πC．20π D．28π【解析】（1）设球的半径为R，则由已知得V＝43πR3＝32π3，解得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.（2）由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故78×43πr3＝283π，所以r＝2，表面积S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选A.【答案】（1）B（2）A[归纳反思]球的体积与表面积的求法及注意事项（1）要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．（2）半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．球的截面问题例2：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为（）A.500π3cm3 B.866π3cm3C.1 372π3cm3 D.2 048π3cm3【解析】如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2（cm），BM＝12AB＝12×8＝4（cm）．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝（R－2）2＋42，所以R＝5，所以V球＝43π×53＝5003π （cm3）．【答案】A[规律方法]球的截面问题的解题技巧（1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．（2）解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.与球有关的切、接问题角度一球的外切正方体问题例3：将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】A角度二球的内接长方体问题例4：一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π. 【答案】14π角度三球的内接正四面体问题例5：若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积．【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x ，则 a ＝2x ，由题意2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ，所以 S 球＝4πR 2＝32πa 2.角度四球的内接圆锥问题例6：球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r ，则球心到该圆锥底面的距离是r 2，于是圆锥的底面半径为 r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝3r 2，高为3r 2.该圆锥的体积为 13 ×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 22 ×3r 2＝38πr 3，球体积为43 πr 3，所以11 / 13该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932. ②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.【答案】932或332角度五球的内接直棱柱问题例7：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2. 【答案】B[规律方法]（1）正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a 2，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）． （2）长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12 a 2＋b 2＋c 2，如图（2）．12 / 13（3）正四面体的外接球正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R ＝62a .【课堂总结】1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2．2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．[名师点拨]对球的体积和表面积的几点认识（1）从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数．（2）由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．（3）球的表面积恰好是球的大圆（过球心的平面截球面所得的圆）面积的4倍．【课堂检测】1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是（ ）A ．36π，144πB ．36π，36πC ．144π，36πD ．144π，144π解析：选 B ．球的半径为 3，表面积 S ＝4π·32＝36π，体积 V ＝43π·33＝36π.2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是（ ） A.6π6 B.π2C.2π2D.3π2π解析：选 A ．设正方体棱长为 a ，球半径为 R ，由 6a 2＝4πR 2 得a R ＝2π3，所以V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝ ⎛⎭⎪⎫2π33＝6π6. 3．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为（ ）A ．1B ．213 / 13C ．3D ．4解析：选 A ．设两球的半径分别为 R ，r （R >r ），则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎨⎧R ＝2，r ＝1.故 R －r ＝1. 4．已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为________．解析：设球 O 的半径为 r ，则43πr 3＝23，解得 r ＝36π. 答案：36π5．已知过球面上 A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O ′，球心为 O ，连接 O ′A ，OA ，OO ′，设球的半径为 R .因为O ′A ＝23×32×2＝233.在 Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2，所以 R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋14R 2， 所以 R ＝43，所以 S 球＝4πR 2＝649π.。
高中数学 课时19 空间几何体的体积教案 苏教版必修2
课时19 空间几何体的体积(一)【教学目标】了解柱、锥、台、球体积的计算公式【重点难点】柱、锥、台、球体积计算公式的运用．【教学过程】引入新课1．圆锥形烟囱的底面半径是cm 40，高是cm 30．已知每平方米需要油漆g 150，油漆 100个这样的烟囱帽的外表面，共需油漆多少千克？（π取14.3，精确到kg 1.0）2．某长方体纸盒的长、宽、高分别为cm 7，cm 5，cm 4，则每层有57⨯个单位正方体， 共有4层，因此它的体积为______________________．设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么它的体积为__________或___________．3．柱体、锥体、台体、球的体积公式：=柱体V ____________________________________________．=锥体V ____________________________________________．=台体V ____________________________________________．=球V _____________________________________________．4．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球半径．球的表面积公式为______________________；这表明球的表面积是球大圆面积的4倍．例题剖析例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（如图）共重kg 6．已知毛坯底面正六边形边长是mm 12，高是mm 10，内孔直径是mm 10．那么这堆毛坯约有多少个？（铁的密度是3/8.7cm g ）例2 下图是一个奖杯的三视图（单位：cm ），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积（精确到301.0cm ）．巩固练习1． 用一张长cm 12、宽cm 8的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．2．已知一个铜质的五棱柱的底面积为216cm ，高为cm 4，现将它熔化后铸成一个正方体铜块，那么铸成的铜块的棱长为多少（不计损耗）？3．若一个六棱锥的高为cm 10，底面是边长为cm 6的正六边形，求这个六棱锥的体积．课堂小结柱、锥、台、球体积计算公式的运用．课后训练一 基础题1．圆台上下底面直径分别为cm 10，cm 20，高为cm 2，则圆台的体积为_______2cm ．2．已知矩形的长为a 2，宽为a ，将此矩形卷成一个圆柱，则此圆柱的体积为_________．3．长方体相邻的三个面的面积分别为2，3和6，则该长方体的体积为_________．4．若一个圆台的下底面面积是上底面面积的4倍，高是cm 3，体积是363cm π， 则圆台的侧面积是____________．5．若一圆锥的轴截面是边长为a 的正三角形，则该圆锥的内切球的体积为___________．6. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为__________.7．已知正三棱锥的侧面积为318，高为3，求它的体积．二 提高题8．若干体积的水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水平面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥器皿中，求水面的高度．三 能力题9．正棱锥的底是内接于一圆柱下底的正六边形，而其顶点为圆柱上底的中心．已知棱锥的高为cm 6，体积为3312cm ，求此圆柱的全面积．A D。
苏教版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积体积教案
课题：空间几何体的体积
一、教学目标：
⒈知识目标：掌握棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积的推导方法，理解祖暅原理，会应用棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式。
⒉能力目标：通过学习祖暅原理，理解祖暅原理的内涵，体验空间与平面问题互相转化的方法，体会到复杂的体积问题怎样转化为简单的体积问题而得到解决，从而提高学生的数学思维能力。
⒊德育目标：学生通过学习祖暅原理，了解我国古代数学家在这方面作出的突出成就，受到爱国主义教育，提高学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点：
重点是棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的推导方法。
难点是对祖暅原理的理解和棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的应用。
三、教学方法与教学手段：
教学方法：本节课的课型为“新授课”。
虽然学生初中已经学习了圆柱、圆锥的体积的公式，但用的是实验验证的方法，并没有从根本上理解圆柱、圆锥的体积公式的由来，本课采用推导的方法，以长方体的体积公式和祖暅原理为基础推导出几种几何体的体积公式，通过不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中。
教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。
四、教学过程：。
高中数学必修二教案-空间几何体的表面积和体积教学设计
1.3空间几何体的表面积和体积（第三课时）
1．会求球体的表面积和体积． 2．理解球体的切接问题．
3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.
4.激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识 【重点难点】
1．会求球体的表面积和体积．(重点) 2．理解球体的切接问题．(难点) 【教学策略与方法】 讲述，练习 【教学过程】 问题1： 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？ 问题2：如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆 设球的半径为R,截面半径为r,平面与截面的
距离为 那么 r = 22l R
因此 S 圆 2r
1.排液法测小球的体积
2.类推法
3、分割极限法：
球的表面积
则球的表面积
则球的体积为：
球的体积和表面积公式
球的体积是
3
π
C．16 3π
(2)两个球的体积之比是8∶27，那么这两个球的表面积之比是( )
A．2∶3
C．2∶ 3
例二：某个几何体的三视图如图所示(单位：m)
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的体积．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学必修二空间几何体的体积教案
教学目标：
1．了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；
2．了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；
3．培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力．
教材分析及教材内容的定位：
通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．
教学重点：
柱、锥、台的体积计算公式及其应用．
教学难点：
运用公式解决有关体积计算问题．
教学方法：
通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．
教学过程：
一、问题情境
类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积．
一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少．
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体＝abc或V长方体＝Sh
（这里，S，h分别表示长方体的底面积和高．）
二、学生活动
阅读课本P65“祖暅原理”．
思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？ 三、建构数学
1．柱体的体积．
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．
V 柱体= sh
2．锥体的体积．
类似地，底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等．
13
V sh =锥体 3．台体的体积．
上下底面积分别是S’，S ，高是h ，则
1
(')3
V h S S =+台体
柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？
4．球的体积．
一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积有什么样神奇的关系呢？——相等．
223112233V R R R R R πππ=-=球，所以343
V R π=球． 四、数学运用
例1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8kg/cm 3）六角螺帽共重6kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（π取3．14，可用计算器）？
分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量．
解：22331012610 3.14()102956(mm ) 2.956(cm )42
V =⨯⨯-⨯⨯≈=， 所以螺帽的个数为
61000(7.8 2.956)260⨯÷⨯≈（个）
答：这堆螺帽大约有260个．
例2 圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为11,3
h h h =，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为2h ，求2h ．
分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比． 解：3283()27S AB
S CD h V V h --== 1333332219191919::272727V V V h h h h V ⎛⎫∴===∴== ⎪⎝⎭
水水锥锥倒置后：． 例3 用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大? 练习：
1．直三棱柱ABC -A ′B ′C ′各侧棱和底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点，连结A ′B ，BD ，A ′D ，AD ，则三棱锥A －A ′BD 的体积是多少？
2．将一个正三棱柱形的木块，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体积是原三棱柱体积的 倍；
3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容
1．理解柱体、锥体、台体之间的关系；
2．球的表面积和体积公式．。