线性代数51向量组规范正交化共26页文档
2向量的正交规范化
1
0
得
x1 x2
0
x3
取 x3 1 得方程组的一个解，将其取为3 即可
1
3
0 1
18
1
例3
已知向量1
1 1
,
求R3的一个标准正交基.
解 设非零向量2 ,3都于 正1 交， 即满足方程1T x 0,
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1
0 1
,
2
11 .
19
14
1）正交化
令 1 1
2
2
1 1
,2 , 1
1
LLL
r
r
1 , r 1, 1
1
2 2
,r ,2
2
L
r1,r r1, r1
r1
则 1, 2 ,L , r 两两正交，且与 1,2 ,L ,r等价.
15
2）标准化
令
e1
1
1
1,
e2
1
2
2, L
,
er
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组.
（1）对称性： , ,
（2）线性性： , , , k, k,
（3）正定性： , 0, 当且仅当 0时 , 0.
4
二、向量的长度与夹角 １、长度的概念
令 , a12 a22 L an2 为ｎ维向量α
的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量.
如果 1,2 ,L ,r是Ｖ的一组基，则 e1,e2 ,L ,er 就是 Ｖ的一组标准正交基.
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
例
1
1
线性代数第五章 正交性
b = (-1, -1, 2, 2),
中每一个正交.
c = (3, 2, 5, 4),
20
练 习：
设 q1=
1 2
(1,1,1,1)T, q2=
1 2
(1,1,1,
1)T,
用两种方法将它们扩充成 4的一组规范正交基.
作业：
5.1节练习: 1. 2.
5.4节练习: 1. 2.
5.6节练习: 8.
课后练习:
在欧氏空间 4里找出两个单位向量，使它们同时与向量
a = (2, 1, -4, 0),
v2 ||v2||
正 交
基
vn=
xn
xn, v1,
v1 v1
v1
xn, v2,
v2 v2
v2
…
xn, vn1 vn1, vn1
vn1
un
=
vn ||vn||
Span(x1, x2, . . . , xn ) = Span(v1, v2, . . . , vn )
例5
设V = span(x1, x2, x3, x4),求 V的一组规范正交基. 其中x1= (1,−1, 1,−1)T, x2 = (1, 1, 3,−1) T , x3= (2,0, 4,−2)T , x4 = (3, 7, 1, 3)T .
||x|| ||y||
定 理 1 | xTy | ||x|| ||y|| 柯西-施瓦兹不等式 定 理 2 x y xT y = 0 称 x 和 y 正交 .
推广至更一般 向量空间 V
3
内积(P213 5.4 内积空间)
定 义 在向量空间V上定义一种运算，在这种运算下，V 中任意 一对向量 x 和 y，都对应一个实数，记作 x, y，若还满足: 对任意的 x, y, z ∈ V 及 s, t ∈ R，成立 (1) x, x 0 , 取等号当且仅当 x = 0 .
线性代数正交规范化ppt课件
1 0
1 0 ,2 1 .
1 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a21, a32[[11,,12]]1.
其 [1 ,中 2 ] 1 ,[1 ,1 ]2 ,于是得
1 a2 0 , 1
0 1 1 1 1 a311201221.
四、正交矩阵与正交变换
rr
其中
e ieiT[, i]
６ 求规范正交基的方法
设1,2,,r是向量空V的 间一个,要 基求V
的一个规范正,就交是基要找一组两的 两单 正交
位 向 量 e1,e2,,er ,使e1,e2,,er与1,2,,r等
价,这样一个问 ,称题 为把 1,2,,r这个基
范正 . 交化 若 a 1,a2, ,ar为向 V 的 量一 空 , 个 间基
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[ 2 1,, 3 3]] x x1 1 2 xx 22xx 3300
解之得 x 1 x 3,x 2 0 .
若令 x31,则有 3
x1 x2
1 0
x3 1
由上可知1,2,3构成三维空间的一设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间
1 1 4
例3
设a1
2,a2
3,a31,试
用
施密
1
1
0
特正交化过程量 把规 这范 组正 .向交化
解
取 b1a1;
1 1
b2
a2 [a2,b21]b1
b1
3 1
4 6
2 1
5 3
1 1 1
;
b3a3[a3,b21]b1[a3,b22]b2
b1
规范正交向量组
规范正交向量组正交向量组是线性代数中的重要概念之一，它是指一个向量组中的任意两个向量的内积为0。
在实际应用中，正交向量组具有很多优势，比如可以简化计算、提高计算精度、优化算法等。
为了更好地理解和应用正交向量组，本文将介绍正交向量组的定义、性质，以及如何构造和判定正交向量组。
首先，我们来定义正交向量组。
设有n个非零向量v1, v2, ..., vn，如果这n个向量两两正交（即任意两个向量的内积为0），则称这n个向量为正交向量组。
同时，如果这n个向量都是非零向量，且彼此互不共线，则称这n个向量为规范正交向量组。
接下来，我们来看一些正交向量组的性质。
首先，如果一个向量组是正交向量组，则它的所有向量都是线性无关的。
这是因为如果存在一个向量可以由其他向量线性表示，则它和其他向量的内积也应该为0，这与正交向量组的定义相矛盾。
因此，正交向量组是线性无关的。
其次，一个向量组可以通过正交化处理来得到一个正交向量组。
正交化的方法有很多种，其中最常用的就是施密特正交化方法。
施密特正交化方法的基本思想是从第一个向量开始，每次将向量减去它在前面所有向量上的投影，得到一个新的向量，然后对新的向量进行归一化处理，使其成为单位向量。
按照这种方法可以得到一个规范正交向量组。
最后，我们来讨论如何判定一个向量组是否为正交向量组。
判定的方法非常简单，只需要计算向量组中任意两个向量的内积，如果所有内积都为0，则向量组是正交向量组。
需要注意的是，判定正交向量组时，要确保向量组中的向量都是非零向量，否则可能会出现内积为0的情况。
总结起来，正交向量组是指一个向量组中任意两个向量的内积为0的向量组。
规范正交向量组是指一个非零向量组中所有向量两两正交且彼此互不共线的向量组。
正交向量组具有很多优势，如简化计算、提高计算精度、优化算法等。
正交向量组的判定方法很简单，只需要计算向量组中任意两个向量的内积是否为0即可。
对于给定的向量组，可以通过正交化处理得到一个正交向量组。
线性代数5.1向量组规范正交化
一、向量的内积
内积可用矩阵记号表示 : 为
x, y xT y.
2 向量的内积是几何中向量数量积的推广，但是n(n>3) 维向量内积没有直观的几何意义． 向量的数量积：x y ( x1 , x2 ,, xn ) ( y1 , y2 ,, yn ) x1 y1 x2 y2 xn yn
单位向量 e1 , , er , 规范正交基即要找一组两两正交的 , 使 e1 , , er 与 1 , , r 等价. 1 , , r 规范正交化方法 : 1 1 ; 2 2 [ 2 , 1 ] 1 （1）正交化，取 [ 1 , 1 ] [ 3 , 1 ] [ 3 , 2 ] 3 3 1 2 ,, [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ] [ r , 1 ] [ r , 2 ] [ r , r 1 ] r r 1 2 r 1 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ] [ r 1 , r 1 ]
2内积有以下性质： (其中 x , y , z 为 n 维向量, 为实数 ) : (ii) [x, y] [ x, y] [ x, y] ; (i ) [ x, y] [ y, x] ;
(iii) [ x y, z ] [ x, z ] [ y, z ] ;
( iv ) 当 x 0 时 , [ x , x ] 0 ;
例3
T 解 a2 , a3 应满足方程a1 x 0 , 即 x1 x2 x3 0 . 1 0 把基础解系正交化 , 它的基础解系为 1 0 , 2 1 , 即为所求 , 亦即取 1 1 [1 , 2 ] 1 0 1 1 a2 1 , a3 2 1 , 得 1 1 a 2 0 , a3 1 0 2 . [1 ,1 ] 1 1 2 1 2 1 其中 [1 , 2 ] 1 , [1 , 1 ] 2,
向量标准正交化
向量标准正交化在线性代数中，向量的正交化是一种重要的概念，它可以帮助我们更好地理解向量的性质和应用。
在本文中，我们将介绍向量的标准正交化方法，以及其在实际问题中的应用。
首先，让我们来了解一下什么是向量的正交化。
在数学中，两个非零向量的内积为0时，我们称它们是正交的。
而当一组向量两两正交，并且它们的模长都为1时，我们称这组向量是标准正交的。
标准正交化就是将给定的向量组变换成一组标准正交向量组的过程。
接下来，我们将介绍一种常用的向量标准正交化方法——施密特正交化方法。
假设我们有n个线性无关的向量组成的向量组{v1,v2, ..., vn}，我们要将它们正交化，得到一组标准正交向量组{u1, u2, ..., un}。
施密特正交化的具体步骤如下：1. 选取第一个向量v1作为u1，即u1=v1/||v1||，其中||v1||表示向量v1的模长。
2. 对于第i个向量vi，我们依次计算出它与前面所有向量u1, u2, ..., ui-1的内积，并将这些内积分别减去。
然后将vi与这些差值向量做线性组合，得到vi的正交分量，即ui=vi-∑(vi·uj)uj，其中uj表示前面已经得到的正交向量。
3. 最后，我们将得到的正交向量进行标准化，即ui=ui/||ui||，得到标准正交向量组。
施密特正交化方法是一种简单而有效的向量正交化方法，它可以帮助我们将任意向量组变换成一组标准正交向量组，从而更方便地进行向量运算和分析。
除了施密特正交化方法外，我们还可以利用矩阵的特征值和特征向量来进行向量的标准正交化。
通过对称矩阵的特征值分解，我们可以得到一组标准正交向量组，这为我们在实际问题中的应用提供了更多的选择。
在实际问题中，向量的标准正交化方法有着广泛的应用。
例如在信号处理中，我们常常需要将信号向量进行正交化，以便更好地分析和处理信号；在机器学习中，正交化可以帮助我们简化特征空间，提高模型的泛化能力；在物理学中，正交化可以帮助我们分解复杂的力和运动，从而更好地理解物理现象。
5.1向量组规范正交化
x2
x2
x4 x4
a4
令x2
c1
2 (0,0,1,1)
2
,
1 0
x4
c2
c1
1 0 0
c2
0 11
则a1, a2 , a3, a4即为所求
解(1)法二a1, a2线性无关，可取3 (1,0,0,0)，4 (0,0,1,0)
使a1,
a2
,
3
,
线性无关。
4
将a1
,
a3
[a3, b1] [b1, b1]
b1
[a3 [b2
, ,
b2 b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化， 得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
2
2 2 2 2
e2
b2 b2
(ii) 齐次性 x x ; R
(iii) 三角不等式 x y x y .
证 (i) 与(ii) 是显然的,下面证明 (iii) , (iii) 三角不等式 x y x y .
x y 2 [ x y , x y ] [ x, x ] 2 [x, y] [ y, y ] ,
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1), a2 (1,1,0,4), a3 (3,5,1,1)
正交规范化.
解 先正交化， 取 b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
a2 , b1 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
1
1 1
向量组正交
向量组正交正交是线性代数中一个重要的概念，它在数学和工程学科中具有广泛的应用。
在线性代数中，我们学习了向量的基本性质和运算规则，而正交向量组则是其中一个非常重要且有特殊性质的向量组。
什么是正交向量组呢？正交向量组是指向量组中的任意两个向量的内积为零，也就是说它们彼此垂直，没有共线的成分。
简单来说，如果我们有一个向量组，其中的所有向量两两之间的内积都是零，那么这个向量组就是正交的。
正交向量组的概念可以通过一个具体的例子更好地理解。
假设我们有一个三维空间中的向量组，其中包含三个向量：a、b和c。
如果我们发现向量a与向量b的内积为零，向量a与向量c的内积也为零，以及向量b与向量c的内积也为零，那么这个向量组就是正交的。
正交向量组的重要性体现在它可以用来表示向量空间中的任意一个向量。
正交向量组具有一些特殊的性质，例如线性无关性和维度削减等。
理解正交向量组的概念，对于理解线性代数中的其他重要概念和定理非常有帮助。
在实际应用中，正交向量组有着广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以利用正交向量组来表示物体在三维空间中的位置和方向；在工程学中，我们可以利用正交向量组来描述复杂系统的状态和性质等。
正交向量组也在信号处理、图像处理、计算机图形学等领域中得到了广泛的应用。
如何生成正交向量组呢？在数学中，我们可以通过正交化过程来生成正交向量组。
正交化的基本思想是从一个任意的向量组出发，通过一系列的操作使得新得到的向量组是正交的。
例如，我们可以利用施密特正交化方法，将一个给定的向量组转化为正交向量组。
最后，正交向量组在解决实际问题中有着重要的指导意义。
通过研究正交向量组的性质和应用，我们可以更好地理解和应用线性代数中的相关概念和方法。
正交向量组不仅是数学的重要研究对象，也是工程技术中不可或缺的工具。
正交向量组的概念和应用将会给我们带来更加广阔的视野和思考空间。
让我们一起深入探索正交向量组的奥秘吧！。
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11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
线性代数51向量组规范正交化 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。