第五章三维图形变换
3D图形算法
计算法向量为：
法向量 = 矢量1 X 矢量2
把D移到等式的右边得到：
D = - (Ax + By + Cz)
或
D = - (A??1.x + B??2.y + C??3.z)>
或更简单:
D = - Normal ?P1>
但是为计算A,B,C分量。可以简化操作按如下等式：
如果 A=(aij)4x4， B=(bij)4x4, 那么
A x B=
| S> a1jbj1 S> a1jbj2 S> a1jbj3 S> a1jbj4 |
| |
| S> a2jbj1 S> a2jbj2 S> a2jbj3 S> a2jbj4 |
| |
| S> a3jbj1 S> a3jbj2 S> a3jbj3 S> a3jbj4 |
{
short x, y;
}_2D;
//三维坐标
typedef struct
{
float x, y, z;
}_3D;
这里,我们定义了称为顶点的坐标结构。因为“顶点”一词指两个或两个以上菱形边的
交点。我们的顶点可以简单地认为是描述不同系统的矢量。
//不同的坐标系的坐标
| 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
因为任何其它矩阵与之相乘都不改变，所以称之为单位阵。又例如有矩阵如下：
| 10 -7 22 45 |
| sin(a) cos(a) 34 32 |
| -35 28 17 6 |
| 45 -99 32 16 |
计算机图形学第五章图形变换
第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。
点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。
所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。
例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。
将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。
图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。
新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
图形几何变换
例. 相对直线y=1/2*x的反射变换
Y
Y
Y
原图
X
Y
平移
X
旋转
X
Y Y
反射
X
逆向旋转 X
逆向平移 X
1 0 x cos sin 0 1 0 0 T 0 1 y sin cos 0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 0 0 1
cos sin 0 1 0 x
•sin
0
cos 0 0 1 y
0
1
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
(4)关于y=x轴对称
x=y p(x, y)
p ' (y, x)
X
p'x 0 1 0 px (d)关于x=y对称
p'
y
1
0
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
x=-y (5)关于y=-x轴对称
P(x, y)
X P' (-y, -x)
( e) 关于x=- y对称
px sin( ) py cos( )
写成矩阵表达式为：
p'x cos sin 0 px
p'
y
sin
cos
0
p
y
1 0
0 1 1
当
p'x cos
p'
y
sin
1 0
sin cos
0
0 px
0
p
y
1 1
其逆变换
px cos sin 0 p'x
•sin
0
cos 0
0 1
取 45o，s1 1，s2 2
浅谈三维图形的图形变换及其变换矩阵
－
ｓｎ ｉＯ ０ ｃ ｓ ｏＯ ０
式 中 ， 图 形绕 ｚ 旋 转 的 角 度 。 ０为 轴 ３３３ 绕 Ｘ轴 旋 转 －．
变 换 ， 平 移 至 原 点 作 比例 变 换 后 再 平 移 回 到点 Ｙｚ ， 先 ｏｏ 比例 ，）
Ｐ
ｙｚ １ ｙ ） ，） ｚ１
ｇａ ｈ ｃ ． ｘ ｍｐ ｅ ， ｈ ｅ ａ ｔ ｕ ａ ｅ ｍｅ ｒ ａ ｓｏｍａ ｏ ｔ ｘ ａ ｅｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｒｐ ｉｓ Ａｓ ｅ ａ ｌｓ ｔ ｒ ｅｐ ｒ ｃ ｌｒｇ ｏ ｔ ｔ ｎ ｆ ｒ ｔ ｎ ｍａｒ ｒ ｉ ｓｅ ． ｉ ｙｒ ｉ ｉ ｃ Ｋｅ ｗｏ ｄ ｇ ａ ｈ ｃ ｒ ｎ ｆ ｒ ｔ ｎ ｍ ｔ ｘ ｈ ｍｏ ｅ ｅ ｕ ｏ ｒ ｉ ａ ｅ ｇ ｏ ｔｉ ａ ｓ ｏｍａｉｎ ｙ ｒ ： ｒ ｐ ｉｓ ｔ ｓｏ ｍａ ｏ ， ａ ｉ ａ ｒ ， ｏ ｇ ｎ ｏ ｓ ｃ ｏ ｄｎ ｔ， ｅ ｍｅｒ ｔ ｎ ｆｒ ｔ ． ｉ ｃｒ ｏ
是 三维 平 移 变 换 示 意 图 。
旋转 变换 前 后 形 体 的 大 小 和形 状 部 发 生 变 化 ， 是 空 间 只
位 置 相对 原 位 置 发 生 了 变 化 。
３３１ 绕 ｚ 旋转 －． 轴
图形 绕 ｚ 旋 转 时 ， 有 ｚ 坐标 值 都 不 会 变化 。 ｘ和 轴 所 轴 而 ｙ坐 标值 变化 。设 空 间 中 任 意一 点 （，ｚ绕 ｚ ｘ， ｙ） 轴旋 转 ０角 ． 变
ｆ Ｉ ０ ： １
１ ０ ０
０
ｓｎ ｉＯ
ｃｓ ｏＯ 。
ｆ ０ ０ ０ 丫ｓ ０ ０ ０、 １ １
ｓ ＝
Ｉ ０。 兰 ０ ｌ ０． 。ｙ —０ ０。 ｓ ｌ ｏ １ ０ ０ 。 ０ ０ １ ｚ １人０ １ Ｊ
计算机图形学习题参考答案(完整版)
区域二（下半部分）
k (x k, yk) pk 0 (7, 3) b 2(x 0 1/2)2 a 2(y01)2a 2b 2 23 1 (8, 2) p02a 2y1a 22b 2x1 361 2 (8,1) p12a 2y2 a 2 297 3 (8, 0)
2a yk pk 2 2 2 1600 b a b (1/4)a 332 768 p0 2b2x1b2 224 768 p12b 2x 2 b 2 44 768 p2 2b 2x 3 b2 208 2 640 p3 2b x 4 b 22a 2y 4 108 640 p4 2b 2x 5 b 2 288 512 p5 2b 2x 6 b 22a 2y6 244 384
10、使用中点椭圆算法，绘制中心为 (0, 0) ，长半径 a 8 ，短半径 b 6 的椭圆在第一象限中的部分。 解： 区域一（上半部分）
k (x k, yk) 2b x k 0 (0, 8) 0 1 (1, 8) 72 2 (2, 8) 144 3 (3, 8) 216 4 (4, 7) 288 5 (5, 7) 360 6 (6, 6) 432 7 (7, 6) 504 8 8, 5
第 2 章 基本图元的显示
1、假设 RGB 光栅系统的设计采用 810 英寸的屏幕，每个方向的分辨率为每英寸 100 个像素。如果 每个像素 6 位，存放在帧缓冲器中，则帧缓冲器需要多大存储容量（字节数）？ 解： 8100101006/8600000 （字节） 。 2、假设计算机字长为 32 位，传输速率为 1 MIP（每秒百万条指令） 。300 DPI(每英寸点数)的激光打 印机，页面大小为 8.511 英寸，要填满帧缓冲器需要多长时间。 解：
2
11、已知： A(0, 0) 、 B(1, 1) 、 C(2, 0) 、 D(1, 2) ，请判断多边形 ABCD 是否是凹多边形。 解： 多 边 形 的 边 向 量 为 AB (1,1, 0) ， BC (1, 1, 0) ， CD (1, 2, 0) ， DA(1, 2, 0) 。 因 为
三维空间旋转变换公式
三维空间旋转变换公式摘要：1.三维空间的基本概念2.三维空间的旋转变换公式3.旋转变换公式的应用4.总结正文：一、三维空间的基本概念三维空间是一个由三个相互垂直的维度组成的空间，通常用长、宽、高三个参数来表示。
在三维空间中，每个点都具有三个坐标值，即x、y、z，它们分别表示该点在三个维度上的位置。
三维空间广泛应用于物理、数学、工程等领域，对于研究和解决实际问题具有重要意义。
二、三维空间的旋转变换公式在三维空间中，旋转变换是一种基本的几何变换，它可以将一个点或一个物体从一个位置旋转到另一个位置。
旋转变换公式可以用来描述这种变换。
假设有一个点P(x, y, z) 在一个以原点为中心，长、宽、高分别为a、b、c 的三维空间中，现在将这个点围绕原点逆时针旋转α角度，那么旋转后的点P"(x", y", z") 可以通过以下公式计算：x" = xco sα - zsinαy" = ycosα + xsinαz" = zcosα + ysinα其中，α表示旋转的角度，x、y、z 表示点P 的坐标，x"、y"、z"表示旋转后点P"的坐标。
三、旋转变换公式的应用旋转变换公式在实际应用中具有广泛的应用，例如在计算机图形学中，利用旋转变换公式可以将一个图形从一个位置旋转到另一个位置，从而实现图形的变换；在物理学中，旋转变换公式可以用来描述物体的旋转运动，从而研究物体的运动规律；在工程领域，旋转变换公式可以用来解决各种实际问题，如机械设备的旋转、建筑物的倾斜等。
四、总结三维空间的旋转变换公式是一种基本的几何变换公式，它可以描述一个点或一个物体在一个三维空间中的旋转变换。
三维坐标系变换
三维坐标系变换三维坐标系变换可以理解为将一个三维点从一个坐标系转换到另一个坐标系中。
在实际应用中，我们常常需要对物体或者场景进行三维建模和渲染，而三维坐标系变换是不可或缺的一个基础环节。
本文将介绍三维坐标系变换的相关概念和常见应用，以及一些实用的解决方案。
一、常见的三维坐标系变换方式在三维坐标系变换中，常见的方式包括平移、旋转、缩放和仿射变换。
它们分别对应了三维空间中的平移、旋转、比例变化和直线间的关系变化。
在实际应用中，我们可以通过矩阵乘法的方式进行数学计算，也可以利用计算机图形学库中封装好的函数来实现。
1. 平移：将对象在三维坐标系中沿着某个方向移动一定的距离。
平移变换可以用一个形如平移向量的矩阵表示，在三维空间中的坐标变换表达式为：[x' y' z' 1] = [x y z 1] * [1 0 0 tx; 0 1 0 ty; 0 0 1 tz; 0 0 0 1]其中，tx、ty、tz 分别表示在 x、y、z 方向的平移距离。
2. 旋转：将对象绕三维空间中的某个坐标轴或者任意轴进行旋转变换。
如果绕 x 轴旋转，那么旋转变换矩阵为：[x' y' z' 1] = [x y z 1] * [1 0 0 0; 0 cos(theta) -sin(theta) 0; 0 sin(theta) cos(theta) 0; 0 0 0 1]同样的，绕 y 轴、z 轴旋转的矩阵也可以类似地表示。
对于绕任一轴的旋转，可以使用 Rodrigues 公式等数学方法来求解。
3. 缩放：将对象在三个方向上分别进行缩放变换，可以分别用三个缩放因子表示，对应矩阵表示为：[x' y' z' 1] = [x y z 1] * [sx 0 0 0; 0 sy 0 0; 0 0 sz 0; 0 0 0 1]其中，sx、sy、sz 分别表示在 x、y、z 方向放缩的比例因子。
三维几何变换矩阵 -回复
三维几何变换矩阵-回复什么是三维几何变换矩阵？怎样表示一个三维几何变换矩阵？这些矩阵有哪些性质？在三维图形的空间变换中，如何使用这些矩阵来实现平移、旋转、缩放和剪切等操作？本文将一步一步回答这些问题。
首先，我们来介绍一下三维几何变换矩阵。
在三维空间中，几何变换是指对点、线、面等进行平移、旋转、缩放、剪切等操作的数学表示。
而三维几何变换矩阵是用来表示这些变换操作的一种工具。
它由一个3×3的旋转矩阵和一个3×1的平移向量组成。
接下来，我们来看一下如何表示一个三维几何变换矩阵。
一般来说，一个三维几何变换矩阵可以写成如下的形式：[T] = [R T][0 1]其中，[R]是一个3×3的旋转矩阵，[T]是一个3×1的平移向量，表示矩阵的分割线，0和1是分别表示的3×1的零向量和1这两个数。
这种表示方法被称为仿射变换矩阵。
这样的表示方法非常直观，便于对变换进行组合和计算。
接下来，我们来看一下三维几何变换矩阵的性质。
首先，几何变换矩阵是可逆的，即可以通过逆矩阵将一个变换恢复到原来的状态。
其次，变换矩阵的乘法满足结合律，即[T1][T2][T3]=[T1T2][T3]。
此外，变换矩阵的乘法顺序也影响着变换的结果。
例如，平移变换的矩阵和旋转变换的矩阵乘积的结果与旋转变换的矩阵和平移变换的矩阵乘积的结果是不同的。
在三维图形的空间变换中，我们经常需要用到平移、旋转、缩放和剪切等操作。
下面，我们来分别介绍这些操作在三维几何变换矩阵中的表示方法。
首先是平移操作。
平移是指将一个点或物体沿着指定的方向按照指定的距离移动。
在三维几何变换矩阵中，平移操作可以通过平移向量来表示。
假设平移向量为(Tx, Ty, Tz)，则平移变换矩阵可以表示为：[T] = [1 0 0 Tx][0 1 0 Ty][0 0 1 Tz][0 0 0 1]其中，Tx、Ty和Tz分别表示在x、y和z轴上的平移距离。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三维图形变换
三、重点难点： • 重点：三维图形的平移变换，比例变换， 对称变换，旋转变换，复合变换。 • 难点：理解三维复合变换。 四、外语词汇： Translation，Rotation，Scale，Mirror 五、作业与上机练习： 课本：P146（3、5）上机。其他练习。
2018/10/13 2
2018/10/13
34
4、进行图形绕直线即绕z轴旋转，旋转矩阵是：
2018/10/13
35
5、使直线回到原来位置，结果图形即为原图形绕指定直线旋 转变换后的图形。 直线回到原来位置需要进行（3）～（1）的逆变换，其中：
图形绕空间任意轴旋转的总变换矩阵是
2018/10/13 36
类似地，针对任意方向轴的变换的五个步骤：
2018/10/13
4
■平面几何投影
投影变换 就是把三维立体（或物体）投射到投影 面上得到二维平面图形。 平面几何投影 主要指平行投影、透视投影以及 通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平 面图形：三视图、轴测图。 观察投影 是指在观察空间下进行的图形投影变 换。
2018/10/13
5
投影中心、投影面、投影线：
Tt
1
Ts1
平移的逆变换
2018/10/13
1 a 0 0 0
0 0 1 0 e 1 0 i 0 0
0 0 0 1
25
局部比例逆变换
T
1 RZ
cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) 0 0 0 0
2018/10/13
31
1、平移使点（x1,y1,z1）位于坐标原点，变换矩阵是：
2018/10/13
32
2、绕x轴旋转，使直线处在x-z平面上。为此，旋转角应等 于直线在y-z平面上的投影与z轴夹角。因此投影线与z轴夹 角θ的旋转变换矩阵是：
2018/10/13
33
3、绕y轴旋转，使直线与z轴重合。如图所示，直线与z 轴夹角-φ的旋转变换矩阵是：
2018/10/13
21
1 0 TFy 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 1 TFz 0 0 0 0
关于z轴对称
0 0 1 0
0 0 0 1
关于y轴对称
2018/10/13
22
错切变换
1 0 Tv 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
只需要消去各点的y坐标，即令单位矩阵中元素e=0。
2018/10/13
42
俯视图的变换矩阵：
Txoy
1 0 TRx 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 1
图5-5 平移变换
12
比例变换
a 0 Ts 0 0
0 0 0 e 0 0 0 j 0 0 0 1
局部比例变换
2018/10/13
13
例：对如图 5-6 所示的长方形体进行比例变换，
其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体 各点坐标。
z
2 E F 2 B x A C x 3 G D y 1 H
平行投影可分成两类：正投影和斜投影。
投影方向
投影方向
投影平 面法向
投影平面 (a)正投影
a
投影平面 (b)斜投影
投影平 面法向
5-11 平行投影
2018/10/13
38
■正投影
正投影又可分为：三视图和正轴测图。
当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图； 否则，得到的投影为正轴测图。
z z
投影方向
0 sin 1 0 0 0 cos 0
0 0 0 1
X
z
y
绕y轴旋转
2018/10/13
19
对称变换
1 0 TFxy 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 TFyz 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
z
1 1 y
图5-6 比例变换
2018/10/13 14
0 1 / 2 0 0 1/ 3 0 B' 2 0 0 1 0 0 1/ 2 0 0 0 0 1 / 2 0 0 1/ 3 0 G ' 2 3 2 1 0 0 1/ 2 0 0 0
2018/10/13
27
相对任一参考点的三维变换
相对于参考点F(xf,yf,zf)作比例、旋转、错切等变换
的过程分为以下三步：
(1)将参考点F移至坐标原点
(2)针对原点进行三维几何变换
(3)进行反平移
2018/10/13
28
例：相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换
z z z z
(x',y',z')
①使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平 移变换。 ②使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换， 且旋转变换可能不止一次。
③针对该坐标轴完成变换。
④用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。
⑤用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。
2018/10/13
37
5.3图形的投影变换 5.3.2 平行投影
关于xoy平面对称
关于yoz平面对称
2018/10/13
20
TFzx
1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 TFx 0 0 1 0 0 0
关于x轴对称
0 0 0 1
关于zox平面对称
2018/10/13 7
主视图
总结：
侧视图 三视图 俯视图 正投影 正轴测 正二测 平行投影 正等测
斜等测
平面几何投影 斜投影 斜二测 一点透视 透视投影 二点透视 三点透视
正三测
图5-3 平面几何投影的分类
2018/10/13 8
用户坐标系中的几何形体
观察空间的定义
■观察投影
用户坐标系到 观察坐标系的转换 观察坐标系中的三维形体 规范化投影变换 规范化观察空间中的三维形体 三维裁剪 裁剪后的三维形体 正投影 二维坐标系下的图形 二维变换输出
0 0 0 1
TSHz
1 0 0 0
0 1 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
沿y方向错切
沿z方向错切
2018/10/13
24
逆变换
所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换
1 0 0 Tx 0 1 0 Ty 0 0 1 Tz 0 0 0 1
5.1 三维图形几何变换矩阵
■三维齐次坐标变换矩阵
a b d e T3 D g h l m
2018/10/13
c f i n
p q r s
3
■几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比 例、旋转等变换后产生新的图形。 •点的矩阵变换
•线框图的变换
•用参数方程描述的图形的变换
A A' 投影线 投影中心 B' (a) 透视投影 B (b) 平行投影 线段 A' A 线 段 B' B
投影中心在 无穷远处
投影线
图5-1 线段AB的平面几何投影
2018/10/13
6
S
S
S
(a)透视投影
(b)正投影
(c)斜投影
图5-2 平面几何投影分为透视投影和平行投影
平面几何投影可分为两大类： 透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的 平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的
TSH
1 b d 1 g h 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
TSHx
1 d g 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
一般形式
2018/10/13
沿x方向错切
23
TSHy
1 0 0 0
b 1 h 0
0 0 1 0
2018/10/13 43
于是得：
1 0 TH TxoyTRxTtz 0 0
0 0 0 1 0 0 0 z0
0 0 0 1
旋转的逆变换
0 0 1 0
0 cos sin 0 0 0 1 0
sinቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ cos 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2018/10/13
26
■三维复合变换
P' P T P (T1 T2 T3 Tn )
(n 1)
绕任意轴的三维旋转变换
Y
P'
B
θ
[ x' y' z' 1] [ x y z 1] TRAB
A
P
Z
问题：如何求出为TRAB。
X
图5-9 P点绕AB轴旋转
2018/10/13
30
先将图形随直线（旋转轴）一起移动和旋转并 使直线与某一坐标轴重合，再将图形绕直线进行 旋转变换，最后将旋转变换后的图形和直线一起 作相反的旋转和移动并使直线回到原来位置。具 体变换步骤是：
0 0 1 0
0 0 0 1
X
z
y
绕z轴旋转
2018/10/13
17
TRX
0 1 0 cos 0 sin 0 0
0 sin cos 0
0 0 0 1
X