KMP算法

AC自动机

确定数据结构
首先，我们需要确定AC自动机所需的数据存储结构，它们的用处之后会讲 到。
AC自动机

第一步：构建Trie
构建完成后的效果
AC自动机

第二步：构建失败指针
构建失败指针是AC自动机的关键所在，可以说，若没有失败指针，所谓的AC自动机只不过是Trie 树而已。 失败指针原理： 构建失败指针，使当前字符失配时跳转到另一段从 root开始每一个字符都与当前已匹配字符段某 一个后缀完全相同且长度最大的位置继续匹配，如同KMP算法一样，AC自动机在匹配时如果当前字 符串匹配失败，那么利用失配指针进行跳转。由此可知如果跳转，跳转后的串的前缀必为跳转前 的模式串的后缀，并且跳转的新位置的深度（匹配字符个数）一定小于跳之前的节点（跳转后匹 配字符数不可能大于跳转前，否则无法保证跳转后的序列的前缀与跳转前的序列的后缀匹配）。 所以可以利用BFS在Trie上进行失败指针求解。 失败指针利用： 如果当前指针在某一字符 s[m+1] 处失配，即 (p->next[s[m+1]]==NULL) ，则说明没有单词 s[1...m+1]存在，此时，如果当前指针的失配指针指向 root，则说明当前序列的任何后缀不是是 某个单词的前缀，如果指针的失配指针不指向root，则说明当前序列s[i...m]是某一单词的前缀， 于是跳转到当前指针的失配指针，以s[i...m]为前缀继续匹配s[m+1]。 对于已经得到的序列s[1...m]，由于s[i...m]可能是某单词的后缀，s[1...j]可能是某单词的前 缀，所以 s[1...m] 中可能会出现单词，但是当前指针的位置是确定的，不能移动，我们就需要 temp临时指针，令temp=当前指针，然后依次测试s[1...m],s[i...m]是否是单词。 >>>简单来说，失败指针的作用就是将主串某一位之前的所有可以与模式串匹配的单词快速在 Trie 树中找出。
在蓝色字符处失配，按照暴力算法，我们应该将p串右移一位，从p串的第一个字符 开始重新与s串比较,但是我们可以发现，我们并不需要这样比较。 我们可以发现，事实上，p串的绿色与红色部分和红色与橙色部分是相同的，也就是 说，对于绿色与红色部分的任意一段字符，它在主串中下一次出现的位置必然是是 红色与橙色部分中与之对应的那段字符的位置。 比如说"abcddda"在主串中下一次出现的位置必然是"abcddda" 同理"abcdddabcddda"下一次出现的位置必然是"abcdddabcddda"
NEXT数组

如何求解NEXT数组？
现在我们面临着一个实际的问题：如何求一段字符串的NEXT数组值。 其实很简单 对于字符串 agctagcagctagctg 来说
我们指定两个指针i,j。i指定当前求解的next值的位置，j为以i位置前一个字符为尾的子字符串 中的next值，换句话说就是以i位置前一个字符为尾的子字符串中头与尾匹配的头部所能到达的最 大位置。最开始时i=1,j=0。 现在开始讨论几种情况： 当j==-1时，代表已经找不到长度大于1的字符串循环了，此时就可以将i位置的next值设为0，然 后i++,j++,如果存在长度等于1的字符串循环的话，在下一次判断时i+1的值就会为1（这是正确的， 因为关于i的next值是i之前（不包括i）的子字符串的最大循环长度） 当t[i]==t[j]时,说明延续了前一个子字符串的对称性，i++,j++,并将next[i]=j，这样子就可以 将当前位置为尾(i)的next值赋值进下一个位置(i+1)，并且下一次判断也就从(i+1)这个位置开始 了。 当t[i]!=t[j]且j!=-1时，说明不可能延续前一个子字符串的对称性，也不一定不存在更小的字符 串循环，此时将j=next[j]，它的意思就是在当前的对称中继续寻找子对称（因为如果t[i]是某个 更小的字符串循环的最后一个字符，那么为了保证它前方字符同样存在对称性，以t[i]为尾的更 小的字符串循环必然在当前已经存在的t[i-1],t[i-2]....t[i-next[j]]中存在，因为若是子循环 的尾部存在t[i],t[i-1],t[i-2]....t[i-next[j]],那么它也会随着子循环被传递到t[i]这个位置。
NEXT数组

关于NEXT数组
有了上面的铺垫，我们就可以知道next数组的作用了，它的作用就是记录 字符串每一个位置之前的子字符串中头部与尾部相同的字符段的最大长度， 换句话说，就是记录到当前位置（不包括当前字符）之前的那一段子字符 串头与尾中相同的字符段的最长长度。 如字符串 agctagcagctagctg 的next数组值就为 -1 0 0 0 0 1 2 3 1 2 3 4 5 6 3 4
代码:
KMP算法

概述
KMP 算法是一种改进的字符串匹配算法，由 D.E.Knuth 与 V.R.Pratt 和 J.H.Morris同时发现，因此人们称它为克努特——莫里斯——普拉特操作 （简称KMP算法）。KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模 式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个 next()函数，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。
AC自动机

第二步：构建失配指针
观察构造失败指针的流程：对照图来看，首先root的fail指针指向NULL，然后root入队，进入循 环。从队列中弹出root，root节点与s,h节点相连，因为它们是第一层的字符，肯定没有比它层数 更小的共同前后缀，所以把这2个节点的失败指针指向root，并且先后进入队列，失败指针的指向 对应图中的(1)，(2)两条虚线；从队列中先弹出h(右边那个)，h所连的只有e结点，所以接下来扫 描指针指向e节点的父节点h节点的fail指针指向的节点，也就是root，root->next['e']==NULL, 并且root->fail==NULL,说明匹配序列为空，则把节点e的fail指针指向root,对应图中的(3),然后 节点e进入队列；从队列中弹出s，s节点与a,h(左边那个)相连，先遍历到a节点，扫描指针指向a 节点的父节点s 节点的 fail指针指向的节点，也就是 root ，root->next['a']==NULL, 并且root>fail==NULL,说明匹配序列为空,则把节点a的fail指针指向root,对应图中的(4),然后节点a进入 队列。接着遍历到h节点，扫描指针指向h节点的父节点s节点的fail指针指向的节点，也就是root， root->next['h']!=NULL,所以把节点h的fail指针指向右边那个h,对应图中的(5),然后节点h进入 队列...由此类推，最终失配指针如下图所示。
字符串匹配的暴力算法

暴力算法的实现
设i指针为主串s第i位置的字符，j指针为模式串p第j位置的字符，最开始 i与j均从0开始，当s[i]==p[j]时,i++,j++，主串与模式串开始比较下一 位。当s[i]!=p[j] 时，j设为0，i设为上一次s[i]==p[j]时i的值加1，即 将模式串往后滑动一位，并且模式串与主串的匹配再次从模式串的第 0个 字符开始,若搜索到模式串即记录下来，若未搜索到模式串，将会在i指针 到达主串s末尾时结束程序。 很显然时间复杂度为O(nm)
AC自动机

关于AC自动机
AC自动机：Aho-Corasick automation ，该算法在1975年产生于贝尔实验 室，是著名的多模匹配算法之一。一个常见的例子就是给出 n个单词，再 给出一段包含m个字符的文章，让你找出有多少个单词在文章里出现过。 要搞懂AC自动机，先得有模式树（字典树）Trie和KMP模式匹配算法的基 础知识。AC自动机算法分为3步：构造一棵Trie树，构造失败指针和模式 匹配过程。 简单来说，AC自动机是用来进行多模式匹配（单个主串，多个模式串）的 高效算法。
Trie树

Trie树的结构
Trie树的入口称为root，root点不保存除引出字符外的任何信息。 其他节点保存的信息有： count：到此节点处截止的单词个数，如没有单词以该节点结尾，则count 值为-1 next[26]：记录下面的节点（26对应a-z,若大小写混合，next数组开到52 即可）
KMP算法

如何让模式匹配加速
s串:abcdddabcdddabcdddabcdddabcdddaa p串:abcdddabcdddabcdddaa 求p串在s串中第一次出现的位置 第一次匹配：
s : a b c d d d a b c d d d a b c d d d a b c d d d a b c d d d a a p:abcdddabcdddabcdddaa
所以我们在进行下一次匹配的时候直接将 "abcdddabcdddab"中的"b"与失配的那个 "b"继续对比即可，不再需要做无谓的重复计算，而如果失配的位置不在模式串尾部， 我们也可以通过当前位置之前字符串的头与尾的相同字符段位置计算出下一次比较 的位置。
而如何记录到每一个位置时之前相同的字符段的位置，或是说最大长度（因为必然
KMP算法 & AC自动机
By Cajon Pass
字符串匹配

字符串匹配中的几个概念
模式串：等待被在主串中匹配的串 主串：被模式串匹配的串 字符串匹配：在主串中查找模式串的过程
• 比如对于主串: aabbcc 与模式串：aa 来说，一般所 要进行的匹配是在主串中查找模式串第一次出现的 位置，比如模式串：aa 在主串：aabbcc 中第一次 出现的位置是1。
Trie树