兔子数列
斐波那契数列题目[集锦]
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斐波那契数列问题。
（专业C++作业ch4-1）题目描述著名意大利数学家斐波那契（Fibonacci）1202年提出一个有趣的问题。
某人想知道一年内一对兔子可以生几对兔子。
他筑了一道围墙，把一对大兔关在其中。
已知每对大兔每个月可以生一对小兔，而每对小兔出生后第三个月即可成为“大兔”再生小兔。
问一对小兔一年能繁殖几对小兔？提示：由分析可以推出，每月新增兔子数Fn={1,1,2,3,5,8,13,21,34,…}（斐波那契数列），可归纳出F1=1，F2=1，……，Fn=Fn-2+Fn-1。
仿照课本P128页的“2.基本题（1）”进行编程。
注意，（1）课本上的程序显示出数列的前16项的所有数值，这里要求只显示第n项数值；（2）课本上的程序在每次循环时显示数列中的两个数值（i=3时，显示了数列的第3项和第4项）。
输入描述一个正整数n，表示求第n个月的新增的兔子数。
输出描述对输入的n，求第n个月的新增的兔子数。
输入样例16输出样例9872. (18分)求阶乘和。
（专业C++作业ch4-2）题目描述编程求出阶乘和1!+2!+3!+…+n!。
注意：13!=6 227 020 800已经超出unsigned long的范围，故程序中不宜采用整型数据类型，而应使用双精度类型存放结果。
输入描述一个正整数n，n的值不超过18。
输出描述对输入的n，求阶乘和1!+2!+3!+…+n!。
（输出结果时，可以用输出格式控制“cout<<setprecision(17)”来控制双精度类型的结果按17个有效数字的方式显示）输入样例10输出样例40379133. (18分)除法问题。
（专业C++作业ch4-3）题目描述编写一个函数原型为int f(int n);的函数，对于正整数n计算并返回不超过n 的能被3除余2，并且被5除余3，并且被7出余5的最大整数，若不存在则返回0。
应编写相应的主函数调用该函数，在主函数中接受用户输入的正整数n。
自然界中的斐波那契数列
自然界中的斐波那契数列“斐波那契数列(Fibonacci)”的发现者，是意大利数学家列昂纳多•斐波那契。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……仔细观察这个数列，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列是怎么得到的呢？它与自然界又有什么样的关系？>>斐波那契数列别名斐波那契数列又因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔子共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；依次类推可以列出下表：经过月数：--1--2--3--4--5--6--7---8---9---10--11---12兔子对数：--1--1--2--3--5--8--13--21--34—55--89--144表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。
这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。
其实人们很早就从植物身上看到了数学的特征，花瓣对称地排列在花托边缘，整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称的形状，叶子沿着植物茎秆相互叠起。
植物的种子有圆的、刺状的、伞状的……。
科学家发现，植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个著名的数列——斐波那契数列如上图有1个花瓣的马蹄莲，2个花瓣的虎刺梅，三个花瓣的延龄草，5个花瓣的飞燕草，8个花瓣的大波斯菊，13个花瓣的瓜叶菊……。
此外还有21个花瓣的花：紫菀向日葵的花朵有的是21个，有的是34个的。
斐波那契数列
2． 斐波那契数列
1） 公式 用 F n 表示第 n 个月大兔子的对数，则 有二阶递推公式
F1 F2 1 Fn Fn 1 Fn 2 , n 3, 4, 5
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2） 斐波那契数列 令n = 1, 2, 3,… 依次写出数列，就是
1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，144，233，377，… 这就是斐波那契数列。其中的任一个 数，都与斐波那契数列 一样，与黄金分割有密切的联系：该数列 相邻两数之比，交替地大于或小于黄金 比；并且，两数之比的差随项数的增加而 越来越小，趋近于0，从而这个比存在极 限；而且这个比的极限也是黄金比
5 1 2
。
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类似于前面提到的数列
u n 1 u n 1 1 2 3 5 8 , , , , , , , , , 1 2 3 5 8 13 v n 1 v n
4
这与“斐波那契数列”有关
若一个数列，前两项等于1，而从第三项
起，每一项是其前两项之和，则称该数
列为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
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一、兔子问题和斐波那契数列
1． 兔子问题
1） 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （1202年）
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二、 相关的问题
斐波那契数列是从兔子问题中抽象出
来的，如果它在其它方面没有应用，它就 不会有强大的生命力。发人深省的是，斐 波那契数列确实在许多问题中出现。
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1． 跳格游戏
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如图，一个人站在“梯子格”的起点处 向上跳，从格外只能进入第1格，从格中， 每次可向上跳一格或两格，问：可以用多 少种方法，跳到第n格？ 解：设跳到第n格的方法有 种。 tn 由于他跳入第1格，只有一种方法；跳入 第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一 种方法，从而 t1 t 2 1
斐波那契数列
阅读与思考----关于斐波那契数列山西省长治市武乡中学魏春妍高中数学必修五《数列》一章中有一篇阅读与思考---斐波那契数列。
斐波那契数列也称“兔子数列”，这是一个非常有趣的数列，它是自然界中经过长期的适应和进化隐藏着的神秘的数学规律，而且在现代物理、化学、经济等领域都有直接的应用。
为此，笔者对斐波那契数列进行了粗浅的收集整理，以供学生参考学习。
一、斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...二、相关公式（1）递推公式，，（n>=3,n∈N*）（2）前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+……+an=1+a1+a2+a3+……+an-1=a2+a1+a2+a3+……+an-1=a3+a2+a3+……+an-1=a4+a3+……+an-1……=an+an-1+an-1=2an+an-1-1（3）通项公式：三、斐波那契数列的由来兔子繁殖问题：斐波那契数列又因数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”。
问题：一般而言，若一对成年兔子每个月恰好生下一对小兔子(一雌一雄)。
在年初时，只有一对小兔子。
在第一个月结束时，他们成长为成年兔子，并且第二个月结束时，这对成年兔子将生下一对小兔子。
这种成长与繁殖的过程会一直持续下去，并假设生下的小兔子都不会死，那么一年之后共可有多少对小兔子？繁殖的过程可以通过一棵“家族树”来表示：让我们来推算一下在第五个月结束时兔子的总数：第1个月：只有1对兔子；第2个月：兔子没有长成，仍然只有1对兔子；第3个月：这对兔子生了1对小兔子，这时共有2对小兔子；第4个月：老兔子又生了1对小兔子，而上个月出生的兔子还未成熟，这时共有3对兔子；第5个月：这时已有2对兔子可以生殖，于是生了2对兔子，这时共有5对兔子；如此推算下去，我们不难得出下面的结果(如下表)：从表中可知，一年后(第13个月时)共有233对兔子。
这就是说，在短短的一年时间，一对兔子就能自由地繁殖成233对兔子，这是多么惊人的繁衍速度啊！如此往复继续下去，是否要一直这样麻烦地推算下去呢？不妨让我们仔细寻找一下这些数字之间的关系吧：即：“第n个月的兔子总数=第(n-1)个月的兔子总数+第(n-2)个月的兔子总数”四、有趣的关系（1）与黄金分割的关系：在斐波那契数列中，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。
三年级奥数找规律
斐波那契的兔子(数列)知识图谱斐波那契的兔子知识精讲一．数列1．定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列．注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．2．数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，……，第n项（末项）．二．常见的数列1．兔子数列（斐波那契数列）：从第3项开始，每一项都等于前两项之和的数列．2．等差数列：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数的数列．3．等比数列：从第二项起，每一项除以它的前一项的商等于同一个数的数列．三点剖析本讲主要培养学生的综合创新能力，其次还会注重培养学生的运算能力、观察推理能力和实践应用能力．本讲内容是在整数基本计算与找规律的基础上，进一步了解一列数中数与数之间的关系和规律．后续课程还会学习一些简单数列的计算．课堂引入例题1、 最近，唐小果在家附近的小公园里，总能看见好多小兔子，唐小果就想了解一下兔子繁殖．在上网浏览时遇到了这样一个问题：假设每生产一对兔子必须是一雌兔一雄兔，并且所有的兔子都能进行相互交配，所生下来的兔子都能保证成活．那么有一对兔子，每一个月可以生下一对小兔子，而且假定小兔子在出生的第二个月就可以再生小兔子，那么过三个月后，有多少对兔子？过半年后？9个月呢？带着这个问题，小果就去找她的小伙伴了……聪明的你，知道半年后有多少兔子吗？例题2、 写出课堂引入中每个月的兔子数量组成的这列数，观察有什么特点？兔子数列等例题1、 斐波那契数列（Fibonacci sequence ），又称黄金分割数列、因数学家列昂那多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子．如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔子的对数共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对．……以此类推我们利用表格找一找规律：这个是可以用枚举数出来的吧~第一个月，会新出生一对小兔子，所以总共有2对兔子．第二个月，原来的兔子会再生产一对小兔子，而第一个月出生的小兔子还不能生产，所以总共有3对小兔子．那第三个月，原来的兔子会再生产一对小兔子，第一个月出生的小兔子也可以再生产一对小兔子，但第二个月出生的小兔子，还不能生产，所以总共有5对兔子． 这不就是“斐波那契的兔子问题”吗？经过月数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 幼崽对数 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔对数 0 1 1 2 3 5 813… 总体对数11235813 21…幼崽对数=前一个月成年兔子对数；成年兔子对数=前一个月成年兔子对数+前一个月幼崽对数；总体对数=本月成年兔子对数+本月幼崽对数；我们不难发现幼崽对数、成兔对数、总体对数都构成一个数列．（1）一年后，幼崽对数、成兔对数、总体对数各是多少个？15个月之后呢？（2）相邻两个月之间兔子对数的差是多少呢？（3）兔子对数有什么规律吗？试着自己总结一下．例题2、一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把数1，3，6，10，15，21……这些数量的（石子），都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数．……仔细观察哦~13610（1）第8个图形中有多少个石子？第15个呢？（2）相邻两个图形的石子数有什么关系吗？这列数有什么规律吗？例题3、中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页．杨辉，字谦光，北宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图．杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1…………（1）第10行有几个数？分别是多少？（2）杨辉三角有什么特点？相邻两行有什么关系吗？随练1、斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用．例如：树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝．所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”．这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”．观察下图，第一年、第二年、第三年、第四年……第八年各有多少分枝？这些数之间有什么规律？等差等比数列例题1、根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宗师见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宗师，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宗师开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……（1）第8个格子上放了几粒麦子？第10个格子呢？（2）前5个格子一共放了多少粒麦子？前8个格子呢？（3）这组数列中，相邻两个数有什么规律吗？例题2、数列在生活中也有很多的应用，被用于解决实际问题．如：（1）一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，塔群坐西面东，依山临水，塔基下曾出土西夏文题记的帛书和佛祯，可能建于西夏时期是喇嘛式实心塔群．佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，总计一百零八座，形成总体平面呈三角形的巨大塔群，因塔数而得名．那么，按照这样的规律，第15行有多少个佛塔？第20行呢？（2）在校技能节比赛中，值周班的同学负责收集同学们喝完水的矿泉水瓶．学校8点开场比赛，每一个小时清点一次收集到的矿泉水瓶，9点钟共收到了120个，10点钟收到了240个，11点钟收到了480个，按这个规律，到下午1点钟，共收到了多少个矿泉水瓶？（3）学校礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问第20排有多少个座位？第10排呢？第1排呢？数列在生活中的应用真不少呢！例题3、二分裂一般指生殖方式，无丝分裂、有丝分裂、减数分裂是真核有性生殖的细胞的分裂方式，原核生物如细菌以无性或者遗传重组二种方式繁殖，最主要的方式是以二分裂这种无性繁殖的方式：一个细菌细胞壁横向分裂，形成两个子代细胞．（1）开始有一个细菌，假设一个细菌分裂成两个子代细胞需要30秒，3分钟后有多少个细胞？（2）一个生物瓶中装有1个细菌，假设一个细菌分裂成两个子代细胞需要10秒，半小时后，整个瓶中都是细菌，那么什么时候生物瓶中有半瓶的细菌细胞？仔细观察题目，看清要求哦~随练1、下图是用火柴棒拼出的一列图形，依次类推，则第十个图形中的火柴棒的根数有________根，第n个图形中的火柴棒的根数有________根．随练2、如图一个堆放钢管的V形架的最下面一层放一根钢管，往上每一层都比它下面一层多放一个，最上面一层放30根钢管，求这个V形架上共放着多少根钢管？易错纠改例题1、将一条长方形的纸条对折一次可以得到1条折痕，保持折痕平行时对折两次可以得到3条折痕，对折三次可以得到7条折痕，对折四次可以得到15条折痕，对折十次可以得到多少条折痕？我拿张纸来试一试不就知道了吗？我还是找找它们之间的规律吧？1、3、7、15……下一个是不是29呢？聪明的你知道是多少吗？拓展1、分析并口述题目的做题思路及方法．找规律填数：0，3，8，15，24，（），48，63．2、一根绳子弯成如图形状，当用剪刀沿一条虚线剪断时，绳子被剪成5段；沿两条虚线剪断时，绳子被剪成9段；沿三条虚线剪断时，绳子被剪成13段；以此方法，沿10条虚线剪断时，绳子被剪成多少段？（1）（2）（3）3、下面是由大小相同的小正方体木块叠放而成的图形，第一个图中有1个木块，第二个图中有6个木块，第三个图中有15个木块，第四个图中有28个木块，按照这样的规律摆放下去，则第七个图中小木块的个数是多少？4、下面是按规律排成的一列数，从左向右数第九个数是多少？3，5，9，17，33，65，……5、观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数．（1）2，5，8，11，（），17，20．（2）19，17，15，13，（），9，7．（3）1，3，9，27，（），243．（4）64，32，16，8，（），2．（5）1，1，2，3，5，8，（）21，34．（6）1，3，4，7，11，18，（），47．（7）1，3，6，10，（），21，28，36，（）．（8）1，2，6，24，120，（），5040．6、小明上楼梯，每次走一个台阶或两个台阶现在他要上一段楼梯，有12个台阶，有多少种方法呢？（可以先看台阶有1、2、3、4个……会有多少种方法）7、一条直线上一个点可以构成0条线段，两个点可以构成1条线段，三个点可以构成3条线段，四个点可以构成6条线段，以此类推15个不同的点可以构成多少条线段？。
斐波那契数列
斐波那契数列Fibonacci sequence递归数列的一种。
意大利数学家L.斐波那契所著《算盘书》中，有一个古代数学趣题斐济维提雷弗岛的红树之一——兔子问题：假定一对大兔每月能生出一对小兔，而小兔经过一个月就长成大兔，问从一对小兔开始，一年后共繁殖成多少对大兔？这个问题导出一个数列：1，2，3，5 ，8，13，21，34，…，它的规律是，从第三项起，每一项都等于这项的前面两项的和，即an+2＝an+1＋an。
它的通项公式是斐波那契数公式有趣的是，公式中含有对无理数的运算，但对任一个正整数n，结果都是整数。
以斐波那契數為邊的正方形拼成的長方形斐波那契数（<noinclude>），台灣译為費伯納西數列。
在數學上，斐波那契數列是以遞歸的方法來定義：•<math>F_0=0</math>•<math>F_1=1</math>•<math>F_n = F_{n-1}+ F_{n-2}</math>用文字來說，就是斐波那契數列由0和1開始，之後的斐波那契數就由之前的兩數相加。
首幾個斐波那契數是（OEIS A000045）：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946源起根據高德納的《計算机程序設計藝術》，1150年印度數學家Gopala和Hemachandra在研究箱子包裝物件長闊剛好為1和2的可行方法數目時，首先描述這個數列。
在西方，最先研究這個數列的人是比萨的列奥纳多（又名斐波那契），他描述兔子生長的數目時用上了這數列。
•第一個月有一對剛誕生的兔子•第兩個月之後牠們可以生育•每月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子•兔子永不死去假設在n月有新生及可生育的兔子總共a對，n+1月就總共有b對。
斐波那契数列的趣味介绍
斐波那契数列的趣味介绍
斐波那契数列是许多数学家试图解答的自然现象。
它是以著名的数学家斐波那契在公元前一世纪所创造出来的。
斐波那契数列也被称为费布拉斯圆周率序列，它有着令人神往的特点，更是数学界的一大研究课题。
斐波那契数列以兔子繁殖为例而产生，假定有一对1岁的兔子，在每个月都会孕育一对小兔，假设不会有死亡的情况，那么经过第n个月后，一共就会有多少只兔子？
事实上，一共有1，1，2，3，5，8，13，21，34...这样的一系列数字，这就是著名的斐波那契数列。
可以发现，任意一个数字都等于其前两项之和，可以用如下伪码表示： f(1)=1, f(2)=1, f(n)=f(n-1)+f(n-2).
令人吃惊的是，在自然界中，看到许多生物的繁殖工作也属于斐波那契数列的范畴，比如几种物种的年龄结构、植物的芽孢分裂，甚至人口的统计、金融投资等也会隐隐具备斐波那契序列的特征。
斐波那契数列与不同领域有着紧密的关系，这其中蕴藏了很多有趣的现象，比如说，任何一个斐波那契数列的数字，都等于其前两项数字的总和，这其实就是有趣的金字塔方阵数学令人神奇的特征，再或者，斐波那契数字与黄金分割比，它是某个整数加1除以该整数的结果，正好是1.618的比率，可以发现前面的斐波那契数字与黄金分割比有着很密切的关系，这也就直观地体现了自然界蕴藏的美感和数学上封装的流畅。
斐波那契数列是数学界的一大课题，自然界中也蕴藏了不少它的痕迹。
它有着非常有趣的现象，涉及的领域也甚广，很多学者都在一直解答这一种现象，希望能够用唯一的数学理论拟合出它的惊人之处。
兔子数串手抄报,斐波那契数列
兔子数串手抄报，斐波那契数列
八百多年前，一位意大利数学家斐波那契通过研究数字生小兔子，发现了一个有趣的数列：1,1,2,3,5,8,13,21……可是，这个数串关兔子什么事呢？一般来说，兔子在出生两个月后长成大兔子，之后才能生小兔子。
假如我第一个月养了一对小兔子（一公一母），第二个月小兔子变成大兔子，第三个月大兔子生了一对小兔子（也是一公一母），……假如所有的兔子都或者，那么每个月我的养的兔子对数是：……聪明的同学们，你们发现这个数串的规律了吗？。