2.3 数值微分(9)
数值微积分
第五章 数值微积分一、内容分析与教学建议本章内容是数值微积分。
数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。
数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。
（一） 数值微分1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。
2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。
借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。
常用的有三点公式和五点公式。
3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时，()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到()f x '，()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。
指出其缺点是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。
4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。
（二） 数值积分的一般概念1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。
2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。
3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。
数值微分
2 4
f 'a
h
3!
f ''' a
h
f
5
5!
a
可以表示为 G h f ' a a1h a2 h a3h
4 6
符合外推加速表达 (1) 式的一般形式
其中系数a1 , a2 , 与h无关
步长减半 a1 2 a2 4 a3 6 h G f 'a h 4 h 6 h 4 2 2 2
由插值余项定理： R n ( x ) f ( x ) Pn ( x ) f
(n1)
( )
(n 1) !
n1 ( x )
( n 1) d f ( ) R'n ( x ) f ' ( x ) P 'n ( x ) f ( n 1) ( ) n 1 ( x ) Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) dx ( n 1)!n 1 ( x )
例1.用变步长的中点方法求e 在x 1 的导数值，
x
(准确值e=2.71828)
解 : 采用中点方法计算
G (0 .8 )= 3 .0 1 7 6 5
G ( h)
e
1 h
e 2h
1 h
对 分 6次 ： G (
0 .8 2
6
)= 2 .7 1 8 3 5
对 分 1次 ： G (0 .4 )= 2 .7 9 1 3 5 对 分 2次 ： G (0 .2 )= 2 .7 3 6 4 4 对 分 3次 ： G (0 .1 )= 2 .7 2 2 8 1 对 分 4次 ： G (0 .0 5 )= 2 .7 1 9 4 1 对 分 5次 ： G (0 .0 2 5 )= 2 .7 1 8 5 6
第2章 数值微分和数值积分概论
h0
h
lim f (x) f (x h)
h0
h
lim f (x h) f (x h)
h0
2h
向前差商
f (x0 )
f (x0 h) h
f (x0 )
向后差商 中心差商
f (x0 )
f (x0 ) f (x0 h) h
f (x0 )
f (x0 h) f (x0 h) 2h
本节内容可以主要由学生讨论完成。
考虑1：插值解决了函数的近似问题；导数是由函数定义的，研究导数 的近似方法是否与插值有关？
考虑2：导数的定义是什么？几何意义？在这里有什么直接意义？
回答：数值微分有几种形式？每一种方法是如何讨论的？
看书，回答上述问题。
导数的三种定义形式：
f (x) lim f (x h) f (x)
x
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
f (x) 5.06 5.07
5.065 5.05 5.055
计算 f (0.02), f (0.06), f (0.10), f (0.08)
解： f (0.02) (7.07 5.06) 0.5 0.04 0.02
f (0.06) 5.05 5.07 0.5 0.08 0.04
但是，误差的表达式中还有高阶导数，用此公式确定步长，难度较大。 实际使用中可使用事后估计法。
通常用 D(h) ，D( h)
2
给定误差界 ，当
表示步长为
h
h
，
2
D(h) D(h)
2
h 2
时的差商计算公式，
为合适的步长。
注意：所谓的“事后估计法”，是近似计算常用的估计误差方法。
3数值微分
f ' ' ( x0,1,2 ) [ f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 )]/ h2
9
数值微分
X y 2.5 12.1825 2.6 13.4637 2.7 14.8797 2.8 16.4446 2.9 18.1741
例: 用两点法和三点法求x=2.7处的一阶
h=0.2:两点=(14.8797-12.1825)/0.2=13.486 三点=(18.1741-12.1825)/0.4=14.979 h=0.1:两点=(14.8797-13.4637)/0.1=14.160 三点=(16.4446-13.4637)/0.2=14.9045 函数y=ex,精确解为14.87973,三点比两点好.
中心差商：
f (a h) f (a h) f (a ) f ' (a) 2h 2h
可以看出中心差商实际是向前向后差商的平均值,所以 精度较高,较常采用. h越小精度越高,但h太小f(a+h)和f(a-h)非常接近(避免 两接近数相减),误差增加
3
数值微分
例:求f(x)=sqr(x)在x=2的导数值 精确值f´(2)=0.353553
8
数值微分
b.三点公式(x0,x1=x0+h,x2=x0+2h)
f ' ( x0 ) [3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )] / 2h f ' ( x1 ) [ f ( x0 ) f ( x2 )] / 2h (常用 )
f ' ( x2 ) [ f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )] / 2h
课后作业：请使用C语言程序实现此求导！
数值分析第四章数值积分与数值微分-PPT课件
Cotes系数只与 j 和 n 有关, 与 f x 和积分区间 a , b
无关， 且满足:
1 C k
n
n
C n k
n
(n) 2 C j 1 j0
2、截断误差
Newton-Cotes公式的误差为:
1 ) f (n ( ) R (f) w (x ) dx n 1 a ( n 1 )! b n 2 n n h (n 1 ) f ( ) ( tj) dt , ( a ,b ) ( n 1 )!0 0 j
n ( u j ) du 2
据此可断定 R f 0 ,因为上述被积函数是个奇函数.
4、数值稳定性
现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响. 设用公式 近似计算积分
( n ) I ( f ) ( b a ) C j f(xj) n j 0 n
I ( f ) f ( x)dx
a
b
0 , 1 ,2 , . . . n 时, 其中计算函数值 f x j 有误差 ，而 j j
计算 C
n
j
没有误差, 中间计算过程中的舍入误差也不考虑,
j
则在 I n ( f ) 的计算中,由
引起的误差为
( n ) e ( b a ) C f ( x ) ( b a ) C j) j (f(xj) n j j 0 ( n ) j j 0 ( n ) ( b a ) C j j n
x
f x
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
呵呵…这就需要积 原来通过原函数来计 分的数值方法来帮 算积分有它的局限性。 忙啦。 那…… 怎么办呢？
现代科学工程计算基础课后答案
现代科学工程计算基础课后答案《现代科学与工程计算基础》较为详细地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法、基本概念及有关的理论和应用。
全书共分八章，主要内容有误差分析，函数的插值与逼近，数值积分与数值微分，线性代数方程组的直接解法与迭代解法，非线性方程及非线性方程组的数值解法，矩阵特征值和特征向量的数值解法，以及常微分方程初、边值问题的数值解法等。
使用对象为高等院校工科类研究生及理工科类非“信息与计算科学”专业本科生，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考。
《现代科学与工程计算基础》讲授由浅人深，通俗易懂，具备高等数学、线性代数知识者均可学习。
基本信息出版社: 四川大学出版社; 第1版 (2003年9月1日)平装: 378页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7561426879条形码: 9787561426876商品尺寸: 20 x 13.8 x 1.6 cm商品重量: 399 g品牌: 四川大学出版社ASIN: B004XLDT8C《研究生系列教材:现代科学与工程计算基础》是我们在长期从事数值分析教学和研究工作的基础上，根据多年的教学经验和实际计算经验编写而成。
其目的是使大学生和研究生了解数值计算的重要性及其基本内容，熟悉基本算法并能在计算机上实现，掌握如何构造、评估、选取、甚至改进算法的数学理论依据，培养和提高读者独立解决数值计算问题的能力。
目录第一章绪论§1 研究对象§2 误差的来源及其基本概念2.1 误差的来源2.2 误差的基本概念2.3 和、差、积、商的误差§3 数值计算中几点注意事项习题第二章函数的插值与逼近§1 引言1.1 多项式插值1.2 最佳逼近1.3 曲线拟合§2 Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值2.2 n次Lagrange插值多项式2.3 插值余项§3 迭代插值§4 Newton插值4.1 Newton均差插值公式4.2 Newton差分插值公式§5 Hermite插值§6 分段多项式插值6.1 分段线性插值6.2 分段三次Hermite插值§7 样条插值7.1 三次样条插值函数的定义7.2 插值函数的构造7.3 三次样条插值的算法7.4 三次样条插值的收敛性§8 最小二乘曲线拟合8.1 问题的引入及最小二乘原理8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合8.4 多变量的最小二乘拟合§9 连续函数的量佳平方逼近9.1 利用多项式作平方逼近9.2 利用正交函数组作平方逼近§10 富利叶变换及快速富利叶变换10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换10.2 快速富利叶变换习题第三章数值积分与数值微分§1 数值积分的基本概念1.1 数值求积的基本思想1.2 代数精度的概念1.3 插值型求积公式§2 等距节点求积公式2.1 Newton—CoteS公式2.2 复化求积法及其收敛性2.3 求积步长的自适应选取§3 Romberg 求积法3.1 Romberg求积公式3.2 Richardson外推加速技术§4 Gauss型求积公式4.1 Gauss型求积公式的一般理论4.2几种常见的Gauss型求积公式§5 奇异积分和振荡函数积分的计算5.1 奇异积分的计算5.2 振荡函数积分的计算§6 多重积分的计算6.1 基本思想6.2 复化求积公式6.3 Gauss型求积公式§7 数值微分7.1 Taylor级数展开法7.2 插值型求导公式习题第四章解线性代数方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 主元素消去法2.1 全主元素消去法2.2 列主元素消去法§3 矩阵三角分解法3.1 Doolittle分解法（或LU分解）3.2 列主元素三角分解法3.3 平方根法3.4 三对角方程组的追赶法§4 向量范数、矩阵范数及条件数4.1 向量和矩阵的范数4.2 矩阵条件数及方程组性态习题第五章解线性代数方程组的迭代法§1 Jacobi迭代法§2 Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛迭代法§4 共轭梯度法习题第六章非线性方程求根§1 逐步搜索法及二分法1.1 逐步搜索法1.2 二分法§2 迭代法2.1 迭代法的算法2.2 迭代法的基本理论2.3 局部收敛性及收敛阶§3 迭代收敛的加速3.1 松弛法3.2 Aitken方法§4 New-ton迭代法4.1 Newton迭代法及收敛性4.2 Newton迭代法的修正4.3 重根的处理§5 弦割法与抛物线法5.1 弦割法5.2 抛物线法§6 代数方程求根6.1 多项式方程求根的Newton法6.2 劈因子法§7 解非线性方程组的Newton迭代法习题……第七章矩阵特征值和特征向量的计算第八章常微方分程数值解法附录参考文献欢迎下载，资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!。
数值微分与积分算法
数值微分与积分算法数值微分和积分算法是计算数学中常用的数值计算方法，它们通过离散化数学函数来估计导数和定积分的值。
本文将介绍数值微分和积分的基本概念，并介绍几种常用的数值方法。
1. 数值微分数值微分是计算函数导数的数值方法。
导数表示了函数在某一点的斜率或变化率。
常见的数值微分方法有：向前差分、向后差分和中心差分。
1.1 向前差分向前差分计算导数的方法是通过近似函数在某一点的切线斜率。
假设有函数f(x)，可选取小的增量h，并使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h1.2 向后差分向后差分与向前差分类似，也是通过近似函数在某一点的切线斜率。
使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h1.3 中心差分中心差分是向前差分和向后差分的结合，计算导数时使用函数在点前后进行采样。
使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / (2h)2. 数值积分数值积分是计算函数定积分的数值方法。
定积分表示函数在某一区间上的面积。
常见的数值积分方法有：矩形法、梯形法和辛普森法则。
2.1 矩形法矩形法是通过将函数曲线分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积之和来近似定积分。
常见的矩形法有：左矩形法、右矩形法和中矩形法。
2.2 梯形法梯形法是通过将函数曲线分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积之和来近似定积分。
使用如下公式计算：∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/2) * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(xn)]2.3 辛普森法则辛普森法则是通过将函数曲线分割成若干个抛物线来近似定积分。
使用如下公式计算：∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/3) * [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 4f(x(n-1))+ f(xn)]3. 总结数值微分和积分是实际计算中常用的数值方法，它们通过将连续的数学问题离散化来进行数值计算。
数值微分计算方法
数值微分计算方法数值微分是微积分中的一个重要概念，用于近似计算函数的导数。
它在实际问题中具有广泛的应用，特别是在数值求解微分方程、优化问题以及实时数据处理等领域。
数值微分最基本的思想是通过两个离得很近的点，利用函数值的变化情况来估计导数的变化情况。
常见的数值微分方法包括有限差分法和插值法。
有限差分法是一种简单且直接的数值微分方法，常用的有前向差分法、后向差分法和中心差分法。
前向差分法用于近似计算函数的导数，通过函数在特定点上和该点之后的一点的差值来估计导数的值。
设函数在点x处的导数为f'(x)，则前向差分法的计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h其中，h为一个小常数，表示两个点之间的距离。
后向差分法与前向差分法的思想类似，只是对应的计算公式稍有不同。
后向差分法通过函数在特定点上和该点之前的一点的差值来估计导数的值。
计算公式为：f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h中心差分法是一种更加精确的数值微分方法，通过函数在特定点的前后两点的差值来估计导数的值。
计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法来说，误差更小，计算结果更稳定。
除了有限差分法，插值法也是一种常用的数值微分方法。
它通过利用已知点的函数值来估计未知点上的函数值，从而近似计算函数的导数。
常见的插值法包括拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法通过构造一个次数为n的多项式来逼近给定的函数，然后求该多项式的导数。
牛顿插值法则是通过利用已知点的函数值来构造一个插值多项式，然后求该多项式的导数。
插值法在实践中广泛应用，能够提供更精确的数值微分结果。
总的来说，数值微分是一种基于离散点求导数的近似计算方法，可以通过有限差分法和插值法来进行计算。
不同的方法在精度和稳定性上有所差异，具体的选择需根据实际情况进行考虑。
数值微分在科学计算和工程应用中具有重要的地位和作用，是了解和掌握的必备技巧之一。
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• 比向前差商和向后差商具有较高的精度！
2.中点方法的加速
由中点差商的余项展开式
h 2 ( 3) h 4 (5) f 'm ( a, h) f ' ( a ) f (a) f (a ) 3! 5! (2 1)
或
f 'm (a, h) f ' (a ) a1h 2 a2 h 4 a3h 6
例题
• 已知数据：x0=101、x1=102、x2=103， y0=10.04988、y1=10.0995、y2=10.14889。用三点 公式求f ’(101)的值。
解：h=x1-x0=x2-x1=1
1 (3 y0 4 y1 y2 ) f (101) p 2 ' (101) 2h 1 (3 10.04988 4 10.0995 10.14889) 2 0.049735
则
2 x x0 x2 2 x x0 x1 2 x x1 x2 p2 ( x ) y0 y1 y2 2 2 2 h 2h 2h
'
(3 6)
三点公式
2 x x0 x2 2 x x0 x1 2 x x1 x2 y0 p2 ( x ) y1 y2 2 2 2 h 2h 2h
两边对x求导数
(3 2)
f [ ( x)] f [ ( x)] f ' ( x ) pn ' ( x ) (n 1)! ( x x j ) (n 1)! ( x x j ) j 0 j 0
3.插值型求导公式
思路：利用插值多项式pn(x)进行求导。
f ( x ) pn ( x ) f ' ( x ) pn ' ( x )
插值多项式pn(x)的余项表达式
(3 1)
f ( n 1) [ ( x)] n f ( x ) pn ( x ) (x x j ) (n 1)! j 0
对于两节点x0和x1，令h= x1 - x0 ，得
x x0 x x1 p1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0
即
'
( x) x0 x1 x1 x0 h h
y1 y0 y1 y0 p1 ( x) h x1 x0
(2 2)
式中系数a1,a2, …均与步长h无关，若将h减半，则有
h a1 2 ˆ2 h 4 a ˆ3 h 6 f 'm ( a, ) f ' ( a ) h a 2 4 (2 3)
式中âk (k=2,3,…)也与h无关。
为了提高精度，可采用加权平均的方法构造新公式 如下： h 1 4 f 'm1 (a, h) f 'm (a, ) f 'm (a, h) (2 4) 3 2 3 这样可消去(2-2)和(2-3)两式右边h2项，得到
向后差商余项：
h h Rb (a, h) f 'b (a, h) f ' (a ) f ' ' (a ) f ' ' ' (a) 2! 3! h f ' ' (a) 2!
2
中点差商余项
• 中心差商余项：
f ( a h) f ( a h) Rm (a, h) f ' ( a ) f 'm ( a, h) f ' ( a ) 2h h 2 ( 3) h 4 (5) f (a) f (a) 3! 5! h 2 ( 3) f (a) 3!
• 向后差商：
f ( a ) f ( a h) f 'b (a, h) h f ( a h) f ( a h) f 'm ( a, h) 2h
• 中心差商：
近似平行于 向后差商 向前差商 中点差商
差商公式示意图
向前差商余项
• 泰勒展开公式：
h2 h3 f (a h) f (a ) hf ' (a ) f ' ' (a) f ' ' ' (a) 2! 3! [ f (a h) f (a )] h h2 f ' (a ) f ' ' (a ) f ' ' ' (a) h 2! 3! • 向前差商余项：
h h R f ( a, h) f ' f ( a, h) f ' ( a ) f ' ' ( a ) f ' ' ' (a) 2! 3! h f ' ' (a) 2!
2
向后差商余项
泰勒展开公式：
h2 h3 f (a h) f (a ) hf ' (a ) f ' ' (a ) f ' ' ' (a) 2! 3! [ f (a ) f (a h)] h h2 f ' (a) f ' ' (a) f ' ' ' (a) h 2! 3!
( n 1) n ( n 1) n
'
'
f
( n 1)
[ ( x)] (n 1)!
'
f ( n 1) [ ( x)] n n (x x j ) (x x j ) (n 1)! i 0 j 0 j 0
n j i
如果只是求某个节点x=xk(k=0,1,…)上的导数值，则上 式右边第一项为零。求得插值型求导公式余项如下：
'
三点公式的余项
由公式(3-3)，可列出三点公式的余项表达式
f ( 3) ( k ) 2 f ( xk ) p 2 ( xk ) ( xk x j ) 3! j 0
jk
(3 7)
分别取k=0 、1 和 2，代入上式，得
f ' ' ' ( 0 ) f ' ' ' ( 0 ) 2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) R 2 ( x0 ) h 3! 3 f ' ' ' (1 ) f ' ' ' (1 ) 2 ( x1 x0 )( x1 x2 ) R 2 ( x1 ) h 3! 6 f ' ' ' ( 2 ) f ' ' ' ( 2 ) 2 ( x2 x0 )( x2 x1 ) R 2 ' ( x2 ) h 3! 3 (3 8) (3 9) (3 10)
f ( n 1) ( k ) n n f ' ( xk ) p n ' ( xk ) ( xk x j ) (n 1)! i 0 j 0
j i
f ( n 1) ( k ) n ( xk x j ) (n 1)! j 0
jk
(3 3)
两点插值求导公式
f 'm1 (a, h) f ' (a) 1h 4 2 h 6 (2 5)
(2 6)
若令
16 h 1 f 'm 2 ( a, h) f 'm1 (a, ) f 'm1 (a, h) 15 2 15
则又可进一步展开式中的h4项，而有
f ' m 2 ( a , h ) f ' ( a ) 1h 6 2 h 8
( 2 7)
重复同样步骤，可以再构造新的中点差商如下：
64 1 h f 'm 3 ( a, h) f 'm 2 ( a, ) f 'm 2 ( a, h) 63 2 63 (2 8)
这种加速过程还可以继续下去，不过加速的效果将 越来越不显著。 例题：利用加速公式(2-4)、(2-6)和(2-8)求ex在x=1 处的导数值，设取h=0.8起算。 解：起算采用中点差商公式如下
e1 h e1 h f 'm (1, h) 2h
( 2 9)
计算结果列于下表，加速还是很显著的。
h 0.8 0.4 0.2 0.1 f ’m(1,h) 3.01765 2.79135 2.73644 2.72281 f ’m1(1,h) 2.715917 2.718137 2.719267 f ’m2(1,h) 2.718285 2.718276 f ’m3(1,h) 2.71828
'
(3 5)
三点插值求导公式
有三节点x0 、x1和x2，令h = x1 - x0 = x2 – x1 ，得
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) p2 ( x ) y0 y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 ) ( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y0 y1 y2 2 2 2 2h h 2h
'
高阶差商公式
• 利用插值多项式pn (x)作为f (x)的近似函数，可以 建立高阶数值微分公式
f ( x ) pn ( x ) f ( k ) ( x ) pn ( x )
(k )
(3 11)
• 例如对公式(3-6)在求导一次，便可得到下列二阶 三点差商公式
1 f ' ' ( x1 ) 2 ( y0 2 y1 y2 ) h