2.2.2椭圆的简单几何性质
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2.2.2椭圆的几何性质
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
y2 x2 2 1( a b 0 ) 2 a b
|x| a |y| b
|x| b
|y| a
对称性
焦 点
关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) (b,0)、(0,a)
顶 点
离心率
|x| a |y| b
|x| b
|y| a
对称性
焦 点
关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) (b,0)、(0,a)
顶 点
离心率
(a,0)、(0,b)
c e= ( 0 < e < 1 ) a
作业:
• 课本P49A组4、5。
• 课下书练、…
一个框，四个点， y
B2(0,b)
注意光滑和圆扁,
莫忘对称要体现．
A1 (-a, 0)
A2 (a, 0)
Ｏ
x
练习：课本P48 练习1、2 练习2：课本P48 练习3、4
B1(0,-b)
【
图 形
】椭圆的几何性质
B2 y A1 F1 O B1 F2 A2 x
B1 A2 F2 B2 y
O
F1
A1
x
方 程 范 围
基本量：a，b，c，e（共四个量）.
基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）.
练习.求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率， 焦点坐标，顶点坐标．
x 4y 16. （１） （２） 9x 2 y 2 81. x2 y2 【解析】 （1）已知方程化为标准方程为 + = 1，
2 2
故可得长轴长为8，短轴长为4，离心率为 3 ，
椭圆的简单几何性质
2.2 椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质【学习目标】1、理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长；2、掌握椭圆的离心率及c b a ,,的几何意义。
【重难点】重点：椭圆的简单几何性质 难点：求椭圆的离心率 【学习过程】复习引入：1、椭圆的定义我们把平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点21,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点21,F F 间的距离||21F F 叫做椭圆的焦距。
2、椭圆的标准方程焦点在x 轴上：12222=+b y a x )0(>>b a 焦点在y 轴上：12222=+ay b x )0(>>b a3、重要结论：222c b a +=知识点一：椭圆的简单几何性质 1、范围由图形及椭圆的标准方程12222=+b y a x 可知，122≤a x 且122≤by ，即⎩⎨⎧≤≤-≤≤-by b ax a 故椭圆12222=+by a x 位于直线a x ±=和b y ±=所形成的矩形框里。
2、对称性观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
在椭圆12222=+by a x 中，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于x 轴对称；用x -代替x ，方程不变，所以椭圆关于y 轴对称；用x -代替x ，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于原点对称。
结论：椭圆关于x 轴和y 轴都对称，所以x 轴、y 轴叫做椭圆的对称轴；对称轴的交点原点，叫做椭圆的对称中心。
3、顶点椭圆与对称轴的交点，叫做椭圆的顶点。
显然12222=+by a x 有四个顶点，其中在x 轴上有)0,(),0,(21a A a A -，在y 轴上有),0(),,0(21b B b B -。
线段2121,B B A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别和a 2和b 2，b a ,分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
2.2.2椭圆的几何性质详解
x2 y2 y2 x2 所以椭圆方程为： 1或 1 100 64 100 64
例3 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且椭 圆过点(-2，-4) ，求椭圆的标准方程。
解： 2a 2 2b a 2b
2 y 当焦点在 x轴上时，设椭圆方程为 x 2 2 1 ， 4b b 椭圆过点(2 ， 4) 2
小结一：基本元素
（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量） （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 请考虑：基本量之间、 基本点之间、基本线之 间以及它们相互之间的 关系（位置、数量之间 的关系） y B1(0,b)
A1
o B2(0,-b)
A2 x
方 程
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
⑵求下列椭圆的长轴长、短轴长、 离心率、焦点和顶点坐标
①x2＋4y2＝16； 长轴长2a=8,短轴长2b=4,
3 e , F1 (2 3,0), F2 (2 3,0) 2
顶点A1(－4,0),A2(4,0),B1(0,-2),B2(0,2)
② 9x2＋y2＝81 长轴长2a=18,短轴长2b=6,
[2]离心率对椭圆形状的影响： e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆 就越扁;
e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆 就越圆. 思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？
c [3]e与a,b的关系: e a
a b b 1 a a
2 2 2
y
O
x
保持长半轴长a不变, 改变椭圆的半焦距c,
图2.2 10
c = 1.50 a = 1.81 c = 0.83 a
例3 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且椭 圆过点(-2，-4) ，求椭圆的标准方程。
解： 2a 2 2b a 2b
2 y 当焦点在 x轴上时，设椭圆方程为 x 2 2 1 ， 4b b 椭圆过点(2 ， 4) 2
小结一：基本元素
（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量） （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 请考虑：基本量之间、 基本点之间、基本线之 间以及它们相互之间的 关系（位置、数量之间 的关系） y B1(0,b)
A1
o B2(0,-b)
A2 x
方 程
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
⑵求下列椭圆的长轴长、短轴长、 离心率、焦点和顶点坐标
①x2＋4y2＝16； 长轴长2a=8,短轴长2b=4,
3 e , F1 (2 3,0), F2 (2 3,0) 2
顶点A1(－4,0),A2(4,0),B1(0,-2),B2(0,2)
② 9x2＋y2＝81 长轴长2a=18,短轴长2b=6,
[2]离心率对椭圆形状的影响： e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆 就越扁;
e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆 就越圆. 思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？
c [3]e与a,b的关系: e a
a b b 1 a a
2 2 2
y
O
x
保持长半轴长a不变, 改变椭圆的半焦距c,
图2.2 10
c = 1.50 a = 1.81 c = 0.83 a
2.2.2 椭圆的简单几何性质 2
2 a 20 e b
2
20 ，离心率是
3 5
，
a 10 3 5 c
2
c a
2
c 6 10
2
a
6
2
8
2
2 2
b 8
当焦点在 x 轴时，椭圆的标准方程是
x
y
1
当焦点在 y 轴时，椭圆的标准方程是
100 2 y
64 2 x
1
100
64
焦点坐标
半轴长 离心率
a, b, c 的关系
( c , 0 )、( c , 0 )
长半轴长为 短半轴长为
e c a
( 0 , c )、( 0 , c )
同左 同左 同左
a, b, (a b 0)
( 0 e 1)
a2=b2+c2
练习6.已知椭圆方程为 6 x y 6 则
y b
2 2
1( a b 0 )
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 如何从方程来分析这些对称性呢？ （1）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称； （2）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 椭圆 关于原点成中心对称。
P 2 ( x, y)
*顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。 这四个顶点的坐标是什么？
A1 ( a , 0 )、A B 1 ( 0 , b )、B
2 2
y
B2
A1
b
a
A2
( a ,0 ) (0, b )
o
B1
c
x
*长轴、短轴：线段A1A2、
2
20 ，离心率是
3 5
，
a 10 3 5 c
2
c a
2
c 6 10
2
a
6
2
8
2
2 2
b 8
当焦点在 x 轴时，椭圆的标准方程是
x
y
1
当焦点在 y 轴时，椭圆的标准方程是
100 2 y
64 2 x
1
100
64
焦点坐标
半轴长 离心率
a, b, c 的关系
( c , 0 )、( c , 0 )
长半轴长为 短半轴长为
e c a
( 0 , c )、( 0 , c )
同左 同左 同左
a, b, (a b 0)
( 0 e 1)
a2=b2+c2
练习6.已知椭圆方程为 6 x y 6 则
y b
2 2
1( a b 0 )
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 如何从方程来分析这些对称性呢？ （1）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称； （2）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 椭圆 关于原点成中心对称。
P 2 ( x, y)
*顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。 这四个顶点的坐标是什么？
A1 ( a , 0 )、A B 1 ( 0 , b )、B
2 2
y
B2
A1
b
a
A2
( a ,0 ) (0, b )
o
B1
c
x
*长轴、短轴：线段A1A2、
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)
>0 =0 <0
解：联立方程组 x ⋅ x = − 1 1 1 2 5 y = x − 消去 消去y 2 2 5x − 4x −1 = 0 ----- (1) x2+4y2=2 有两个根， 因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根， ，所以方程（ 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交. 则原方程组有两组解 所以该直线与椭圆相交
42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考 观察图形,数形结合思考.
d=
4 x0 − 5 y0 + 40
=
4 x0 − 5 y0 + 40 41
且
x0 2 25
+
y0 2 9
=1
几何画板显示图形 几何画板显示图形
x2 y2 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x − 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 解:设直线 m 平行于直线 l，则 m l 直线 m 的方程可写成 4 x − 5 y + k = 0
1 已知直线y=x- 与椭圆 2+4y2=2，判断它们4 与椭圆x 例2.已知直线 已知直线 ， x1 + x2 = 2 5 由韦达定理 的位置关系。 的位置关系。
1 1 7 变式1：交点坐标是什么？ 变式 ：交点坐标是什么？ A(1, ), B(− , − ) 2 5 10 6 变式2：相交所得的弦的弦长是多少？ 变式 ：相交所得的弦的弦长是多少？ | AB |= 5 5
2.2.2椭圆的简单几何性质课件人教新课标2
3
即2x+3y-12=0，选B.
(2)①设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b=4，由 a2 b2 3，
a
2
解得a=4，b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1.
16 4
16 4
②设直线l的方程为y=x+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3
3
从而y中=x中+1= 2 1 1，
33
所以中点坐标为 ( 2 , 1).
33
【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 y 1 x 1 截得的弦长为
2
____________.
x2 4y2 16,
【解析】由
y
1 x 1, 2
消去y并化简得x2+2x-6=0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
1.
12
4
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：1x22
y2 4
1
得：
x12 y12 1,
①
12 4
x22
y
2 2
1,
②
12 4
用①减去②得：x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 ,
类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中
点，那么这弦所在的直线方程为( )
A.3x+2y-12=0
即2x+3y-12=0，选B.
(2)①设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b=4，由 a2 b2 3，
a
2
解得a=4，b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1.
16 4
16 4
②设直线l的方程为y=x+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3
3
从而y中=x中+1= 2 1 1，
33
所以中点坐标为 ( 2 , 1).
33
【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 y 1 x 1 截得的弦长为
2
____________.
x2 4y2 16,
【解析】由
y
1 x 1, 2
消去y并化简得x2+2x-6=0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
1.
12
4
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：1x22
y2 4
1
得：
x12 y12 1,
①
12 4
x22
y
2 2
1,
②
12 4
用①减去②得：x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 ,
类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中
点，那么这弦所在的直线方程为( )
A.3x+2y-12=0
2.2.2椭圆简单几何性质(最全)
y
x2 +y2 =1(a>b>0) a2 b2
令x=0,得y=？说明椭圆 A1(-a,0)
B1(0,b)
o
A2(a,0x)
与y轴的交点为(0,b)、(0,-b)
B2(0,-b)
令y=0,得x=？说明椭圆
与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)
三、椭圆的顶点
y
B1(0,b)
长轴、短轴：线段A1A2、
B1B2分别叫做椭圆的长 轴和短轴。
(A) x2 4y
(B) x22xyy0
(C) x2 4y2 5x
(D) 9x2 y2 4
2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 e 2 ，长轴长为6， 3
则椭圆的方程 为（ C ）
(A)
x2 y2 1
36 20
(B)
x2 y2 1
95
(C)
x2 y2 1 或 95
y2 x2 1
95
(D)
y2 x2 1 或
x2 y2 1
36 20
36 20
28
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解： 若焦点在x轴上，设椭圆方程为:
x2 +y2 =1(a>b>0)， a2 b2
依题意有：
a 1
6
2b 1
a 2 b 2
1
得 ：a b
2 5 5
故 椭 圆 方 程 为:x2 +y2 =1. 20 5
8
练习：1.已知点P(3，6)在
x2 a2
y2 b2
1
上,则(
)
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上
(B) 点(3,-6)不在椭圆上
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离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭
圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，e c a
a2 b2 a2
3.椭圆中a,b,c的关系是:
c2=a2-b2
观察:椭圆
一、范围
x2 a2 1,
y2 b2
1得：
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
a F2
B1
二、对称性
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
Y
关于y轴对称
P2（-x，y）
y B2(0,b)
*长轴、短轴：线段 A1A2、B1B2分别叫做椭
A1(a,0)
圆的长轴和短轴。
o
A2(a,0) x
a、b分别叫做椭圆的长 半轴长和短半轴长。
B1(0,-b)
问题：圆的形状都是相同的，而椭圆却有些
比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的 量来刻画椭圆“扁”的程度呢？
四、椭圆的离心率
∴当 x0 2 时, PF 取得最大值为1 2
例6．点 M x, y 与定点F 4, 0 的距离和它到直线 y
l : x 25 的距离的比是常数 4 ,求点M的轨迹 .
Md H
4
5
O
解.设d是点M到直线l : x 25的距离,根据题意,
Fx
点M的轨迹就是集合
P
4
M
| | MF d
|
k 8 9
2
x 解：当椭圆的焦点在 轴上时，
a2 k 8 ，b2 9 ，得 c2 k 1．
由
e
1 2
，得：k
4
当椭圆的焦点在 y 轴上时，
a2 9 ，b2 k 8 ，得c2 1 k ．
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
∴满足条件的
94
k 4 或k
5
4
．
4
巩固练习： x2 y2 1. 若点P（x，y）在椭圆 25 9 1
y
图形
方程 范围
y M
F1 M
F1 O
F2
x
O
x
F2
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
x2 b2
y2 a2
1
a b 0
-a x a， -b y b -b x b ，-a y a
对称性 焦点 顶点 离心率
关于x轴、y轴、原点对称
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
(a,0)、(0,b)
e
1
b2 a2
小结一：基本元素
1.基本量：a、b、c、e、（共四个量）
2.基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）
3.基本线：对称轴（共两条线）
请考虑：基本量之间、
基本点之间、基本线之
间以及它们相互之间的 关系（位置、数量之间
A1
的关系）
y B2(0,b)
o
A2 x
B1(0,-b)
一定个框义，四个点|M，F1注|+|意M光F2滑|=2和a 圆(2a扁>|，F1莫F2忘|) 对称要体现
例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长等于20，离心率等于 3．
5
（2）经过点P(-3,0)、Q(0,-2)； （3）长轴长是短轴长的3倍,且过（3，0）
变式：长轴是短轴的3倍,且过（3，-1）
专题:
求椭圆的离心率
例1.已知椭圆的焦距长、短轴长和长轴长成等差数列， 求椭圆的离心率。
距离为 b ，则椭圆的离心率e= _______
.
7
例4.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
的左、右焦点分别是F1、
F2，若椭圆上存在一点P，使得 F1PF2 120 ，
求椭圆的离心率取值范围。
例 5. 焦点 F(1，0)到椭圆 x2 y2 1 上的点的 2
最大距离是 1 2.
解:设
复习：
1.椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大
于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在x轴上时
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
当焦点在y轴上时
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
点和焦点坐标
小结：
1.知识小结：
（1） 学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离 心率等概念及其几何意义。
（2） 研究了椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系
2.数学思想方法：
（1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。
（2）分类讨论的数学思想
y
B
反射镜面
E
解 建立图2.1 11所示
O
A
F1
F2
x
的直角坐标系, 设所求椭
D
圆方程为ax22
y2 b2
1.
在RtBF1F2 中,
C
透明窗
图2.1 11
| F2B | | F1B |2 | F1F2 |2 2.82 4.52 .
由椭圆的性质知,| F1B | | F2B | 2a,所以
c
a
(b,0)、(0,a)
例1.已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是：__1_0__。短轴长是：3___8___ 。
焦距是：__6___ 。 离心率等于： __5_____
。
焦点坐标是：_(__3_, 0_)__。顶点坐标是：(__5_, _0)_(_0_, 4)
外切矩形的面积等于：____8_0___ 。
的曲面)的一部分.过对
C
O
F2
x
D
透明窗
称轴的截口BAC是椭圆的一部分, 灯丝位于椭圆
一个焦点 F1上,片门位于另一个焦点 F2上.由椭圆 一个焦点 F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后 集中到另一个焦点 F2.已知 BC F1F2 ,| F1B | 2.8 cm,| F1F2 | 4.5cm,, 求截口BAC 所在的椭圆方程.
P ( x0,
y0 ) 椭圆
x2 2
y2
1 上的任一点,
则
x02 2
y02
1,
∵ PF
( x0 1)2 y02
( x0
1)2
1
x02 2
取任一点来 分析,试求距
离的函数表
=
x02 2
2 x0
2
=
x02 4x0 4 = x0 2
2
2
达式,转化为 求函数最值 问题.
∵ 2 ≤ x0 ≤ 2
例2.从椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
上一点P向x轴做垂线，
垂足恰为右焦点F2，A是椭圆与x轴负半轴的交点，B是
椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP（O为坐标原点）
求椭圆的离心率。
例3.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
的左焦点
F1(c, 0),
A(a, 0), B(0,b) 是两个顶点，如果 F1 到直线AB的
a
1 2 (|
F1B | | F2B |)
1 2
2.8
2.82 4.52 4.1;
B
A
F1
C
y
反射镜面
E
O
F2
x
D
透明窗
图2.1 11
b a2 c2 4.12 2.252 3.4.
所以, 所求的椭圆方程为4x.12 2
y2 3.42
1.
思考：
已知椭圆 x2 y2 1的离心率 e 1 ，求k 的值
4 5
.
图2.1 12
l
由此得
x 42 y2 4
25
5.
4 x
将上式两边平方,并化简,得 9x2 25 y2 225, 即 x2 y2 1. 25 9
所以,点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆
例7. 如图2.111,一种 电影放映灯泡的反射镜
y
B
反射镜面
E
是旋转椭圆面 (椭圆绕 A F1 其对称轴旋转一周形成
P（x，y）
关于原点对称
O P3（-x，-y）
X
P1（x，-y）
关于x轴对称
三、椭圆的顶点
在 x2 a2
y2 b2
1(a
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与
b 0)中，
y轴的交点（ 0, ±b
），
令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（ ±a, 0）。
*顶点：椭圆与它的对称
轴的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
上，则点P（x，y）横坐标x的取值范围 ？
2.若点P（2，4）在椭圆 上的点有
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 上，下列是椭圆
（1）P（-2，4） （2）P（-4，2）
（3） P（-2，-4） （4）P（2，-4）
3. 中心在原点，焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别为8和6 的椭圆方程为 ？
4.说出椭圆 4x2 y2 16 的长轴长，短轴长，顶