图形的全等-
华师大版七年级数学下册《图形的全等》教案
《图形的全等》教案【教学目标】知识与技能：理解全等图形的概念，认识全等图形在通过一系列变换之后两个图形能够完全重合．过程与方法：经历探究图形全等的过程，掌握全等图形（多边形、三角形）的特征．情感态度与价值观：以积极的态度进行合作学习，形成良好的几何认知，体会全等图形的实际应用价值．【重点、难点、关键】重点：认识图形的全等，领会其特征．难点：对全等图形的识别．关键：以观察、实践的思想意识来探索几何图形，认知图形特征．【教学准备】教师准备：投影片、直尺、图片．学生准备：寻找一些全等图形的生活图片．【教学过程】一、创设情境投影显示观察图（1～2）所示的两组图形：你能得到什么结论呢？(1)(2)教师活动：操作投影，引导学生认真进行观察．学生活动：观察投影片，在教师的引导下认识图形．在第一组实物图形中，四枚邮票是形状、大小都相等，图案大小相同；两面五星红旗也有此特征；铁栅栏中的大小“S”分别是大小、形状都相同．•第二组几何图形中的两个小圆，两个小“L”形，两个三角形形状、大小都一样，•也就是说通过翻折、平移和旋转变换，几个图形会完全叠合在一起．教师定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．媒体使用：教师把收集来的全等图形以及学生收集来的全等图形通过投影仪（实物）让学生欣赏，识别，加深概念．（也可以直接拿给学生看）二、阅读与思考1．阅读课本P85第1～12行内容．评析：目的是让学生通过观察，对图形全等有感性认识．2．思考课本P85问题．观察课本图15．4．2中的两对多边形，其中的一个可以经过怎样的变换和另一个图形重合？教师活动：引导学生分析两对多边形，让学生明确它们都是全等图形，称为全等多边形，讲明对应顶点、对应边、对应角的概念．3．议一议：（1）你能说出生活中全等图形的例子吗？（2）观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？（3）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同吗？评析：使学生认识全等图形的特征，按照是否重合可以判断出这两组图形都不全等，进一步让学生发现图（a）中的两个图形形状相同，•但大小不同；••图（b）中的两个图形面积相同，但形状不同．三、继续探究1．引入全等图形的表示法：如课本图15．4．3这两个图形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A′B′C′D′E′，符号“≌”表示全等，读作“全等于”，点A与A′，点B与B′，点C与C′，点D•与D′，点E与E′分别是对应提出．教师活动：介绍全等多边形，引入全等多边形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等．这一全等多边形特征．再进一步说明识别两个多边形全等的方法是，对应边、对应角分别相等的两个多边形全等．学生活动：观察，接受全等多边形的性质与判定，并进行理解．教师活动：操作投影仪显示课本图15．4．4，介绍特殊多边形──三角形，指出全等三角形的对应边、对应角分别相等，反之可做为判断两个三角形全等的条件．学生活动：观察从一般到特殊，突出三角形全等性质和判别．四、随堂练习课本P87练习．探研时空．1．做一做：沿着图中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等的图形（至少找出两种方法）参考答案：2．你能把右边的这个平行四边形分成两个全等的图形吗？•能分成四个全等的图形吗？参考答案：五、课堂总结1．什么叫做全等图形？2．你将采用什么方法识别两个图形是全等的？3．全等三角形具有哪些性质？你是怎样识别两个三角形全等的？4．这节课对你认知平移、旋转有何帮助？六、布置作业1．课本P87习题15．4第1，2题．2．选用课时作业设计．七、课后反思（略）课时作业设计1．如图所示，做四个全等的小“L”型纸片，将它们拼成与大“L”型全等的图案．2．如图（a～l）所示，下面图形中有哪些是全等的？3．如图所示，观察下面图案，你能发现其中的全等图形吗？4．在图（a～b）中找出两对全等的三角形，并指出其中的对应角和对应边．5．找出七巧板拼成的图案中的全等三角形．6．如图所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC•各内角的度数．7．如图所示，是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？•你能把它分成三个、四个全等的三角形吗？8．如图所示，△AOD≌△BOC，写出其中相等的角．9．如图所示，△ABC≌△A′B′C′，∠C=25°，BC=6cm，AC=4cm，你能得出△A′B′C′中哪些角的大小，哪些边的长度？10．如图所示，一栅栏顶部是由全等的三角形组成的，其中，AC=0．2m，BC=2AC，求BD的长．参考答案1．2．a与h，b与l，d与i，e与k 3～5．略6．∠AEC=30°∠EAC=65°∠ECA=85°7．8．∠D=∠C ∠A=∠B ∠DOA=∠COB9．∠C′=25° B′C′=6cm •A′C′=4cm 10．BD=7BC=14AC=2.8m。
证明图形的全等
证明图形的全等全等是几何学中常用的概念，用来描述两个图形在形状和大小上完全相同的情况。
两个全等的图形是可以重合在一起的，它们的所有对应的边和角均相等。
在本文中，我们将从几何学的角度探讨如何证明图形的全等。
一、全等的基本定义在证明图形的全等之前，我们首先要了解全等的基本定义。
两个图形全等的条件是：1. 边对应相等：两个图形的对应边的长度相等。
2. 角对应相等：两个图形对应的角的大小相等。
3. 边角对应相等：如果两个图形的一对对应边和夹角相等，则其余对应边和对应角也相等。
基于这个定义，我们可以利用这些条件来证明图形的全等。
二、证明图形的全等的方法1. SSS（边边边）法：SSS法是指通过证明两个图形的三条边相等来证明它们全等。
具体步骤如下：（1）证明两个图形的对应边相等。
（2）利用等值关系，证明两个图形的其他对应边相等。
（3）根据全等的基本定义，可以得出两个图形全等。
举例来说，如果我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，我们可以依次证明AB=DE, AC=DF和BC=EF。
如果这三个条件都成立，那么根据SSS法则可以推断出两个三角形全等。
2. SAS（边角边）法：SAS法是指通过证明两个图形的两条边和夹角相等来证明它们全等。
具体步骤如下：（1）证明两个图形的对应边相等。
（2）证明两个图形的夹角相等。
（3）利用等值关系，证明两个图形的其他对应边相等。
（4）根据全等的基本定义，可以得出两个图形全等。
举例来说，如果我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，我们可以依次证明AB=DE, ∠A=∠D和BC=EF。
如果这三个条件都成立，那么根据SAS法则可以推断出两个三角形全等。
3. ASA（角边角）法：ASA法是指通过证明两个图形的两个角和一条边相等来证明它们全等。
具体步骤如下：（1）证明两个图形的夹角相等。
（2）证明两个图形的边相等。
（3）利用等值关系，证明两个图形的其他对应边相等。
（4）根据全等的基本定义，可以得出两个图形全等。
图形的全等
如果两个三角形的三条对应边相等，那么这两个三角形全等。例如，已知三 角形ABC和三角形DEF中，AB=DE，BC=EF，CA=FD，那么这两个三角形 全等。
边角边（SAS）
如果两个三角形的两条对应边相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三 角形全等。例如，已知三角形ABC和三角形DEF中，AB=DE，BC=EF， <B=<E，那么这两个三角形全等。
06
全等的应用举例
在几何中的应用举例
1
证明两个三角形全等可以解决许多几何问四边形的对应 角相等。
3
两个圆全等可以确定圆心之间的距离相等。
在设计中的应用举例
建筑设计中需要使用全等图形来保持建筑的比例和对称性。
在服装设计中，全等图形可以用于制作图案和拼接不同材料 。
02
判别方法
几何证明法
根据定义
通过全等三角形的定义，即两个三角形的三组对应边分别相等，且三组对应边的 夹角也分别相等，来判断两个三角形全等。
按照边角关系
利用三角形中边与角的关系来判断三角形是否全等。如果两个三角形的两边及其 夹角对应相等，或三个对应角相等，则可以判断这两个三角形全等。
量证明法
利用勾股定理的逆定理
04
练习题
选择题
01
02
03
总结词1
在下列四个图形中，哪些 是全等的？
总结词2
下面哪两个图形经过平移 、旋转或翻折后可以完全 重合？
总结词3
下列哪两个图形可以通过 旋转而相互得到？
解答题
1 2
总结词1
请说明如何在平面上，通过平移、旋转或翻折 一个图形，使其与另一个图形完全重合。
总结词2
对于给定的两个全等图形，如何通过平移、旋 转或翻折得到它们之间的相互关系？
图形的全等教学设计
第四章三角形2图形的全等一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经学习并理解了一些图形，大多是通过直观感知、操作确认得到的，此局部的学习让学生通过观察，对图形全等有一个感性的理解。
作为本章第二节课，教科书紧紧抓住学习内容与生活的联系，从学生熟悉的、感兴趣的国旗等这些实物图片与学生熟悉的几何图片的大小、形状切入课题来研究图形的全等，使学生对图形全等有一个感性的理解，知识容量、思维难度不是很大，同时以学生感兴趣的教学活动为主线，从而促动了知识和思维的发展。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些理解图形的活动。
解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历观察图形的活动，具有了一定的图形分析水平，具备了一定的合作与交流的水平。
二、教学任务分析教科书通过实例让学生理解图形全等的概念和特征，并能识别图形的全等，及全等三角形的相关性质。
日常生活中，学生接触图形全等的例子很多，如数学课本的封面、光盘的表面、名片等，教学中要充分让学生列举生活中的例子，并试着用一个名词概括这些例子，由此体验数学概念由具表达象抽象出来的过程，体验数学术语表达的精练、简洁。
为此，本节课的教学目标是：1、知识与技能：借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程，理解图形全等的意义和全等三角形的定义，理解图形全等的特征和全等三角形的性质。
2、过程与方法：经历“我实践，我发现”，“几何常识我知道”，“实践问题我创造”的教学活动由此“感悟图形的全等——应用图形的全等——创造图形的全等”，带动知识发生、发展的全过程。
3、情感与态度：学生观察生活中变化的图片信息，并愿意谈论图形的特征，在实践反思中敢于发表自己的观点，树立实事求是的科学态度。
其次学生积极参与图形全等的探究过程，从中体味合作与成功的快乐，建立学习好数学的自信心，体会图形全等在现实生活中的应用价值。
三、教学过程设计分析：本节课设计了六个教学环节：第一环节：理解全等图形；第二环节：观察图形得出全等图形；第三环节：探索全等三角形；第四环节：练习提升；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业欣赏图片。
图形的全等
解：∵ △ABC≌△DEF （已知） ∴AC=DF。(全等三角形的对应边相等） ∵△ABC的周长是40cm, AB=10cm,BC=16cm, （已知） ∴ AC=40-10-16=14（cm）， A ∴ DF=14cm。 B C E
D
F
例1：已知CBO ADO, CBO的周长为40cm, BC 16cm, BO 15cm, 求ADO中边AO的长；
解：
由图形平移的特征，可知△ABC与 △DEF的形状和大小相同，即： △ABC ≌△DEF ∴ ∠D=∠A=80 ° 同理∠DEF= ∠B=60 °. 又∵ ∠D+∠DEF+∠F=180° ∴ ∠F=180 °- ∠D-∠DEF =40° A D
B
E
C
F
考考你：已知△ABC≌△DEF， △ ABC的周长是 40cm, AB=10cm,BC=16cm,求DF的长度。
变式： 如图所示，△ABC≌△DEF,试着证明 A （1）AB//ED （2）BF=EC
B C F E
D
证明： （ 1） ABC DEF
B E 全等三角形对应角相等 BC EF 全等三角形对应边相等
又 BF BC FC, 且CE EF FC, BF EC
点D和点D1，点E和点E1
D
C
D1
C1
对应边：边AB和边A1 B1，边BC和边B1C1，边CD和边C1 D1，
边DE和边D1 E1，边EA和边E1 A1
对应角： A和A1，B和B1，C和C1，
D和D1，E和E1
全等多边形的表示
A
“全等”符号：“≌”
B
A1 B1
E
E1
D
图形的全等
三、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
∵△ABC≌ △A‘B’C‘ ≌ ‘ ’ ‘ ∴ AB=A’B‘, BC=B’C‘, AC=A’C‘ ’ ‘ ’ ‘ ’ ‘
互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的顶点叫做对应顶点. 对应顶点 对应边. 互相重合的边叫做对应边 互相重合的边叫做对应边 互相重合的顶点角叫做对应角 互相重合的顶点角叫做对应角
二、全等三角形表示法
全等符号： 全等符号： “ ≌ ” △ABC ≌ △ 对应顶点： 对应顶点： 对应边： 对应边： AB和A’B’、BC和B’C’、AC和 和 ’ ’ 和 ’ ’ 和
(全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应边相等) 全等三角形的对应边相等
∴ ∠ A= ∠ A’, ∠ B= ∠B‘ , ’ ‘ ∠ C= ∠C’ ’
(全等三角形的对应角相等 全等三角形的对应角相等) 全等三角形的对应角相等
四、在找全等三角形的对应元素时一般 有什么规律 规律？ 有什么规律？
A B D A D C B C
24.1
图形的全等
回忆： 回忆：举出现实生活中能够完全重合的 图形的例子? 图形的例子? 同一张底片洗出的同大小照片是 能够完全重合的; 能够完全重合的;
能够完全重合的两个图形叫做全等图形 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等图形
定义： 一、定义： 全 等 三 角 形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
4.2 图形的全等
√
）
（4）一个图形通过平移、旋转、翻折得到的图形 与原图形全等 -------------（ √ ） （5）边数相同的图形一定能互相重合---（
（6）所有的圆都是全等图形---------------（
× ×
）
）
图中共有多少对全等图形？分别是哪些？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
D
一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边. 一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.
你能将一个等边三角形分
成两个全等三角形吗？
能把它分成三个,四个 全等三角形吗？
你能将一个等边三角形分
成两个全等三角形吗？
能把它分成三个,四个 全等三角形吗？
你能将一个等边三角形分
成两个全等三角形吗？
能把它分成三个,四个 全等三角形吗？
能够完全重合即可．完全重合包含两层含义：图形的
形状相同、大小相同； (2)全等图形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等 的两个图形不一定是全等图形． 3.几种常用的全等变换方式：平移、翻折、旋转．
①和⑨、②和③、④和⑧、⑪和⑫ 例 下图中是全等图形的是_________________________________ ．
（3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边， 最小的边是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角，
最小的角是对应角；
说一说：
说说你生活中见过的全等图形的例子。
议一议：
观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？ 形状 相同
大小 相同
观察下列各组图形是不是全等图形?为什么?
4.2图形的全等
B A D
B
C
E
D
C
3、下列两个三角形是怎 样由一个三角形得到另一个 三角形？它们有什么特点？
D
B
C
一个三角形经过平移、旋转、翻折后 所得到的三角形与原三角形全等。
你能总结出哪些图形变换可以判定两个三角形全等吗？
平移
D M S
A
O
B C E
F
A C N T
翻折
旋转
B
O D
结论：一个三角形经过平移、翻折、旋转等变 换，变换后三角形与原三角形是全等三角形。
4.2 图形的全等
九江三中 詹丽萍
埃舍尔，荷兰科学思维 版画大师，20世纪画坛中伟 大的艺术家。在1956年举办 的艺次画展，得到了众多数 学家的赞赏。 埃舍尔的作品以平面镶 嵌、不可能的结构、悖论、 循环等为特点，数学的原则 和思想在他的作品中得到了 非同寻常的形象化。
欣赏 埃舍尔 艺术作品
下列各组图形能够完全重合吗？
∠D、 ___ ∠C ∠A、∠F的对应角分别是___
全等三角形的对应元素： A
A1
B
C
B1
C1
对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1， 对应边：AB和A1B1，AC 和A1C1，BC 和 B1C1 对应角：∠A和 ∠A1， ∠B 和 ∠B1， ∠C和∠C1
A
“全等”符号“≌”， 读作“全等于”
C1
对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1， 对应边：AB = A1B1，AC = A1C1，BC = B1C1 对应角：∠A = ∠A1， ∠B = ∠B1，∠C = ∠C1
例题讲解，掌握新知
A D
1、如图△ABC≌△DCB， 指出所有的对应边与对应角。
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定义
两个能够重合的图形称为全等图形
说 生 活 中 的 例 子
你能说出生活中
？ 全等图形的例子吗
你能在电脑上举例演示 什么是全等图形吗？
练习1：
• 今天你生日，你 会怎样切你的蛋 糕，均匀的平分 给3个人吃？
• 分给4个呢？ • 分给5个呢？
？
Байду номын сангаас
练习1：
你能把圆分成3个、4个、5个全等 的图形吗？
课 题
图形的全等
做一做 引
入 做 一 做
？ 1、你能剪出1对一模一样的图形吗
？ 2、你能画出2个一模一样的图形吗
你能找出叠在一起完全重合的图形吗？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
？ 什么是全等图形
奇光，他抓住奇光秀丽地一摇，一件黑晶晶、光溜溜的咒符『银丝锤佛铁饼咒』便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边变形，一边发出“嘀嘀”的余响……猛然间Ｉ．提瓜
（1） （3）
（2） （4）
小结
两个能够重合的图形称为全 等图形
全等只与形状和大小有关， 同位置无关
作业
P131 习题5.5： 1、2、3
拉茨局长疯鬼般地用自己天青色闪电一般的眉毛改革出浅绿色帅气奇闪的柱子，只见他钢灰色路灯造型的美辫中，酷酷地飞出四簇颤舞着『白宝酒鬼背带卡』的仙翅枕头剑状
的水管，随着Ｉ．提瓜拉茨局长的扭动，仙； led lights ；翅枕头剑状的水管像豆荚一样在双脚上潇洒地点击出团团光树……紧接着Ｉ ．提瓜拉茨局长又发出八声海明色的美丽怒嚷，只见他凸凹的身材中，飘然射出四片冰雕状的旷野岩胆驴，随着Ｉ．提瓜拉茨局长的甩动，冰雕状的旷野岩胆驴像鼠标一样， 朝着双狐怪影人工树上面悬浮着的胶状体猛踢过去！紧跟着Ｉ．提瓜拉茨局长也颤耍着咒符像背带般的怪影一样向双狐怪影人工树上面悬浮着的胶状体猛踢过去…………随着 『银丝锤佛铁饼咒』的猛烈冲撞，五根狗尾草瞬间变成了由无数的欢快光点构成的片片亮青色的，很像烟盒般的，有着咒语秀雅质感的岩浆状物体。随着岩浆状物体的抖动旋 转……只见其间又闪出一片深黄色的乳胶状物体……接着Ｉ．提瓜拉茨局长又用自己天青色闪电一般的眉毛改革出浅绿色帅气奇闪的柱子，只见他钢灰色路灯造型的美辫中， 酷酷地飞出四簇颤舞着『白宝酒鬼背带卡』的仙翅枕头剑状的水管，随着Ｉ．提瓜拉茨局长的扭动，仙翅枕头剑状的水管像豆荚一样闪烁。接着他念动咒语：“石肘哗 嗄 ，烟盒哗 嗄，石肘烟盒哗 嗄……『银丝锤佛铁饼咒』！仙家！仙家！仙家！”只见Ｉ．提瓜拉茨局长的身影射出一片浅绿色粼光，这时东南方向猛然出现了五团厉声 尖叫的紫葡萄色光鳄，似金光一样直奔浅绿色灵光而来。……只听一声古怪虚幻的声音划过，六只很像骨圣鱼杆般的岩浆状的片片闪光物体中，突然同时窜出九串奇妙无比的 米黄色光丝，这些奇妙无比的米黄色光丝被霞一耍，立刻化作飘舞的云丝，不一会儿这些云丝就游动着飘向罕见异绳的上空，很快在四金砂地之上变成了轮廓分明的凸凹飘动 的摇钱树……这时，岩浆状的物体，也快速变成了铁砧模样的紫罗兰色旋转物开始缓缓下降，只见Ｉ．提瓜拉茨局长猛力一转飘逸的海蓝色轮椅一样的神态，缓缓下降的紫罗 兰色旋转物又被重新抖向重霄！就见那个隐约约、嘟噜噜的，很像磁盘模样的旋转物一边收缩狂跳，一边怪舞升华着旋转物的色泽和质感。蘑菇王子又用《七光海天镜》为自 己灵敏小巧的薄耳朵注入魔法：“爵士同学，这次的咒语要朦胧有趣一点，不要太残疾！不要太原始！。”知知爵士撇嘴道：“您这位
练习2：
在一个正方形的花园里，要怎样 修建小路才能使这些小路正好 把花园 分成4个全等的三角形？如果要分成8 个全等的三角形呢？
练习3：
（1）、你能把下边的矩形分成2个全等的三角
形吗？分成4个全等的三角形呢？
解答
思考： （2）
（2）、你能把下边的矩形分成2个全等的图形
吗？分成4个全等的图形呢？