图形的全等
证明图形的全等
证明图形的全等全等是几何学中常用的概念，用来描述两个图形在形状和大小上完全相同的情况。
两个全等的图形是可以重合在一起的，它们的所有对应的边和角均相等。
在本文中，我们将从几何学的角度探讨如何证明图形的全等。
一、全等的基本定义在证明图形的全等之前，我们首先要了解全等的基本定义。
两个图形全等的条件是：1. 边对应相等：两个图形的对应边的长度相等。
2. 角对应相等：两个图形对应的角的大小相等。
3. 边角对应相等：如果两个图形的一对对应边和夹角相等，则其余对应边和对应角也相等。
基于这个定义，我们可以利用这些条件来证明图形的全等。
二、证明图形的全等的方法1. SSS（边边边）法：SSS法是指通过证明两个图形的三条边相等来证明它们全等。
具体步骤如下：（1）证明两个图形的对应边相等。
（2）利用等值关系，证明两个图形的其他对应边相等。
（3）根据全等的基本定义，可以得出两个图形全等。
举例来说，如果我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，我们可以依次证明AB=DE, AC=DF和BC=EF。
如果这三个条件都成立，那么根据SSS法则可以推断出两个三角形全等。
2. SAS（边角边）法：SAS法是指通过证明两个图形的两条边和夹角相等来证明它们全等。
具体步骤如下：（1）证明两个图形的对应边相等。
（2）证明两个图形的夹角相等。
（3）利用等值关系，证明两个图形的其他对应边相等。
（4）根据全等的基本定义，可以得出两个图形全等。
举例来说，如果我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，我们可以依次证明AB=DE, ∠A=∠D和BC=EF。
如果这三个条件都成立，那么根据SAS法则可以推断出两个三角形全等。
3. ASA（角边角）法：ASA法是指通过证明两个图形的两个角和一条边相等来证明它们全等。
具体步骤如下：（1）证明两个图形的夹角相等。
（2）证明两个图形的边相等。
（3）利用等值关系，证明两个图形的其他对应边相等。
（4）根据全等的基本定义，可以得出两个图形全等。
图形的全等
如果两个三角形的三条对应边相等，那么这两个三角形全等。例如，已知三 角形ABC和三角形DEF中，AB=DE，BC=EF，CA=FD，那么这两个三角形 全等。
边角边（SAS）
如果两个三角形的两条对应边相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三 角形全等。例如，已知三角形ABC和三角形DEF中，AB=DE，BC=EF， <B=<E，那么这两个三角形全等。
06
全等的应用举例
在几何中的应用举例
1
证明两个三角形全等可以解决许多几何问四边形的对应 角相等。
3
两个圆全等可以确定圆心之间的距离相等。
在设计中的应用举例
建筑设计中需要使用全等图形来保持建筑的比例和对称性。
在服装设计中，全等图形可以用于制作图案和拼接不同材料 。
02
判别方法
几何证明法
根据定义
通过全等三角形的定义，即两个三角形的三组对应边分别相等，且三组对应边的 夹角也分别相等，来判断两个三角形全等。
按照边角关系
利用三角形中边与角的关系来判断三角形是否全等。如果两个三角形的两边及其 夹角对应相等，或三个对应角相等，则可以判断这两个三角形全等。
量证明法
利用勾股定理的逆定理
04
练习题
选择题
01
02
03
总结词1
在下列四个图形中，哪些 是全等的？
总结词2
下面哪两个图形经过平移 、旋转或翻折后可以完全 重合？
总结词3
下列哪两个图形可以通过 旋转而相互得到？
解答题
1 2
总结词1
请说明如何在平面上，通过平移、旋转或翻折 一个图形，使其与另一个图形完全重合。
总结词2
对于给定的两个全等图形，如何通过平移、旋 转或翻折得到它们之间的相互关系？
第20讲 图形的全等
第二十讲图形的全等考点综述：本部分内容是中考热点和重点之一。
它包括：全等三角形的性质和判定以、角平分线的性质以及利用尺规作三角形和角平分线。
全等三角形的性质和判定以填空题和解答题为主；角平分线的性质多结合其他知识一起考查。
中考课标要求考点精析考点1 全等图形（1）全等图形的概念和特征全等图形：能够完全重合的图形叫做全等图形。
全等图形的特征：两个图形全等，它们的形状和大小都相同。
（2）全等图形的识别方法①重叠法：能够完全重合的图形叫做全等图形。
②形状、大小完全相同的图形是全等图形。
考点2 全等三角形及其性质（1）全等三角形的有关概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。
“全等”用“≌”表示，读作“全等于”。
（2）全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等，周长相等，面积相等。
考点3 三角形全等的判定（1）一般三角形全等的判定①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简称“SAS”。
②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简称“ASA”。
③“角角边”定理：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简称“AAS”。
④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等，简称“SSS ”。
（2）直角三角形全等的判定①利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等；②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“HL”定理。
2008年中考试题汇编（部分）一、选择、填空题：（1）（四川成都）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）(A)∠B=∠E,BC=EF （B）BC=EF，AC=DF(C）∠A=∠D，∠B=∠E （D）∠A=∠D，BC=EF（2）(2008年南通市)已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.（3）（2008年遵义市）如图，，，，，则等于（）A．B．C．D．（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）（4）（2008年龙岩市）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．4B．3C．2D．（5）（山东滨州）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°。
图形的全等
三、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
∵△ABC≌ △A‘B’C‘ ≌ ‘ ’ ‘ ∴ AB=A’B‘, BC=B’C‘, AC=A’C‘ ’ ‘ ’ ‘ ’ ‘
互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的顶点叫做对应顶点. 对应顶点 对应边. 互相重合的边叫做对应边 互相重合的边叫做对应边 互相重合的顶点角叫做对应角 互相重合的顶点角叫做对应角
二、全等三角形表示法
全等符号： 全等符号： “ ≌ ” △ABC ≌ △ 对应顶点： 对应顶点： 对应边： 对应边： AB和A’B’、BC和B’C’、AC和 和 ’ ’ 和 ’ ’ 和
(全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应边相等) 全等三角形的对应边相等
∴ ∠ A= ∠ A’, ∠ B= ∠B‘ , ’ ‘ ∠ C= ∠C’ ’
(全等三角形的对应角相等 全等三角形的对应角相等) 全等三角形的对应角相等
四、在找全等三角形的对应元素时一般 有什么规律 规律？ 有什么规律？
A B D A D C B C
24.1
图形的全等
回忆： 回忆：举出现实生活中能够完全重合的 图形的例子? 图形的例子? 同一张底片洗出的同大小照片是 能够完全重合的; 能够完全重合的;
能够完全重合的两个图形叫做全等图形 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等图形
定义： 一、定义： 全 等 三 角 形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
《图形的全等》课件
2023《图形的全等》课件contents •知识导入•基础概念与定理•应用与实践•全等四边形的概念与性质•全等五边形的概念与性质•全等六边形的概念与性质目录01知识导入图形全等是指两个图形能够完全重合，即它们的形状和大小都相同。
定义全等是几何中一个非常重要的概念，在后续的学习中我们将学习如何判定两个图形是否全等以及如何进行图形的全等变换。
理解什么是图形的全等相似是指两个图形形状相同，但大小不一定相等。
全等与相似是两个不同的概念，虽然它们有一定的联系。
在全等变换中，可以将一个图形放大或缩小，但它的形状保持不变。
举例：正方形和其中心对称图形是全等的，但它们不是相似的。
图形的全等与相似的关系图形全等的证明方法通过证明两个图形的对应边相等，对应角相等来证明两个图形全等。
定义法判定定理举例注意通过证明两个图形满足 SSS、SAS、ASA、AAS 中的任意一个来证明两个图形全等。
在三角形全等的证明中，我们通常使用 SSS、SAS、ASA、AAS 中的任意一个进行证明。
在证明图形全等时，要注意对应边和对应角的位置和顺序，避免出现“张冠李戴”的情况。
02基础概念与定理全等形形状和大小都相同的图形称为全等形。
全等三角形如果有两个三角形全等，则它们的三组对应边分别相等，三个对应角也相等。
基础概念1图形的全等的定理23对于两个三角形，如果对应边相等、对应角相等，则这两个三角形全等。
定理1对于两个三角形，如果一个三角形的三边分别与另一个三角形的对应边成比例，且它们的夹角相等，则这两个三角形全等。
定理2对于两个三角形，如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的对应角，则这两个三角形全等。
定理3全等三角形的对应边相等。
性质1性质2性质3全等三角形的对应角相等。
全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应中垂线分别相等。
03全等三角形的性质020103应用与实践证明两个三角形全等运用全等三角形证明线段和角相等利用全等三角形进行测量的应用全等三角形的应用明确问题首先需要明确需要解决的问题是什么，并收集相关的已知条件。
4.2图形的全等
B A D
B
C
E
D
C
3、下列两个三角形是怎 样由一个三角形得到另一个 三角形？它们有什么特点？
D
B
C
一个三角形经过平移、旋转、翻折后 所得到的三角形与原三角形全等。
你能总结出哪些图形变换可以判定两个三角形全等吗？
平移
D M S
A
O
B C E
F
A C N T
翻折
旋转
B
O D
结论：一个三角形经过平移、翻折、旋转等变 换，变换后三角形与原三角形是全等三角形。
4.2 图形的全等
九江三中 詹丽萍
埃舍尔，荷兰科学思维 版画大师，20世纪画坛中伟 大的艺术家。在1956年举办 的艺次画展，得到了众多数 学家的赞赏。 埃舍尔的作品以平面镶 嵌、不可能的结构、悖论、 循环等为特点，数学的原则 和思想在他的作品中得到了 非同寻常的形象化。
欣赏 埃舍尔 艺术作品
下列各组图形能够完全重合吗？
∠D、 ___ ∠C ∠A、∠F的对应角分别是___
全等三角形的对应元素： A
A1
B
C
B1
C1
对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1， 对应边：AB和A1B1，AC 和A1C1，BC 和 B1C1 对应角：∠A和 ∠A1， ∠B 和 ∠B1， ∠C和∠C1
A
“全等”符号“≌”， 读作“全等于”
C1
对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1， 对应边：AB = A1B1，AC = A1C1，BC = B1C1 对应角：∠A = ∠A1， ∠B = ∠B1，∠C = ∠C1
例题讲解，掌握新知
A D
1、如图△ABC≌△DCB， 指出所有的对应边与对应角。
图形的全等
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MathWorld
这个网站提供了大量关于全等图形的资料和例题，同时还提 供了其他数学知识的讲解和练习题，是一个非常全面的数学 学习网站。
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应关系。
忽略全等定义
03
在证明全等图形时，要根据全等图形的定义进行证明，不能忽
略基本概念。
04
全等图形的应用
在几何学中的应用
证明几何命题
全等图形可以用于证明几何命题，例如平行、垂直、等角等命题 。
确定点的位置
通过全等图形可以确定点的位置，进一步确定图形的形状和大小 。
计算面积和周长
全等图形的形状和大小是相同的，因此可以通过计算一个图形的 面积和周长来得到另一个图形的面积和周长。
全等图形的形状完全相同，即它们 的形状和大小都是相同的。
大小相等
全等图形的大小相等，即它们在平 面上占据的面积或体积是相等的。
对应边相等
全等图形的对应边相等，即每对相 对应的边长度是相等的。
对应角相等
全等图形的对应角相等，即每对相 对应的角大小是相等的。
全等图形的判定方法
定义法
边角边定理
两个图形的形状和大小完全相同，则它们全 等。
如果两个三角形的两边及其夹角分别相等， 则它们全等。
角边角定理
斜边直角边定理
如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等 ，则它们全等。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分 别相等，则它们全等。
4.2 图形的全等
知3－讲
解：因为Rt△ABC≌Rt△CDE， 所以∠BAC＝∠DCE. 又因为在Rt△ABC中，∠B＝90°， 所以∠ACB＋∠BAC＝90°.
所以∠ACB＋∠ECD＝90°.
所以∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠ECD) ＝180°－90°＝90°.
（来自《点拨》）
知3－讲
总
结
示大小相同．记两 个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应
的位置上，如点A和点D，点B和点E ，点C和点F是对应
顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和 ∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．
4.教你一招：对应元素的确定方法：
(1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对 应边、对应角，如△CAB≌△FDE，则AB与DE、AC与 DF、BC与EF是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C 和∠F是对应角；
（来自《点拨》）
知3－讲
例6 如图，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且
B，C，D三点在一条直线上，求∠ACE的度数．
要求∠ACE，只需求∠ACB、 导引： ∠ECD或∠ACB＋∠ECD即可． 由于∠ACB和∠ECD无法求出，
因此必须求∠ACB＋∠ECD.
由Rt△ABC≌Rt△CDE，可知∠BAC＝∠DCE， 结合直角三角形的两个锐角互余的性质，可求∠ACB 与∠ECD的度数和，再根据平角的定义可求∠ACE的 度数．
（来自《点拨》）
知3－练
1
若△ABC与△DEF全等，点A和点 E，点B和点D分
别是对应点，则下列结论错误的是(
A．BC＝EF C．∠C＝∠F 2 B．∠B＝∠D D．AC＝EF )
)
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A
“全等”符号： “ ≌”
D
B
C
E
F
通常把对应的 顶点字母写在 对应位置上
如上图：△ABC 与△DEF全等 则记作△ABC≌△DEF
仔细观察,再用全等符号表示下列两组 全等三角形.
A C O O
M
S
B
D N T
△AOB≌ △DOC △OAB≌ △ODC
△MON≌ △SOT
全等三角形的对应边相等，对应角相等。 A D
仅从△AMC≌△BMD能正确找出所有的对应元素吗？ 在图上又是怎样找对应元素的呢？
在图上找全等三角形的对应边
A B D C A C B F D
E
有公共边的，公共边是对应边. 一对最长的边是对应边，一对最短的边 是对应边.
在图上找全等三角形的对应角
C E
A
C
A
D B D
O
B
有公共角的，公共角是对应角. 有对顶角的，对顶角是对应角. 最大角与最大角（最小角与最小角） 为对应角。
沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个 全等图形（至少找出两种方法）
画法
A
D
B
C E
F
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
A
D
B
C
E
F
对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1，
对应边：AB和A1B1，AC 和A1C1，BC 和 B1C1
对应角:∠A
和 1，∠B ∠A
和∠B1，∠C 和 1 ∠C
B C E F 对应顶点：点A和点D，点B和点E，点C和点F， 对应边：AB和 DE，AC 和 DF，BC 和EF = = = 对应角：∠A和 = ∠D， ∠B 和 ， ∠C 和∠F = ∠E =
全等三角形性质：
A D
B
C E ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE、BC=EF、CA=FD ∠A=∠D、 ∠B=∠E、 ∠C=∠F
C E
A
D B
已知：如图1两三角形全等
1、请用数学符号表示出这种关系： ________________ 2、如果∠A=35°，∠D=75°， 那么∠COB=____
如图2，如果△ADE ≌ △CBF，那么AE∥CF吗？
A C
D
B
E
F
___ (口答“是”或“不是”)
现有两个全等的三角形纸板。请你 们摆出二者可能的位置关系，看哪 个小组摆的多。 A A1
1、什么是全等图形、全等三角形、全等三角形的 对应顶点、对应边、对应角? 2、表示三角形全等时应注意什么？ 3、识别全等三角形的对应边、对应角的关键是正确
识别它们的对应顶点。
4、注意在数学中常常通过平移、旋转或翻折这三种图形
变换方式，识别全等三角形。
思考：
面积相等的两个三角形是全等三角形吗？
返回
寻找对应边、对应角的方法
1. 在表达式上找：利用字母的对应位置来确定
对应边和对应角。
2．在图上找：特殊的边和特殊的角
3. 对应边所所示
练一练,我能行!
1、若△MNP≌△NMQ,且MN=8,NP=7,PM=6, 则MQ的长为______. 7
DC 2、如下图,△ADC≌△AEB,则EB=_____, ∠BEA AD CE AE=____,BD=____,∠CDA=_______.
④
⑤
d
e
全等图形的特征
全等图形的形状和大小都相同
1.下列说法正确的是（ C ） A.两个面积相等的图形一定是全等图形 B.两个等边三角形是全等图形 C.两个全等图形的面积一定相等 D.两个正方形一定是全等图形
考查知识点：全等图形的特征
2.对于两个全等图形,下列结论: (1)两个图形的周长相等; (2)两个图形的面积相等; (3)两个图形的周长和面积都相等; (4)两个图形的形状相同,面积相等 其中能成立的有（D） A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
C
B1
C1
如图,点B,C,E在同一直线上, 若△ABC≌△EFC,且CF=3cm,∠EFC=64° ,则BC=_____cm,∠B=_____. 3 64°
A
你还能求出哪些边的长度,
哪些角的度数?
F
B
C
E
C
练习
A
D
1
A C E
E
B
B
F D
1、如图，已知△ABD≌△ACE， 且∠1=45°,∠ADB=95°,则 ∠AEC= 95° ∠C= 50° . 2、如右图，已知△ABC≌△DFE， 且AC与DE是对应边，若BE=14CM， FC=4CM，则BC=9CM .
形状相同，大小也相同。
能够完全重合的两个图形叫 做全等图形
(1)
判断两个图形全等的 方法
方法一：根据图形的形 状和大小是否相同来进 行判定 方法二：把一个图形平 移、旋转或翻折，看它 是否与另一个图形重合。
A A D
(2)
(3)
C B
(4)
O
把全等图形用线连 起来：
① ② ③ a b c
F
全等三角形的对应边相等，对应角相等
判断题: ①全等三角形的对应边相等,对应角相等. (√ ) ②全等三角形的周长相等. (√) ③全等三角形的面积相等. (√) ④面积相等的三角形是全等三角形. ( × )
已知△AMC≌△BMD,请找出所 有对应顶点、对应边和对应 角。 说一说，你是怎样找这些对 应元素的？