1.6图形的全等
证明图形的全等
证明图形的全等全等是几何学中常用的概念，用来描述两个图形在形状和大小上完全相同的情况。
两个全等的图形是可以重合在一起的，它们的所有对应的边和角均相等。
在本文中，我们将从几何学的角度探讨如何证明图形的全等。
一、全等的基本定义在证明图形的全等之前，我们首先要了解全等的基本定义。
两个图形全等的条件是：1. 边对应相等：两个图形的对应边的长度相等。
2. 角对应相等：两个图形对应的角的大小相等。
3. 边角对应相等：如果两个图形的一对对应边和夹角相等，则其余对应边和对应角也相等。
基于这个定义，我们可以利用这些条件来证明图形的全等。
二、证明图形的全等的方法1. SSS（边边边）法：SSS法是指通过证明两个图形的三条边相等来证明它们全等。
具体步骤如下：（1）证明两个图形的对应边相等。
（2）利用等值关系，证明两个图形的其他对应边相等。
（3）根据全等的基本定义，可以得出两个图形全等。
举例来说，如果我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，我们可以依次证明AB=DE, AC=DF和BC=EF。
如果这三个条件都成立，那么根据SSS法则可以推断出两个三角形全等。
2. SAS（边角边）法：SAS法是指通过证明两个图形的两条边和夹角相等来证明它们全等。
具体步骤如下：（1）证明两个图形的对应边相等。
（2）证明两个图形的夹角相等。
（3）利用等值关系，证明两个图形的其他对应边相等。
（4）根据全等的基本定义，可以得出两个图形全等。
举例来说，如果我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，我们可以依次证明AB=DE, ∠A=∠D和BC=EF。
如果这三个条件都成立，那么根据SAS法则可以推断出两个三角形全等。
3. ASA（角边角）法：ASA法是指通过证明两个图形的两个角和一条边相等来证明它们全等。
具体步骤如下：（1）证明两个图形的夹角相等。
（2）证明两个图形的边相等。
（3）利用等值关系，证明两个图形的其他对应边相等。
（4）根据全等的基本定义，可以得出两个图形全等。
数学图形的详尽描述
数学图形的详尽描述一、平面几何图形1.1 点：在平面内，不具有长度、宽度和高度的简单几何形状。
1.2 直线：在平面内，两点之间连线的最短路径。
1.3 射线：在平面内，由一个起点出发，无限延伸的直线。
1.4 线段：在平面内，两个端点之间的直线部分。
1.5 角：由两条具有公共端点的射线组成的图形。
1.6 三角形：由三条边组成的平面图形。
1.7 四边形：由四条边组成的平面图形。
1.8 梯形：至少有一对平行边的四边形。
1.9 矩形：有四个直角的四边形。
1.10 正方形：既是矩形又是等边形的四边形。
1.11 圆：平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
1.12 椭圆：平面上所有与两个给定点（焦点）距离之和相等的点的集合。
二、立体几何图形2.1 体：具有长、宽、高三个维度的几何形状。
2.2 面：几何体表面或内部封闭的平面图形。
2.3 顶点：几何体的角上或交点处的点。
2.4 棱：连接几何体两个顶点的线段。
2.5 柱体：底面为圆形或矩形的立体图形，侧面为矩形或圆形。
2.6 球体：所有点与中心点距离相等的立体图形。
2.7 锥体：底面为圆形或其他多边形的立体图形，顶点在底面上方。
2.8 圆柱体：底面和顶面为相等圆形的柱体。
2.9 圆锥体：底面为圆形，顶点在底面中心的锥体。
2.10 棱柱：底面为多边形，侧面为矩形的立体图形。
2.11 棱锥：底面为多边形，顶点在底面之外的锥体。
三、图形的性质与判定3.1 对称性：图形关于某条直线、点或平面对称。
3.2 平行性：图形中的两条线段或直线在同一平面内，不相交。
3.3 垂直性：图形中的两条线段或直线相互垂直。
3.4 相等性：图形中的两条线段或两角相等。
3.5 相似性：图形的形状相同，但大小不同。
3.6 连通性：图形中的各个部分在空间中相互连接。
3.7 边界：图形外部与内部的分界线。
3.8 面积：图形所覆盖的平面区域的大小。
3.9 体积：几何体所占空间的大小。
3.10 弧长：圆上两点间的角度对应的圆弧长度。
6 探索全等三角形的条件(1)-边角边(SAS)(拓展提高)(解析版)
专题1.6 探索全等三角形的条件（1）-边角边（SAS ）（拓展提高）一、单选题1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB ，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ，若∠A ＝50°，则∠BDE 的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】A 【分析】先由直角三角形的性质得∠B ＝90°﹣∠A ＝40°，再证△CDE ≌△CDA （S A S ），得∠CED ＝∠A ＝50°，然后由三角形的外角性质即可得出答案．【详解】∵∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，∴∠B ＝90°﹣∠A ＝40°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ECD ＝∠ACD ，在△CDE 和△CDA 中，EC AC ECD ACD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△CDA （S A S ），∴∠CED ＝∠A ＝50°，又∵∠CED ＝∠B +∠BDE ，∴∠BDE ＝∠CED ﹣∠B ＝50°﹣40°＝10°，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．2．如图所示，AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，5AB =cm ，4=AD cm ，则边AC 的长度可能是（ ）A ．3cmB ．5cmC ．14cmD ．13cm【答案】B 【分析】延长AD 至M 使DM =AD ，连接CM ，根据SAS 得出≅ADB MDC ，得出AB =CM =4cm ，再根据三角形的三边关系得出AC 的范围，从而得出结论；【详解】解：延长AD 至M 使DM =AD ，连接CM ，∵AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，∴BD =CD ，∵∠ADB =∠CDM ,∴≅ADB MDC ，∴MC =AB =5cm ，AD =DM =4cm ，在AMC 中，3＜AC ＜13，故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出AC 长度的取值范围是解题的关键．3．如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒【答案】C 【分析】由已知可得△ABC ≌△ADE ，故有∠BAC =∠DAE ，由∠EAB =120°及∠CAD =10°可求得∠AFB 的度数，进而得∠GFD 的度数，在△FGD 中，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求得∠EGF 的度数．【详解】在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△ADE （SAS ）∴∠BAC =∠DAE∵∠EAB =∠BAC +∠DAE +∠CAD =120°∴∠BAC =∠DAE ()112010552=⨯︒-︒=︒ ∴∠BAF =∠BAC +∠CAD =65°∴在△AFB 中，∠AFB =180°-∠B -∠BAF =90°∴∠GFD =90°在△FGD 中，∠EGF =∠D +∠GFD =115°故选：C【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，关键求得∠BAC 的度数．4．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF ，CE ，下列说法：①ABD △和ACD △面积相等； ②BAD CAD ∠=∠； ③BDF ≌CDE △；④//BF CE ；⑤CE AE =．其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．①③④D．①④⑤【答案】C【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；在△BDF和△CDE中，BD CDBDF CDE DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；∴∠F=∠DEC，∴BF∥CE，故④正确；∵△BDF≌△CDE，∴CE=BF，故⑤错误，正确的结论为：①③④，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．5．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3【答案】D 【分析】设运动时间为t 秒，由题目条件求出BD=12AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．【详解】解：设运动时间为t 秒，∵12AB AC cm ==，点D 为AB 的中点．∴BD=12AB=6， 由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，又∵∠B=∠C∴①当BP=CQ ，BD=CP 时，BPD ∆≌CQP ∆∴2t=vt ，解得：v=2②当BP=CP ，BD=CQ 时，BPD ∆≌CPQ ∆∴8-2t=2t ，解得：t=2将t=2代入vt=6，解得：v=3综上，当v=2或3时，BPD ∆与CQP ∆全等故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．如图1，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图2，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图3，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依次规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是（ ）．A ．nB ．21n -C ．(1)2n n +D ．3(1)n +【答案】C 【分析】根据条件可得图1中△ABD ≌△ACD 有1对三角形全等；图2中可证出△ABD ≌△ACD ，△BDE ≌△CDE ，△ABE ≌△ACE 有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n 个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD ．在△ABD 与△ACD 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是()12n n+．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．二、填空题7．如图所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________．【答案】平行且相等【分析】只需要证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：∵点O为AC的中点，也是BD的中点，∴AO=OC，BO=OD，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD，∠A=∠C，即AB 与CD 的关系是平行且相等，故答案为：平行且相等．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的判定定理．掌握全等三角形的判定定理是解题关键．8．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．【答案】16AD <<【分析】利用中线的性质，作辅助线AD=DE ，构造全等三角形()ADB EDC SAS ≅，再有全等三角形对应边相等的性质，解得7CE AB ==，最后由三角形三边关系解题即可．【详解】如图，AD 为BC 边上的中线,延长AD 至点E ，使得AD=DE在△ADB 和△EDC 中BD DC ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB EDC SAS ∴≅7CE AB ∴==CE AC AE AC CE -<<+75275AD ∴-<<+16AD ∴<<故答案为：16AD <<．【点睛】本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．9．如图，在ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，点D 是BC 上的一点，过点B 作//BE AC ，使BE CD =，连接CE 与AD 相交于点G ，则AD 与CE 的关系是_______________．【答案】AD ⊥CE ，AD =CE【分析】证明△ACD ≌△CBE ，得到∠CAD =∠BCE ，AD =CE ，结合∠ACB =90°，可得∠CGD =90°，从而可得结果．【详解】解：由题意可知：∵∠ACB =90°，BE ∥AC ，∴∠ACB =∠EBC =90°，在Rt △ACD 和Rt △CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （SAS ），∴∠CAD =∠BCE ，AD =CE ，∵∠CAD +∠CDA =90°，∴∠CDA +∠BCE =90°，∴∠CGD =180°-（∠CDA +∠BCE ）=90°，∴AD ⊥CE ，综上：AD ⊥CE ，AD =CE ，故答案为：AD ⊥CE ，AD =CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ACD ≌△CBE ，得到角和线段之间的相等关系．10．如图，在ABC 中，90B ∠>︒，CD 为ACB ∠的角平分线，在AC 边上取点E ，使DE DB =，且90AED ∠>︒，若A x ∠=︒，ACB y ∠=︒，则AED =∠_______．（用x 、y 的代数式表示）【答案】180°-x°-y° 【分析】在AC 上截取CF =BC ，根据全等三角形的性质可得BD =DF =DE ，可得∠AED =∠ABC ，根据三角形的内角和可求解．【详解】解：如图，在AC 上截取CF =BC ，∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴∠ACD =∠BCD ，∵CF =BC ，∠ACD =∠BCD ，CD =CD ，∴△BDC ≌△FDC （SAS ），∴∠ABC =∠CFD ，DF =BD ，∵BD =DE ，∴DE =DF ，∴∠DEF =∠DFE ，∴∠AED =∠CFD ，∵∠A =x°，∠ACB =y°，∴∠ABC =180°-∠A -∠ACB =180°-x°-y°，∴∠AED =∠DBC =180°-x°-y°，故答案为：180°-x°-y°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．11．如图，在ABC 中，90,,,ACB AC BC CE BE CE ∠=︒=⊥与AB 相交于点F ，且CD BE =，则ACD CBA DAF ∠∠∠、、之间的数量关系是_____________．【答案】=ACD CBA DAF ∠∠∠+【分析】先利用同角的余角相等得到ACD ∠=CBE ∠，再通过证ACD CBE ≌，得到==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠，再 利用三角形内角和得=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠可得=DAF EBF ∠∠，最后利用角的和差即可得到答案，ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠．【详解】证明：∵90ACB ∠=︒，CE BE ⊥∴+90ACD ECB ∠=︒∠，+90CBE ECB ∠=︒∠∴ACD ∠=CBE ∠又∵AC BC =，CD BE =∴ACD CBE ≌∴==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠∵=AFD EFB ∠∠∴=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠即=DAF EBF ∠∠∴ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠故答案为：=ACD CBA DAF ∠∠∠+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．12．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．【答案】12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示，由题可知ABC ADC ≅△△，∴30BAC DAC ∠=∠=︒，90ACB ACD ∠=∠=︒，2BC BD ==，∴60BAD ∠=︒，180BCD ∠=︒，∴B ，C ，D 在一条直线上，∵60B D ∠=∠=︒，∴△ABD 是等边三角形，∴△ABD 的周长()3312BD BC CD==+=；故答案是12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键． 13．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6．延长BC 到点E ，使CE ＝2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为__秒时，△ABP 和△DCE 全等．【答案】1或7【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．【详解】因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝2，所以t＝1，因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝16﹣2t＝2，解得t＝7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为：1或7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，要注意分类讨论．14．如图，△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△P AB与△PCD的面积之差为_____．【答案】10【分析】由“SAS”可证△APC≌△BPD，可得S△APC＝S△BPD，由面积和差关系可求解．【详解】解：∵△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，∴PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，AP＝BP，∴△APC≌△BPD（SAS），∴S△APC＝S△BPD，∵S△APB﹣S△PCD＝S△APC+S△ABC﹣（S△BPD﹣S△BCD），∴S△APB﹣S△PCD＝S△BCD+S△ABC＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△APC≌△BPD是本题的关键．三、解答题15．如图所示，AC BC ⊥，DC EC ⊥，垂足均为点C ，且AC BC =，EC DC =．求证：AE BD =．【答案】见解析【分析】根据SAS 证明ACE BCD △≌△即可．【详解】证明：∵AC BC ⊥，DC EC ⊥，∴90ACB ECD ∠=∠=︒∴ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠即ACE BCD ∠=∠在ACE 和BCD △中AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ACE BCD ≌△△ ∴AE BD =【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明ACE BCD ∠=∠是解答此题的关键． 16．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，//,,AB DE AB DE BE CF ==．求证：A D ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据平行得出B DEF ∠=∠，然后用“边角边”证明ABC DEF △≌△即可．【详解】证明：∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠．∵BE CF =，∴BE EC CF EC +=+．∴BC EF =．在ABC 和DEF 中，,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△．∴A D ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．17．如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，点E 、F 在AC 上，//DF BE ，且DF BE =，AE CF =．求证：AB CD =，且//AB CD ．【答案】见解析【分析】根据已知条件可证得ABE CDF △≌△，从而由全等三角形的性质可得要证的结论．【详解】//DF BEBEO DFO ∴∠=∠AEB CFD ∴∠=∠又DF BE =∵，AE CF =ABE CDF ∴△≌△AB CD ∴=，BAE DCF ∠=∠//AB CD ∴【点睛】本题考查了三角形全等的的判定的性质，关键是得出AEB CFD ∠=∠．18．如图，BD ，CE 分别是ABC 的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线上，点Q 在CE 上，BP AC =，CQ AB =，请说明AQ 与AP 的关系．【答案】AP =AQ 且AP ⊥AQ【分析】由于BD AC ⊥，CE AB ⊥，可得ABD ACE ∠=∠，又由对应边的关系，进而得出ABP QCA ∆≅∆，即可得出AQ=AP ．在此基础上，可证明90PAQ ∠=︒．【详解】解：证明：BD AC ⊥，CE AB ⊥（已知），90BEC BDC ∴∠=∠=︒，90ABD BAC ∴∠+∠=︒，90ACE BAC ∠+∠=︒（直角三角形两个锐角互余），ABD ACE ∴∠=∠（等角的余角相等），在ABP ∆和QCA ∆中，BP AC ABD ACE CQ AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABP QCA SAS ∴∆≅∆，∴=AP AQ ．ABP QCA ∆≅∆，CAQ P ∴∠=∠，BD AC ⊥，即90P CAP ∠+∠=︒，90CAQ CAP ∴∠+∠=︒，即90QAP ∠=︒，AP AQ ∴⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用．19．平面上有ACD △与,BCE AD 与BE 相交于点,P AC 与BE 相交于点,M AD 与CE 相交于点N ，若,,AC BC CD CE ECD ACB ==∠=∠．（1）求证：≌ACD BCE ；（2）55,145ACE BCD ∠=︒∠=︒，求BPD ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPD =140°．【分析】（1）利用SAS 证明△ACD ≌△BCE 即可；（2）由全等三角形的性质可知：∠A =∠B ，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD 的度数．【详解】解：（1）证明：∵∠ACB =∠ECD ，∠ACE =∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC BCE ACD CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（2）∵△ACD ≌△BCE ，∴∠A =∠B ，∠BCE =∠ACD ，∴∠BCA =∠ECD ，∵∠ACE =55°，∠BCD =155°，∴∠BCA +∠ECD =100°，∴∠BCA =∠ECD =50°，∵∠ACE =55°，∴∠ACD =105°∴∠A +∠D =75°，∴∠B +∠D =75°，∵∠BCD =145°，∴∠BPD =360°-75°-145°=140°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．20．（1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的几何原理是：；（2）如图2，小河的旁边有一个甲村庄所示，现计划在河岸AB上建一个泵站，向甲村供水，使得所铺设的供水管道最短，请在上图中画出铺设的管道，这里所运用的几何原理是：（3）如图3，在新修的小区中，有一条“Z”字形长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE=CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度（用两个字母表示线段）．这样做合适吗?请说出理由．【答案】（1）三角形具有稳定性；（2）见解析，垂线段最短；（3）合理，见解析【分析】（1）根据三角形的稳定性解答；（2）根据垂线段最短解答；（3）首先证明△MEB≌△MFC，根据全等三角形的性质可得ME＝MF．【详解】解：（1）一扇窗户打开后，用窗钩AB要将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性；故答案为：三角形具有稳定性；（2）过甲向AB作垂线，如图2所示；运用的原理是：垂线段最短；故答案为：垂线段最短；（3）合理，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∵点M 是BC 的中点，∴MB ＝MC ，在△MCF 和△MBE 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MEB ≌△MFC （SAS ），∴ME ＝MF ，∴想知道M 与F 之间的距离，只需要测出线段ME 的长度．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的稳定性，以及全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形判定定理，会用它证明对应边相等．。
初中数学全等形知识点
初中数学全等形知识点初中数学中，全等形是一个重要的概念。
全等形指的是形状相同、大小相等的图形。
在初中数学中，全等形的相关知识点有很多，下面将逐一介绍。
一、全等形的定义全等形是指两个图形的形状完全相同、大小完全相等。
当两个图形之间存在一一对应的关系，且对应边相等，对应角相等时，我们就可以说这两个图形是全等形。
二、全等形的判定判定两个三角形全等的条件有以下几种：1. SAS判定法：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形是全等的。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则这两个三角形是全等的。
三、全等形的性质1. 全等形具有相等的内角和外角。
两个全等形的内角和相等，外角和相等。
2. 全等形的对应边和对应角相等。
3. 全等形的对应线段相等。
包括对应的中线、角平分线、高线等。
4. 全等形的对应线段互相平行。
包括对应的边、中位线等。
四、全等形的应用1. 在实际问题中，通过判断两个图形是否全等，可以解决一些实际的测量和设计问题。
比如，可以利用全等形的性质来求解两个不规则图形的面积、周长等。
2. 在建筑、工程、地图等领域，全等形的概念也有广泛的应用。
在制作地图时，通过测量和绘制实际地物的大小和形状，可以保证地图上的图形与实际地物相似，从而使地图准确可靠。
五、全等形的证明在数学中，证明全等形的方法有很多种。
常见的证明方法包括：利用全等形的定义和性质，利用判定法进行证明，利用构造法进行证明，利用反证法进行证明等。
不同的证明方法适用于不同的问题，可以根据题目的要求选择合适的证明方法。
六、常见的全等形在初中数学中，常见的全等形有：全等三角形、全等四边形等。
全等三角形是最基础的全等形，它们具有相等的三个内角和三个对应边，可以通过判定法进行证明。
1.5三角形全等的判定
1.5三角形全等的判定同学们，咱们今天来好好聊聊三角形全等的判定！说起三角形全等的判定，这可太有意思啦！就好像我们在玩一个找相同的游戏。
你想想看，两个三角形，如果它们的形状和大小完全一样，那它们就是全等的。
那怎么才能知道它们是不是全等呢？这就得靠咱们的判定方法啦！先来说说“边边边”（SSS）判定法。
这就好比我们盖房子，房子的三条边长度都确定了，那这个房子的形状和大小也就固定下来了。
比如说，有一次我在公园里看到两个小朋友用树枝在地上画三角形。
一个小朋友画了一个三角形，三条边分别是 5 厘米、6 厘米和 7 厘米。
另一个小朋友也照着画了一个一模一样长度边的三角形。
嘿，你猜怎么着，这两个三角形放在一起，那简直就是一个模子里刻出来的，完全重合，这就是通过三条边相等判定了它们全等。
再说说“边角边”（SAS）判定法。
这就像我们拼拼图，如果两条边和它们的夹角都确定了，那这个三角形也就确定下来啦。
我记得有一次帮我小侄子做手工，要剪一个三角形的卡片。
我先确定了两条边的长度，还有它们之间的夹角，剪出来的三角形那叫一个标准，和我心里想的一模一样。
还有“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定法。
这就像是给三角形定了方向和角度，只要这些确定了，三角形也就跑不了啦。
咱们在做练习题的时候，可一定要看清楚题目给的条件，千万别马虎。
有时候就因为少看了一个条件，或者用错了判定方法，结果就错得一塌糊涂。
就像上次我看到一个同学，题目明明给的是两条边和一个角，他非得用“角角边”去判定，结果当然不对啦！其实啊，三角形全等的判定在我们生活中也有很多用处呢。
比如工程师在建造桥梁的时候，就得保证桥梁的各个部分的三角形结构是全等的，这样才能保证桥梁的稳固和安全。
还有我们家里的家具，如果是三角形的支架，那也得保证它们是全等的，这样才结实耐用。
总之，三角形全等的判定虽然听起来有点复杂，但只要我们认真学，多做练习，就一定能掌握得牢牢的！同学们，加油哦！。
全等
判定
平面三角形
球面三角形
判定公理 若要判定两三角形全等，则在三边、三角共6个元素中，必须要已知至少3个对应相等。 (1)三组对应边分别相等的两个三角形全等“边边边”简称“SSS”； (2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等“边角边”简称“SAS” ； (3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等“角边角”简称“ASA”； (4)有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等“角角边”简称“AAS”； (5)在直角三角形中，斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等“斜边、直角边”简称“HL”（直角 三角形）。 常见误区 在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角，即两边及其对角），这两种情况都不能唯一确定三角 形的形状。
谢谢观看
以下均指在同球面或等球面中的两个球面三角形： 如果球面三角形的三个边分别对应相等，则两个球面三角形分别对应相等（SSS）； 如果球面三角形的两边与它们的夹角分别对应相等，则两个球面三角形全等（SAS）； 如果球面三角形的两角与它们的夹边分别对应相等，则两个球面三角形全等（ASA） ； 如果球面三角形的三个角分别对应相等，则两个球面三角形分别对应相等（AAA）； 对球面三角形而言，AAS不成立，而AAA成立，因为内角和是个不定值。
全等
两个图形形状相同大小相等的图形
01 概念
03 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质
目录
02 释义 04 判定
若两个几何图形的形状相同且大小相等，则称这两个图形是全等的图形。全等是相似的一种特例。当相似比 为1时，两图形全等。
概念
在数学上，两个图形可以完全重合，或者说两个物体形状相同且大小相等，那么这两个图形全等。“全等” 用符号“≌”表示，读作“全等于”。（例：△ABC≌△A‘B’C‘，读作三角形ABC全等于三角形A‘B’C’）
初中数学全册：图形的证明判定原理大全(三角形全等、相似+四边形的判定)
图形的证明：判定方法一、全等三角形的判定方法判定1：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”判定2：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”判定4：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”判定5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”二、相似三角形的判定方法判定1：平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形与原三角形相似判定2：三边对应成比例的两个三角形相似判定3：两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似判定4：两角分别对应相等的两个三角形相似判定5：斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似特别注意:记两个三角形全等或相似时,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.三、平行四边形的判定方法判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定4：两条两条对角线互相平分的四边形是平行四边形判定5：两组对角分别相等的四边形是平行四边形四、矩形的判定方法判定1：四个角都相等的四边形是矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形判定3：有一个内角是直角的平行四边形是矩形判定4：两条对角线相等的平行四边形是矩形判定5：两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形五、菱形的判定方法判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形判定3：两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定4：两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形六、正方形的判定方法判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形判定2：有一个内角是直角的菱形是正方形判定3：两条对角线相等的菱形是正方形判定4：两条对角线互相垂直的矩形是正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系平行四边形菱形矩形正方形一组邻边相等一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直平分）一内角为直角一邻边相等（或对角线垂直）一个内角为直角（或对角线相等）（或对角线相等）（或对角线互相垂直）。
初三数学全等图形判定方法
初三数学全等图形判定方法全等图形是初中数学中的重要概念，它在实际生活和几何学中具有广泛的应用。
全等图形的判定方法则是我们学习的重点之一。
本文将介绍几种常用的初三数学全等图形判定方法，帮助同学们深入理解和掌握这一内容。
一、SAS判定法SAS判定法是指两个三角形的边、角和边对应相等时，这两个三角形全等。
具体判定步骤如下：1. 比较两个三角形的两边是否相等，如果两个三角形的两边相等，则条件一成立。
2. 比较两个三角形的夹角是否相等，如果两个三角形的夹角相等，则条件二成立。
3. 比较两个三角形的另一边是否相等，如果两个三角形的另一边相等，则条件三成立。
如果以上三个条件同时满足，那么可以判断这两个三角形全等。
需要注意的是，SAS判定法判断的是两个三角形全等，而不是其他图形的全等。
二、SSS判定法SSS判定法是指两个三角形的三边长度相等时，这两个三角形全等。
具体判定步骤如下：1. 比较两个三角形的第一条边是否相等，如果两个三角形的第一条边相等，则条件一成立。
2. 比较两个三角形的第二条边是否相等，如果两个三角形的第二条边相等，则条件二成立。
3. 比较两个三角形的第三条边是否相等，如果两个三角形的第三条边相等，则条件三成立。
如果以上三个条件同时满足，那么可以判断这两个三角形全等。
三、ASA判定法ASA判定法是指两个三角形的两角和一边分别相等时，这两个三角形全等。
具体判定步骤如下：1. 比较两个三角形的第一角是否相等，如果两个三角形的第一角相等，则条件一成立。
2. 比较两个三角形的第二角是否相等，如果两个三角形的第二角相等，则条件二成立。
3. 比较两个三角形的一边是否相等，如果两个三角形的一边相等，则条件三成立。
如果以上三个条件同时满足，那么可以判断这两个三角形全等。
四、其他判定法除了SAS、SSS和ASA判定法之外，还有一些其他的判定法，比如AAS判定法、RHS判定法等。
这些判定法都是通过特定的条件来判断两个三角形是否全等，同学们可以根据具体题目的条件选择合适的判定法进行判断。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：1．6 图形的全等学习目标：1．借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程；2．了解图形全等的意义和全等三角形的定义；3．掌握图形全等的特征和全等三角形的对应关系和性质；4．会用数学符号表述全等．预习要求：1．阅读课本P15—P17并尝试回答课本P15—P17中的问题；2．把不理解的地方用红色笔标记下来，以备在课堂上认真听老师讲解或与同学交流解决；3．试完成课本P17的《随堂练习》．学习点拨：一、本节课主要知识点：1．全等形和全等三角形的定义：能够完全重合．2．符号表示：若△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”．3．全等三角形的性质AB CDE FA(D)B(E)C(F)若△ABC≌△DEF则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FAB=DE，BC=EF ，AC=DF二、注意的问题：1．全等形的特征：形状和大小都相同2．找准对应关系；两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角）；最小的边（角）是对应边（角）；3．书写时对应顶点写在对应的位置上．编写说明：本块编写主要包含：1．知识的梳理与小结；2．解题方法与思路介绍；3．典型例题补充；．1．下列说法正确的是（）①用一张像纸冲洗出来的10张1寸像片是全等形；②我国国旗上的4颗小五角星是全等形；③所有的正方形是全等形；④全等形的面积一定相等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，面积也相同．其中能获得这两个图形全等的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列图形：①两个正方形；②每边长都是1cm的两个四边形；③每边都是2cm •的两个三角形；④半径都是1．5cm 的两个圆．其中是一对全等图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4． 如图:△ABC ≌△AEC, ∠B=30°, ∠ACB=85°,求出△AEC 各内角的度数．5． 找出图中的全等图形:★1．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°答案：D知识点：全等三角形的性质．分析：关键是先弄清∠α与左图中哪个角相对应．找到两个三角形的对应角，也就有了结果．解：因为两个三角形全等，所以边a与边a是对应边，边c与边c是对应边．两组对应边所夹的角即为对应角．所以∠α=50°．故选：D．★★2．在下列各组的三个条件中，不能判定△ABC与△DEF全等的是（）A．AB=DE，B．AC=DF，BC=DE，BA=EFC．AB=EF，∠A=∠E，∠B=∠F D．∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE答案：D知识点：全等三角形判定定理的认识．分析：所给条件能否判定这两个三角形全等，关键是看它能否符合全等三角形判定的四条定理；其次还要看各顶点的对应关系是否完整．往往前者容易引起重视，而后者容易被忽略．解：选项A和C符合定理AAS；选项B符合定理SSS．看起来，选项B各顶点对应关系有些混乱，其实是正确的，这要特别小心观察．选项D看起来符合定理AAS，而实际上它的顶点对应关系不正确．故选：D．★★3．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则下列不正确的等式是（）A．AB＝ACB．∠BAE＝∠CADC．BE＝DCD．AD＝DE答案：D知识点：全等三角形的性质．分析：本题是围绕全等三角形的性质展开的．全等三角形的对应边相等，对应角相等．这里最重要的就是对应．解：由△ABE≌△ACD可以得到对应边相等，所以AB＝AC，BE＝DC；对应角相等，所以∠BAE＝∠CAD；只有AD＝DE无法证实．故选：D．★4．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是( )A．∠1=∠2B．AC=CAC．AB=ADD．∠B=∠D答案：C知识点：全等三角形的概念和性质．分析：根据全等三角形的性质进行分析，从而得到答案，做题时要找准对应边，对应角．解：∵△ABC≌△CDA，BC=DA∴AB=CD，∠1=∠2，AC=CA，∠B=∠D，∴A，B，D是正确的，C、AB=AD是错误的．故选C．★5．下列四组图形中，是全等图形的一组是( )A．B．C．D．答案：C知识点：全等形的概念和性质．分析：根据全等三角形的性质进行分析，从而得到答案．解：从四组中很容易看出来，只有C答案中的图形才能完全重合．故选：C．★6．△ABC全等于△DEF，下列记法中正确的是( )A．△ABC=△DEFB．△ABC∽△DEFC．△ABC≌△DEFD．以上三种记法都不正确答案：C；知识点：全等三角形的概念和性质．分析：根据全等的表示符号可知．解：因为全等的表示符号为“≌”，只有选项D．故选：D．★7．下列说法中正确的是( )A．面积相等的两个图形是全等图形B．周长相等的两个图形是全等图形C．所有正方形都是全等图形D．能够完全重合的两个图形是全等图形答案：D；知识点：全等形的概念和性质．分析：本题要求学生对全等形的概念掌握的十分熟悉．解：对于选项A来说，面积相等可能是各种图形，不一定全等；而选项B中周长相等的图形也可能是各种图形；选项C中正方形的边长不知故不一定全等；只有选项D恰好符合全等形的概念．故选：D．★8．下列叙述中错误的是( )A．能够重合的图形称为全等图形B．全等图形的形状和大小都相同C．所有正方形都是全等图形D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形答案：C；知识点：全等形的概念和性质．分析：本题要求学生对全等形的概念熟练掌握．解：选项A、B、D都符合全等形的概念和特征．只有C，正方形的边长未知，不一定全等．故选：C．★★9．如图：在∠AOB的两边截取OA=OB，OC=OD，连接AD，BC，交于点P，则下列结论中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③点P在∠AOB的平分线上．正确的是_____________ ；（填序号）答案：①，②，③；知识点：全等三角形判定方法，角平分线的认识．分析：题目的解答关键在于能否用给定的条件证明这两组三角形都全等．∠AOD和∠BOC这两个角是相等的，这一点要从图中看出；全等三角形的性质也要十分熟悉．解：①∵OA =OB（已知）∠AOD=∠BOC（公共角）OD=OC（已知）∴△AOD≌△BOC（SAS）②∵OA =OB，OC=OD（已知）∴OA-OC=OB-OD即AC=BD∵△AOD≌△BOC（已证）∴∠CAP=∠DBP∵∠CPA=∠DPB（对顶角）∴△APC≌△BPD（AAS）③连接OP∵△AOD≌△BOC（已证）∴∠ADO=∠BCO，OD=OC∵△APC≌△BPD （已证）∴PD=PC∴△PDO≌△PCO∴∠COP=∠DOP①，②，③全对，故答案为：①，②，③．★★10．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，则△DEB 的周长是（）A．6㎝B．4㎝C．10㎝D．以上都不对答案：A；知识点：全等三角形的判定方法，等腰直角三角形的性质．分析：先证明△ACD≌△AED，就可以得到DE=DC，AC=AE，△DEB的周长等于DE+DB+EB=DC+DB+EB，DC+DB=BC，BC=AC+AE，就可以得到DE+DB+EB=AB=6；解：∵DE⊥AB于E∴∠AED=90°∵AD平分∠CAB交BC于D∴∠CAD=∠EAD在△ACD和△AED中∠ACD=∠AED=90°∠CAD=∠EAD（已证）AD=AD（公共边）∴△ACD≌△AED∴AC=AE，DC=DE△DEB的周长等于DE+DB+EB=DC+DB+EB=BC+EB∵BC=AC∴BC=AE∴△DEB 的周长等于AE+EB=AB=6．★★11．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP 答案： D ；知识点：全等三角形的判定方法． 分析：由条件可以证明△POA ≌△POB ，这样就可以得到PA=PB ，OA=OB ，∠APO=∠BPO ；只有AB 垂直平分OP 无法证明． 解：∵DE ⊥AB 于E∴∠AED=90°∵PB⊥OB于B∴∠PBO =90°∵OP平分∠AOB∴∠AOP=∠BOP在△AOP和△BOP中∠PAO=∠PBO=90°∠AOP=∠BOP（已证）OP=OP（公共边）∴△AOP≌△BOP∴PA=PB，OA=OB，∠APO=∠BPO∴PO平分APB所以A，B，C都可以证明，故选：D．★12．如图：EA∥DF，EA=DF，要使△AEC≌△DBF，则只要（）A.AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC答案：A；知识点：全等三角形的判定方法．分析：由EA∥DF，得出∠A=∠D，再加上EA=DF，就有了两个条件，只需要再加上一个条件，就可以证明EA=DF．解：∵EA∥DF∴∠A=∠D∵EA=DF∴只要再有AC=DB就可以证明△AEC≌△DBF∵对于AC和DB来说，BC是公共部分∴AC-BC=DB-BC即AB=DC故选：A．★★13．下列说法中，正确的个数为（）①用一张像底片冲出来的10张五寸照片是全等形；②我国国旗上的四颗小五角星是全等形；③所有的正六边形是全等形④面积相等的两个直角三角形是全等形A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B；知识点：全等图形的认识．分析：全等图形指的是形状和大小全都相同的图形．这两个方面都不能忽视．解：用同一张底片冲出来的照片形状相同，都是五寸的，所以大小相同．所以①正确；我国国旗上的四个小五星形状和大小都相同，所以是全等的．所以②正确；所有的正六边形的形状都是一样的，但大小不一定一样，所以它们不是全等的．所以③不正确；面积相等的两个直角三角形大小一样，但形状却可以不同，所以④不正确．故选：B．★★14．如图：AB=AD，AE平分∠BAD，则图中有（）对全等三角形．A．2 B．3 C．4 D．5答案：B；知识点：全等三角形的判定方法．分析：由AE平分∠BAD得到∠BAE=∠DAE；再加上AB=AD，就有两个条件了，因为AE是公共边，所以可以证明△ABE≌△ADE；再由这个结论出发可以证明△DEC≌△BEC，△DAC≌△BAC；解：∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE∵BA=DA（已知）AE=AE（公共边）∴△BAE≌△DAE（SAS）∵△BAE≌△DAE∴DE=BE，∠BEA=∠DEA∴∠BEC=∠DEC∵EC=EC（公共边）∴△BEC≌△DEC（SAS）∵△BEC≌△DEC∴DC=DC在△ABC和△ADC中，AB=AD（已证）BC=DC（已证）AC=AC（公共边）∴△BAC≌△DAC（SSS）所以一共可以证明三对三角形全等；故选：B．★★15．如图：在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，则下列结论：①△ABD≌△ACD，②∠B=∠C，③BD=CD，④AD⊥BC．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D；知识点：全等三角形的判定方法和性质．分析：由条件AB=AC，∠BAD=∠CAD 再加上公共边AD就可以证明△ABD≌△ACD；其余的结论也就可以得出．解：∵AB=AC∠BAD=∠CAD（已知）AD=AD（公共边）∴△BAD≌△CAD（SAS）∴∠B=∠C，BD=CD，∠BDA=∠CDA∵∠BDA+∠CDA=180°∴AD⊥BC故选：D．★★16．如图，点P在∠AOB的平分△≌△，则需添加线上，若使AOP BOP的一个条件是__________（只写一个即可，不添加辅助线）．答案：∠OAP=∠OBP或OA=OB或∠OPA=∠OPB；知识点：全等三角形的判定方法．分析：要证明△OAP≌△OBP，需要三个条件．题中给了一个P在∠AOB的平分线上，可以得出∠AOP=∠BOP；OP是两个三角形的公共边；现在有了一边和一角，只需要再有一个角，或OA=OB即可．解：若OA=OB则符合SAS；若∠OAP=∠OBP则符合AAS；若∠OPA=∠OPB则符合ASA故答案为：∠OAP=∠OBP或OA=OB 或∠OPA=∠OPB．★★17．如图，线段AB、CD相交于点O，且O为AB的中点，则下列不能使△AOD≌△BOC的条件是（）A．AD＝BC B．∠A＝∠B C．∠D＝∠C D．OC＝OD 答案：A；知识点：全等三角形的判定方法．分析：由线段AB、CD相交于点O，得出∠AOD＝∠BOC；由点O为AB的中点，得出AO=BO；再判断这四个选项中的条件与上述两个结论组合一起能否证明△AOD≌△BOC．解：∵线段AB、CD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOC（对顶角相等）∵点O为AB的中点∴AO=BO当选A时，只有两边和一边的对角，不能证明△AOD≌△BOC；故选：A．★★18．如图，已知AD＝BC，∠1＝∠2，则△ACD与△BDC的关系是（）A．全等B．不全等C．不一定全等D．无法判断答案：A；知识点：全等三角形的判定方法．分析：由AD＝BC，∠1＝∠2，及∠AOD ＝∠BOC，可以得出△AOD≌△BOC；然后可以得出∠A＝∠B，OD=OC，这样就可以证明△ACD与△BDC全等．解：∵AD=BC（已知）∠A=∠B（对顶点）∠1=∠2（已知）∴△AOD≌△BOC（AAS）∴∠A=∠B，OD=OC，OA=OB∴AC=BD在△ACD和△BDC中，AD=BC（已知）∠A=∠B（已证）AC=BD（已证）∴△ACD≌△BDC（SAS）故选：A．★★19．两个三角形有两边和一角对应相等，则这两个三角形（）A．一定全等B．一定不全等C．可能全等，也可能不全等D．以上都不是答案：C；知识点：全等三角形的判定方法．分析：两边和一角对应相等，先要弄清楚是两边和这两边的夹角，还是和其中一边的对角．解：如果是两边和这两边所夹的角，则符合SAS定理，可以证明这两个三角形全等；如果是两边和其中一边所对的角，则不能证明这两个三角形全等．故选：C．★★20．如图，使△ABD≌△ABC成立的条件是（）A．∠1＝∠2，BD＝BCB．∠3＝∠4，BD＝BCC．AD＝AC，∠D＝∠CD．∠D＝∠C，BD＝BC答案：B ；知识点：全等三角形的判定方法．分析：四个选项都只给出了两个条件，不能满足证全等所需要的三个条件．必须把AB是公共边用上．解：∵∠3＝∠4∴∠DBA＝∠CBA∵BD＝BC，∠DBA＝∠CBA，AB=AB∴△ABD≌△ABC故选：B．★21．如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝3，则EC的长为（）A．2 B．3C．5 D．2．5答案：A；知识点：全等三角形的性质．分析：由△ABE≌△ACF可以得到AC 的长度，由AC-AE即可得EC．解：∵△ABE≌△ACF∴AC=AB=5∵AE=3∴EC=AC-AE=5-3=2故选：A．★22．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACDB．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACED．以上都不对答案：C；知识点：全等三角形的判定方法．分析：本题是要看AB，BE属于哪个三角形，AC，CE属于哪个三角形，就可以很容易得到结果．解：∵AB=AC ，BE=CE （已知）AE=AE （公共边）∴△ABE ≌△ACF （SSS ） 故选：C ．★★23．在ABC △和A B C 111△中，已知1A A ∠=∠，11AB A B =，在下列说法中，错误的是（ ）Ａ．如果增加条件11AC AC =，那么111ABC A B C △≌△（SAS ）Ｂ．如果增加条件11BC B C =，那么111ABC A B C △≌△（SAS ）Ｃ．如果增加条件1B B ∠=∠，那么111ABC A B C △≌△（ASA ）Ｄ．如果增加条件1C C ∠=∠，那么111ABC A B C △≌△（AAS ）答案： B ；知识点：全等三角形的判定方法． 分析：已知的两个条件，再加上选项中的条件，能够成证明全等所需要的三个条件就是正确的，反之就是错误的． 解：在ABC △和A B C 111△中11AB A B =11BC B C =1A A ∠=∠这是两边和其中一边所对的角相等，不能证明这两个三角形全等． 故选： B ．★24．如图，已知AC=BD ，要使得△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是_____．答案：∠DBC=∠ACB 或AB=DC ； 知识点：全等三角形的判定方法． 分析：现有一对边相等，从图上可以看出有一条公共边，只要再多一条边可多这两条边的夹角，就可以证全等了．解：在△ABC和△DCB中AC=DB（已知）BC=CB（公共边）AB=DC（增加的条件）∴△ABC≌△DCB（SSS）在△ABC和△DCB中AC=DB（已知）∠ACB =∠DBC（增加的条件）BC=CB（公共边）∴△ABC≌△DCB（SAS）．★★25．如图所示，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，若使△ABC≌△A′B′C′，还需要（）A．∠B＝∠B′ B．∠C＝∠C′C．AC＝A′C′ D．以上都对答案：D；知识点：全等三角形的判定方法．分析：题目中已经给出了两个条件，只需要再添加一个条件即可证明两个三角形全等，关键是找到符合判定定理的那个条件．解：在△ABC和△A′B′C′中AB＝A′B′（已知）∠A＝∠A′（已知）∠B＝∠B′（选项A的条件）∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）在△ABC和△A′B′C′中AB＝A′B′（已知）∠A＝∠A′（已知）∠ C＝∠C′（选项B的条件）∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）在△ABC和△A′B′C′中AB＝A′B′（已知）∠A＝∠A′（已知）∠ C＝∠C′（选项B的条件）∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）．★★26．如图所示，已知AB∥DE，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，还需补充的条件可以是（）A．AC＝EF B．AC∥EF C．∠B＝∠E D．不用补充答案：B；知识点：全等三角形的判定方法．分析：题目中已经给出了AB∥DE，这意味着有两个角对应相等，另一个条件是CD=BF，这可以推导出DF=BC，只需要再添加一个条件即可证明两个三角形全等，关键是找到符合判定定理的那个条件．解：∵AB∥DE∴∠B＝∠D（两直线平行，内错角相等）∵CD＝BF∴BC=DF∵AC∥EF（选项B的条件）∴∠ACB＝∠EFD（两直线平行，内错角相等）在△ABC≌△EDF中∠B＝∠DBC=DF∠ACB＝∠EFD∴△ABC≌△EDF（ASA）故选：B．★★27．如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是（）A．AC＝CEB．∠BAC＝∠DCEC．∠ACB＝∠ECDD．∠B＝∠D答案：C；知识点：全等三角形的性质．分析：由△ABC≌△CDE可以得到三对边对应相等，三对角对应相等．解：∵△ABC≌△CDE∴AC＝CE（全等三角形对应边相等）∠BAC＝∠DCE（全等三角形对应角相等）∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）故选：C．★28．两边和一角对应相等的两个三角形（）A．全等B．不全等C．不一定全等D．以上判断都不对答案：C；知识点：全等三角形的判定方法．分析：两边和一角对应相等，不能证明这两个三角形全等，因为边与角的位置不明确．解：如果这两边和它们所夹的角相等，那么可以证明这两个三角形全等；如果这两边和其中一边所对的角对应相等，则不能证明这两个三角形全等；故选：Ｃ．★★29．关于△ABC和△DEF，下面条件：①AB=DE，∠A=∠D，BC=EF；②BC=EF，AC=DF，∠C=∠F，③AB=DE，BC=EF，AC=DF．能判断△ABC≌△DEF的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③答案：B；知识点：全等三角形的判定方法．分析：能否判断两个三角形全等，就要看这些条件组合能否构成符合全等三角形判定的四个定理．解：在△ABC和△DEF中BC=EF，∠C=∠F，AC=DF∴△ABC≌△DEF（SAS）在△ABC和△DEF中AB=DE，BC=EF，AC=DF∴△ABC≌△DEF（SSS）故选：B．★30．如图1所示，△ABC≌△BAD，如果AB=6cm，BD=7cm，AD=4cm，那么BC的长为（）A．6cm B．4cmC．7cm D．不能确定答案：B；知识点：全等三角形的性质．分析：从△ABC≌△BAD可以得到三组对应边相等．解：∵△ABC≌△BAD∴AD=BC=4故选：B．★31．如图，点D，E在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，要判定△ABD≌△ACE，较快捷的方法是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS答案：A；知识点：全等三角形的判定方法．分析：从BE＝CD可以很快的得到BD=CE，这样证明△ABD≌△ACE就有了三个条件．解：∵BE＝CD∴BE-DE=CD-DEBD=CE在△ABD和△ACE中AB＝AC，AD＝AE（已知）BD=CE（已证）∴△ABD≌△ACE（SSS）故选：A．★32．如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，则图中全等的三角形有（）A．5对B．6对C．3对D．4对答案：C ；知识点：全等三角形的判定方法．分析：由AB∥CD，BC∥AD可以得到两组角对应相等，∠ABD=∠CDB，∠CBD=∠ADB，加上给定的两个条件AB=CD，BE=DF就有了四个条件．把这四个条件挑出三个来，就可以证明一对三角形全等．解：∵AB∥CD∴∠ABD=∠CDB （两直线平行，内错角相等）∵BC∥AD∴∠CBD=∠ADB（两直线平行，内错角相等）∵AB=CD，∠ABD=∠CDB ，BE=DF∴△ABE≌△CDF（SAS）∴∠AEB=∠CFD，AE=CF∴∠AED=∠CFB（等角的补角相等）∵BE=DF∴BF=ED∵BF=ED，∠AED=∠CFB，AE=CF∴△AED≌△CFB∵BC∥AD∴∠ABD=∠CDB（两直线平行，内错角相等）∵AB=CD，∠ABD=∠CDB，BD=DB∴△ABD≌△CDB故选：C．★★33．如图1，已知△ABC的六个元素，则图2中的甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是（）图1图2A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙答案：B ；知识点：全等三角形的判定方法．分析：乙图中长为a的边与△ABC中的BC边对应相等，长为c的边与△ABC 中的BA边对应相等，而这两组边的夹角均为50°，符合SAS定理；丙图与△ABC有两组角对应相等，还有一组边对应相等，符合AAS定理．解：∵a=a，50°=50°，c=c∴△ABC与乙图全等；∵72°=82°，50°=50°，a=a∴△ABC与丙图全等；故选：B．★34．如图，O为AC的中点，若要利用“SAS”来判定△AOB≌△COD，则应补充的一个条件是（）A．∠A=∠C B．AB=CDC．∠B=∠C D．OB=OD答案：D；知识点：全等三角形的判定方法．分析：要利用“SAS”来判定两个三角形全等，需要找齐两组边对应相等，且它们的夹角对应相等．因为O是中点，可以找到AO=CO，对顶角∠AOB=∠COD，还需要BO=DO．解：∵点是O线段AC的中点，∴AO=CO在△AOB和△COD中AO＝CO（已证）∠AOB=∠CODBO＝DO（条件D）BD=CE（已证）∴△AOB≌△COD（SAS）故选：D．★★35．如图，AB=AD，BC=DC，则全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对答案：C；知识点：全等三角形的判定方法．分析：本题中没有给出角的关系，给出了两组边的对应相等，所以要从公共边入手来给出判断．解：∵AB=AD，BC=DC（已知）AC=AC（公共边）∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA∵AB=AD（已知）∠BAC=∠DAC（已证）AE=AE（公共边）∴△ABE≌△ADE（SAS）∵BC=DC（已知）∠BCA=∠DCA（已证）CE=CE（公共边）∴△BCE≌△DCE（SAS）故选：C．★36．如图所示，将两根等长的钢条AA’、BB’的中点O连在一起，使AA’、BB’可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A’B’的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA’B’的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边答案：A；知识点：全等三角形的判定方法．分析：AA’和BB’是等长的，点O是中点，就可以得出AO=A’O，BO=B’O，对顶角∠AOB=∠A’OB’相等，可以判断出两个三角形全等的根据是SAS．解：∵AA’=BB’，点O是AA’和BB’的中点∴AO=A’O，BO=B’O∵AO=A’O∠BCA=∠DCABO=B’O∴△OAB≌△OA’B’（SAS）故选：A．学习阅读：全等三角形知识小结一、全等四解全等三角形是初中平面几何的重要内容，它为解决线段以及角的相等问题提供了重要工具，也为以后的学习奠定了必要的基础，因此要学好平面几何，必须重视全等三角形的学习．那么怎样才能学好它呢？本文谈四点意见，供同学们学习时参考．组成全等三角形的基本图形大致有以下几种：①平移型，如图中的两种图形属于平移型，它们可看成是由图形随某一组对应边在同一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段之和或差得到；②对称型，如下图中的四种图形属于对称型，它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点；③旋转型．如图中的两种图形属于旋转型，它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转而构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角或某些角的和或差中．二、从“对应”看全等三角形在说明三角形全等时，需要找出它们的对应边和对应角，那么，如何正确地找到全等三角形的对应边和对应角呢？下面介绍三种方法，希望对同学们有所帮助．（1）字母顺序确定法由于在表示两个全等三角形时，通常是把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，所以可以利用字母的顺序确定对应元素．（2）图形特征确定法①有公共边的，公共边一定是对应边．如下左图，△ADB和△ADC全等，则AD一定是两个三角形的对应边．②有公共角的，公共角一定是对应角，如上中图，△ABD和△ACE全等，∠DAB和∠EAC是对应角．③有对顶角的，对顶角是对应角．如上右图，△ABE和△CDF全等，则∠1和∠2是对应角．④两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角）；最小的边（角）是对应边（角）．（3）图形分离法从复杂的图形中，找出全等三角形的对应部分是较困难的，这时可把要证全等的两个三角形从图形中分离出来，用不同颜色标出或另画，图形简单了就容易找出对应元素．例如图，点C是线段AB上一点，AC=MC=AM，BC=NC=BN，∠ACM=∠NCB=60°，请说明：BM=AN．三、解题方法技巧（一）证明三角形全等的思路常用三角形全等证明线段、角相等，判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL．可以看出，判定三角形全等一般需要三个条件，为了让你掌握这种思路，请结合口诀学习：读已知，做标记，分析起来省力气；寻隐含，看仔细，发现图中隐藏点；想欠缺，要联系，五个判定需牢记．（1）已知两边对应相等思路：找已知两边的夹角对应相等，联想到“SAS”例1 如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．（2）已知两角对应相等思路1：找出已知两角的夹边对应相等，联想“ASA'’例2 如图，已知在△ABC中，F是AC 的中点，E为AB上一点，D为EF延长线上一点，∠A=∠ACD，CD与AE 相等吗？说明理由，。