八年级数学数的开方
初二数学必备知识点数的开方
初二数学必备知识点：数的开方1.平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，(即a的平方根是x);注意：(1)a叫x的平方数，(2)已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.2.平方根的性质：(1)正数的平方根是一对相反数;(2)0的平方根还是0;(3)负数没有平方根.3.平方根的表示方法：a的平方根表示为和 .注意：可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4.算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为 .注意：0的算术平方根还是0.5.三个重要非负数：a2≥0 ,|a|≥0 ，≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0.6.重要公式：(a≥0)7.立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，(即a的立方根是x).注意：(1)a叫x的立方数;(2)a的立方根表示为 ;即把a开三次方.8.立方根的性质：(1)正数的立方根是一个正数;(2)0的立方根还是0;(3)负数的立方根是一个负数.9.立方根的特性： .10.无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：?和开方开不尽的数是无理数.11.实数：有理数和无理数统称实数.12.实数的分类：(1) (2) .13.数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14.无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示;如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：(1)近似计算时，中间过程要多保留一位;(2)要求记忆初二数学必备知识点：分式1.分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为的形式，如果B中含有字母，式子叫做分式。
2.有理式：整式与分式统称有理式。
3.对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义;(2)若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零;注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义。
4.分式的基本性质与应用：(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变;(2)注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变;(3)繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单。
八年级数学数的开方
2、算术平方根
（1）算术平方根的意义：非负数a的正的平方根。
一个非负数a的平方根用符号表示为：“ a ”，
读作：“根号a”，其中a叫做被开方数
（2）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根是一个正数； ②0的算术平方根是0； ③负数没有算术平方根
（3）重要性质： a2 a
2
a a(a 0)
3、立方根
（1）立方根的意义
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根 （也叫三次方根）。如果x3=a，则x叫做a的立方根。
记作： x 3 a ,读作“三次根号a” 。
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
（2）立方根的性质
①一个正数有一个正的立方根； ②一个负数有一个负的立方根； ③0的立方根是0。
例1、x为何值时，下列代数式有意义。
（1） 3 2x
（2） x 2 2 x
（3） x2 3
（4） （5）
1
3x 1
x 1 x 1
（6） (x 1)2
例2、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的
平方根是 4 ，
求a+2b的平方根。
例3、若x、y都是实数，且 y x 3 3 x 2 ， 求x+3y的平方根。
第12章 数的开方
－－（平方根与立方根）
知识点归纳：
1、平方根 （1）平方根的意义：如果一个数的平方等于a ，这个数
就叫做a 的平方根。a的平方根记作: 2 a或 a 。
求一个数a的平方根的运算叫做开平方.
（2）平方根的性质 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ②0有一个平方根，它是0本身 ③负数没有平方根。
(完整版)数的开方知识点汇总
数的开方知识点汇总安皋二中八年级数学组一、平方根、算术平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。
即如果x2= a那么x就是a有平方根。
2、平方根的性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0的平方根是0（3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数）3、平方根的表示方法一个非负数a的平方根可表示为±a，读作正负根号a其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数，a叫做被开方数，叫根号，我们平常省略了根指数2。
3、算术平方根（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。
（2）表示方法：一个非负数a的算术平方根可表示为a，读作根号a,（3）算术平方根的性质：①正数有一个正的算术平方根。
②0的算术平方根是0③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
（4）a的双重非负性①首先，a要有意义，首先被开方数必须是一个非负数。
②其次，a表示一个非数的算术平方根，它的值不可能是一个负数，即它的值是一个非负数。
综上：a中a≥0 a≥0（5）初中所学的三类非负数ⅰ：绝对值非负即|a|≥0ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥04、立方根（1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。
即如果x3=a那么x就是a的立方根。
（2、）立方根的表示方法：一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a其中3叫做根指数，a叫被开方数。
（当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略）（3、）立方根的性质：任何数都有立方根且只有一个正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。
5、数的开方中的几个公式：（1）2a||a= (a为任意实数)（2、）（a）2=a (a≥0)（3、）（3a）3= a（a为任意实数）（4、）a33（a为任意实数）a=（5、）-3a=3a-（a为任意实数）6、实数与数轴（1、）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数（2、）实数的定义：有理数和无数统称为实数。
八年级数学上册 第11章 数的开方章末复习课件
章末复习(fùxí)
第一页，共十三页。
知识结构
第二页，共十三页。
释疑 解 (shìyí) 惑
1.如何利用(lìyòng)平方根的概念解题？
在利用(lìyòng)平方根的概念解题时，主要涉及平方根的 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；以及平 方根的非负性：被开方数为非负数，算术平方根也为非 负数。
内容 总结 (nèiróng)
章末复习。例1 已知某数的平方根是a+3及2a－12，求这个数。解：根据题意可得，a+3+2a－12=0.。 ∴a+3=6，2a－12=－6.。=-32-1-3=-36。解关于x的方程(fāngchéng)(a+2)x+b2=a－1。即a=－3，b=。解：由题意， 得m－n=2，。m－2n+3=3，即m=2n.。∴m=4，n=2.。课堂小结
例3 计算：（ 2 ） 3（ 4 ） 23（ 4 ） 3 （ 1） 23 27
解：原式=-8×|-4| +（-4）×
1
2
Байду номын сангаас-3
4
=-32-1-3=-36
第六页，共十三页。
典例精析
例1 如图所示，数轴上表示 3 的点是
。
分析：由于1＜3＜4，故1＜ ＜3 2，故这样的
点在表示1和2的点之间，故选C。
第七页，共十三页。
B=m2n3 4m6n1是4m+6n－1的立方根，求B－A
的立方根。 解：由题意，得m－n=2，
即m=n+2；m－2n+3=3，即m=2n.
∴m=4，n=2. ∴A= 16 =4，B=3 27 =3。
人教版八年级上册数学的知识点
人教版八年级上册数学的知识点主要包括以下几个方面：
一、数的开方与实数
1. 数的开方：了解平方根、算术平方根的概念以及求一个数的平方根的估算方法。
2. 实数：认识实数的概念，实数与数轴上的点一一对应的关系，实数的分类（有理数和无理数）。
二、整式的乘除与因式分解
1. 整式的乘除：掌握单项式、多项式的乘法，幂的运算性质，整式的除法等。
2. 因式分解：理解因式分解的概念和方法，如提取公因式法、公式法等。
三、一元一次方程与不等式
1. 一元一次方程：掌握一元一次方程的解法，包括合并同类项、移项、系数化为1等步骤。
2. 不等式：了解不等式的基本性质，掌握一元一次不等式的解法。
四、图形和几何
1. 平面几何图形的初步认识：了解点、线、面、角等基本概念，掌握基本图形的性质和判定（如线段的中垂线、角的平分线等）。
2. 三角形：掌握三角形的分类（等腰、直角、不等边等），认识三角形的基本性质（如内角和定理等）。
3. 空间几何：了解几何图形的三维模型和计算，如长方体、圆柱、圆锥等的体积和表面积。
五、概率初步
1. 概率的基本概念：了解概率的定义和计算方法，如频率估计概率等。
2. 生活中的概率问题：通过实例了解概率在生活中的应用，如彩票中奖的概率等。
以上是八年级上册数学的一些主要知识点，通过学习这些内容，学生可以掌握基本的数学知识和技能，为后续的学习打下坚实的基础。
最新八年级上册数学精品课件第11章 数的开方
11.1 平方根与立方根
知识点 平方根
平方根节是数学爱好者的节日,这一天的月份和日期的数字正 好是当年年份最后两位数字的算术平方根,例如2009年的3月3 日,2016年的4月4日.
知识点 平方根
√ + a 是求非负数a的平方根,因为没有一个数的平方等于负数,所以负
数没有平方根.
知识点 实数的性质
存在两个和为零的无理数,所以互为相反数的两个实数可都为 无理数.
知识点 实数的大小比较
边长为a的正方形的面积是5,下图三个小伙伴的两次站队的位 置完美诠释了边长a的整数部分的确定方法. 第一次:
第二次:
知识点 实数的运算
某丝巾的形状是等腰钝角三角形.
知识点 实数的运算
某厂在下图所示的方格纸中设计出面积最大的丝巾,求出三边 的长的过程就是实数运算的过程.
知识点 利用计算器求一个数的立方根
利用科学计算器可以求出一个数的立方根.
第11章 数的开方
11.2 实 数
知识点 无理数的概念
公元前500年,希伯索斯发现了一个惊人的事实,一个正方形的 对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1,则对 角线的长不是一个有理数),这一不可公度性与毕氏学派的“万 物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭.人们为了纪念希伯索斯 这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名“无理 数”——这就是无理数的由来.
知识点 开平方
开平方时,被开方数a必须是非负数.
知识点 利用计算器求一个正数的算术平方根(了解)
知识点 立方根
两个正方体的对话完美诠释了立方根的概念及其求法.
知识点 立方根
知识点 开立方
4阶魔方,又称“魔方的复仇”,由四层完全相同的64个小正方 体组成,求体积为64的4阶魔方的边长的过程就是开立方运算.
华师大版八年级数学上册第11章数的开方PPT教学课件
计算器计算算术平方根的方法：
在计算器上依次键入：
被开方数
=
.
四 用计算器求算术平方根
例2 用计算器求下列各数的算术平方根：
（1）529 ； （2）44.81（精确到0.01）．
说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需 直接按书写顺序按键即可. 解：(1）在计算器上依次键入：
5 2 9 =，
显示结果为23,所以529的算术平方根为： （2）在计算器上依次键入： 显示结果为 6.6940271884718
x
2
x
2
x
+1
1
-1 +2
+2
-2 +3 -3 9 9 4 4
-2 +3
-3
平方运算
这是什么运算？
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. 思考：
平方与开平方有
什么关系？
平方与开平方互为逆运算
典例精析
例1 将下列各数开平方：
（1）49；（2）
4 25 ；（3）0.01.
解：（1）因为72 =49，所以
试一试 1. 144的平方根是什么？ 2. 0的平方根是什么？
12
0
4 的平方根是什么？ 3. 25
2 5
4. -4有没有平方根？为什么？ 没有，因为一个数的平 方不可能是负数
想一想 通过这些题目的解答，你能发现什么? 问题：（1）正数有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
有没有一个数的平 方是负数？
问题1：学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积 为25 cm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛， 这块正方形画布的边长应取多少？
八年级数学上册课件-第11章-数的开方ppt
练习
1.判断下列说法是否正确： （1）两个无理数相加或相减结果一定是一 个无理数 （2）任意一个无理数的绝对值是正数.
2.计算：2 6 3 7 .（结果保留两位小数）
3.比较下列各组数中两个实数的大小：
（1）2 2和3 2
（2）
7 和
23
4.
1
，0，3
1
.
，0.15，
3,
，
2
5,
27
33
22 , 7 ,0.2022022202222... 中 72
整数有：
有理数有：
无理数有：
例题讲解
以前学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大 小比较、运算法则以及运算律，对于实数也适用．
实数的相反数、绝对值意义和有理数是一样的.
如： 2 的相反数是 2， 的相反数是 ，
0的相反数是0．
求其对角线长？
做一做
(1)利用计算器求 2
(2)利用平方关系验算所得的结果
在数学上已经证明，没有一个有理数的平方 等于2，也就是说， 2 不是一个有理数．
探究新知
问题 :
2是怎样的数 ?
你能 举几个 无理数的 例子
吗?
定义
无理数： 无限不循环小数叫做无理数． 实数： 有理数与无理数统称为实数．
实数的分类:
探究新知
情景引入：要制作一种容积为27cm3
的正方体形状的包装箱，这种 包装箱的边长是多少？
xcm
若容积为30，那边长为多少呢？
概括 上面所提出的问题，实质上就是要找 一 个 数 x ， 这 个 数 x 的 立 方 等 于 216. 即 x3=216。
因为63＝216，
所以正方体的棱长应为6 cm．
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二
关于泰山赤磷鱼，还有一段动人的故事。相传，泰山脚下有一位刘老翁，因家中无地，只靠上山砍柴采药为生，日子过得十分清苦。一遇到阴天下雨，他就到黑龙潭钓些赤磷鱼到集市上卖掉，接济 生活。一天，刘老翁到县城卖鱼，正好被贪官吴知县碰到。吴知县在城里为所欲为，贪赃枉法，横行乡里，欺压百姓，强取豪夺，遇到他只能认倒霉。吴知县见刘老翁的鱼与众不同，金灿灿的，闪着亮 光。就对刘老翁说：“老家伙，你孝敬我的这几条鱼我收下了。”刘老翁敢怒不敢言，只在心里叫苦。眼睁睁地看着恶霸知县拿走了赤磷鱼。知县得到鱼后，见鱼长得娇嫩，就烹煮吃了。没想到这一吃， 才知道这鱼竟是人间美味。于是强迫刘老翁天天为他钓鱼，否则将会用刑伺候。刘翁为了钓鱼的事伤透了脑筋，却不敢违抗，但有时手气不好而空钩，为此，也吃了吴知县不少苦头。
一日，刘老翁一不小心把鱼王钓了上来，刘老翁心善，又将鱼王放归黑龙潭。鱼王感谢刘老翁放生之恩，幻化人身，赠送给刘老翁一颗鱼目珍珠。贪心的吴知县知道后，将珍珠抢夺去，并挟持刘老 翁到黑龙潭利诱鱼王。鱼王得知真情后，使巧计救下刘老翁，将吴知县一干人马全部吸入潭底喂了王八。从此，泰山的赤磷鱼，繁衍不息，遍布泰山