数据的数字特征课件
人教版高中数学必修三第二章第2节用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件 (2)
2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：S 0。 当 S 0 时，意味着所有的样本数据都等于样本 平均数。
课后作业：
课本 P81 习题2.2 A组 6、7.
P79练习答案
解: 依题意计算可得
x1=900 s1≈23.8
x2=900 s2 ≈42.6
如果你是教练，你应当如何对这次射击情 况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应 当如何作出选择？
x甲7
x乙7
两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个
人的水平就没有什么差异吗?
频率 0.3
0.2
0.1 频率
4
频率
5 67 8 (甲)
9 10
0.4 0.3
0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10 (乙)
于，是 样本 x1,x2 数 , xn到 据 x 的 “平均 ”是 ：距离
x1xx2xxnx
S
.
n
1.标准差定义：是样本数据到平均数的一种平 均距离。它用来描述样本数据的分散程度。在 实际应用中，标准差常被理解为稳定性。
假设样本数据是 x1,x2,xn, 平均数是 x
2、标准差算法及其公式为：
1）算出样本数据的平均数 。 2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差： 3）算出（２）中 的平方。 4）算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。 5）算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差。
s1 n[x (1x)2(x2x)2 (xnx)2]
3.关于标准差的说明： 1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。
1.1 数据的数字特征
n 2 ( n 1)u4 ( n 1) 2 3 4 ( n 1)( n 2)(n 3) s ( n 2)(n 3)
当数据的总体分布为正态分布时，峰度近似为 0；当分布较正态分布的尾部更为分散时，峰度为 正，否则峰度为负。 当峰度为正时，两侧极端数据较多；当峰度为 负时，两侧极端数据较少。
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
《数据分析》电子教案
第一章 数据描述性分析
2015年5月16日星期六
总体的数据特征
• 设观测数据是由总体X中取出的样本，总体的分布 函数是F(x)。当X为离散分布时，总体的分布可由 概率分布列刻画：
pi PX xi ,
i 1,2,.
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《数据分析》电子教案
第一章 数据描述性分析
2015年5月16日星期六
例2
• 某厂的某种悬式绝缘 子机电破坏负荷试验 数据（单位：吨）分 组表示如表，计算这 批分组数据的均值、 方差、标准差、变异 系数、偏度、峰度。
组段
5.5～6.0 6.0～6.5 6.5～7.0 7.0～7.5 7.5～8.0 8.0～8.5 8.5～9.0 9.0～9.5 9.5～10.0
频 数
频 数
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《数据分析》电子教案
第一章 数据描述性分析
2015年5月16日星期六
均值、方差等数字特征
峰度
n( n 1) g2 ( n 1)( n 2)(n 3) s 4
2 ( n 1) ( xi x ) 4 3 ( n 2)(n 3) i 1 n
第一章 数据描述性分析
《数据的数字特征》 讲义
《数据的数字特征》讲义在当今这个数字化的时代，数据无处不在。
无论是科学研究、商业决策，还是日常生活中的各种活动，我们都在不断地产生和处理着大量的数据。
而要理解和分析这些数据，就需要了解数据的数字特征。
这些数字特征能够为我们提供有关数据的重要信息，帮助我们做出更明智的决策。
一、平均数平均数是最常见的数据特征之一。
它表示一组数据的平均水平。
计算平均数的方法很简单，就是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
例如，有一组数据：10，20，30，40，50。
那么这组数据的平均数就是：（10 ＋ 20 ＋ 30 ＋ 40 ＋ 50）÷ 5 ＝ 30平均数在很多情况下都非常有用。
比如，在评估学生的考试成绩时，我们可以计算班级的平均分数来了解整体的学习水平；在计算工人的平均工资时，可以了解员工的收入状况。
然而，平均数也有其局限性。
如果数据中存在极端值（极大值或极小值），那么平均数可能会被扭曲。
例如，一个班级里大多数学生的成绩都在 70 分到 90 分之间，但有一个学生考了 20 分，这会拉低班级的平均成绩，导致平均数不能准确反映大多数学生的真实水平。
二、中位数中位数是将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列后，位于中间位置的数值。
如果数据个数是奇数，那么中位数就是中间的那个数；如果数据个数是偶数，中位数则是中间两个数的平均值。
还是以上面那组数据为例：10，20，30，40，50。
将其从小到大排列为：10，20，30，40，50。
因为数据个数是 5，为奇数，所以中位数就是 30。
如果数据变为：10，20，30，40，50，60。
那么从小到大排列为：10，20，30，40，50，60。
数据个数是 6，为偶数，中位数就是（30＋ 40）÷ 2 ＝ 35中位数的优点在于它不受极端值的影响。
在前面提到的班级成绩例子中，如果存在极端低分，中位数可能更能反映班级成绩的中等水平。
三、众数众数是一组数据中出现次数最多的数值。
第二章 随机数据的数字特征
2.1. 随机过程的描述1. 随机过程的概念随机过程：考察各测量样本固定时刻0t t =在0t 时刻的值)(01t x ，)(02t x ，……，)(0t x n 构成随机变量，具有自身的概率特性，记为)(0t X 。
在数学上把所有已经得到的和未得到的而可能发生的样本总体)}({0t x i (t=1,2,3,……)称为随机过程，记为)(t X 。
随机过程具有双向无穷特征，即在时间轴上无穷，又在样本数上无穷。
2. 随机过程的统计规律(1). 一维概率分布特征设一随机变量)(t X 在某一时刻i t 的随机变量)(i t X 的取值小于等于给定值x ()(t X x ∈),这一事件发生的概率定义为：])([Pr );(1x t X ob t x F i i ≤=,)(t X x ∈)(t X 的一维概率密度函数);(1i t x f 定义为);(1i t x F 对x 的一阶偏导数，即：xt x F t x f i i ∂∂=);();(11 (2). 多维概率分布特征 二维概率分布特征随机过程)(t X 在i t 时刻的随机变量i i x t X ≤)(；而且在j t 时刻的随机变量j j x t X ≤)(，这两件事同时发生的概率定义为二维概率分布特征：])(,)([Pr ),;,(2j j i i j i j i x t X x t X ob t t x x F ≤≤=二维概率密度函数为对j i x x ,的二阶偏导数，即：j i j i j i j i j i x x t t x x F t t x x f ∂∂∂=),;,(),;,(222三维、四维，……直至n 维可以以此类推实际应用中，要确定随机过程的各维概率分布函数及密度函数非常困难3. 随机过程的统计特征量(1). 均值)(t m x也就是随机过程的数学期望吗，度量过程随机变动的平均值dx t x xf t X E t m i x ⎰∞∞-==);()]([)(1 由于)(t X 在不同时刻的一维概率密度函数);(1t x f 是对时间t 的函数，故均值)(t m x 亦随时间而变。
北师大版高中数学高一第一章 4 数据的数字特征
组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值
相等.
其中正确结论的个数为
√A.1
B.2 C.3 D.4
解析 在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个
数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数 是3；而平均数 x ＝2×2＋3×611＋6×2＋故10只＝有4. ①正确.
A.5
B.6 C.7 D.8
√
解析 由题意知，10＋11＋0＋3＋x＋8＋9＝7×7，解得x＝8.
12345
解析 答案
4.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…， 2x10－1的标准差为__1_6__.
解析 设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s， 则s＝8， 可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16.
解答
类型三 数据的数字特征的综合应用
例3 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数
50 60 70 80 90 100
甲组 2 人数
乙组 4
5 10 13 14
6
4 16 2 12 12
已经算得两个组的平均分都是80分.请根据你所学过的统计知识，进一步 判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由.
解答
达标检测
1.某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：
则这组数据的中位数是
A.19
√B.20
C.21.5
D.23
解析 由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有
5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数
1.1一维数据的数字特征
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统计学与其他学科的关系
统计与数学：
数学思维以演绎为主;统计以归纳 为主,兼有演绎; 数学是工具：统计各领域利用几乎 路口每过去20辆小轿车，有100辆自 所有数学;但统计本身的数学为具 行车通过.平均每10个轿车载12个人. 体目标服务,一般不形成数学体系。 于是，你认为小轿车和自行车在路
§1.1 一维数据的数字特征
1.1.1 一维总体的分布 1.1.2 表示位置的数字特征 1.1.3 表示分散性的数字特征 1.1.4 表示分布形状的数字特征
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1.1.1 一维总体的分布
X为一维总体，分布函数
pi X离散，分布P{ X xi } pi (i 1,2,) F ( x) P{ X x} xi x x f ( x)dx X连续， 密度f ( x)
政治算术
1620—74)和威廉.配第 (W.Petty 1623-87)。主张以数字、重量和尺度来 说话，用图表形式概括数字资料.
创始人比利时凯特勒(L.A.J.Quetelet
数理统计
179674),产生19世纪中，把概率论引进统计学,为统 计数量分析奠定数理基础(数学统计学院).
代表人恩格尔(1821-96)和梅尔(1841-1925).19世
应用广、历史长、速度快、功能强、有统计包。
需编程，操作不易。
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0.5 应用案例及选题参考
美国选举例子：
谁会在1936选举中获胜 ?Alf London还是 F.D.R.(罗斯福)? Literary Digest (文摘)送出一千万份问卷(返回 二百四十万份)后,预测London会赢. 而Gallop(盖洛普)只问了5000人说 Roosevelt (罗斯福)会赢. 最后罗斯福和盖洛普都赢了.文摘倒闭了.
数据的数字特征
四分位极差
R1 Q3 Q1
四分位标准差
ˆ R1
1.349
三均值
Mˆ
1 4
Q1
1 2
M
1 4
Q3
描述数据集中位置的稳健估计
总体标准差 的稳健估计
下截断点 上截断点
Q1 1.5R1 Q3 1.5R1
小于下截断点的数据为特小值 大于上截断点的数据为特大值
特小值、特大值合称异常值.
用PROC UNIVARIATE过程计算分位数、四分位极差；用
计算均值、方差、标准差、变异系数、偏度、峰度 解 用SAS系统PROC UNIVARRIATE 过程计算，得
x 73.660
S 2 15.524
S 3.940
CV 5.349
g1 0.061
g2 0.034
偏度、峰度的绝对值皆较小，可以认为数据是来自正态总体的样
本.
1.2 中位数、分位数、三均值与极差
当数据是某些总体随机取出的样本时，数据数字特征即是样本的 数字特征.与样本数字特征对应的是总体的数字特征.样本数字特征是 相应的总体数字特征的矩估计.
例1.2 某单位对100名女学生测定血清总蛋白含量(g/L),数据如 下：
74.3 78.8 68.8 78.0 70.4 80.5 80.5 69.7 71.2 73.5 79.5 75.6 75.0 78.8 72.0 72.0 72.0 74.3 71.2 72.0 75.0 73.5 78.8 74.3 75.8 65.0 74.3 71.2 69.7 68.0 73.5 75.0 72.0 64.3 75.8 80.3 69.7 74.3 73.5 73.5 75.8 75.8 68.8 76.5 70.4 71.2 81.2 75.0 70.4 68.0 70.4 72.0 76.5 74.3 76.5 77.6 67.3 72.0 75.0 74.3 73.5 79.5 73.5 74.7 65.0 76.5 81.6 75.4 72.7 72.7 67.2 76.5 72.7 70.4 77.2 68.8 67.5 67.5 67.3 72.7 75.8 73.5 75.0 73.5 73.5 73.5 72.7 81.6 70.3 74.3 73.5 79.5 70.4 76.5 72.7 77.2 84.3 75.0 76.5 70.4
(公开课)用样本的数字特征估计总体的数字特征ppt课件
中位数：在频率分布直方图中，中位数的左 右两边的直方图的面积相等，都为0.5；
平均数：每个小矩形的面积乘以中点的横坐 标之和
（平均数：每个频率乘以中点的横坐标之和）
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例题讲解
例：某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理
后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右
而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，
∴中位数应位于第四个小矩形内．
设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，
故中位数应为70＋6.7＝76.7.
（2）平均成绩为
45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋
75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈74，
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在上一节抽样调查的100位居民的月均 用水量的数据中，我们来求一下这一组样本 数据的 众数、中位数和平均数
众数 =2.3（t）
中位数=2，观察这组数据的频率分布直方图，能
否得出这组数据的众数、中位数和平均数？
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如何利用频率分布直方图求众数:
在0.5,1内的8个数据的0和 .7为 58： ；
在1,1.5内的15个数据： 的1和.2为 515；
所 以 平 均 数 为
x0.2540.7581 .251 54 .252 100
4 0.25 8 0.751 51 .25 2 4 .2 5
100
100
100
100
2 .02
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