数据的数字特征
教案《数据的数字特征》
教案《数据的数字特征》第一章：数据的描述1.1 数据的概念与分类理解数据的概念掌握数据的分类：定量数据、定性数据1.2 数据的收集与整理学习数据收集的方法理解数据整理的意义掌握数据整理的基本技巧第二章：平均数2.1 平均数的定义与计算理解平均数的概念学会计算简单数据的平均数2.2 平均数的作用与局限性理解平均数在数据分析中的作用认识平均数的局限性第三章：中位数3.1 中位数的定义与计算理解中位数的概念学会计算简单数据的中位数3.2 中位数的作用与局限性理解中位数在数据分析中的作用认识中位数的局限性第四章：众数4.1 众数的定义与计算理解众数的概念学会计算简单数据的众数4.2 众数的作用与局限性理解众数在数据分析中的作用认识众数的局限性第五章：方差5.1 方差的定义与计算理解方差的概念学会计算简单数据的方差5.2 方差的作用与局限性理解方差在数据分析中的作用认识方差的局限性第六章：标准差6.1 标准差的定义与计算理解标准差的概念学会计算简单数据的标准差6.2 标准差的作用与局限性理解标准差在数据分析中的作用认识标准差的局限性第七章：离散系数7.1 离散系数的定义与计算理解离散系数的概念学会计算简单数据的离散系数7.2 离散系数的作用与局限性理解离散系数在数据分析中的作用认识离散系数的局限性第八章：数据的关系与趋势8.1 数据的关系：相关系数理解相关系数的概念学会计算简单数据的相关系数8.2 数据的趋势：趋势线理解趋势线的作用学会绘制简单数据的趋势线第九章：数据的分布9.1 数据的正态分布理解正态分布的概念学会识别正态分布的数据9.2 数据的偏态分布理解偏态分布的概念学会识别偏态分布的数据回顾本章所学的内容理解各种数字特征在数据分析中的应用10.2 数据的数字特征应用实例通过实例分析，运用所学知识解决实际问题重点和难点解析重点一：数据的分类数据的分类是理解后续数字特征的基础。
定量数据和定性数据的区别需要学生深刻理解，这将直接影响到对平均数、中位数、众数等概念的理解。
5.1.2 高中必修二数学教案《数据的数字特征》
高中必修二数学教案《数据的数字特征》教材分析在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。
（由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。
）在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地领悟它们各自的特点，在详尽的问题中依照情况有针对性地选择一些合适的数字特点。
学情分析在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。
在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，学生经历分析数据、作出推断的过程，可以进一步体会统计对决策的作用。
教学目标1、通过实例，理解数据的数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数，理解不同数字特征的优势与不足。
2、会用求和符号表示平均数，掌握求和符号的性质。
3、能根据现实问题的需要选择适当的数字特征来表达数据信息，体会数字特征在分析数据时的重要作用，培养数学抽象能力、数学运算能力、数据分析素养。
教学重点平均数、中位数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。
教学难点根据问题的需要，选择适当的数字特征来表达数据的信息。
教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、情境导学如下是某学校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比。
在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值。
例如，上述情境中的两个班的成绩，我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较。
二、学习新知1、最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况。
一般地，最大值用max表示，最小值用min表示。
日常生活中，有时我们只关心数据的最值。
比如，高考部分科目实行“一年多考”，最终取的是多次考试成绩中的最大值；举重比赛中，选手有三次“试举”机会，其中成绩的最大值将计入总成绩；末位淘汰的比赛中，积分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局；等等。
《数据的数字特征》 讲义
《数据的数字特征》讲义在当今这个数字化的时代，数据无处不在。
无论是科学研究、商业决策，还是日常生活中的各种活动，我们都在不断地产生和处理着大量的数据。
而要理解和分析这些数据，就需要了解数据的数字特征。
这些数字特征能够为我们提供有关数据的重要信息，帮助我们做出更明智的决策。
一、平均数平均数是最常见的数据特征之一。
它表示一组数据的平均水平。
计算平均数的方法很简单，就是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
例如，有一组数据：10，20，30，40，50。
那么这组数据的平均数就是：（10 ＋ 20 ＋ 30 ＋ 40 ＋ 50）÷ 5 ＝ 30平均数在很多情况下都非常有用。
比如，在评估学生的考试成绩时，我们可以计算班级的平均分数来了解整体的学习水平；在计算工人的平均工资时，可以了解员工的收入状况。
然而，平均数也有其局限性。
如果数据中存在极端值（极大值或极小值），那么平均数可能会被扭曲。
例如，一个班级里大多数学生的成绩都在 70 分到 90 分之间，但有一个学生考了 20 分，这会拉低班级的平均成绩，导致平均数不能准确反映大多数学生的真实水平。
二、中位数中位数是将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列后，位于中间位置的数值。
如果数据个数是奇数，那么中位数就是中间的那个数；如果数据个数是偶数，中位数则是中间两个数的平均值。
还是以上面那组数据为例：10，20，30，40，50。
将其从小到大排列为：10，20，30，40，50。
因为数据个数是 5，为奇数，所以中位数就是 30。
如果数据变为：10，20，30，40，50，60。
那么从小到大排列为：10，20，30，40，50，60。
数据个数是 6，为偶数，中位数就是（30＋ 40）÷ 2 ＝ 35中位数的优点在于它不受极端值的影响。
在前面提到的班级成绩例子中，如果存在极端低分，中位数可能更能反映班级成绩的中等水平。
三、众数众数是一组数据中出现次数最多的数值。
数据的数字特征
数据的数字特征
4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差
4.2 标准差
课前探究学习
课堂讲练互动
【课标要求】 1．掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的 特点．
2．要重视数据的计算，体会统计思想．
【核心扫描】
1．各种数字特征的意义以及计算．(重点)
2．学习标准差的概念，通过实例理解样本标准差的意义 和作用，会由方差求标准差．(重点、难点)
课前探究学习 课堂讲练互动
1 s乙＝ [(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋ 6 (100－100)2＋(100－100)2]＝1(cm2)． (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又 s2 >s2 ，所 甲 乙 以乙机床加工零件的质量更稳定．
用标准差．
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一
求一组数据的平均数、中位数和众数
【例1】在一次乒乓球单打比赛中，甲选手在1比3落后的情况 下连扳三局，4比3击败乙选手成功卫冕，这七局的比分 是：4∶18，8∶11，11∶5，4∶11，11∶9，11∶8，
11∶6.试分别计算这两位运动员成绩的平均数、众数和中
【题后反思】 用样本估计总体时，样本的平均数、标准 差只是总体的平均数、标准差的近似值．实际应用中，当 所得数据平均数不同时，须先分析平均水平，再计算标准 差(方差)分析稳定情况．
课前探究学习 课堂讲练互动
【训练3】甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为了 检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为： 甲：99 100 98 100 100 103
1 [错解] (1)该单位员工的月工资的平均数为 ×(5×800＋ 50 10×1 000＋20×1 200＋7×1 500＋5×2 000＋3×2 500)＝ 1 320(元)，中位数为 1 200 元，众数为 1 200 元．
北师大版数学必修三课件.4数据的数字特征4
[特别提示] 中位数不一定在这组数据中，而众数必定在该组数据中，有时一组数中有 好几个众数. 2．极差、方差、标准差 刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差． 极差：把一组数据中最大值与最小值的__差___ 叫作这组数据的极差．极差对 极值非常敏锐，一定程度上表明了该组数据的分散程度．
[解析] (1)平均数 x ＝115×(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋ 120×2)＝320(件)，中位数为 210 件，众数为 210 件．
(2)不合理．因为 15 人中就有 13 人的销售额达不到 320 件，也就是说 320 虽 是这一组数据的平均数，但它却不能反映销售人员的一般水平．销售额定为 210 件要合理些，这是由于 210 既是中位数又是众数，是绝大部分人都能达到的销售 额．
1．下列刻画一组数据离散程度的是( B )
A．平均数
B．方差
C．中位数
D．众数
[解析] 方差能够刻画一组数据的离散程度，故选B．
2．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：
件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( A )
A．3,5
B．5,5
C．3,7
『规律总结』 (1)平均数与每一个样本数据有关，任何一个样本数据的改 变都会引起平均数的改变，而中位数、众数都不具有该性质．
(2)众数考查各数据出现的次数，大小只与这组数据中的部分数据有关，当 一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反应问题.
(3) 中 位 数 仅 与 数 据 的 排 列 位 置 有 关 ， 某 些 数 据 的 变 动 对 中 位 数 没 有 影 响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在该组数据中．
数字特征知识点总结
数字特征知识点总结数字特征的基本概念数字特征是数据集中的一种统计量，用来描述和量化数据的属性和特性。
它们通常使用在描述性统计和数据分析中，可以帮助我们更好地理解数据的分布、中心趋势、离散程度和相关性等方面。
常见的数字特征包括均值、中位数、标准差、最大值、最小值、四分位数等。
这些数字特征可以直观地反映数据集的特征和规律，帮助我们进行深入的数据分析和挖掘。
常见的数字特征1. 均值（Mean）：均值是一个数据集中所有数值的平均值，它可以反映数据的集中趋势。
均值的计算方法是将所有数值相加，然后除以数据集的大小。
2. 中位数（Median）：中位数是数据集中所有数值按大小排列后的中间值，它可以反映数据的中间位置。
如果数据集的大小为奇数，则中位数为中间的数值；如果数据集的大小为偶数，则中位数为中间两个数值的平均值。
3. 众数（Mode）：众数是数据集中出现次数最多的数值，它可以反映数据的集中趋势。
一个数据集可能有一个众数，也可能有多个众数。
4. 标准差（Standard Deviation）：标准差是数据集中所有数值与均值之间的差异程度的一种度量，它可以反映数据的离散程度。
标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。
5. 最大值（Maximum）和最小值（Minimum）：最大值是数据集中的最大数值，最小值是数据集中的最小数值。
6. 四分位数（Quartiles）：四分位数是将数据集按大小分成四等份后的三个分割点，分别是上四分位数、中位数和下四分位数。
它们可以帮助我们了解数据的分布情况和中位数的位置。
以上是常见的数字特征，它们可以帮助我们更全面地了解和描述数据集的特性和属性。
在接下来的部分，我们将介绍数字特征的计算方法和应用场景。
数字特征的计算方法计算数字特征的方法根据不同的特征有所不同，这里我们将介绍常见数字特征的计算方法。
1. 均值的计算方法：均值的计算方法是将所有数值相加，然后除以数据集的大小。
数字特征总结
数字特征总结数字特征是指数据集中的数字变量或特征。
在数据分析和机器学习中，数字特征提供了对数据的量化描述，帮助我们理解数据的分布、趋势和关系。
本文将总结数字特征的常见统计量、分布和常见处理方法。
常见统计量均值（Mean）均值是一组数据的平均值，是最常用的统计量之一。
计算均值的公式如下：mean = (x1 + x2 + ... + xn) / n其中，x1, x2, …, xn 为给定的数据，n 为数据的个数。
中位数（Median）中位数是将一组数据从小到大排列后，位于中间位置的数值。
如果数据个数为奇数，则中位数为排序后的中间值；如果数据个数为偶数，则中位数为排序后中间两个数的平均值。
众数（Mode）众数是一组数据中出现次数最多的数值。
一个数据集可能存在多个众数，也可能没有众数。
方差（Variance）方差是一组数据与均值之间的差异程度的度量。
方差越大，数据分散度越大；方差越小，数据分散度越小。
计算方差的公式如下：variance = ((x1 - mean)^2 + (x2 - mean)^2 + ... + (xn - mean)^2) / n 其中，x1, x2, …, xn 为给定的数据，mean 为数据的均值，n 为数据的个数。
标准差（Standard Deviation）标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
标准差越大，数据越分散；标准差越小，数据越聚集。
计算标准差的公式如下：standard deviation = sqrt(variance)其中，variance 为数据的方差。
常见分布正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的概率分布之一，具有钟形曲线的形状。
在正态分布中，均值、中位数和众数相等，分布呈对称性。
偏态分布（Skewed Distribution）偏态分布是指分布曲线不对称的概率分布。
正偏态分布的分布曲线右侧较长，左侧较短；负偏态分布的分布曲线左侧较长，右侧较短。
学案2：5.1.2 数据的数字特征
5.1.2 数据的数字特征【导学聚焦】【问题导学】预习教材内容，思考以下问题： 1．数据的数字特征主要有哪些？ 2．实际问题是如何用数字特征刻画的？ 3．方差与标准差有什么关系？【新知初探】1．最值一组数据的最值指的是其中的 与 ，最值反应的是这组数最 的情况．一般地，最大值用 表示，最小值用 表示． 2．平均数(1) x －＝1n (x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )＝ ；其中符号“∑”表示 ，读作“西格玛”. (2)求和符号的性质： ①∑i ＝1n(x i ＋y i ) ＝ ；②∑i ＝1n( kx i ) ＝ ；③∑i ＝1nt ＝ ；④1n ∑i ＝1n(ax i ＋b )＝ ． 3．中位数、百分位数(1)如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称 为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数．(2)设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，x3，…，x n，计算的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数．特别地，规定：0分位数是(即最小值)，100%分位数是(即最大值)．4．众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的，出现次数最多的数据称为这组数据的．5．极差、方差与标准差(1)极差：一组数的极差指的是这组数的减去所得的差．(2)方差：s2＝．(3)如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的方差为；(4)方差的算术平方根为．标准差描述了数据相对于平均数的．【自我检测】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)中位数是一组数据中间的数．()(2)众数是一组数据中出现次数最多的数．()(3)一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．()奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为()A．减少计算量B．避免故障C．剔除异常值D．活跃赛场气氛已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________，25%分位数为________．样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．【探究互动】探究点一利用概念求平均数、中位数、众数【例1】某电冰箱专卖店出售容积为182 L、185 L、228 L、268 L四种型号的同一品牌的冰箱，每出售一台，售货员就做一个记录，月底得到一组由15个268，66个228，18个185和11个182组成的数据．(1)这组数据的平均数有实际意义吗？(2)这组数据的中位数、众数分别是多少？(3)专卖店总经理关心的是中位数还是众数？【规律方法】一组数据中出现次数最多的数据是众数，它是我们关心的一种集中趋势，通常选择众数进行决策．【跟踪训练】若数据3.2，3.4，3.2，x，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________．探究点二利用三数——平均数、众数、中位数解决问题【例2】某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．【规律方法】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用．【跟踪训练】小王数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10%、30%、60%量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少？探究点三极差、方差与标准差【例3】某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩(单位：环)相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业)．甲、乙两人射箭成绩统计表(1)a＝________；x－乙＝________；(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；(3)①观察图，可看出________的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．【规律方法】此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a的值进而利用方差的意义比较稳定性即可．【跟踪训练】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)：(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．【达标反馈】1．已知一组数据2，1，x ，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是( ) A ．2 B ．2.5 C ．3D ．52．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2，3x 2－2，3x 3－2，3x 4－2，3x 5－2的平均数和方差分别为( ) A ．2，13B ．2，1C ．4，23D ．4，33．样本101，98，102，100，99的标准差为( ) A. 2 B ．0 C ．1 D ．24. i ＝15（2i －1）＝ .5．甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________．【参考答案】【新知初探】1．最值 最大值 最小值 极端 max min2．平均数 (1) 1n ∑i ＝1nx i ＝nt求和(2) ①∑i ＝1nx i ＋∑i ＝1ny i②k ∑i ＝1nx i③nt ④a x －＋b3．中位数、百分位数 (1) x n ＋1 x n ＋x n ＋12 (2)i ＝np %xi 0x i ＋x i ＋12x 1x n4．众数 频数众数 5．极差、方差与标准差 (1)最大值最小值(2) 1n ∑i ＝1n (x i －x －)2(3) a 2s 2 (4)标准差离散程度【自我检测】答案：(1)× (2)√ (3)√解析：选C.因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平． 答案：6 5解析：由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1.所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：2【探究互动】探究点一 利用概念求平均数、中位数、众数 【例1】【解】 (1)这组数据的平均数没有实际意义，对专卖店经营没有任何参考价值． (2)这组数据共有110个，中位数为228，众数为228.(3)专卖店总经理最关心的是众数，众数是228，说明容积为228 L 型号的冰箱销售量最大，它能为专卖店带来较多的利润，所以这种型号的冰箱要多进些． 【跟踪训练】解析：由题意x ＋3.42＝3.5，x ＝3.6，所以众数是3.2，平均数是16(3.2＋3.4＋3.2＋3.6＋3.9＋3.7)＝3.5. 答案：3.2 3.5探究点二 利用三数——平均数、众数、中位数解决问题 【例2】【解】 (1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73， 乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72， 丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74， 所以候选人丙将被录用．(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3， 乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2， 丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8， 所以候选人甲将被录用． 【跟踪训练】解：小王平时测试的平均成绩x －＝89＋78＋853＝84(分)．所以84×10%＋90×30%＋87×60%10%＋30%＋60%＝87.6(分)．所以小王该学期的总评成绩应该为87.6分． 探究点三 极差、方差与标准差 【例3】【解】 (1)由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30， 则a ＝30－7－7－5－7＝4，x －乙＝30÷5＝6，故答案为：4，6； (2)如图所示：(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，故答案为：乙； s 2乙＝15[(7－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2]＝1.6， 由于s 2乙＜s 2甲，所以上述判断正确．②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中． 【跟踪训练】解：(1) x －甲＝18(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，x －乙＝18(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分． (2)由(1)知x －甲＝x －乙＝85分，所以s 2甲＝18[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5， s 2乙＝18[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41. ①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同； ②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为x －甲＝x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力． 综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．【达标反馈】1．解析：选B.由众数的意义可知x ＝2，然后按照从小到大的顺序排列这组数据，则中位数应为2＋32＝2.5.2．答案：D3．解析：选A.样本平均数x －＝100，方差为s 2＝2， 所以标准差s ＝2，故选A.4. 解析： i ＝15(2i －1)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：255．解析：由题意知x －乙＝6，s 2乙＝6<s 2甲，则乙的成绩比较稳定． 答案：乙。
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§4 数据的数字特征【自主探讨学习】 【自主归纳】1、平均数：一组数据的和与这组数据的个数的商，数据, ,……，的平均数=nx x x n+++ 212、中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数成为这组数据的中位数。
若个数为偶数，中位数为位于中间的数的平均数，若个数为奇数，位于中间的数为中位数。
3、（1）众数：一组数据中出现次数最多的数为这组数据的众数。
（2）众数特征：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有。
反应该数据的集中趋势 4、极差 一组数据的最大值与最小值的差成为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况。
5、标准差：样本数据到平均数的一种平均距离。
S=nx x x x x x n 22221)()()(-++-+-6、方差，即标准差的平方 =【问题研讨】疑点一：中位数，众数和平均数的作用及区别①中位数，众数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量 ②平均是的大小与一组数据里的每个数的大小均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动。
③众数考察各数出现的频率，其大小与这组数据中部分数据又关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往能反映问题。
④中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不再所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其中集中趋势。
【问题研讨】：1、已知一组数据为10，20，80，40，30，90，50，40，50，40.这组数据的众数是40，中位数是40 平均数是_____。
2、某鞋厂为了了解中学生穿鞋的鞋号情况，对某中学初二某班的20名男生所穿鞋号的统计如右表：那么这20名男生鞋号数据的平均数是24.55，中位数是24.5，众数是25，在平均数、中位疑点二 方差和标准差都是用来描述一组数据被动情况的特征数，方差和标准差的大小与数据被动有何关系？数据的方差（标准差）越大，数据的波动越大，稳定性越差，反之方差（标准差）越小，波动越小，稳定性越好。
【特别提示】：（1）标准差与原始数据的单位相同，而方差的单位是原始数据单位的平方。
（2）虽然它们都反映了样本数据的离散程度，在实际问题中常用标准差。
【典例互动探究】题型一 众数，中位数和平均数的应用例1、某工厂人员及工资构成如下表（2）该问题中，平均数能客观的反应该工厂人员的工资水平吗？为什么？【名师解析】：由题可知 （1）样本容量为20 ，（2）各类人员人数及周工资可先依次求出众数中位数平均数再分析相关数据。
【请你解答】： （1）众数为100元 中位数为400元，平均数为615元（2）=615元/周 但由表格所列数据可见，只有经理工资在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实的反应该工厂人员的工资水平。
【方法提炼】（1）众数，中位数，平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数最重要。
（2）众数考查各个数据出现的频率，大小是与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题。
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给数据中，也可能不再所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势。
【互动探究】去掉经理的工资后，平均数为多少？此平均数能客观的反应该工厂人员的工资水平吗？以统计的观点来看你对此结果有什么看法？解析：=(5000×+440×+400×10+200×1)≈416元可以客观的反应该工厂人员的工资水平，从计算可以看出极端值对样本的平均数影响很大，因此在选择样本值时，应避免出现极端值。
【特别提示】（1） 加权平均数： =(+)=n f f f ,2,1分别是数据n x x x ,,,21 是出现的次数。
（2）平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量。
它是反映数据集中趋势最常用的量，中位数可靠性差，当一组数据中个别数据变动较大时，常用中位数表示数据的集中趋势，而众数求法较简便，也经常被用到，所以，考察一组数据的特征时，这三个数字特征要结合在一起考虑。
题型二方差、标准差的计算与应用例2、甲乙两人在相同条件下各射靶10次，每次命中环数分别为甲8 6 7 8 6 5 9 10 4 7乙 6 7 7 8 6 7 8 7 9 5 （1）、分别计算以上两组数据的平均数（2）、分别求出两组数据的方差（3）、根据计算结果，估计一下两人的射击情况【名师导析】求方差的步骤：⑴求，，⑵利用公式求，，⑶比较，，，，⑷做出分析。
【请你解答】（1）x甲=1074109568768+++++++++=7环x乙=105978768776+++++++++=7环(2)由方差公式==1.2列表：甲8 6 7 8 6 5 9 10 4 71 -1 0 1 -1 -2 23 -3 01 1 0 1 1 4 4 9 9 0列表：乙6 7 7 8 6 7 8 7 9 51 -1 0 0 1 -1 0 12 -2（3）x 甲=x 乙，说明甲乙两展示的平均水平相当说明甲战士射击情况波动大，乙战士设计情况比甲战士射击情况稳定。
【方法提炼】⑴平均数与方差重要的数字特征数，是总体的一种简要的描述，应该掌握其计算公式。
⑵ 计算平均数与方差时应用到还有以下几个性质，（都可以证明） ①若,,……的平均数是,则 a +b,a+b,…a+b 的平均数是a +b.②数据,,…n x 与1x +a,+a 的方差相等。
③若,,…的方差为,则a +b,a +b,…a+b 方差.【互动探究】把方差公式=[(-+(-…+(-作以下变形：=[2+]=[++…+-(+…+)+n(]=[(++…+)-2.n +n(]=(++…+-n() 公式（2）有时候用这个公式计算方差很方便，比如，求。
{64+36+49+64+36+25+81+100+16+49-}=3.0)还能不能进一步简化？由性质可知以下解法也是对的。
{1+1+0+1+1+4+4+9+9+0}=3.0)【方法提炼】当数据取数较大时，可以减去某个数（如平均数中位数），用公式（2）可求方差。
题型三 数字特征的综合应用对实际问题的分析评价，不仅要根据样本数字特征，还要综合考虑样本分布的影响，养成从多角度看问题的习惯。
例三、某校高一（1）、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下表：⑴请你对下列的一段话给予简要分析：高一（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的又最多，我得了85分，在班里可算是上游了。
” ⑵根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析并提出建议。
【名师导析】依据，平均数，众数，中位数及标准差的意义分析。
【请你解答】⑴ 由中位数可知，85分在中位数附近，位次上不算上游，但全班平均分为79分，高于平均分，众数为70分，说明这一阶段学习内容掌握得较好，可以说位于上游。
⑵ 高一（1）班的成绩的中位数为87分，说明高于87分的人占一半以上，而平均分则为79分，标准差较大，低分较多。
两极分化严重，建议加强学习困难者的帮助。
高一（2）班成绩的中位数和平均分都是79分，标准差小，学生之间差别小，学习很差的学生少，学习优异也不多。
建议提高学生成绩优秀率。
【课堂跟踪练习】1、2008年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图统计图如下图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A 、84 4.84 B 、84 1.6 C 、85 1.6 D 、85 42、已知一组数据为-3，5，7，X ，11 ，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是（ ） A 、7 B 、5 C 、6 D 、11解答：1、得分是79，84，84，86，84，87，93，最高分是93.最低分是79，则去掉一个最高分和一个最低分后该选手的得分是84，86，84，84，87，计算得平均数是85，方差是1.6答案是C 。
2、这组数据的众数为5，则5出现的次数最多，X=5，那么，这组数据按从小到大排列为-3，5，5，7，11，则中位数为5，选B 。
3、若40个数据的平方和是56，平均数为则这组数据的方差是0.9 ，标准差是10103解析：设40个数据为.(i=1,2,……40)平均数为则= [=)=0.9S==101034、甲乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中个抽出10袋，测得其实际质量分别如下（单位：克）（1） 分别计算两个样本的平均数与方差。
（2） 从计算结果看，哪台包装机包装的十袋糖果的平均质量更接近于200克？哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？ 解：（1）=（1+0+8+6+10+9+0-7-6-6）+200=201.5克S甲2=S乙2=[1+0+64+36+100+81+0+49+36+36-10]=38.05(2) ∵＜∴甲台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克。
∵SS∴甲台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定，【放飞思维】已知数据,,……分别出现次数为且+……+=n 。
问如何求平均数及方差？解答：=(+)=【课后限时检测】1、下列刻画一组数据离散程度的是（）A、平均数B、方差C、中位数D、众数2、已知一个样本中含有5个数据3，5，7，4，6 则样本方差为（）A 、1B 、2 C、3 D、4解：=5 =【+++】=23、下列说法⑴一组数据不可能有两个众数⑵一组数据的方差必须是正数⑶将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变⑷在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组频率.其中错误的个数是（）A、0B、1C、2D、3解析：一组数据可能有两个或多个众数，所以1错误，一组数据的方差可以是0，此时各个数据都相等，所以2错误，3，4正确，答案为C。
4、10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12设其平均数为a，中位数为b，众数为c。
则（）A、a＞b＞cB、b＞c＞aC、c＞a＞bD、c＞b＞a解析：由小到大排列，10，12，14，14，15，15，16，17，17，17则a=14.7 b=15 c=17则c＞b＞a 答案为D。
5、现有某一型号的汽车50辆，为了了解这种汽车每耗油1升所行路程情况，要从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油1升所行路程的实验，得到如下数据（单位KM）11，15，9，12，13则样本方差是（）A 、20 B、12 C、4 D、2解析：计算得平均数=【+】=4答案为C。
则该班学生右眼视力的众数为1.2 0.8解析：中间位置的数据0.8 为中位数，出现次数最多的数据1.2是众数。