专题4：导数及其应用

1．教材中列出的导数公式要熟练掌握．
2．点（a，f(a)）是切点．突出切点的三个作用：①求切线斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
3．直线y＝b是一条与x轴平行的直线．通过研究函数f(x)的单调性得出函数f(x)的最小值f(0)＝1．
4．结合函数的简图进行动态研究．
例2已知函数f(x)＝(1＋)ex，其中a＞0．
3．解一元二次不等式时要结合二次函数的图象进行分类讨论．
4．根据函数的单调性的变化，通过列表写出函数f(x)的极值点．
例2设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a．
（1）对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
答案：（1）m的最大值为－．
当a≥e时，[f(x)]min＝e2－(2a＋1) e＋a．
（3）实数a的取值范围为a∈(－∞，]．
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法：
1．导函数值大于零的区间是原函数的增区间；导函数值小于零的区间是原函数的减区间．求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集．
2．求函数在闭区间上的最值，先求出函数的极值点，研究函数在这个闭区间上的简图，比较极值点和区间端点分别对应的函数值大小．
（2）当a≤1时，[f(x)]min＝－2a；当1＜a＜e时，[f(x)]min＝a(lna－a－1)；
当a≥e时，[f(x)]min＝e2－(2a＋1) e＋a．
（3）实数a的取值范围为(－∞，]．
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法：
1．导函数值大于零的区间是原函数的增区间；导函数值小于零的区间是原函数的减区间．求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集．
[第三层次]
例1已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx－2的图象在与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设函数g(x)＝f(x)＋mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值．
答案：（1）函数的解析式为f(x)＝x3－2x2＋x－2．
二、方法选择与优化建议：
1．结合函数简图，突出数形结合的数学思想．
答案：（1）略．
（2）m的取值范围是[1，2]．
（3）实数λ的最小值是，且此时m＝2．
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法：
1．含绝对值的函数通常要讨论绝对值里面式子的正负设法去掉绝对值，最终变为分段函数之后进行研究．
2．证明一个三次函数是单调增函数，只要证明它的导函数恒大于0或大于等于0（原函数不能是常函数）．
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法：
1．函数零点的概念．
2．结合二次函数图象解一元二次不等式．求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集．
3．根据函数的零点和极值点，以及它们的大小关系画出函数f(x)的简图，关注到x＜－a时，f(x)＞0．
例3．已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx．
5．不等式恒成立问题
法1：分离常数法（优先）；法2：设F(x)＝f(x)－g(x)，转化F(x)的最值问题；法3：转化为二次不等式恒成立问题；法4：转化为一次不等式恒成立问题．
6．方程有解(解的个数)问题
方程有解(解的个数)问题、图象交点问题、函数零点问题之间可以相互转化F(x)的图象问题．两者均要充分利用数形结合法．
例2已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx．
（1）当a＝1时，求函数f(x)的单调增区间；
（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值；
（3）设g(x)＝(1－a)x，若存在x0∈[，e]，使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围．
答案：（1）函数f(x)的单调增区间为（0，）和（1，＋∞）．
（1）求函数f(x)的零点；
（2）讨论y＝f(x)在区间（－∞，0）上的单调性；
（3）在区间（－∞，－]上，f(x)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）函数f(x)的零点为－a．
（2）区间（－∞，）是f(x)单调增区间；区间（，0）是f(x)单调减区间．
（3）在区间（－∞，－]上f(x)存在最小值f(－)．
②当a＞0时，（－∞，－）和（，＋∞）是函数f(x)单调增区间；（－，）是函数f(x)单调减区间．x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法：
1．点（2，f(2)）是切点．突出切点的三个作用：①求切线斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
2．导函数值大于零的区间是原函数的增区间；导函数值小于零的区间是原函数的减区间．
2．求函数在闭区间上的最值，先求出函数的极值点，研究函数在这个闭区间上的简图，比较极值点和区间端点分别对应的函数值大小．
3．由于本题极值点是一个字母，要讨论这个极值点与所给闭区间的关系，突出分类讨论的思想．
4．帮助学生理解题意，得出不等式f(x)≥g(x)在[，e]上有解，通过分离常数法，研究函数的最大值得出实数a的取值范围．
5．在对不等式变形时，要注意不等式两边同时除以的是正数还是负数，关注不等号方向的变化．本题可以适当变式帮助学生理解题意．
例3已知函数f(x)＝x|x2－3|，x∈[0，m]．
（1）若m＜1，求证：函数f(x)是增函数；
（2）如果函数f(x)的值域是[0，2]，试求m的取值范围；
（3）如果函数f(x)的值域是[0，λm2]，试求实数λ的最小值．
（2）a＜2或a＞．
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法：
1．不等式恒成立问题的处理方法1：分离常数法；方法2：转化为二次不等式恒成立问题．
2．方程有解(解的个数)问题、图象交点问题、函数零点问题之间可以相互转化．
3．结合函数的单调性，研究函数的极大值、极小值，通过画出函数的简图解决问题．
二、方法选择与优化建议：
3．利用导数求出函数的单调区间和极值画出分段函数（即函数f(x)）简图，结合函数图象通过动态的研究，求出m的取值范围．
4．结合函数的简图利用函数的单调性来研究函数的值域，凸显分类讨论思想．
5．本题还可以利用函数是奇函数对问题进行适当的变式训练．解决函数问题要突出数形结合的数学思想，要充分利用导数这个工具，通过研究函数的单调性和极值画出函数的简图．
3．由于本题极值点是一个字母，要讨论这个极值点与所给闭区间的关系，突出分类讨论的思想．
4．帮助学生理解题意，得出不等式f(x)≥g(x)在[，e]上有解，通过分离常数法，研究函数的最大值得出实数a的取值范围．
5．在对不等式变形时，要注意不等式两边同时除以的是正数还是负数，关注不等号方向的变化．本题可以适当变式帮助学生理解题意．
[第二层次]
例1已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx．
（1）若曲线y＝f(x)在点（a，f(a)）处与直线y＝b相切，求a与b的值；
（2）若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同的交点，求b的取值范围．
答案：（1）a＝0，b＝1．
（2）b的取值范围是（1，＋∞）．
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法：
当＜a＜时，f(x)在[1，e]上的最小值为f()＝(ln2a－1)．
当a≥时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝a－1．
5．若不等式ax2＞lnx＋1对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
答案：a＞
6．已知f(x)＝ax2，g(x)＝lnx＋1，若y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个交点，求实数a的取值范围．
（1）当a＝1时，求函数f(x)的单调增区间；
（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值；
（3）设g(x)＝(1－a)x，若存在x0∈[，e]，使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围．
答案：（1）函数f(x)的单调增区间为（0，）和（1，＋∞）．
（2）当a≤1时，[f(x)]min＝－2a；当1＜a＜e时，[f(x)]min＝a(lna－a－1)；
导数及其应用（两课时）
一、前测训练
1．(1)曲线y＝x3上在点(－1，－1)的切线方程为．
(2)曲线y＝x3－3x2＋2x过点(0，0)的切线方程为．
答案：(1)y＝3x＋2．
(2)y＝2x或y＝－x．
2．（1）函数f(x)＝2x2－lnx的减区间为．
（2）函数 上是增函数，则实数a的取值范围为．
答案：(1)(0,)．(2)a≤．
答案：(0,)
二、方法联想
1．切线方程
涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则先设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件．
注意(1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点．
(2)切点的三个作用：①求切线斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
（2）区间（－∞，）是f(x)单调增区间；区间（，0）是f(x)单调减区间．
（3）在区间（－∞，－]上f(x)存在最小值f(－)．
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法：
1．函数零点的概念．
2．结合二次函数图象解一元二次不等式．求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集．
3．根据函数的零点和极值点，以及它们的大小关系画出函数f(x)的简图，关注到x＜－a时，f(x)＞0．
3．求下列函数极值(或最值)：
(1)f(x)＝xlnx(2)f(x)＝sinx－x，x∈[－，]
答案：(1)当x＝时，f(x)取极小值－．
(2)当x＝－时，f(x)取最小值－．当x＝时，f(x)取最大值－．
4．已知函数f(x)＝ax2－lnx－1(a∈R)，求f(x)在[1，e]上的最小值．
答案：当a≤时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)＝ae2－2．