2019届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件文新人教版
题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命
题．其中正确的是
________
.
[解析] 因为命题p和命题q都是真命题，所以命题“p∧q”是 真命题，命题“p∧(綈q)”是假命题，命题“(綈p)∨q”是真命题，
命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．
[答案] ①②③④
题型一 例1
[解析] 由x＞0时x＋1＞1，n(|x＋1)>0，知p是真命题，由2＞1,22 ＞12，－1＞－2，(－1)2＜(－2)2可知q是假命题，即p，綈q均是真命
题，故选B.
[答案] B
2 y 3．已知命题p：∃a0∈R，曲线x2＋ a ＝1为双曲线；命题q：x2 0
－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．给出下列结 论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命
＋
过(1,2)点；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x ＝1对称，则下列命题为真命题的是( A．p∧q )
B．(綈p)∧(綈q)
当x＝1时，y＝2－a2≠2，所以命题p为假，故綈p为
真；由函数f(x－1)是偶函数知，函数y＝f(x－1)的图象关于y轴对 称，由函数图象的平移法则知，y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对 称，所以命题q为假，故綈q为真．所以(綈p)∧(綈q)为真．故选B.
[答案] B
方法感悟 1．“p∨q”“p∧p”“綈p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式； (2)判断命题p，q的真假； (3)确定“p∨q”“p∧p”“綈p”形式命题的真假．
2．复合命题真假判断常用的方法 (1)直接法：即判断出p，q的真假，再判断复合命题的真假． (2)特殊值法：从题干出发通过选取特殊情况代入，作出判 断．特殊情况可能是特殊值、特殊函数、特殊点、特殊位置、特殊 向量等． (3)数形结合法：根据题设条件作出研究问题的有关图形，利用 图形作出判断，从而确定正确答案．
第一章 集合与常用逻辑用语
• 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存 在量词
◆高考导航· 顺风启程◆
最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含 义． 2.理解全称量词与存在量词的意义． 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
常见题型 常见于选择题 第1、2题，比 较容易，占5分.
[知识梳理] 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“ 结词． 且 ”、“ 或 ”、“ 非 ”叫做逻辑联
3.注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且” 的否定为“或”．
[知识自测] 1．(2018· 贵州遵义绥阳县期中)对命题“∃x0∈R，x 4≤0”的否定正确的是( )
2 0
－2x0＋
A．∃x0∈R，x2 0－2x0＋4＞0 B．∀x∈R，x2－2x＋4≤0 C．∀x∈R，x2－2x＋4＞0 D．∀x∈R，x2－2x＋4≥0
[答案] C
2．(2018· 商丘二模)已知命题p：函数y＝ax 1＋1(a＞0且a≠1)的
＋
图象恒过(－1,2)点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直 线m∥β的充要条件；则下列命题为真命题的是( A．p∧q B．(綈p)∧(綈q) )
含逻辑联结词的命题的真假(基础拿分题，自主练透)
(1)(2018· 黑龙江大庆三模)已知命题p：若a，b是实数，则
a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；命题q：“∃x0∈R，x 2 0 ＋2＞3x0” 的否定是“∀x∈R，x2＋2＜3x”，则下列命题为真命题的是( A．p∧q B．(綈p)∧q )
C．P∧(綈q)
③含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在 M 中元素 x0， 使 p(x0)成立”用符号简记为： ∃x0∈M，p(x0) .
(2)含有一个量词的命题的否定
[方法感悟] 1．含逻辑联结词命题真假判断： (1)p∧q 中一假即假． (2)p∨q 中一真必真． (3) 真，p 假， 假，p 真．
2．全(特)称命题的真假判断方法 命题名称 全称命题 真假 真 假 特称命题 真 假 判断方法一 所有对象使命题真 存在一个对象使命题假 存在一个对象使命题真 所有对象使命题假 判断方法二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真
D．(綈p)∧(綈q)
[解析]
“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，所以 ∃x0∈R，x
2 0
p为假命题；“
＋2＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋
2≤3x”，所以q为假命题；因此(綈p)∧(綈q)为真命题．故选择D.
[答案] D
(2)(2018· 吉林模拟)已知命题p：函数y＝2－ax 1(a＞0且a≠1)恒
(2)命题 p∧q、p∨q、 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假
的真假判定 p ∨q 真 真 真 假 假 假 真 真
p∧q 真 假 假 假
2．量词及含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词和存在量词 ①全称量词有： 所有的， 任意一个， 任给一个， 用符号“ 表示； 存在量词有： 存在一个， 至少有一个， 有些， 用符号“ 表示． ②含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对 M 中任意一个 x， 有 p(x)成立”用符号简记为： ∀x∈M，p(x) . ∀ ” ∃ ”
【针对补偿】 1．(2018· 广州二测)已知命题p：∀x∈R，x2>0，命题q：∃α，β ∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β，则下列命题为真命题的是( A．p∧q B．p∨(綈q) )
C．(綈p)∧q
D．p∧(綈q)
[解析] 因为∀x∈R，x2≥0，所以命题p是假命题．因为当α＝－ β时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β，所以命题q是真命题，所以p∧q是假命 题，p∨(綈q)是假命题，(綈p)∧q是真命题，p∧(綈q)是假命题．
[解析] 因为命题“∃x0∈R，x2 0－2x0＋4≤0” 的否定是“∀x∈R，x2－2x＋4＞0”．故选C. [答案] C
2．(2017· 山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a ＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是( A．p∧q )
B．p∧(綈p)
C．(綈p)∧q
D．(綈p)∧(綈q)
2019版高考数学微一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第
A．p 或 q
B．p 且 q
C．q
D．綈 p
解析：取 x＝π3，y＝56π，可知命题 p 不正确； 由(x－y)2≥0 恒成立，可知命题 q 正确，故綈 p 为真命题，p 或 q 是真命题，p 且
q 是假命题，故选 B. 答案：B
4 ．(2018·西安一中模拟 ) 命题 p ：“∃x ∈R，x2 －x ＋1>0”的 否 定綈 p 为 ________________．
A．p∧q
B．(綈 p)∨q
C．p∨q
D．(綈 p)∧(綈 q)
解析：由 f′(x)＝3x3－3<0，解得－1<x<1，故函数 f(x)＝x3－3x 在区间(－1,1)内 单调递减，即命题 p 为真命题；
(3)綈 p：与 p 的真假相反，即一真一假，真假相反． 2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
1．(2018·太原市模拟)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，ex>0
B．∀x∈R，x2≥0
C．∃x0∈R，sin x0＝2
D．∃x0∈R,2x0>x02
解析：对于选项 A，B 是恒成立的，选项 C 中不存在 x0∈R 使得 sin x0＝2，为假 命题，选项 D 中取 x0＝1，可得 21>12.故选 C.
第三节 简单逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．简单的逻辑联结词 (1)常用的简单的逻辑联结词有“__且___”或“__非___”．
(2)命题 p∧q，p∨q，綈 p 的真假判断
p
q
真
真
真
假
假
真
假
假
p∧q
真 假 假 假
p∨q
綈p
真
2019版高考数学(文理通用,新课标)一轮复习课件：第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、全
[解析] 由关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是 {x|x<0}，知0<a<1.
由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋ a>0的解集为R，则a1>－04，a2<0， 解得a>12.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即 “p假q真”或“p真q假”，
④(綈p)∨q中，真命题的序号是
A．①③ C．②③
B．①④ D．②④
()
[解析] 依题意可知，命题 p 为真命题，命题 q 为假命题， 则綈 p 为假命题，綈 q 为真命题．
所以 p∧q 为假命题，p∨q 为真命题，p∧(綈 q)为真命题，(綈 p)∨q 为假命题．
[答案] C
[方法技巧] 判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤
故1≤a≤2.
答案：[1,2]
4．[考点二]已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题 q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p ∨q是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或 a≥4；若命题q是真命题，则－a4≤3，即a≥－12.因为p∨ q是真命题，所以a∈R. 答案：R
对M中的_任__意__一__个___ x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x) _∃___x_0_∈___M__，___綈___p_(_x_0_)__
_存__在__M中的一个x0，使 p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0) ∀__x__∈__M___，__綈___p_(_x_ )
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
第三节 简单的逻辑联 结词、全称量 词与存在量词
2019-2020年高考高考数学一轮总复习第1章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件
[答案] C
[易错防范] ①处“任意”为全称量词，全称命题的否定是 特称命题，量词必须修改，这里常出现以下三种错误；一是 不改动，仍为“任意 x∈A”；二是否定“x∈A”，写为“任 意 x∉A”；三是既改量词又否定 x∈A，写为“存在 x0∉A”. ②处易出现不否定结论的情况.
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
①当 p 真，q 假时，{c|0<c<1}∩c|c>12，且c≠1＝c12<c<1. ②当 p 假，q 真时，{c|c>1}∩c|0<c≤12＝∅. 综上所述，实数 c 的取值范围是c12<c<1. [点评] 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的 参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基 本运算.
解 ∵函数 y＝cx 在 R 上单调递减，∴0<c<1.即 p：0<c<1，
∵c>0 且 c≠1，∴綈 p：c>1. 又∵f(x)＝x2－2cx＋1 在12，＋∞上为增函数， ∴c≤12.即 q：0<c≤12，∵c>0 且 c≠1， ∴綈 q：c>12且 c≠1.又∵“p 或 q”为真，“p 且 q”为假， ∴p 真 q 假或 p 假 q 真.
象关于直线 x＝1 对称；q：函数 y＝cos2x＋π6 的图象关于
点π6 ，0对称，则下列
B.p∧(綈q) D.(綈p)∨(綈q)
解析 由函数 y＝e|x－1|的图象关于直线 x＝1 对称，所以命题 p 正 确；y＝cos2×π6 ＋π6 ＝0，所以函数 y＝cos2x＋π6 的图象关于 点π6 ，0对称，所以命题 q 正确，故 p∧q 为真命题. 答案 A [点评] 理解并熟记真值表，对于较复杂的含有两个或两个 以上联结词的复合命题进行判断时，应对复合命题分割，逐 层判断真假，再判断整个命题的真假.
高三数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词理
全称量词
∀
一个等
存在一个、至少一个、有些、
存在量词
∃
某些等
3．全称命题和特称命题
名称 形式
全称命题
特称命题
结构 简记
对 M 中的任意一个 存在 M 中的一个 x0，使
x，有 p(x)成立
p(x0)成立
_∀__x_∈__M__，__p_(x_)__
_∃__x_∈__M__，__p_(_x_) __
否定
3．(2016·通州高级中学检测)若命题“∃x∈R，x2＋2ax＋ 1<0”是真命题，则实数 a 的取值范围是________． 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真 命题，所以二次方程 x2＋2ax＋1＝0 的判别式 Δ ＝4a2－4>0，所以 a<－1 或 a>1.故实数 a 的取值 范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
2．p 或 q 的否定易误写成“綈 p 或綈 q”；p 且 q 的否定易
误写成“綈 Hale Waihona Puke 且綈 q”．[小题纠偏]
1．命题“若一个数是奇数，则它的立方一定是奇数”的否 定是______________________． 解析：命题的否定一般是只否定命题的结论，即“若一
个数是奇数，则它的立方不一定是奇数”．
綈 P(x)”，故答案为：所有三角形都不是等腰三角形． 答案：所有三角形都不是等腰三角形
3．若命题“∀x∈R，x2－ax＋a≥0”为真命题，则实数 a 的取值范围是________． 解析：由条件得 Δ＝a2－4a≤0，解得 0≤a≤4. 答案：[0,4]
1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改 写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3课简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件
[思想与方法] 1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特 别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼， 要结合语句的含义理解． 2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：
p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p 与綈 p→
真假相反． 3．要写一个命题的否定，需先分清其是
全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去 写，否定的规律是“改量词，否结论”．
老师没提了一个问题，同学们就应当立即主动地去思考，积极地寻找答案，然后和老师的解答进行比较。通过超前思考，可以把注意力集中在对这些“难点”的理解 上，保证“好钢用在刀刃上”，从而避免了没有重点的泛泛而听。通过将自己的思考跟老师的讲解做比较，还可以发现自己对新知识理解的不妥之处，及时消除知识 的“隐患”。
二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数 a 的取值范围是 ________．
[－8,0] [当 a＝0 时，不等式显然成立． 当 a≠0 时，依题意知aΔ＜＝0a，2＋8a≤0， 解得－8≤a＜0. 综上可知－8≤a≤0.]
含有逻辑联结词的命题的真假判断
(2017·徐州模拟)已知命题 p：对任意 x∈R，总有 2x>0； q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件． 则下列命题为真命题的是________．(填序号)
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.简单的逻辑联结词1.含简单的逻辑联结词的命题真假的判断2.由含逻辑联结词的命题的真假求参数范围A 填空题★☆☆2.全称量词与存在量词1.全称命题和存在性命题真假的判断2.全称命题和存在性命题的否定A 填空题★☆☆分析解读江苏高考近五年没有考查本部分知识,在复习时主要要理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,会写含有全称量词与存在量词的命题的否定.五年高考考点一简单的逻辑联结词(2014湖南改编,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(填序号).答案②③考点二全称量词与存在量词1.(2015课标Ⅰ改编,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为.答案∀n∈N,n2≤2n2.(2015山东,12,5分)若“∀x∈,t an x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案 13.(2013重庆理改编,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.答案存在x0∈R,使得<04.(2013四川理改编,4,5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则¬p为.答案∃x∈A,2x∉B三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一简单的逻辑联结词1.(苏教选2—1,一,2,变式)若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题中为真的是.①p且q;②p或q;③ p;④ p且 q.答案②2.(苏教选2—1,一,2,变式)若p、q是两个命题,且“p或q”的否定是真命题,则p、q的真假性是.答案p假q假3.(苏教选2—1,一,2,变式)对于命题p、q,若p且q为真命题,则下列四个命题:①p或 q是真命题;②p且 q是真命题;③ p且 q是假命题;④ p或q是假命题.其中真命题是.答案①③考点二全称量词与存在量词4.(2018江苏南通中学测试)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是. 答案(2,+∞)5.(2017江苏南京溧水中学质检,2)命题“∀x∈R,x2+2x+5>0”的否定是.答案∃x0∈R,+2x0+5≤06.(2017江苏苏州期中,2)若命题p:∃x∈R,使x2+ax+1<0,则 p: .答案∀x∈R,x2+ax+1≥0B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:15分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2017江苏南京师大附中期初调研,8)已知命题p:∃x∈R,x2+2x+a≤0是真命题,则实数a的取值范围是.答案(-∞,1]2.(2017江苏前黄中学第二次学情调研,8)已知下列四个命题,其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).(1)命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”;(2)命题“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”的逆命题为真命题;(3)“f '(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处取得极值”的充分不必要条件;(4)直线y=x+b不能作为函数f(x)=图象的切线.答案(2)(4)3.(2016江苏泰州一模,5)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)二、解答题(共15分)4.(2017江苏盐城期中,15)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:实数x满足<0.(1)若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解析(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0,因为a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真时,实数x的取值范围是1<x<3.<0等价于(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,即q为真时,实数x的取值范围是2<x<3.若p∨q为真,则实数x的取值范围是1<x<3.(2)p是q的必要不充分条件等价于q⇒p且p⇒/ q,则有或所以实数a的取值范围是1≤a≤2.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 含有逻辑联结词的命题的真假判断1.若命题p:不等式4x+6>0的解集为,命题q:关于x的不等式(x-4)(x-6)<0的解集为{x|4<x<6},则“p且q”“p或q”“ p”形式的命题中的真命题是.答案p或q,p且q2.分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“ p”形式的命题的真假.(1)p:6<6,q:6=6;(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分;(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,q:不等式x2+x+2<0无解;(4)p:函数y=cos x是周期函数,q:函数y=cos x是奇函数.解析(1)∵p为假命题,q为真命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题, p为真命题.(2)∵p为假命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为假命题, p为真命题.(3)∵p为真命题,q为真命题,∴p∧q为真命题,p∨q为真命题, p为假命题.(4)∵p为真命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题, p为假命题.方法2 全称(存在性)命题真假的判定3.下列命题中的真命题的个数是.①∃x∈R,使得sin x+cos x=;②∃x∈(-∞,0),2x<3x;③∀x∈(0,π),sin x>cos x.答案04.已知命题p:∃x∈R,使tan x=1,命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是.①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ q”是假命题;③命题“ p∨q”是真命题;④命题“ p∧ q”是假命题.答案④方法3 全称(存在性)命题的否定5.(2018江苏姜堰中学高三期中)命题“∀x∈,s in x>0”的否定是.答案∃x∈,sin x≤06.命题“任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.答案存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤37.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定:(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0.解析(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此, p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立.(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”,因而是存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此, p:∀x∈R,x2+2x+5≤0.方法4 与逻辑联结词、全称(存在性)命题有关的参数问题8.(2018江苏盐城高三(上)期中)命题“∃x∈R,使x2-ax+1<0”是真命题,则a的取值范围是.答案(-∞,-2)∪(2,+∞)9.已知p:函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q:4x2+4(m-2)x+1>0恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m 的取值范围.解析若函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,则-≤-1,∴m≥2,即p:m≥2;若4x2+4(m-2)x+1>0恒成立,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3,即q:1<m<3.因为p或q为真,p且q为假,所以p、q一真一假,当p真q假时,解得m≥3.当p假q真时,解得1<m<2.综上可知,m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.。
2019版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件理
4.下列四个命题中的真命题为 ( D )
A.∃x0∈Z,1<4x0<3 C.∀x∈R,x2-1=0 B.∃x0∈Z,5x0+1=0 D.∀x∈R,x2+x+2>0
答案 D
选项A中, <x0< 且x0∈Z,不成立;选项B中,x0=- ,与x0∈Z矛
1 4
3 4
1 5
盾;选项C中,x≠±1时,x2-1≠0;选项D正确.
第三节 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词
总纲目录
教材研读
1.简单的逻辑联结词 2.全称命题和特称命题
考点突破
考点一 考点二 考点三 全称命题与特称命题 含逻辑联结词的命题的真假判断 由命题真假确定参数的取值范围
教材研读
1.简单的逻辑联结词
(1)常用的简单的逻辑联结词有① 或 、② 且 、③ 非 . (2)命题p∧q、p∨q、¬ p的真假判断
5.设命题p:函数f(x)=ex-1在R上为增函数;命题q:函数f(x)=cos(x+π)为奇函
数.则下列命题中真命题是 ( A.p∧q C.(¬ p)∧(¬ q) B.(¬ p)∨q D.p∧(¬ q)
D
)
答案 D 由复合函数的单调性知,命题p为真. f(x)=cos(x+π)=-cos x,易
全称命题
形式 简记 否定 对M中任意一个x,有p(x)成立 ⑥ ⑧ ∀x∈M ∃x0∈M , p ( x) ,¬ p ( x0 )
特称命题
存在M中的一个x0,使 p(x0)成立 ⑦ ⑨ ∃x0∈M ∀x∈M , p ( x0 ) ,¬ p ( x)
1.命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是 ( A ) A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1 C.∃x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1 D.∃x0∉(0,+∞),ln x0=x0-1 答案 A 特称命题的否定为全称命题,所以∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1的 否定是∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1,故选A.
高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲逻辑联结词全称量词与存在量词
第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理·双基自测知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬ p，(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定(1)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬ q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬ q)．重要结论1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √)(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √)(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √)题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三走向高考4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是①③④．①p1∧p4②p1∧p2③(¬ p 2)∨p 3 ④(¬ p 3)∨(¬ p 4)[解析] 对于命题p 1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A 、B 、C ，易知A 、B 、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A ∈α，B∈α，可得直线AB ⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p 1是真命题；对于命题p 2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p 2是假命题，从而¬ p 2是真命题； 对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而¬ p 3是真命题；对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p 4是假命题．综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(¬ p 2)∨p 3是真命题，(¬ p 3)∨(¬ p 4)是真命题，所以答案为①③④.5．(2016·浙江，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n<x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．6．(2015·山东，5分)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．[解析] 由已知可得m≥tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)恒成立．设f(x)＝tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m 的最小值为1.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一 含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )A ．(¬ p)∨(¬ q)B ．p ∧(¬ q)C ．(¬ p)∧(¬ q)D ．p ∨q(2)(多选)命题p ：若sin x>sin y ，则x>y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy.下列命题为真命题的是( ACD ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．¬ p(3)已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p∨q 为假；③p∨q 为真；④(¬ p)∨(¬ q)为假． 其中，正确的是②．(填序号)[解析] (1)命题p 是“甲降落在指定范围”，则¬ p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬ q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬ p)∨(¬ q)．(2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y)2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬ p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题． (3)命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．考点二 含有一个量词的命题——多维探究 角度1 全称命题、特称命题的真假例2 (多选题)( 2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是( ACD ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x<1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[解析] 根据指数函数的值域知A 是真命题；取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 是假命题；取x ＝1，计算知lg x ＝0<1，故C 是真命题；由y ＝tan x 的值域为R.知D 是真命题．故选ACD ．角度2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≤0”，则¬ p 为( C ) A ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x ∈R ，xx －1≥0”的否定是( D )A ．∃x ∈R ，x 0x 0－1<0B ．∃x ∈R ，0<x 0<1C ．∀x ∈R ，xx －1≤0D ．∃x ∈R ，0<x 0≤1[解析] (1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬ p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C ． (2)∀x ∈R ，x x －1≥0的否定是∃x 0∈R ，使xx －1不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x 0∈R ，0<x 0<1或x 0＝1，故选D ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 全(特)称命题真假的判断方法全称命题特称命题真假 真假真假法一 证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现． 角度3 含参命题中参数的取值范围例 4 已知f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对于∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋ ∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)min ≥g(x)min 得0≥14－m ，所以m≥14.[引申1]把本例中“∃x 2∈[1，2]”改为：“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥12． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)min ≥g(x)max 得0≥12－m ，所以m≥12.[引申2]把本例中，∀x 1∈[0，3]改为∃x 1∈[0，3]其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥14－ln_10．[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)max ≥g(x)min 得ln 10≥14－m ，所以m≥14－ln 10.答案：m≥14－ln 10[引申3]把本例中，∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]改为∃x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m ≥12－ln 10． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)max ≥g(x)max ，得ln 10≥12－m ，所以m≥12－ln 10.答案：m≥12－ln 10名师点拨 MING SHI DIAN BO根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围． 〔变式训练1〕(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD ) A ．∃x 0∈R ，sin 2 x 02＋cos 2 x 02＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(角度2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( B ) A ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0(3)(角度3)已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(¬ p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪{1}B ．(－∞，－2]∪[1，2]C ．(1，＋∞)D ．[－2，1](4)(角度3)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 和g(x)＝2x ＋x ＋1，对∀x 1∈[－1，＋∞)，∃x 2∈R 使g(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[解析] (1)对于A ，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x2＝1，所以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，所以B 为假命题；对于C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选A 、B 、D ．(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B ． (3)命题p 为真命题时a≤1；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真命题，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q 为真命题，即¬ p 真且q 真，所以a>1，即a 的取值范围为(1，＋∞)．故选C ．(4)因为f(x)＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1， 所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2， 所以a≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG简易逻辑的综合应用例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A ) A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．。
2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲
触类旁通 全(特)称命题真假的判断方法
(1)全称命题真假的判断方法 ①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x，证明 p(x)成立． ②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x＝x0，使 p(x0)不成立即可． (2)特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 M 中，找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可，否则这一特称命题 就是假命题．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”)
(1)命题 p∧q 为假命题，则命题 p，q 都是假命题．( × ) (2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题．( √ )
(3)若命题 p，q 至少有一个是真命题，则 p∨q 是真命 题．( √ )
(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题 p，q 中至少有一个
∴p 为真命题，綈 p 为假命题． ∵当 a＝－1，b＝－2 时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， ∴q 为假命题，綈 q 为真命题．
根据真值表可知 p∧(綈 q)为真命题，p∧q，(綈 p)∧q，
(綈 p)∧(綈 q)为假命题．故选 B.
触类旁通 “p∨q”“p∧q”“綈 p”形式命题真假的判断步骤
题，则綈 q 是真命题，p∧(綈 q)是真命题，故选 D.
5．[课本改编]命题“任意 x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命
题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
解析 命题“任意 x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充
要条件是 a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子
命题角度 2 全称命题、特称命题真假的判断
2019版高考数学一轮复习讲义 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义
§简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度.简单的逻辑联结词.含简单的逻辑联结词的命题真假的判断.由含逻辑联结词的命题的真假求参数范围填空题★☆☆.全称量词与存在量词.全称命题和存在性命题真假的判断.全称命题和存在性命题的否定填空题★☆☆分析解读江苏高考近五年没有考查本部分知识,在复习时主要要理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,会写含有全称量词与存在量词的命题的否定.五年高考考点一简单的逻辑联结词(湖南改编分)已知命题:若>,则<;命题:若>,则>.在命题①∧;②∨;③∧(¬);④(¬)∨中,真命题是(填序号).答案②③考点二全称量词与存在量词.(课标Ⅰ改编分)设命题:∃∈>,则¬为.答案∀∈≤.(山东分)若“∀∈≤”是真命题,则实数的最小值为.答案.(重庆理改编分)命题“对任意∈,都有≥”的否定为.答案存在∈,使得<.(四川理改编分)设∈,集合是奇数集,集合是偶数集.若命题:∀∈∈,则¬为.答案∃∈∉三年模拟组—年模拟·基础题组考点一简单的逻辑联结词.(苏教选—,一,变式)若命题是偶数,命题是的约数,则下列命题中为真的是.①且;②或;③��;④��且��.答案②.(苏教选—,一,变式)若、是两个命题,且“或”的否定是真命题,则、的真假性是.答案假假.(苏教选—,一,变式)对于命题、,若且为真命题,则下列四个命题:①或��是真命题;②且��是真命题;③��且��是假命题;④��或是假命题.其中真命题是.答案①③考点二全称量词与存在量词.(江苏南通中学测试)若命题“存在∈≤”为假命题,则实数的取值范围是.答案(∞).(江苏南京溧水中学质检)命题“∀∈>”的否定是.答案∃∈≤.(江苏苏州期中)若命题:∃∈,使<,则��:.答案∀∈≥组—年模拟·提升题组(满分分时间分钟)一、填空题(每小题分,共分).(江苏南京师大附中期初调研)已知命题:∃∈≤是真命题,则实数的取值范围是.答案(∞].(江苏前黄中学第二次学情调研)已知下列四个命题,其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上). ()命题“∃∈>”的否定是“∀∈<”;()命题“在△中,若>,则> ”的逆命题为真命题;()“ '()”是“函数()在处取得极值”的充分不必要条件;()直线不能作为函数()图象的切线.答案()().(江苏泰州一模)若命题“存在∈≤”为假命题,则实数的取值范围是.答案(∞)二、解答题(共分).(江苏盐城期中)设:实数满足<,其中>:实数满足<.()若,且∨为真,求实数的取值范围;()若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.解析()由<,得()()<,因为>,所以<<,当时<<,即为真时,实数的取值范围是<<.<等价于()()<,解得<<,即为真时,实数的取值范围是<<.若∨为真,则实数的取值范围是<<.()是的必要不充分条件等价于⇒且⇒ ,则有或所以实数的取值范围是≤≤.组—年模拟·方法题组方法含有逻辑联结词的命题的真假判断.若命题:不等式>的解集为,命题:关于的不等式()()<的解集为{<<},则“且”“或”“��”形式的命题中的真命题是.答案或且.分别指出下列各组命题构成的“∧”“∨”“��”形式的命题的真假.()<;():梯形的对角线相等:梯形的对角线互相平分;。