第一章 集合与常用逻辑用语1-1集合

●课程标准 一、集合 1．集合的含义与表示 ①通过实例，了解集合的含义，体会元素与 集合的“属于”关系． ②能选择自然语言、图形语言、集合语言(列 举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集 合语言的意义和作用． 2．集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义，能识别 给定集合的子集． ②在具体情境中，了解全集与空集的含义．



[例2] 已知全集I＝R，集合M＝{x||x|<2， x∈R}，P＝{x|x>a}，并且M∁IP，那么a的 取值集合是 ( ) A．{2} B．{a|a≤2} C．{a|a≥2} D．{a|a<2} 解析：∵M＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2} ∁IP＝ {x|x≤a} M∁IP，∴a≥2，如下图数轴上所示．



●复习指南 1．集合的复习应抓好基本概念与运算的落实 和对集合语言的识读理解能力．建议重点训 练一下集合的运算及其与新定义题型、解析 几何的嫁接． 2．常用逻辑用语复习时，要掌握各种逻辑用 语的含义、表示方法、用法及注意事项，理 解命题结构及逻辑联结词“或”、“且”、 “非”的含义，掌握四种命题的内在联系， 熟练判断充要条件． 主要进行客观题训练，注意解答题中关键的 联结词.


分析：准确理解集合元素的特征性质和集合 中的元素与集合的关系、补集和交集的概念 是正确解题的前提．若点P∈A，则点P的坐 标满足集合A中元素的特征性质． 解析：∵P∈A，∴m<－1， 又∁UB＝{(x，y)|x＋y－n<0}，P∈∁UB， ∴n>5，故选D. 答案：D 点评：一般地，若a∈A，则元素a一定满足 集合A中元素的共同属性．

点评：关于有限集的子集个数有如下结论： (1)若A＝{a1，a2，„，an}，则A的子集个数 为2n，其中含有m(m≤n)个元素的子集个数 为Cnm个，A的真子集个数为2n－1，A的非 空真子集个数为2n－2个． (2)若{a1，a2„，am}⊆A⊆{a1，a2„，am， am＋1，„，an}，则A的个数为2n－m个，若 {a1，a2，„，am}A⊆{a1，a2，„，am， am＋1，„，am}则A的个数为2n－m－1个，若 {a1，a2，„，am}A{a1，a2，„，am， am＋1，„，an}则A的个数为2n－m－2个． (3)若{a1，a2，„，am}∪B＝{a1，a2，„，


答案：C 点评：该题立意新颖，背景公平．对考生的 思维能力和分析解决问题能力有较高的区分 度.


[例5] 已知集合A＝{(x，y)|x2－y2－y＝4}， B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0}，C＝{x|x－2y ＝0}，D＝{(x，y)|x＋y＝0}． (1)判断B、C、D间的关系；(2)求A∩B. 解析：(1)B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0} ＝{(x，y)|(x－2y)(x＋y)＝0} ＝{(x，y)|x－2y＝0或x＋y＝0}， ∴DB，集合B、D与集合C无任何关系．
合为工具考查对集合语言和集合思想的应用 水平，在考查集合知识的同时突出考查准确 使用数学语言能力及用数形结合、分类讨论 思想解决问题的能力；三是以集合为载体考 查对信息的收集、捕捉、加工能力．


2．充要条件的判断与命题的关系是考查的主 要方向，主要用客观题考查，在大题中会和 其它知识结合，以载体形式出现． 3．逻辑联结词、存在量词、全称量词，一般 不会单独命题，通常会在题目中间接考查， 若单独命题，则是简单的客观题．

集的一个非空子集，对 于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么k 是A的一个“孤立元”．给定S＝ {1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所 有集合中，不含“孤立元”的集合共有 ________个． 解析：根据题意不含孤立元的集合中，每个 元素必须有与其相邻的元素． 则满足条件的集合只能是{1,2,3}、 {2,3,4}、„„、{6,7,8}共6个． 答案：6



解析：边长为2的边是等腰三角形的底边时， 30°的角可以是三角形的底角，也可以是顶 角．故这样的三角形有两个． 边长为2的边是等腰三角形的腰长时，30° 的角可以是三角形底角，也可以是顶角，故 这样的三角形也有两个． 故适合条件的三角形共有4个．所以子集个 数为24＝16个．选B.




[例4] 设集合S＝{A0，A1，A2，A3}，在S 上定义运算⊕为：Ai⊕Aj＝Ak，其中k为i＋j 被4除的余数，i、j＝0、1、2、3，则满足关 系式(x⊕x)⊕A2＝A0的x(x∈S)的个数为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由⊕的定义知，A0⊕A2＝A2，A1⊕A2 ＝A3，A2⊕A2＝A0，A3⊕A2＝A1，A0⊕A0 ＝A0，A1⊕A1＝A2，A3⊕A3＝A2， ∵(x⊕x)⊕A2＝A0，∴x⊕x＝A2，所以x＝



误区警示 1．集合中元素的互异性 如：设P、Q为两个非空实数集合，定义集合 P*Q＝{x|x＝a·b，“·”为通常的乘法运算， a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,4}，Q＝{1,2,6}， 则P*Q中元素的个数是 ( ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：由题意可知P*Q＝{0,2,4,8,12,24}．故 选D.



1．“数形结合”思想 (1)准确把握集合元素的特征性质，把集合用 数轴、几何图形、Venn图等直观表示，可方 便地获得问题的解决． (2)关于不等式的解集的关系及运算借助数轴 讨论尤其方便 2．子集个数问题


[例] 集合A＝{一条边长为2，一个角为 30°的等腰三角形}，则集合A的子集的个数 为 ( ) A．4 B．16 C．15 D．无数个 分析：首先搞清集合A中元素个数n，然后 根据公式2n求出子集个数．

答案：B 点评：解答新定义题型，一定要先弄清新定 义所提供的信息的含义，进行必要的提炼加 工，等价转化为学过的知识，然后利用已掌 握知识方法加以解答．
3 1 设数集 M＝{x|m≤x≤m＋ }，N＝{x|n－ ≤x≤n}， 4 3 且 M，N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把 b－a 叫做 集合{x|a≤x≤b}的“长度”， 那么集合 M∩N 的“长度” 的最小值是 1 A. 3 1 C.12 2 B. 3 5 D.12 ( )

2．集合之间的关系 (1)若集合A中的任何一个元素都是集合B的元 A⊆B 素，则称集合A是集合B的子集，记作 属于集合A且属于集合B . (2)由所有
且

的元素 x∈B. 的元素 x∈B.
所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B. 属于集合A或属于集合B 若x∈A∩B，则x∈A

或 (3)由所有
解析：此题虽新定义了“长度”概念，但题意不难理 解，只要求出 M∩N，然后再求一个式子的最小值即可； 如何求 M∩N 呢？若真这样理解的话，就走弯路了． 3 其实，根本用不着求 M∩N；集合 M 的“长度”是 ， 4 3 由于 m 是一个变量，因此，这个长度为4的区间可以在区 1 间[0,1]上随意移动；同理，集合 N 的长度为 且也可以在 3 区间[0,1]上随意移动；两区间的移动又互不影响，因此 3 1 1 M∩N 的“长度”的最小值即为 －1－4＝ ，故选 C. 3 12
m



[例1] 设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A ＝{(x，y)|2x－y＋m<0}，B＝{(x，y)|x＋y－ n≥0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件 是 ( ) A．m>－1且n<5 B．m<－1且n<5 C．m>－1且n>5 D．m<－1且n>5




重点难点 重点：①理解集合、子集的概念 ②了解空集的概念和意义 ③了解属于、包含、相等关系的意义 ④理解集合的交、并、补概念及性质 ⑤会用韦恩图及数轴解有关集合问题 难点：子集与真子集、属于与包含关系、交 集与并集之间的区别与联系．




知识归纳 1．集合的基本概念 (1)某些指定的对象集在一起就成为一个集 合．其中每个对象叫做集合中的元素．集合 中的元素具有确定性、互异性和无序性． 列举法 描述法 (2)集合有三种表示方法： 、 、 还可以用区间来表示集合． 图示法． (3)集合中元素与集合的关系分为属于与不属 于两种，分别用∈和∉来表示． (4)不含任何元素的集合叫空集，用∅表示．


点评：1.一般地，在处理带参数的不等式解 集之间的关系时，要把所涉及的集合表示在 数轴上，借助其直观性正确判定．要特别注 意是否包括分界点即a＝2. 2．集合运算与不等式的联系是近年来高考 的主要题型
(2010· 广东省高考调研)集合 P＝{x|y＝ x＋1}，集合 Q＝{y|y＝ x－1}，则 P 与 Q 的关系是 ( A．P＝Q C．P Q B．P Q D．P∩Q＝∅ )


2．区分数集与点集 以数或点为元素的集合分别叫做数集或点 集．这是我们研究的主要对象，研究集合必 须搞清集合中的元素是什么． 3．解集合之间的关系题时，不要忘了空集， 正确区分交集与并集、子集与真子集





4．解决集合的子集、交集、并集、补集关系 问题时，要特别注意区间端点的值能否取 到． 你会求解下列问题吗？ 集合A＝{x|－2≤x<1}． (1)若B＝{x|x>m}，A⊆B，则m的取值范围是 ______． (2)若B＝{x|x<m}，A⊆B，则m的取值范围是 ______． 答案：(1)m<－2 (2)m≥1



3．集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义，会求 两个简单集合的并集、交集． ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义， 会求给定子集的补集． ③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体 会直观图示对理解抽象概念的作用．