高等数学II-2第一次
电子教材-高等数学二-第一章 函数与极限
第一章 函数与极限高等数学主要研究对象是变量及其之间的相互关系．极限是研究变量的一种基本的和重要的方法．本章主要讨论函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的基本性质．第一节 函数一 预备知识：1.集合由事物组成的集体，无论它们是由其成员直接表示出来的，还是由它们成员所具有的某些本质属性表示出来的，都称为集合．集合是数学中的一个原始概念，以上的定义属描述性的．几乎所有的数学分支都与集合密切相关，我们所学的这门课与实数集就是紧密相关的．某事物a 是集合A 的一个成员，则称a 为A 的一个元素，记作a A ∈．若事物a 不是A 的元素，记作a A ∉．一个集合认为是已知的，如果对任何事物能判断它是否属于这个集合．若能写出这个集合的所有元素，则我们用一个括号将它们括起来表示这个集合，例如由元素12,,,n a a a L 组成的集合，可记作{}12,,,n A a a a =L ，而对不易列举出其所有元素的集合，通常用以下记号表示：设集合A 是由某种性质P 的元素x 所组成，就记作{|}A x x P =具有性质．例如 {|}N n n =为自然数代表全体自然数组成的集合， {|}R x x =为实数代表全体实数所组成的集合，{|}Z x x =为整数代表全体整数所组成的集合， {|}Q x x =为有理数代表全体有理数所组成的集合．若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若x A ∈ ,则x B ∈，就称A 是B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇，例如N Z ⊆，Z Q ⊆，Q R ⊆．若A B ⊆，且B A ⊆，则称集合A 等于集合B ，记作A B =．一个极端的情形是集合中不含任何元素，这种集合称为空集，记作∅．2.邻域邻域也是我们以后常要用到的一个重要概念．设a R ∈，R δ∈且0δ>，数集{}x x a δ-<称为点a 的δ邻域，记作()a U δ；点a 叫做该邻域的中心，δ叫做该邻域的半径，如图1-1．图1-1点a 的δ邻域去掉中心后，称为点a 的去心邻域，记作0()aU δ，即 {}0()0a U x x a δδ=<-<．二 函数的概念1．变量与函数所谓变量，就是在某一过程中可以取不同值的量．相反，若在某一过程中保持不变的量就称为常量．通常用字母,,a b c 等表示常量，用字母,,,,,x y z u v t 等表示变量．在自然现象中，对同一个问题，往往同时出现几个变量，而这些变量又是相互联系、相互依赖的，以下就两个变量的情形举几个例子．例1 在自由落体运动中，路程s 随时间t 的变化而变化，它们之间的依赖关系由公式212s gt =表示，当t 在[0,)+∞内任意取定一个数值时，由上式就可确定s 的相应数值．例2 按邮章规定，国内外埠平信，每重20克或不足者付邮资1.20（元），以下累计，不得超过2公斤，则此邮章规定了由信重W 的值确定邮资M 的值的规则，其中02000W <≤（克），邮资M 与信重的关系表达为M=1.20(元) 当020W <≤，M=2.40(元) 当2040W <≤，L M=120.00(元) 当19802000W <≤．例3 设有半径为r 的圆，考虑圆内接于该圆的正n 边形的周长n S （如图1-2所示），由初等数学知识易知2sin n S nr n π=，于是此式表达了内接正n 边形周长n S 与边数n 之间的相互依赖关系．图1-2上面几个例子都反映了同一过程中有着相互联系的两个变量，当一个量在某个数集中变化时，按一定的规则，另一个量有唯一的一个值与它对应，函数概念正是从这一事实中抽象出来的．定义1 设D 是R 中的一个非空数集，若有一个对应规则f ，使得对于D 内每一个实数x ，都能由f 唯一地确定一个实数y ，则称对应规则f 为定义在D 上的一个函数，记为 (),y f x x D =∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量．点集D 称为函数的定义域，记为()D f ．()f x 称为x 所对应的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域，记为()R f ，即(){}()R f y y f x x D ==∈，．如上述例1中确定了一个定义在区间[0,)+∞上的一个以t 为自变量的函数，例2确定了区间(0,2000]上的以W 为自变量的函数，例3确定了数集{},3n n N n ∈≥上n 为自变量的函数．注（1）如果一个函数是用一个数学式子给出的，则其定义域约定为使这个式子有意义的自变量所取值的全体．（2）所谓两个函数相同，是指它们的定义域和对应法则分别相同．对函数()y f x =，任取()x D f ∈，对应函数值()y f x =，这样，以x 横坐标，y 为纵坐标就确定了XOY 平面上的一点，点集{}(,)(),()C x y y f x x D f ==∈一般描述出一条平面曲线，称为()f x 的图形（见图1-3）．图1-32．函数的表示法表示函数的方法主要有三种（1）解析法 当函数的对应法则用方程式给出时，称这种表示函数的方法为解析法（分析法）如上述例1至例3，这种方法是我们表示函数的主要方法．注 有时一个函数在其定义域的不同部分用不同的解析式表示，如上面的例2及以下例子：1,0,()sgn 0,0,1,0.x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ 此函数称为符号函数，其定义域()(,)D f =-∞+∞，值域(){1,0,1}R f =-，参见图1-4．图1-4这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数．（2）列表法 若函数()f x 可用一张含有自变量值与对应的函数值()f x 的表格来表示，则称为列表法．通常所用的三角函数表，对数表等都是用列表法表达的函数．（3）图像法 由图像给出函数的对应法则的方法称为图像法．3. 几个特殊的函数(1) 取整函数 []y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数．对于取整函数[]x (如图1-5) ，可以证明：对任意的实数x ，有不等式：[]x []1x x ≤<+．(2) 狄利克雷(Dirichlet)函数：1, ()0, x y D x x ⎧==⎨⎩是有理数,是无理数.图1-5三 函数的主要性质1.有界性设函数()f x 的定义域为()D f ，()D D f ⊆，如果存在正数M ，使得当x D ∈时()f x M≤，则称()f x 是D 上的有界函数，否则称()f x 在D 上无界，即对任何正数M ，存在0x D ∈，使得0()f x M >．例如函数()sin f x x =，()cos g x x =在(,)-∞+∞上是有界函数，而函数1()f x x =在(0,1) 上无界，可是函数1()f x x=在(,1)c 上是有界的，其中01c <<． 有界函数图像的特点是它完全落在平行于x 轴的两条直线y M =±所组成的带形区域之中．2.单调性若函数()f x 的定义域为()D f ，()D D f ⊆，如果对任意12,x x D ∈，且12x x <，都有12()()f x f x <（12()()f x f x >） 则称f 在D 上是单调增加的（单调减少的），单调增加和单调减少函数统称单调函数．例如，函数2y x =在(,0)-∞上单调减少，在(0,)+∞上单调增加，而在(,)-∞+∞上不是单调的．函数3y x =在(,)-∞+∞上是单调增加的，如图1-6和图1-7．图1-6 图1-73.奇偶性设函数()f x 的定义域()D f 为关于原点对称的数集（即若()x D f ∈，则()x D f -∈）．如果对于任一点()x D f ∈有()()f x f x -= ，则称函数()f x 是偶函数，如果对于任一()x D f ∈ ，总有()()f x f x -=-，则称函数()f x 是奇函数．例如函数2()f x x =，()cos g x x =是偶函数．函数31()f x x =，1()sin g x x =是奇函数，函数()sin cos h x x x =+是非奇非偶函数，既奇又偶的函数只有()0f x =．偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，如图1-8和图1-9．图1-8 图1-94.周期性 设函数()f x 的定义域为()D f ，如果存在正数l ，使得对任意()x D f ∈有()x l D f +∈，且总有()()f x l f x +=成立，则称()f x 为周期函数，称l 为()f x 的周期．由定义知道，若l 为()f x 的周期，则nl 也为其周期．通常，我们称l 为()f x 的周期，是指l 是()f x 的最小正周期．例如函数()sin f x x =，()cos g x x =是以2π为周期的函数，奇函数()sin h x x ω=是以2L πω=为周期的函数，这里0ω≠．周期函数在每个周期上，图形相同．四 反函数与复合函数1. 反函数在函数的定义中，有两个变量，一个自变量，一个因变量．然而在实际问题与数学问题中，哪个是自变量，哪个是因变量，并不是绝对的，应按所研究的具体问题而定．例如自由落体运动，其运动方程为：212s gt = [0,]t T ∈ ． （1）于是由时间t 可算出路程s ，其中g 为常量．可是，如果问题是由下落的距离来确定所需要的时间t ，那么就要由 （1）解出t ，把它表示为s 的函数t = [0,]s H ∈ ． （2） 这里H 是物体开始下落时与地面的距离．这表明，在一定的条件下，函数的自变量与因变量可以相互转化．这样得到的新函数，就称为原来那个函数的反函数，例如 （2）是（1） 的反函数．定义2 设函数()y f x =的定义域为()D f ，值域为()R f ，若对每一个()y R f ∈，()D f 中有唯一值x 使得()f x y =，于是在()R f 上确定一个函数，此函数称为函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，()y R f ∈ ． （3）注（1）若()y f x =有反函数，则按f 建立了()D f 与()R f 之间的一一对应关系．（2）由定义可知，()f x 也是函数1()f y -的反函数，或者说它们互为反函数，而且前者的定义域与后者的值域相同，前者的值域与后者的定义域相同．（3）由于习惯上用x 表示自变量，用y 表示因变量，因此（3）又常常记为1()y f x -= ()x R f ∈． （4）因为（3）与（4）有相同的定义域()R f 和相同的对应关系1f -，故（3）和（4）表示同一函数．（4）在同一坐标系中，()y f x =的图像与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，如图1-10．图1-102.复合函数先看一个实例，运动物体的动能是速度的函数：212E mv =，而速度v 又是时间t 的函数，对于自由落体，这个函数是v gt =，于是动能E 是时间t 的函数2212E mg t =． 一般地，两个函数的复合函数的定义如下：定义3 设 ()y f u = ()u D f ∈；()u g x =，()x D g ∈是两个已知函数，且()()D f R g ≠∅I （其中()R g 记函数()u g x =的值域），则称函数 [()],y f g x ={()()}x x g x D f ∈∈为由函数()y f u =与()u g x =复合而成的复合函数，其中()f u 称为外层函数，()g x 为内层函数，y 称为因变量，x 称为自变量，而u 称为中间变量．由定义可知，复合函数[()]f g x 的定义域为{()()}x g x D f ∈．例如2sin y x =可以看成2y u =和sin u x =复合而成，其定义域为(,)-∞+∞；y =可以看成y =，21u x =-复合而成，其定义域为[1,1]-．注 （1）当且仅当()()D f R g ≠∅I 时，两个函数才能进行复合，如arccos y u =，[1,1]u ∈-与22u x =+，(,)x ∈-∞+∞就不能进行复合．（2）复合函数也可以由三个或者三个以上函数复合而成，例如y =可以看成三个函数12y u = ，[0,)u ∈+∞，21u v =+ ，(,)v ∈-∞+∞， sin v x = ，(,)x ∈-∞+∞复合而成．五 初等函数中学数学课程中已经讨论过下列几类函数：1.幂函数：y x α=（α为常数）．2.指数函数：x y a =(0,1)a a >≠．3.对数函数：log a y x = (0,1)a a >≠．在科技中常用的以e 为底的对数函数log e y x =叫做自然对数函数，简记作ln y x =．4.三角函数常用的三角函数有：sin y x =，cos y x =， tan y x =，cot y x =等．5.反三角函数常用的反三角函数有：arcsin y x = ， arccos y x = ， arctan y x = ， arccot y x =等． 以上五类函数统称为基本初等函数．由常数及基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除四则运算和有限次的复合步骤所构成并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数．例如y 2012()n n n y P x a a x a x a x ==++++L ， y =都是初等函数．而分段函数一般不是初等函数，例如Dirichlet 函数就不是初等函数．六 经济学中常见的函数需求函数与供给函数．需求与供给是经济活动中的主要矛盾之一．在市场经济条件下, 需求与供给关系对商品的生产与销售有重要影响, 因此它们是经济学研究的重要对象．需求函数：某一商品的需求量是指在一定的价格水平下，在一定时间内消费者愿意而且有支付能力购买的商品数量．消费者对某种商品的需求量是由多种因素决定的，如商品价格、消费者的数量、经济收入状况、消费时段以及消费嗜好等．为简化问题，不考虑除价格以外的其他因素的影响或把其他因素看作相对稳定，那么需求量可看成是价格p 的一元函数，称为需求函数，记为()Q f p =．一般地，需求函数是价格的单调递减函数．人们常用下面这些简单的初等函数来近似表示需求函数：线性函数：Q ap b =-+，其中,0a b >；幂函数：a Q kp -=，其中0k >，0a >；指数函数：bp Q ae -=，其中,0a b >．供给函数：某一商品的供给量是指在一定的价格条件下，在一定时期内生产者愿意生产并可供出售的商品量．供给量也是由多个因素决定的，如果在一段时间内除价格以外的其他因素变化很小，则供给量Q 可以简化为价格p 的函数，记为()Q Q p =．一般说来,商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品就越多，因此，一般的供给函数都是单调递增的．人们常用下面这些简单的初等函数来近似表示供给函数：线性函数：Q ap b =-，其中,0a b >；幂函数：a Q kp =，其中0k >，0a >；指数函数：bp Q ae =，其中,0a b >．例5 设某配电箱的价格为120元时，厂家可提供2万个该配电箱，当价格每增加2元时，厂家可多提供2000个，试求供给函数．解 p 为价格,Q 为配电箱供应量,依题意有：1202000020001000(100)2p Q p -=+⨯=-. 在同一个坐标系中作出需求曲线和供给曲线，两曲线的交点通常称之为供需平衡点，对应的价格p 称为均衡价格．习题1-11．求下列函数的定义域：（1）[]23log log y x =，（2）32arcsin 5x y - 2．若()f x 的定义域是[0,3](0)a a >，求()()f x a f x a ++-的定义域．3．验证：函数11x y x-=+的反函数是它本身． 4．求函数cos(3)y x =-的最小正周期．5．验证下列函数在区间(0,)+∞内是单调增加的： (1) 12x y -=，(2) ln y x x =+．5．设sin ,,3()0,.3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),(2)6πφφ-，作出函数()y x φ=的图形． 6．已知2211()3f x x x x+=++，求()f x ． 7．证明：定义在对称区间(,)l l -上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数之和（提示：考虑()(),()()f x f x f x f x +---的奇偶性）．8．设,0,()1,0.x x f x x ≥⎧=⎨<⎩（1）求(1)f x -； （2）求()(1)f x f x +-．（写出最终的结果）．9．在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于给定自变量0x 的函数值：（1）20,sin ;6y u u x x π=== ； （2）20,;1u y e u x x ===． 10．火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算，如从上海到某地每千克收0.15元，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费．试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出这函数的图形．11．拟建一容积为V 的长方形水池，要求池底为正方形，如果池底单位面积的造价是四周单位造价的2倍．假定四周单位造价为k （元/平方米），试将总造价y （元）表示成底边长x （米）的函数，并确定此函数的定义域．12．某商品供给量Q 对价格P 的函数关系为P kQ a b c =+⋅(1c ≠)，已知当2P =时，30Q =；3P =时，50Q =；4P =时，90Q =，求供给量Q 对价格P 的函数关系．13．某化肥厂生产产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时，超过的部分按九折出售，试将销售总收益y （元）表示成销售量x （吨）的函数．第二节 数列极限一 数列极限的定义一个数列就是按照一定顺序排成的一列数1,23,,,,n a a a a L L ,简记为{}n a , 数列中的每一个数称为数列的项，第n 项n a 称为数列的一般项（或者通项）．数列也可以视为一个定义在正整数集N +上的函数:(),1,2,n a f n n ==L ．如果对任意n ,总有1n n a a +≤,则称{}n a 是单调递增的数列;类似可定义单调递减的数列.两者统称为单调数列. 如果存在常数1K ,使得1n a K ≤，1,2,n =L ，则称数列{}n a 有上界；如果存在常数2K ,使得2n a K ≥，1,2,n =L ，则称数列{}n a 有下界．如果存在常数0M >,使得数列{}n a 满足:n a M ≤，1,2,n =L ，则称数列{}n a 有界；否则称{}n a 无界，即如果对任何正数M ,至少有一项n a 满足n a M >．例如,公差0d >的等差数列是单调无界数列,首项10a >,公比01q <<的等比数列是单调有上界数列.下面考察n 无限增加时,其通项n a 的变化规律.先看下面表格给出的几个具体的例子：从上表可以看出,当n 无限增大时, 一般项n a 的变化规律可分为三类:第一类,如1n和21n ,当n 无限增大时, n a 无限趋于一个确定的数a ；第二类,如21n +,当n 无限增大时,n a 的值无限增大；第三类, 如()1n-,当n 无限增大时,没有确定的变化趋势.一般地,如果n 无限增大时,数列的项n a 无限趋近于某一个确定的常数a ,则称a 为数列{}n a 的极限.下面，我们按照无穷大列、无穷小列以及数列极限的顺序给出数列极限的严格定义. 定义1 设{}n D 是一个单调递增、无上界的正数列 ,则称{}n D 是一个恒正无穷大列. 例如，数列{}n α（其中α为正数）为恒正无穷大列．定义2 设{}n a 是一个数列,若存在一个恒正无穷大列{}n D ,使得对一切n 总有|| n n a D ≥,则称{}n a 是无穷大列.如果对一切自然数n ,都有 n n a D ≥,则称{}n a 是正无穷大列. 如果对一切自然数n ,都有 n n a D ≤-,则称{}n a 是负无穷大列．例1 证明数列{}n q （1q >）和{(1)sin}2n n n π-+是无穷大列. 证 由于1q >，所以1n n q q +>，所以正数列{}k q 是单调递增的．对于任何正常数K ，取正整数0ln []ln Kn q =，当0n n >时，有ln ln Kn q q q K >=，于是数列{}n q （1q >）无上界，故{}n q （1q >）是恒正无穷大列，从而是无穷大列．因为(1)sin12n n n n π-+≥-，而数列{1}n -当2n ≥时是恒正无穷大，所以数列{(1)sin}2n n n π-+是无穷大列． 定义3 设{}n a 是一个数列,若存在一个恒正无穷大列{}n D ,使得对一切n 总有1n na D =,则称{}n a 是恒正无穷小列. 定义4 设{}n a 是一个数列,若存在一个恒正无穷小列{}n α,使得对一切n 总有|| n n a α≤,则称数列{}n a 是无穷小列.例如,当α为正数时,数列{}n α-是恒正无穷小列；当0||1q <<时,数列{}n q 是无穷小列.定义5 设{}n a 是一个数列,如果存在一个常数A 和一个无穷小列{}n α,使得n n a A α=+,则称数列{}n a 以A 为极限, 或数列{}n a 收敛于A ,记为lim n n a A →∞=或者() n a A n →→∞时.否则,称数列{}n a 发散,也称极限lim n n a →∞不存在.显然，无穷小列的极限是0.注 我们约定：正无穷大列{}n D '以+∞为极限，记作lim nn D →∞'=+∞,负无穷大列{}n D ''以-∞为极限，记作lim nn D →∞''=-∞,无穷大列{}n D 以∞为极限，记作lim n n D →∞=∞. 例2 用极限定义证明:313lim212n n n →+∞+=+.证 因为31312122(21)n n n +--=++,而12(21)n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是无穷小列,故有313lim 212n n n →+∞+=+. 注 由定义5知道： lim n n a A →∞=的充分必要条件是n n a A α=+，其中{}n α是n →∞时的无穷小列，即lim 0n n α→∞=.由定义,表1-1的几个例子极限分别为:1lim0n n →∞=，21lim 0n n →∞=，()lim 21n n →∞+=+∞，()lim 1nn →∞-不存在．为便于以后求数列极限,我们将常用的几个数列极限归纳如下: (1)lim n c c →∞=,(2)1lim0n n α→∞=()0α>, (3)0, 01,1, 1,lim , 1,, 1.n n q ••q q q •••q →∞⎧<<⎪=⎪=⎨=-⎪⎪∞>⎩不存在注 数列极限的定义还有与上述定义等价的N ε-语言形式：对任意0ε>,都存在0N >,使得对任意n N >,都有n a a ε-<成立,则称数列{}n a 以a 为极限，记作 lim nn a a →∞=．三 无穷大列与无穷小列的基本性质性质1 若{}n D 和{}n D '是恒正无穷大列，则{}n n D D '+也是恒正无穷大列．若{}n a 和{}n a '是正无穷大列，则{}n n a a '+也是正无穷大列．证 因为{}n D 和{}n D '是恒正无穷大列，所以{}n D 和{}n D '均是单调递增且无上界，直接验证知道{}n n D D '+也是单调递增且无上界，故{}n n D D '+是恒正无穷大列．由第一个结论及正无穷大列的定义即可得到第二个结论的证明．同样，由恒正无穷大列和正无穷大列的定义，不难证明以下性质：性质2 若{}n D 是一个恒正无穷大列，M 是一个正数，则{}n MD 也是恒正无穷大列．若{}n a 是一个正无穷大列，M 是一个正常数，则{}n Ma 也是正无穷大列．由恒正无穷小列的定义不难知道，两个恒正无穷小列的和是恒正无穷小列，一个正数与一个恒正无穷小列的积是恒正无穷小列，一般地，我们有以下结论： 性质3 若{}n α和{}n β是无穷小列，则{}n n αβ±也是无穷小列．证 因为{}n α和{}n β是无穷小列，所以存在恒正无穷小列{}nα'和{}n β'使得n n αα'≤，n nββ'≤．令max(,)n n n γαβ''=，则{}n γ是恒正无穷小列，从而{2}n γ也是恒正无穷小列．于是有2n n n n nn n αβαβαβγ''±≤+≤+≤，故{}n n αβ±是无穷小列． 类似地可以证明以下性质：性质4 若{}n α是无穷小列，{}n ν是有界数列，则{}n n να⋅也是无穷小列．特别，若{}n α是无穷小列，M 是一个常数，则{}n M α⋅也是无穷小列．四 数列极限的性质下面,我们给出数列极限的几个基本性质.性质5(唯一性) 若数列{}n a 收敛,则数列{}n a 的极限唯一.证 若{}n a 收敛于A ,又收敛于A '，则存在两个无穷小列{}n γ与{}nγ'使得n n a A γ=+，又有n na A γ''=+，于是得n n A A γγ''-=-,由性质1知道{}n n γγ'-是一个无穷小列，故常数列{}A A '-是一个无穷小列，从而0A A '-=，即A A '=．性质6（有界性） 若数列{}n a 有极限A ,则数列{}n a 有界．证 因为{}n a 有极限A ，所以存在无穷小列{}n γ使得n n a A γ=+，于是存在标准无穷小列{}n α使得n n γα≤．故对任意正整数n ，有1n n n n a A A A A γγαα=+≤+≤+≤+．这就证得数列{}n a 有界．类似于前两个性质的证明，可得如下性质：性质7（保序性）若数列{}n a ,{}n b 均收敛,且存在正整数0N 使得0n N ≥时,n n a b ≤， 则lim lim n n n n a b →∞→∞≤.注 （1)性质6的等价命题是:若数列{}n a 无界,则数列{}n a 发散.例如数列(){}2n-是无界的,所以发散.（2)数列有界只是数列收敛的必要而非充分条件,即数列有界也不一定收敛.例如,数列(){}1n-有界,但它发散.（3) 如果性质7条件中的n n a b ≤换成n n a b <,未必有lim n n a →+∞<lim n n b →+∞.例如,取1n a n =-,1n b n=，显然对于任意正整数n ,都有n n a b <,但lim n n a →+∞=lim 0n n b →+∞=.习题1-21．证明数列2{(1)}n n -是无穷大列. 2．证明数列21{}1n +和数列cos {}xn是无穷小列. 3．观察如下的数列{}n a 的变化趋势，写出它们的极限：（1）n a 12n=； （2）n a 1n n =+； （3）n a (1)n n =--； （4）n a 1sin xn π=.4．用极限定义证明:222lim 12n n n →+∞-=+.5．若lim n n u a →∞=，证明lim n n u a →∞=，并举例说明反过来未必成立．第三节 函数极限一 自变量趋于无穷大时函数的极限我们知道，数列是定义在正整数集N +上的函数．数列的极限则反映了自变量n →∞时，{}n a 的变化趋势．值得注意的是，讨论数列极限时，自变量n 是正整数，它只有一种变化趋势：n →∞．而函数的自变量x 是实数，其变化趋势就不止一种：x 可能是趋于正无穷大、负无穷大，也可能是从某一固定点a 的某一侧趋于a ，还可能是以从两侧的任意方向趋于a ．因此，函数的极限就具有几种不同的形式．当然，这些不同形式的极限，与数列的极限还是具有一些相同之处．因此，我们先讨论自变量趋于无穷大时函数的极限，然后讨论自变量趋于常数a 时函数的极限．1．自变量趋于无穷大时的无穷大量定义1 设()0D x >是一个定义在区间(,)a +∞上的单调递增的函数，如果()D x 在这个区间上是无上界的，我们就称()D x 是+∞的一个邻域：()(,)a U a +∞=+∞上的恒正无穷大量，或者称()D x 是当x →+∞时的恒正无穷大量．定义2 设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果存在一个邻域()a U +∞上的恒正无穷大量()D x ，使得对()a U +∞上的一切x 都有|()|()f x D x ≥，则称()f x 是当x →+∞时的无穷大量，记作lim (),()()x f x f x x →+∞=∞→∞→+∞ 或 ．如果邻域()a U +∞上的一切x 都有()()f x D x ≥（或()()f x D x ≤-），则称()f x 是当x →+∞时的正无穷大量(或负无穷大量)，记作lim ()x f x →+∞=+∞，或()()f x x →+∞→+∞．后者记作lim ()x f x →+∞=-∞，或()()f x x →-∞→+∞．显然，恒正无穷大量是无穷大量．例1 函数(0)k y x k =>与函数(1)x y a a =>，都是邻域0()U +∞上的恒正无穷大量，而函数ln y x =则是邻域0()U +∞上的无穷大量以及邻域1()U +∞上的恒正无穷大量．我们也可以类似地定义当x →-∞时的无穷大量．例2 证明lim ()x x x →+∞=+∞，0()x U ∈+∞．证 在4x >时有222x x xx x x ⎛+≥+> ⎝．显然，函数()2xD x =在邻域4()U +∞上是单调递增的且无上界，而对于在邻域4()U +∞上的一切x ，都有()()f x D x ≥．所以()f x 是正无穷大量．由无穷大量的定义，不难证明以下结论：定理1 设()f x 、()g x 均是在邻域()a U +∞上当x →+∞时的正无穷大量，函数()0h x >是邻域()a U +∞上的有界函数，则有（1）()()f x g x +是邻域()a U +∞上当x →+∞时的正无穷大量； （2）()()f x h x +是邻域()a U +∞上当x →+∞时的正无穷大量； （3）()()f x g x ⋅是邻域()a U +∞上x →+∞时的正无穷大量． 2．自变量趋于无穷大时的无穷小量定义3 设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果存在邻域()a U +∞上的恒正无穷大量()D x ，使得对邻域()a U +∞上的一切x 都有1()()f x D x =，则称()f x 是当x →+∞时的恒正无穷小量．定义4设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果存在邻域()a U +∞上的恒正无穷小量()x α，使得对邻域()a U +∞上的一切x 都有|()|()f x x α≤，则称()f x 是当x →+∞时的无穷小量，记作lim ()0x f x →+∞=，或者()0()f x x →→+∞．显然，恒正无穷小量也是无穷小量．我们常常把无穷小量记为()x α、()x β、()x γ． 由例1不难知道，函数(0)k y x k =<与(1)x y a a -=>都是邻域0()U +∞上的无穷小量．下面仅就函数(0)k y x k =<中当1k =-时的情形加以证明．例3 用定义证明1lim0x x→+∞=． 证 由于()D x x =在(1,)+∞上是恒正无穷大量，而我们又有11()()f x x D x ==，所以 1lim0x x→+∞=． 由无穷小量的定义，也不难证明以下结论：定理2 设()x α、()x β均是在邻域()a U +∞上当x →+∞时的无穷小量，函数()h x 是在邻域()a U +∞上的有界函数，则有1）()()x x αβ±是当x →+∞时的无穷小量； 2）()()x x αβ⋅是当x →+∞时的无穷小量； 3）()()x h x α⋅是当x →+∞时的无穷小量．例4 证明11limsin 0x x x→+∞=． 证 因为在邻域1()U +∞上1x 是无穷小量，1sin x 是有界函数，所以当x →+∞时，11sin x x是无穷小量，即11lim sin 0x x x→+∞=．3．自变量趋于无穷大时函数的极限定义4 设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果有一个实数A 和一个邻域()a U +∞上的无穷小量()x γ，使得()()f x A x γ=+，则称()f x 当x →+∞时以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞=，或()()f x A x →→+∞．注 （1）若设函数()f x 在区间(,)a -∞内有定义，按照以上定义1至定义4，我们可类似地定义()f x 是当x →-∞时的恒正无穷大量、无穷大量、恒正无穷小量、无穷小量概念，以及()f x 当x →-∞时以A 为极限的概念．（2）若设函数()f x 在区间12(,)(,)a a -∞+∞U 内有定义，我们可以同样地给出()f x 是当x →∞时的恒正无穷大量、无穷大量、恒正无穷小量和无穷小量概念，以及lim ()x f x A→∞=的定义；（3）在定理1和定理2中，若条件x 趋于+∞换为x 趋于-∞（或者x 趋于∞）时，相应结论成立；（4）不难证明，lim ()x f x A →∞= 当且仅当lim ()x f x A →-∞=，且lim ()x f x A →+∞=．二 自变量趋于常数时函数的极限关于自变量趋于常数时函数的极限，与前面类似，按照无穷大量、无穷小量以及自变量趋于常数时函数的极限的顺序给出严格定义．但是，当自变量趋于一点a 时，它可能是从a 的某一侧趋于它，也可能是以从两侧的任一方向趋于它．其函数值的变化因而就具有各种不同的形式，从而，函数的极限也具有各种不同的形式．甚至在这个点的左右两侧的变化趋势可能是完全不同的．因此，我们需要用不同于()x n →+∞→+∞的方式来讨论函数的极限．１．自变量趋于a 时的双向递增与无穷大量定义5 设函数()f x 在去心邻域0()aU δ内有定义，如果对于任意的012,()a x x U δ∈，当12||||a x a x -<-时都有21()()f x f x ≤，我们就称()f x 在去心邻域0()aU δ上是双向递增的． 定义6设函数()f x 在去心邻域0()aU δ内有定义，如果()0f x >在去心邻域0()a U δ上既是双向递增，又是无上界的，我们就称()f x 是去心邻域0()aU δ上的一个恒正无穷大量. 我们常将恒正无穷大量记为()D x ．。
高等数学II
2010年秋季学期高等数学（II-2）第一次作业一、单项选择题（共10题、总分30分、得分30分）1. 点（ 0 ， 0 ）是函数 z=xy 的（）A、驻点B、极大值点C、极小值点D、间断点正确答案： A2. 对于函数f(x,y)=x2+y2，则点（0，0）（）A、不是驻点B、是驻点而非极值点C、是极大值点D、是极小值点正确答案： D3. 极限lim（x,y）→(0,0)x2yx4+y2A、等于0B、等于0.5C、不存在D、存在但不等于0或0.5正确答案： C4. 点 P(x0,y0) 是函数 z=f(x,y)的驻点，则（）A、P 是 f(x,y) 的极大值点B、P是f(x,y)的极小值点C、P不是f(x,y)的极值点D、不能确定P是否为f(x,y)的极值点正确答案： D5. 函数的可能极值点有（）A、（0，0），（1，1）B、（0，1），（1，1）C、（0，0），（0，1），（1，0）D、（1，1），（0，1），（1，0）正确答案： C6.设u=ln(x+y2+z3)，则=（）A、B、C、D、正确答案： A7.如果函数z=f(x,y)的偏导数y在点（x，y）连续，则函数在该点( )A、不一定可微B、一定可微C、不一定连续D、不能确定情况正确答案： B8. 函数 f(x,y)=xy(x+y-9) 的极值点是（）A、（0，0）B、（9，0）C、（0，9）D、（3，3）正确答案： D9.极限的含义是( )A、B、C、D、正确答案： C10.极限( )A、B、2C、0D、不存在正确答案： A二、判断题（共2题、总分12分、得分12分）1. 点 (0,0) 是函数 z=x2-y2的驻点。
(本题分数：6 分，本题得分：6 分。
)A、正确B、错误正确答案： A2. 函数 z=x2-y2 在点 (0,0) 取极大值 (本题分数：6 分，本题得分：6 分。
)A、正确B、错误正确答案： B三、填空题（共11题、总分33分、得分27分）1. 已知函数1正确答案：2. 函数 z = e x y 的全微分为 1正确答案： e x ydx+e x dy3. 设z=ln⁡(x+y2)，则dz|(1,0)= 1正确答案： dx4. 设u=xy+x2，则u在点(1,0)处的全微分du|(1,0)= 1正确答案： 2dx+dy5. 函数f(x,y)=xy-xy2-x2 y的可能极值点有 1正确答案： (0，0），（0，1），（1，0）；6. 函数z=x22p+y22q(pq≠0)的驻点为 1正确答案：（0，0）7.若 u=xy+y3，则= 1正确答案： 6y8.= 1正确答案： 29.设u=e x siny,x=2st,y=t+s2，则= 1 (本题分数：3 分，本题得分：0 分。
2014年9月份考试高等数学(II-1)第一次作业
解题方案： 利用导数的几何含义，在某点的导数就是该点切线的斜率
选A
15. 函数在点处取得极大值，则必有（ ）
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、
B、
C、
D、
题目信息
难度： 2
正确答案： D
解题方案： 函数在某点取得极值，则f′(x0)=0或不存在
A、 可导
B、 不可导
C、 连续但未必可导
D、 不连续
题目信息
难度： 2
正确答案： C
解题方案： 观察f(x)=x在原点的情况，
选C
3. 下列广义积分收敛的是（ ） (本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、
B、
C、
19. 若极限不存在，则极限也不存在。
(本题分数：2 分，本题得分：0 分。)
A、正确 B、错误
题目信息
难度： 3
正确答案： B
解题方案： 错，看看罗必答法则的使用条件
20. 偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数。 (本题分数：2 分，本题得分：0 分。)
难度： 2
正确答案： C
解题方案： 奇函数在对称区间上的积分为0，偶函数积分为半区间的两倍。选C
8. 函数的周期是( )。
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、
B、
C、
D、
题目信息
难度： 2
正确答案： C
(本题分数：2 分，本题得分：0 分。)
A、正确 B、错误
题目信息
难度： 3
正确答案： B
解题方案： 不一定，比如有有限个间断点就可以
中国石油大学-高等数学(二)第一次在线作业
中国石油大学高等数学（二）第一次在线作业第1题您的答案：C批注：考察的知识点：二元函数的连续的概念，二元函数的偏导数的概念第2题您的答案：C批注：考察的知识点：二元函数全微分的存在条件第3题您的答案：D批注：考察的知识点：二元函数的连续与偏导数存在之间的关系第4题您的答案：C批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系第5题<／p>您的答案：C批注：考察的知识点：二重积分的计算。
具体方法：式子两边做区域D上的二重积分的计算，令已知的等式中的二重积分为一个固定的字母，然后再求得此字母的值，代入初始给的等式中即得到结果。
第6题您的答案：B批注：考察的知识点：可微与偏导存在的关系第7题您的答案：D批注：考察的知识点：二重积分的计算第8题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的定义第9题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的定义第10题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极限、连续、偏导数、可微之间的关系第11题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极限、连续、偏导数、可微之间的关系第12题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的定义第13题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的定义第14题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的定义第15题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第16题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极限、连续、偏导数、可微之间的关系第17题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微、方向导数之间的关系第18题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数在一点处的微分的计算第19题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的计算第20题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极值第21题您的答案：E题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的计算第22题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的计算第23题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系第24题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系第25题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第26题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第27题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第28题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第29题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第30题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第31题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的计算第32题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数存在与连续之间的关系第33题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数存在与连续之间的关系第34题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的连续与可积分之间的关系第35题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的概念第36题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第37题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第38题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的几何意义第39题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极值第40题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数存在与可微之间的关系作业总得分：20.0作业总批注：。
高数II-2练习题及答案
高数II-2一、单项选择1、级数为( )• A、发散• B、条件收敛但不绝对收敛• C、绝对收敛但不条件收敛• D、绝对收敛且条件收参考答案 B2、曲线在t=2处的切向量是（）。
• A、(2,1, 4)•B、(4,3, 4)•C、0•D、(−4,3, 4)参考答案 A3、在)处均存在是在处连续的（）条件。
• A、充分• B、必要• C、充分必要• D、既不充分也不必要参考答案 D4、设a为常数，则级数( )• A、绝对收敛• B、条件收敛• C、发散• D、敛散性与a的值有关参考答案 A5、二元函数的定义域是（）。
• A、• B、• C、• D、参考答案 A6、方程表示的曲面是（）。
• A、圆• B、椭球• C、抛物面• D、球面参考答案 D7、有且仅有一个间断点的函数是（）。
• A、• B、• C、• D、参考答案 B8、下列级数中,收敛级数是()• A、• B、• C、• D、参考答案 A9、按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体的温度和空气的温度之差成正比。
已知空气温度为300C,而物体在15分钟内从1000C冷却到700C，求物体冷却到400C所需的时间为（）分钟。
• A、50•B、51•C、52•D、53参考答案 C10、平面4y－7z=0的位置特点是（）• A、平行于z轴• B、垂直于x轴• C、平行于y轴• D、通过x轴参考答案 D11、若满足，则交错级数。
• A、一定发散• B、一定收敛• C、可收敛也可发散• D、难以确定参考答案 C12、下列无穷级数中发散的是（）。
• A、• B、• C、• D、参考答案 C13、下列说法正确的是（）。
• A、两直线之间的夹角范围在• B、两平面之间的夹角范围在• C、两向量之间的夹角范围在• D、直线和平面之间的夹角范围在参考答案 C14、级数收敛，则参数a满足条件（）• A、a>e•B、a<e•C、a=e•D、a为任何实数参考答案 A15、下列方程中( )是表示母线平行于y轴的双曲柱面。
高等数学2知识点总结和例题
高等数学2知识点总结和例题高等数学2课程主要包含了微积分的高级内容，如多元函数微积分、向量场、曲线积分、面积积分、常微分方程等。
本文将对这些知识点进行总结，并提供一些例题和解答，以供大家参考。
1. 多元函数微积分1.1 偏导数多元函数的偏导数定义：设函数z=f(x,y)，在点(x0,y0)的邻域内，当y=y0时，f(x,y)关于x的导数存在，则称该导数为函数f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数，记为fx(x0,y0)。
偏导数的计算方法：对于多元函数z=f(x,y)，求其在点(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)时，将y视为常数，对x求一阶导数即可。
1.2 全微分全微分的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续且存在偏导数，则称与∆z=f(x,y)-f(x0,y0)满足的关系式∆z=A∆x+B∆y+o(∆r)，其中A=fx(x0,y0)，B=fy(x0,y0)，∆r=√[(∆x)^2+(∆y)^2]称作函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分。
全微分的计算方法：计算函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分时，首先求出其偏导数，然后用偏导数构造微分式，即dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy。
1.3 链式法则链式法则的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)有连续的偏导数，并且u=g(x,y)在点(u0,v0)有连续的偏导数，则复合函数z=f[g(x,y)]在点(x0,y0)具有偏导数，且有：∂z/∂x = (∂z/∂u)·(∂u/∂x) + (∂z/∂v)·(∂v/∂x)∂z/∂y = (∂z/∂u)·(∂u/∂y) + (∂z/∂v)·(∂v/∂y)其中(∂u/∂x)、(∂u/∂y)、(∂v/∂x)、(∂v/∂y)可以由u=g(x,y)的偏导数求得，而(∂z/∂u)、(∂z/∂v)可以由z=f(u,v)的偏导数求得。
中国石油大学(北京)高等数学(二)第一、二、三次在线作业
第一次在线作业 单选题（共30道题）（A ＞连绽，偏寻数存在， （C ）不连渎，伺导数存在, CB ）连续，偏导数不存在，＜•CD ）不连浜.闲导教不存在〜我的答案：C 此题得分：2.5分2% 在点戸处函数/＜＞：・A 〉的全繳分匚莎苻在的充分诲件光＜”4As y^E F 庶处苟走义Bs y 连缤36 / 的全部一矽"扁导数均连绽Dr /连统旦兀、力均存在"我的答案：C 此题得分：2.5分3-.函数丝=«/（才人0 在点（FAo ）处连纹是它在该点.f 扁导•魏存在的（B.充分而非必妄条件-D.既WE 充分冥非必亜奈件'3.我的答案：D 此题得分：2. 5分4、设二元函数/X 兀同在点（心丿。
〉可微，则/匕小在点（％丿°〉处工烈结论不一定成立的 是（ ）弋（A ） 连换（B ） 偏导数存在（C 〉偏导数连续（D ） 荀定义门我的答案：C 此题得分：2・5分x 2A-2 4- y 2 = 0A.必妄而mE 充另•条件 C.充:外必亜糸件5、设/*(工丿)•是连绽函敷：.且#(x = jcy + Jf +(工、尹)尿如•且中D是由尹=0 •尸=£>和x =1所围平面区域，则/(x,.p> =( ”■(A) xy(B) 2 xy(C)xv + 丄8此题得分：2. 5分J 二兀l££j数h = /〈k、X0』o)可妙足貝在谍rfej匍导嫩1存在的<A 必55糸件 B. 元外糸件 C.充丑条件 D.汪吴宗件一我的答案：B此题得分：2.5分7、已知尺渤且久。
在(:冬丈)上连纹，aVM 贝|」二汝积另•心一“4 2 土fa>&次3〉2 Q fS4 cc> 2 立f® 皿cD)[.f /r力均'~我的答案：D此题得分：2.5分sin( x1 yy 8•设函数ru)=・—匚齐xA .0B . —C .1妙 #。
《高等数学II》复习重点及答案
第一章 函数、极限与连续1、=++→1)1ln(lim1x x x （A ）22ln .A 0.B 2ln .C 2ln .-D 2、=--→11lim21x x x （C ） 3.2.1.0.D C B A3、3cos(2)lim2x x x →-=-（B ）.1.cos1.0.2A B C D π4、2sin 2lim 3x xx→=sin 46 5、=--→2)2sin(lim2x x x 16、2212lim 3x x x x →++=-2-7、=+∞→53lim2x xx 08、计算2111sin(1)sin(1)11limlim lim 1(1)(1)12x x x x x x x x x →→→--===--++ 9、计算21220lim(1)lim(1)xxx x x x e ⋅→→+=+=10、0001(1)limlim lim 1()1x x xx x x e e e x x →→→'--==='11、当0→x 时，)(x f 与x 2sin 是等价无穷小量，则=→xx f x 2sin )(lim0112、设函数⎩⎨⎧>+≤-=0,0,1)(2x a x x x x f ，在点0=x 处的极限存在，则=a 113、设函数21,0(),0x x f x a x x ⎧+<=⎨+≥⎩，在点0=x 处连续，则=a 114、已知函数⎩⎨⎧>+≤=0,10,sin )(x x x x x f ，则=)0(f 0第二章 一元函数微分学及其应用1、设函数e x x f +=)(，则=')1(f （C ）e A +2. e B +1. 21.C 21.-D 2、设函数x x f 2cos )(=，则=')(x f （B ）x D xC xB xA 2sin .2sin .2sin 2.2sin 2.--3、设函数21xy =，则='y （B ） xD x C x B x A 1.1.2.1.333--4、设函数1cos +=x y ，则=dy （C ）xdx D xdx C dx x B dxx A sin .sin .)1(cos .)1(sin .-++5、设函数21y x =+，求2dyx dx= 6、设函数cos y x =，求22()(cos )sin sin 122x x f x x ππππ==''==-=-=-7、设x x y cos 3=，则3332()cos (cos )cos (cos )x x x x x dy dx dx x x '''⎛⎫⋅-⋅== ⎪⎝⎭2323223cos (sin )3cos sin (cos )(cos )x x x x x x x xdx dx x x ⋅-⋅-⋅+⋅== 8、设函数x x y sin 1+=，求21(1)sin (1)(sin )sin (sin )x x x x x y x x '''++⋅-+⋅⎛⎫'== ⎪⎝⎭221sin (1)cos sin (1)cos (sin )(sin )x x x x x xx x ⋅-+⋅-+⋅==9、设函数2ln(1)y x =+，求()222212ln(1)(1)11x dy x dx x dx dx x x ''=+=⋅+=++10、设函数)1ln(x y +=，y ''=解：1[ln(1)]1y x x ''=+=+，()()122111(1)1(1)1(1)y x x x x x --''⎛⎫⎡⎤'''==+=-⋅+⋅+=- ⎪⎣⎦++⎝⎭11、设函数x y sin =，则='''y解：(sin )cos y x x ''==，(cos )sin y x x '''==-，(sin )cos y x x ''''=-=-12、设函数()cos f x x =，则()f x ''=解：()(cos )sin f x x x ''==-，()(sin )cos f x x x '''=-=-，应用：1、已知函数)(x f 的导函数13)(2--='x x x f ，则曲线)(x f y =在2=x 处切线的斜率是（D ）11.9.5.3.D C B A2、设曲线sin(1)y x =+在点(1,0)-处的切线斜率为=13、设曲线x axe y =在0=x 处的切线斜率为2，则=a 24、曲线22x y =在点（1,2）处的切线方程为=y 420y x -+=5、函数x x y -=22的单调增区间是1x >（或者1x ≥）6、下列区间为函数sin y x =的单调增区间是（A ）3.(0).().().(02)A B C D ππππππ，，，，22227、下列函数在区间),0(+∞内单调减少的是（D ）xy D xy C e y B xy A x1.ln ...==== 8、已知函数)(x f 在区间),(+∞-∞单调增加，则使)2()(f x f >成立的x 的取值范围是（A ）)20(.)2(.)0(.)2(.，，，，D C B A ∞-∞-∞+9、曲线1323++=x x y 的拐点坐标为(1,3)-10、曲线33y x x =+的拐点坐标为(0,0)11、求函数3()32f x x x =--的单调区间和极值解：2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，令()0f x '=，得1,1x x =-=当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调增加；当11x -<<时，()0f x '<，()f x 单调减少；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调增加。
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对于微分方程，化成标准形式时，和分别为（）。
B、
∙
D、
∙收藏该题
2、
微分方程的特征方程是（）。
∙
A、
∙
B、
∙
C、
∙
D、
∙收藏该题
3、
设有两个形状相同的曲线形构件A和B，在相同的位置上，A构件的密度均大于B构件的密度，则两者的质量MA和MB满足（）。
∙
A、
∙
B、
∙
C、
∙
D、
不能确定
∙收藏该题
4、
下列二阶微分方程中，属于型的微分方程的是（）
∙
A、
∙
B、
∙
C、
∙
D、
∙收藏该题
5、
给定函数与则有（）。
∙
A、
z1和z2是相同的函数
∙
B、
当x≥y时，两者相同
∙
C、
当x≤y时，两者相同
∙
D、
所有情况下两者都是完全不同的函数
∙收藏该题
6、
已知、、和都是某二阶常系数线性微分方程的解，则该方程的通解为（）。
∙
A、
∙
B、
∙
C、
∙
D、
∙收藏该题
7、
下列微分方程（1）（2）
（3）(4）
的阶分别为（）。
∙
A、
2,2,2,4
∙
B、
2,1,1,4
∙
C、
2,2,3,4
∙
D、
3,1,1,3
∙收藏该题
8、
设，则=（）。
∙
A、
∙
B、
∙
C、
∙收藏该题
9、
下列四个微分方程中，（）是贝努利方程。
∙
A、
∙
B、
∙
C、
∙
D、
∙收藏该题
10、
解微分方程是属于（）。
∙
A、
型的微分方程
∙
B、
型的微分方程
∙
C、
型的微分方程
∙
D、
上述都不对
∙收藏该题
11、
曲线在t=2处的切向量是（）。
∙
A、
(2,1, 4)
∙
B、
(4,3, 4)
∙
C、
∙
D、
(−4,3, 4)
∙收藏该题
12、
在)处均存在是
在处连续的（）条件。
∙
A、
充分
∙
B、
必要
∙
C、
充分必要
∙
D、
既不充分也不必要∙收藏该题
13、
二元函数
的定义域是（）。
∙
A、
∙
B、
∙
C、
∙
D、
∙收藏该题
14、
方程表示的曲面是（）。
∙
A、
圆
∙
B、
椭球
∙
C、
抛物面
∙
D、
球面
∙收藏该题
15、
有且仅有一个间断点的函数是（）。
∙
A、
∙
B、
∙
C、
∙
D、
∙收藏该题
16、
微分方程的通解是（）。
∙
A、
∙
B、
∙
C、
∙
D、
∙收藏该题
17、
下列一阶微分方程中哪个不是可分离变量的微分方程（）。
∙
A、
∙
B、
∙
C、
∙
D、
∙收藏该题
18、
求解微分方程的通解的Matlab命令为( )。
∙
A、
y=dsolve ('Dy=x+y+1','x')
∙
B、
y=dsolve ('Dy=x+y+1')
∙
C、
y=dsolve (y'=x+y+1')
∙
D、
y=dsolve ('y'=x+y+1','x')
∙收藏该题
19、
设D为：，判断
的取值为（）。
∙
A、
负
∙
B、
零
∙
C、
正
∙
D、
小于等于零
∙收藏该题
20、
下列方程中表示双叶双曲面的是（）。
∙
A、
∙
B、
∙
C、
∙
D、
∙收藏该题
二、判断题(共 20 题、50 / 50 分 )
1、
当时|q|<1，无穷级数的值为。
（）
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
2、
点（2，1，−3）关于坐标原点对称的点是(−2，1，3）。
（）
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
3、
yOz平面的方程为y+ z =0。
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
4、
无穷级数发散。
（）
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
5、
二重积分，其中D是面积为2的正方形。
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
6、
已知三点A(2,−3,2)，B(8,0,4)，C(6,−15,8)，则的余弦为1。
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
7、
微分方程满足初始条件的特解是。
（）
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
8、
函数的麦克马林展开式为。
（）
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
9、
设非均质圆形薄板的半径为R，其上的面密度与到圆心的距离成正比，比例系数是K。
以圆形薄板的圆心为原点建立直角坐标系，把圆板的质量m表示为二重积分可以表示为。
（）
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
10、
在点(2,1,4)处的法线方程为。
( )
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
11、
xoy平面和平面的夹角为。
（）
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
12、
正项级数发散。
（）
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
13、
求级数的和的Matlab命令是syms n
symsum(1/n*(n+1),1,inf) （）
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
14、
函数的定义域是。
( )
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
15、
设，则u在点(1,0)处的全微分。
（）
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
16、
双叶双曲面可以通过双曲线
绕x轴旋转得到。
（）
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
17、
曲线型构件是位于第一象限的四分之一圆周，密度为
，则。
（）
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
18、
函数的间断点为。
( )
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
19、
级数发散。
（）
∙
正确
∙
错误
∙收藏该题
20、
微分方程满足初始条件的特解为。
（）
∙
正确。