2014版北师大版九年级数学上2.1认识一元二次方程(1)课时训练含答案
北师大新版数学九年级上册《2.1认识一元二次方程》同步练习(有答案)
北师大新版数学九年级上册《 2.1 认识一元二次方程》同步练习一．选择题（共 16 小题）1 ．已知 x=1 是二次方程（ m 2﹣ 1）x 2﹣mx+m 2 的一个根，那么 m 的值是（ ）=0 A ． 或﹣1B ．﹣ 或1C ． 或1D ．﹣2．已知下边三个对于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0，bx 2+cx+a=0，cx 2+ax+b=0 恰好有一个同样的实数根 a ，则 a+b+c 的值为（）A ．0B ．1C ．3D ．不确立3．已知 m ，n 是方程 x 2﹣2x ﹣ 1=0 的两根，则（ 2m 2﹣4m ﹣1）（3n 2﹣6n+2）的值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．假如（ m ﹣2）x | m | +mx ﹣1=0 是对于 x 的一元二次方程， 那么 m 的值为（ ）A ．2 或﹣ 2B ．2C ．﹣ 2D ．以上都不正确2x 2=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ） 5．对于 x 的方程（a ﹣1）x + + A ．a ≠1 B ．a ≥﹣ 1 且 a ≠1 C ．a ＞﹣ 1 且 a ≠1 D ．a ≠± 1 6．已知对于 x 的方程（a ﹣1）x |a |+ 1﹣2x ﹣ 1=0 是一元二次方程，则 a 的值为（ ） A ．﹣ 1B ．1C ．0D ．1 或﹣ 17．若方程（a ﹣2）x 2+ x+3=0 是对于 x 的一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ）A ．a ≠2B ．a ≥0C ．a ≥0 且 a ≠ 2D ．随意实数8．对于 x 的方程+2mx ﹣ 3=0 是一元二次方程， 则 m 的取值是（ ）A ．随意实数B ．1C ．﹣ 1D ．± 19．若方程（ m ﹣ 1）x 2+ x ﹣2=0 是对于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是（）A ．m=0B ．m ≠ 1C ．m ≥0 且 m ≠1D ． m 为随意实数10．二次方程 4x （x 2）=25 化成一般形式得（ ）+ 22=25 B ．4x 2﹣23=0 C ． 4x 2 8x=25 D ．4x 28x ﹣25=0A ．4x + + +11．一元二次方程（x ﹣ ）（ x）+（ 2x ﹣ 1）2=0 化成一般形式正确的选项是 （）+2﹣ 4x ﹣4=0B ．x 2﹣ 5=0C ．5x 2﹣2x 1=0D ．5x 2﹣4x 6=0 A ．5x+ + ．方程 2﹣6x=9 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） 12 2xA ．6，2，9B ．2，﹣6，9C ．﹣ 2，6，9D ．2，﹣6，﹣913．把方程（ x+1）（ 3x ﹣2）=10 化为一元二次方程的一般形式后为（）A ．2x 2+3x ﹣10=0B ． 2x 2+3x ﹣ 10=0C ．3x 2﹣x+12=0 D ．3x 2+x ﹣12=014．把一元二次方程（ x ﹣3）2=5 化为一般形式，二次项系数； 一次项系数；常数项分别为（）A ．1，6，4B ．1，﹣ 6，4C ．1，﹣6，﹣ 4D ．1，﹣ 6，915．一元二次方程的一般形式是（ ）A ．x 2+bx+c=0B ． ax 2+bx+c=0C ．ax 2 +bx+c=0（ a ≠ 0）D ．以上答案都不对16．将方程﹣ 5x 2=2x+10 化为二次项系数为 1 的一般形式是（）． x 2+ x+2=0 B ．x 2﹣ x ﹣ 2=0 C ．x 2+ x+10=0 D ． x 2﹣2x ﹣10=0 A 二．填空题（共 11 小题）．已知一元二次方程（2﹣3x+m 2﹣4=0 的一个根为 0，则 m= ．17 m ﹣2）x．已知 x 知足方程 x 2﹣ 3x+1=0，则 x 2+ 的值为 ． 1819．已知 a 是方程 x 2﹣2019x 1=0 一个根，求 a 2﹣2019a 的值为 ．+ +20．已知，对于 x 的方程（ a 5）x 2﹣ 2ax=1 是一元二次方程，则 a=．+2x m 2﹣1=0 是一元二次方程，则 m．21．若方程（ m ﹣ 1） x + +22．若（m+1）x 2﹣mx+2=0 是对于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是．23．当 m=| m |+ 1﹣mx+5=0 是一元二次方程．时，对于 x 的方程（ m ﹣1）x24．已知对于 x 的方程（ a ﹣ 3） x 2﹣4x ﹣ 5=0 是一元二次方程，那么 a 的取值范 围是．25 ．若对于 x 的一元二次方程（m+2）x |m |+2x ﹣1=0是一元二次方程，则 m=．26 ．设 m 是方程 x 2﹣ 3x+1=0 的一个实数根，则=．27．已知对于 x 的二次方程2k=0 的解为，则方程+的解为．三．解答题（共 8 小题）28．达成以下问题：（ 1）若 n （n ≠0）是对于 x 的方程 x 2+mx+2n=0 的根，求 m+n 的值；（ 2）已知 x ，y 为实数，且 y= ﹣ 3，求 2xy 的值． ．对于 x 的一元二次方程 （ m+1 ） 2+5x+m 2+3m+2=0 的常数项为 0，求 m 的值． 29 x 30 ．若对于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的一个根是 1 ，且 a ， b 知足b=++3，求 c ．31．阅读以下资料：（ 1）对于 x 的方程 x 2 ﹣3x 1=0（ x ≠ 0）方程两边同时乘以 得： 即，+，（ 2） a 3+b 3=（a+b ）（ a 2﹣ab+b 2 ）； a 3﹣b 3=（ a ﹣ b ）（ a 2+ab+b 2）．依据以上资料，解答以下问题：（ 1）x 2﹣4x+1=0（x ≠0），则 =， = ， = ；（ 2） 2x 2﹣ 7x+2=0（ x ≠ 0），求的值．32．已知 2 是对于 x 的一元二次方程5x 2+bx ﹣10=0 的一个根，求方程的另一个根及 b 的值．33．已知：对于 x 的一元二次方程 x 2﹣（ 2m+3）x+m 2+3m+2=0．（ 1）已知 x=2 是方程的一个根，求 m 的值；（ 2）以这个方程的两个实数根作为△ ABC 中 AB 、AC （AB ＜AC ）的边长，当 BC=时，△ ABC 是等腰三角形，求此时 m 的值．34．已知对于 x 的一元二次方程（ m+2）x 2+3x+（m 2﹣ 4）=0 有一个解是 0，求 m的值及方程的另一个解．35．阅读以下资料：问题：已知方程 x 2+x ﹣ 1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为 y ，则 y=2x ，因此 x= ，把 x= ，代入已知方程，得（ ）2+ ﹣1=0．化简，得 y 2+2y ﹣4=0，故所求方程为 y 2+2y ﹣ 4=0这类利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读资料供给的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（ 1）已知方程x2+2x﹣ 1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；（ 2）已知对于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠ 0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．参照答案一．选择题1．D．2．A．3．B．4．C．5．B．6．A．7．C．8．C．9．C．10．D．11．A．12．D．13．C．14．B．15．C．16．A．二．填空题17．﹣ 2．18．7．19．2019．20．≠ 1．22．m≠﹣ 1．23．﹣ 124．a≠325．m=2．26．8．27．x1=﹣，x2=0．三．解答题28．解：（ 1）由题意得 n2+mn+2n=0，∵ n≠0，∴n+m+2=0，得 m+n=﹣2；（ 2）解：由题意得， 2x﹣5≥0 且 5﹣2x≥0，解得 x≥且 x≤，因此，，y=﹣ 3，∴2xy=﹣15．29．解：由题意，得m2+3m+2=0，且 m+1≠0，解得 m=﹣2，m的值是﹣ 2．30．解：将 x=1 代入方程 ax2+bx+c=0，得： a+b+c=0；又∵ a、b 知足等式 b= ++3，∴a﹣ 3≥0， 3﹣ a≥0；∴a=3，∴b=3；则 c=﹣a﹣b=﹣6．31．解；（ 1）∵ x2﹣4x+1=0，∴x+ =4，∴（ x+）2=16，∴x2+2+ =16，∴x2+ =14，∴（ x2+）2=196，∴x4+ +2=196，∴x4+ =194．故答案为 4，14， 194．（2）∵ 2x2﹣7x+2=0，∴ x+ = ，x2+ = ，∴=（ x+ ）（ x2﹣1+ ）= ×（﹣ 1） =．32．解：把 x=2 代入方程 5x2+bx﹣10=0 得 5×4+2b﹣10=0，解得 b=﹣5，设方程的另一个根为t ，则 2t=﹣，解得 t=﹣1，即方程的另一根为﹣ 1．33．解：（ 1）∵ x=2 是方程的一个根，∴4﹣ 2（ 2m+3）+m2+3m+2=0，∴m=0 或 m=1；（2）∵△ =（2m+3）2﹣4（m2+3m+2）=1，=1；∴x=∴x1=m+2，x2=m+1，∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，∴ AC=m+2，AB=m+1．∵BC= ，△ ABC是等腰三角形，∴当 AB=BC时，有 m+1=，∴m= ﹣1；当 AC=BC时，有 m+2=，∴m= ﹣2，综上所述，当 m=﹣1或m=﹣2时，△ ABC是等腰三角形．34．解：把 x=0 代入方程，得m2﹣4=0，解得 m=±2，∵m+2≠0，∴ m≠﹣ 2，∴ m=2，把 m=2 代入方程，得4x2 +3x=0，解得 x1=0，x2=﹣．答： m 的值是 2，方程的另一根是﹣．35．解：（ 1）设所求方程的根为y，则 y=﹣ x，因此 x=﹣y，把 x=﹣y 代入方程 x2+2x﹣1=0，得： y2﹣2y﹣1=0，故答案为： y2﹣2y﹣ 1=0；（ 2）设所求方程的根为 y，则 y= （ x≠0），于是 x= （y≠0），把x= 代入方程 ax2+bx+c=0，得 a （）2+b（）+c=0，去分母，得a+by+cy2=0，若 c=0，有 ax2+bx=0，于是，方程 ax2 +bx+c=0 有一个根为 0，不合题意，∴c≠0，故所求方程为 a+by+cy2=0（c≠ 0）．。
数学北师大版九年级上册2.1.1一元二次方程的定义和一般形式同步训练(含解析)
数学北师大版九年级上册2一、选择题1.方程(x－1)(x＋3)＝12化为ax2＋bx＋c＝0的方式后，a，b，c的值区分为〔〕A.1，2，－15B.1，－2，－15C.－1，－2，－15D.－1，2，－152.以下方程是一元二次方程的是〔〕A.B.C.D.3.假定关于x的方程(a＋1)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，那么a的取值范围是〔〕A.a≠－1B.a＞－1C.a＜－1D.a≠04.假定，代数式的值是( )A.B.C.-3D.35.关于x的一元二次方程〔m﹣2〕x2+x+m2﹣4=0有一个根为0，那么m的值应为〔〕A.2B.﹣2C.2或﹣2D.16.以下方程中，一元二次方程共有〔 〕个①x 2﹣2x ﹣1=0；②ax 2+bx+c=0；③21x +3x ﹣5=0；④﹣x 2=0；⑤〔x ﹣1〕2+y 2=2；⑥〔x ﹣1〕〔x ﹣3〕=x 2 ．A. 1B. 2C. 3D. 47.有以下关于x 的方程：①ax 2+bx+c=0，②3x 〔x ﹣4〕=0，③x 2+y ﹣3=0，④21x +x=2，⑤x 3﹣3x+8=0，⑥ 21 x 2﹣5x+7=0，⑦〔x ﹣2〕〔x+5〕=x 2﹣1．其中是一元二次方程的有〔 〕 A.2 B.3 C.4 D.5 8.把方程x 2-3=-3x 转化为普通方式后，二次项系数、一次项系数、常数项区分为〔 〕A.0，-3，-3B.1，-3，-3C.1，3，-3D.1，-3，3二、填空题9.〔m ﹣1〕x |m|+1﹣3x+1=0是关于x 的一元二次方程，那么m=________．10.方程x 〔2x-1〕=5〔x+3〕的一次项系数是________ ，二次项系数是________ ，常数项是________ ． 11.当m________时，方程〔m －1〕x 2－(2m －1)x ＋m ＝0是关于x 的一元一次方程；当m________时，上述方程才是关于x 的一元二次方程.12.方程〔3x+1〕=x 2+2 化为普通方式为________13.假定一元二次方程〔a≠0〕 有一个根为1，那么 ________；假定有一个根是-1，那么b 与 a 、c 之间的关系为________；假定有一个根为0，那么c=________.三、解答题14.试证：不论k 取何实数，关于x 的方程 (k 2 -6k +12)x 2 = 3 - (k 2 -9)x 必是一元二次方程.15.x=-1是关于x 的方程6x 2-〔m-1〕x-9=0的一个解，求m 的值16.假定〔m+1〕+6x-2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．17.〔1〕假定关于x 的方程x 2-x-1=mx 2〔2x-m+1〕是一元二次方程，求出它的二次项系数，一次项系数，常数项．〔2〕关于x 的一元二次方程为2x m -4x n +〔m+n 〕=0，试直接写出满足要求的一切m 、n 的值． 18.关于x 的方程2mx 2-mx-x 2+m+2=0〔1〕m 为何值时，此方程是一元一次方程？〔2〕m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．19.学完一元二次方程后，在一次数学课上，同窗们说出了一个方程的特点：①它的普通方式为ax 2+bx+c=0〔a 、b 、c 为常数，a≠0〕②它的二次项系数为5③常数项是二次项系数的倒数的相反数你能写出一个契合条件的方程吗？20.有这样的标题：把方程 21 x 2－x ＝2化为一元二次方程的普通方式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．如今把下面的标题改编成下面的两个小题，请回答以下效果：〔1〕下面式子中是方程 21 x 2－x ＝2化为一元二次方程的普通方式的是________．(只填写序号)① 21 x 2－x －2＝0，②－ 21 x 2＋x ＋2＝0，③x 2－2x ＝4，④－x 2＋2x ＋4＝0，⑤ x 2－2 x －4 ＝0.〔2〕方程 21 x 2－x ＝2化为一元二次方程的普通方式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？答案解析局部一、选择题1.【答案】A【考点】一元二次方程的定义及相关的量【解析】【解答】去括号可得：，化简可得：， 即a=1，b=2，c=-15，故答案为：A【剖析】先将原方程去括号、移项，兼并转化为一元二次方程的普通方式：ax2+bx+c=0〔a≠0〕，再区分写出a、b、c的值。
北师大版九年级数学上册 2.1 认识一元二次方程 同步练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第二章 2.1 认识一元二次方程 同步练习题第1课时 一元二次方程1．下列方程中是一元二次方程的是(D)A ．x 2＋1x ＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．3x 2－2xy －5y 2＝0 D ．(x －1)(x ＋2)＝22．若关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2mx －3＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是(C) A ．任意实数 B ．m ≠1 C ．m ≠－1 D ．m ＞13．将一元二次方程5x 2－1＝4x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是(C) A ．5，－1 B ．5，4 C ．5，－4 D ．5，1 4．已知关于x 的方程(a －3)x|a －1|＋x －1＝0是一元二次方程，则a 的值是(A)A ．－1B ．2C ．－1或3D ．35．下列方程中：(1)3(x ＋1)2＝2(x ＋1)；(2)1x 2＋1x －2＝0；(3)ax 2＋bx ＋c ＝0；(4)x2＋2x ＝x 2－1中，关于x 的一元二次方程是(1)．6．若方程mx 2＋3x －4＝2x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是m ≠2． 7．把一元二次方程(x ＋1)2－x ＝3(x 2－2)化成一般形式是2x 2－x －7＝0．8．若将关于x 的一元二次方程3x 2＋x －2＝ax(x －2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为－2，则该方程中的一次项系数为5．9．若关于x 的一元二次方程(2a －4)x 2＋(a 2－4)x ＋a －8＝0没有一次项，则a 的值为－2.10．将下列一元二次方程化为一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)3x(x －2)＝4x －1； (2)(y －3)(2y ＋5)＝2－y.解：(1)整理，得3x 2－10x ＋1＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为3，－10，1.(2)整理，得2y 2－17＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，0，－17.11．已知关于x 的方程(k ＋1)xk 2＋1＋(k －3)x －1＝0. (1)当k 取何值时，它是一元一次方程？ (2)当k 取何值时，它是一元二次方程？ 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝0，k －3≠0或⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝1，k ＋1＋k －3≠0. 解得k ＝－1或k ＝0.∴当k ＝－1或0时，它是一元一次方程． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝2，k ＋1≠0，解得k ＝1. ∴当k ＝1时，它是一元二次方程．12．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行2列，两边各加一条竖线，记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，上述记法叫做二阶行列式．那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x ＋2x －2 2x ＝22表示的方程是一元二次方程吗？若是，请写出它的一般形式．解：根据题意，得(x ＋1)·2x－(x ＋2)(x －2)＝22， 整理，得x 2＋2x －18＝0，它是一元二次方程，一般形式为x 2＋2x －18＝0.13．观察下列一元二次方程：①x 2＋2x －3＝0；②x 2－7x ＋6＝0；③3x 2－2x －1＝0；④5x 2＋3x －8＝0.(1)上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征； (2)请你写出符合此特征的一个一元二次方程．解：(1)在①中，a ＝1，b ＝2，c ＝－3，则a ＋b ＋c ＝0； 在②中，a ＝1，b ＝－7，c ＝6，则a ＋b ＋c ＝0； 在③中，a ＝3，b ＝－2，c ＝－1，则a ＋b ＋c ＝0； 在④中，a ＝5，b ＝3，c ＝－8，则a ＋b ＋c ＝0， 由上可得方程的系数公共特征为a ＋b ＋c ＝0. (2)x 2－x ＝0(答案不唯一)．第2课时 一元二次方程的解及其估算1．下列各未知数的值是方程3x 2＋x －2＝0的解的是(B) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－22．(成都青羊区月考)若a －b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)必有一个根是(C) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－b a3．如果关于x 的一元二次方程(m －3)x 2＋3x ＋m 2－9＝0有一个解是0，那么m 的值是(B) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．0或－34．先填表，再探索一元二次方程x 2＋x －12＝0的解的取值范围．从表中看出方程有一个解应介于2和4之间． 5．已知a 2－5a ＋1＝0，则a ＋1a－3的值为2．6．已知a 是方程x 2－2x －1＝0的一个根，则代数式2a 2－4a －1的值为1． 7．已知a 是方程x 2＋x －1＝0的一个根，则2a 2－1－1a 2－a的值为1． 8．若2－3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，则c 的值是1．9．已知a 是方程x 2－3x －2＝0的根，则代数式a 3－2a 2－5a ＋2 019的值为2_021．10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图)，要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x 米，则可列方程为(35－2x)(20－x)＝600(或2x 2－75x ＋100＝0)．11．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且a ，b 满足b ＝a －3＋3－a ＋3，求c.解：将x ＝1代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0， 得a ＋b ＋c ＝0，即c ＝－a －b.∵a ，b 满足等式b ＝a －3＋3－a ＋3， ∴a －3≥0，3－a≥0，即a ＝3.∴b＝3. ∴c ＝－a －b ＝－6.12．已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，求代数式x －33x 2－6x ÷(x＋2－5x －2)的值．解：∵x 2＋3x －1＝0， ∴x 2＋3x ＝1，即x(x ＋3)＝1.∴原式＝x －33x （x －2）÷（x ＋3）（x －3）x －2＝13x （x ＋3）＝13.13．某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2，四周为宽度相等的人行走道，如图．若设人行走道宽为x m.(1)请列出相应的方程；(2)x的值可能小于0吗？说说你的理由；(3)x的值可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由；(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．解：(1)由题意可知网球场的长和宽分别为(80－2x)m，(60－2x)m，则可列方程为(80－2x)(60－2x)＝3 500，整理，得x2－70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x>30时，网球场的宽60－2x<0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.(4)人行走道的宽为5 m，求解过程如下：显然，当x＝5时，x－70x＋325＝0，故人行走道的宽为5 m.。
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析含习题练习
第01讲_一元二次方程及其解法知识图谱一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一般形式：2=0(0)ax bx c a++≠a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项()2210xx+=⨯()20ax bx c++=⨯()223253x x x--=⨯()()()121x x-+=√判断标准（1）只含有一个未知数（2）未知数的最高次数是2（3）整式方程方程(2)310mm x mx+++=是关于x的一元二次方程，则满足条件||2m=20m+≠北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析系数（1）一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看（2）20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程方程()13242+=+x x 整理为一般式后为2630x x ++=∴二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3二．一元二次方程的解一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解（2）一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，将0x =代入方程，()2210010a a -⋅++-=，得1a =±三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．三．易错点：1.确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程；3.一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．概念例题1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210x x+= B.20ax bx c ++=C.223253x x x --= D.()()121x x -+=【答案】D 【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．只有含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程.A ：2210x x +=变形后为()4100x x +==，是关于x 的四次方程；B ：20ax bx c ++=中当仅当0a ≠时才是关于x 的二次方程；C ：223253x x x --=变形后为250x --=，是关于x 的一次方程；D ：()()121x x -+=变形后为230x x +-=，是关于x 的二次方程；故本题选D ．例题2、方程()2310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______．【答案】2【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．由题可知，||2m =且20m +≠，所以2m =例题3、若方程()211m x x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__________．【答案】0m ≥且1m ≠【解析】由题意可得，二次项系数10m -≠，即1m ≠0m ≥，所以m 的取值范围是0m ≥且1m ≠．例题4、方程()13242+=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______【答案】1，6，3【解析】先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得2630x x ++=，所以二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3随练1、若03)2(22=-+--x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________。
北师大版(2014教材)初中九上212认识一元二次方程同步练习
2.1.2 认识一元二次方程1.(5分)方程x2-2x-2=0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是（）A．-2＜x1＜-1B．-1＜x1＜0C．0＜x1＜1D．1＜x1＜22.(5分)根据下列表格的对应值：可得方程x2+5x-3=0一个解x的范围是（）A．0＜x＜25B．0.25＜x＜0.50C．0.50＜x＜0.75D．0.75＜x＜13.(5分)小颖在学习“花边有多宽”时，对一元二次方程（8-2x）（5-2x）=18的根做了如下估计：由她所列表格的数据可知，此方程的一个根为（）A.0B.1C.2D.34.(5分)根据方程x2-3x-5=0可列表如下（）则x的取值范围是（）A．-3＜x＜-2或4＜x＜5B．-2＜x＜-1或5＜x＜6C．-3＜x＜-2或5＜x＜6D．-2＜x＜-1或4＜x＜55.(5分)方程x2-2x-1=0的正数根的范围是（）A．0＜x＜1B．1＜x＜2C．2＜x＜3D．3＜x＜46.(5分)根据下表得知，方程x2+2x-10=0的一个近似解为x≈_____________（精确到0.1）7.(5分)关于x 的二次三项式ax 2+bx+c ，满足下表中的对应关系：则一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个整数根分别是________8. (5分)根据表格确定方程x 2-8x+7.5=0的一个解的范围是__________．9.(14分)观察下表：从表中你能得出方程5x 2-24x+28=0的根是多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请写出方程根的取值范围．10.（14分）关于x 的方程037)32(12=-+-++x x m m m 是一元二次方程吗?11.(16分)教材或资料会出现这样的题目：把方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式，并写出他的二次项系数、一次项系数和常数项.现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答.（1）下列式子中，有哪几个是方程2122x x -=所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）.①21202x x --=②21202x x -++=③224x x -=④2240x x -++=20--=（2）方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？12．(16分)一元二次方程02=++c bx ax 的一个根是1,且a 、b 满足等式122--+-=a a b ,求此一元二次方程.【参考答案】 1.B2.C3.B4.D5.C 6. -4.3 7.-3,2 8. 1.0＜x ＜1.19. 根据表格中的数据，知：方程有一个根是x=2；另一个根x 的范围是2.5＜x ＜3．10.根据一元二次方程的概念,有21=+m ,解得m =1,当m=1时,322-+m m =2×12+1-3=0,故此方程不是一元二次方程.11.（1）①②④⑤ (2) 若说它的二次项系数为a （a ≠0），则一次项系数为-2a 、常数项为-2a .12. 因为方程02=++c bx ax 的一个根是1,所以将x =1代入方程中,可知a +b +c =0.又因为a -2≥0,2-a ≥0,所以a =2.则122--+-=a a b=0+0-1=-1,把a=2,b=-1代入方程a +b +c =0中,得c=-1.所以所求的方程为0122=--x x。
北师大九年级上《2.1认识一元二次方程》课时练习含答案解析.doc
北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程课时练习一、选择题1. 如果方程（ k- 2）x2 - 3kx- 1=0 是一元二次方程，那么k 的值不可能是（）A . 0B . 2 C.- 2 D. 1答案： B解析：解答：∵方程（ k- 2）x2 - 3kx- 1=0 是一元二次方程，∴k- 2≠ 0，解得， k≠ 2．分析：一元二次方程的二次项系数不等于零．故选 B ．2．若方程（ m+2）x m =0 是关于 x 的一元二次方程，则（）A . m=2 B. m=- 2 C. m=± 2 D . m≠ 2答案： A解析：解答：∵方程（ m+2）m =0是关于x的一元二次方程，x∴|m|=2， m+2 ≠ 0，解得 m=2．故选 A ．分析：根据一元二次方程的定义，令系数不为0，指数为 2 即可解答．3. 下列方程是一元二次方程的是（）A . 2x+1=9 B. x2 +2 x+3=0 C. x+2x=7 D . 1 5 6x答案： B解析：解答：根据一元二次方程的定义可得x 2 +2x+3=0 是一元二次方程，故选： B．分析： A 是一元一次方程， B 是一元二次方程， C 是一元一次方程， D 是分式方程．4. 若关于 x 的方程m 1 x m2 1 mx 3 0 是一元二次方程，则m=（）A . 1B .- 1 C. ± 1 D. 无法确定答案： B2解析： 解答： ：∵关于 x 的方程 m 1 x m 1mx 3 0 是一元二次方程，∴ m 2 +1=2 ，且 m- 1≠ 0，解答， m=- 1．故选 B ．分析：根据一元二次方程的定义列出关于 m 的方程 m 2 +1=2 ，且二次项系数 m- 1≠ 0，据此易求 m 的值．5. 方程 x23x是（）2A . 一元二次方程 B. 分式方程 C. 无理方程 D. 一元一次方程答案： A解析： 解答： ∵此方程含有一个未知数，并且未知数的次数为 2，∴此方程是一元二次方程． 故选 A ．分析：根据一元二次方程的定义进行解答即可．6. 若 a 2 x a 2 23 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值是（）A . 0B . 2 C.- 2D. ± 2答案： C解析： 解答： ∵ a 2 x a 2 23 是关于 x 的一元二次方程，a 2 0∴2 ，a 22解得， a=- 2．故选 C ．分析：一元二次方程必须满足两个条件：（ 1）未知数的最高次数是 2；（ 2）二次项系数不为 0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．7. 已知一元二次方程（ m- 2） x m）+3 x- 4=0，那么 m 的值是（ A . 2 B . ±2C.- 2 D. 1答案： C解析： 解答： 由一元二次方程的定义可知：m- 2≠ 0 且 m =2解得， a=- 2．故选 C ．分析：一元二次方程必须满足两个条件：（ 1）未知数的最高次数是 2；（ 2）二次项系数不为 0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．8. 关于 x 的方程 kx 2- 6x+9=0 是一元二次方程，则 （ ）A . k ＜ 0 B. k ≠0 C. k ≥ 0D . k ＞ 0答案： B解析： 解答： ∵一元二次方程的二次项系数不能为 0，且 kx 2 - 6x+9=0 是一元二次方程，∴k ≠ 0故选 B ．分析：根据一元二次方程的定义中，二次项系数不能为 0，直接求出 k 的取值范围．9. 方程（ m- 1） x |m|+1 - 2x =3 是关于 x 的一元二次方程，则有（ ）A . m=1 B. m=- 1C. m=± 1D . m ≠± 1答案： B解析： 解答： ∵方程（ m-1）x |m|+1 - 2x=3 是关于 x 的一元二次方程，m 1 0∴1 ，解得 m=- 1．m2故选 B ．分析：根据一元二次方程的定义列出关于 m 的方程组，求出 m 的值即可．10. 若关于 x 的方程（ a- 1） x 2 +3x- 2=0 是一元二次方程，则a 的取值范围是（）A . a ≥ 1 B. a ≠ 0 C. a ≠1 D. a ＞ 1解析：解答：根据题意，得a- 1≠ 0，解得， a≠ 1．故选 C．分析：本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．11. 下列式子中是一元二次方程的是（）A . xy+2=1B . （x2 +5） x=0C. x2 - 4x- 5 D . x2 =0答案： D解析：解答： A 、含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项错误；B、未知数的次数是 3，是一元三次方程，故本选项错误；C、不是等式，故不是方程，故本选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．故选 D ．分析：根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．12. 如果（ m- 1）x2+2x- 3=0 是一元二次方程，则（）A . m≠ 0B . m≠ 1 C. m=0 D. m≠ - 12答案： B解析：解答：∵（ m- 1）x2 +2x-3=0 是一元二次方程，∴m- 1≠ 0，∴m≠ 1．故选 B ．分析：根据一元二次方程的定义列出关于m 的不等式，求出m 的值即可．13. 关于 x 的方程ax2 ax 2 0 是一元二次方程，则 a 满足（）A . a＞ 0 B. a=1 C. a≥ 0 D . a≠ 0a 0解析：解答：根据题意得，解得a＞0．a 0故选 A ．分析：本题根据一元二次方程的定义中：二次项系数不为0 以及算术平方根中的被开方数是非负数，即可求得 a 的取值范围．14. p x2 - 3x+ p2 - p=0 是关于 x 的一元二次方程，则（）A . p=1B . p＞ 0 C. p≠ 0 D . p 为任意实数答案： C解析：解答： p x2 - 3x+ p2 - p=0 关于 x 的一元二次方程，可知p≠0，选 C．分析：根据一元二次方程的一般形式是 a x2 +bx+c=0（ a， b，c 是常数，且a≠0），据此即可进行判断．15.关于x的方程a x2- 3x+3=0是一元二次方程，则a 的取值范围是（）A . a＞ 0 B. a≠ 0 C. a=1 D . a≥ 0答案： B解析：解答：由一元二次方程的特点可知a≠ 0．故选 B ．分析：根据一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠ 0），据此即可进行判断．二、填空题16.试写出一个含有未知数 x 的一元二次方程 ________．答案：x2 - 2x+1=0解析：解答：答案不唯一，要符合一元二次方程的定义，保证二次项系数不为0，如x2 - 2x+1 =0 分析：一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠ 0）特别要注意 aax2叫二次项， bx 叫一次≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中项， c 是常数项．其中a， b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．17. 关于 x 的一元二次方程ax 2 - bx- c=0 的 a 的取值范围 ________．答案： a≠ 0解析：解答：：∵ax2 - bx- c=0 是关于 x 的一元二次方程，∴a≠0．故答案为： a≠ 0．分析：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程，可得出a的取值范围．18.当 k 满足条件 ________时，关于 x 的方程（ k- 3）x2 +2x- 7=0 是一元二次方程．答案： k≠ 3解析：解答：根据题意得k- 3≠0，解得 k≠ 3．故答案为k≠3．分析：根据一元二次方程的定义得到k- 3≠ 0，然后解不等式即可．19.关于x的方程ax2- 3x- 2=0是一元二次方程，则a________．答案：≠ 0解析：解答：使 x 的方程ax2 - 3x- 2=0 是一元二次方程，根据一元二次方程的定义可知：二次项系数不为0，∴a≠ 0．分析：根据一元二次方程的一般形式是ax 2 +bx+c=0（ a≠0， a， b， c 都是常数）及其定义，即可求解．20. 方程ax a 1 +3x- 1=0 是一元二次方程，则a=________ ．答案： 3 或- 3．解析：解答：根据题意得，|a|- 1=2 且 a≠ 0，由|a|- 1=2 得， a- 1=2 或 - a-1=2，解得 a=3 或 a=- 3，所以， a=3 或 - 3．故答案为： 3 或 - 3．分析：根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（ 2）二次项系数不为 0 列式求解即可．三．解答题21. 若（ m+1 ）x m 1 +6-2=0 是关于 x 的一元二次方程，求m 的值．答案： m=1解析：解答：因为是关于 x 的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1 一定是此二次项．m 1 0 所以得到1 ，m 2 解得 m=1．分析：一元二次方程的一般形式是： 2 bx c 0 a b，c是常数且a 0 aax + + = （，≠）特别要注意≠0 的条件．22.若关于x的方程（k24 ） x2+k 1 x+5=0是一元二次方程，求k 的取值范围．答案： k≥ 1 且 k≠ 2.解析：解答：根据题意，k 24≠0且k-1≥0，解得k≥1且k≠ 2.分析：本题根据一元二次方程的定义，二次项系数不等于0，并且二次根式有意义的条件被开方数是非负数，即可求得k 的范围．23.已知关于x的一元二次方程 2 x a - 3 x b - 5=0 ，试写出满足要求的所有a， b 的值．答案：a=2， b=2 或a=2 ， b=1 或a=2，b=0，或a=1， b=2 或 a=0， b=2解析：解答：根据题意，a=2，b=2 或 a=2， b=1 或a=2 ， b=0 ，或a=1， b=2 或a=0， b=2 分析：本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．24. 试比较下列两个方程的异同，x2 +2x- 3=0 ，x2 +2x+3=0 ．答案：相同点：①都是一元二次方程；②都化成了一元二次方程的一般形式；③二次项系数均为1；④一次项系数均为2；⑤常数项的绝对值相等；⑥都是整系数方程等．不同点：①常数项符号相反；②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解解析：解答：相同点：①都是一元二次方程；②都化成了一元二次方程的一般形式；③二次项系数均为1；④一次项系数均为2；⑤常数项的绝对值相等；⑥都是整系数方程等．不同点：①常数项符号相反；②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解分析：从一元二次方程的概念、系数等进行比较．25.已知 a、b、 c 为三角形三个边，ax2 +bx（ x- 1）= cx2 - 2b 是关于 x 的一元二次方程吗？答案：是解析：解答：化简ax2 +bx（ x- 1） = cx2 - 2b，得（ a+b- c）x2 - bx+2b=0，∵a、 b、 c 为三角形的三条边，∴a+b＞ c，即 a+b- c＞0，∴ax2 +bx（x- 1） = cx2- 2b 是关于 x 的一元二次方程．分析：首先将ax 2+bx（x- 1）=cx2- 2b化简整理成（a+b- c）x2- bx+2b=0，然后根据一元二次方程的定义解答．。
北师大版九年级数学上册--第二单元2.1 认识一元二次方程 练习题(含答案)
2.1 认识一元二次方程一、判断题（下列方程中是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）（ ）1. 5x 2+1=0 （ ）2. 3x 2+x1+1=0（ ）3. 4x 2=ax(其中a 为常数) （ ）4. 2x 2+3x=0（ ）5. 5132+x =2x （ ）6. 22)(x x + =2x（ ）7. ｜x 2+2x ｜=4二、填空题1. 一元二次方程的一般形式是____________________。
2. 将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为____________________。
3. 将方程(x+1)2=2x 化成一般形式为____________________。
4. 方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________。
5. 方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是____________________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________。
6. 若ab ≠0，则a 1x 2+b 1x=0的常数项是__________。
7. 如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是_______。
8. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m_____时，是一元二次方程，当m_____时，是一元一次方程。
9、若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是。
10、方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是，常数项是。
11、 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是。
三、选择题1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A. 2x 2+7=0B. 2x 2+23x+1=0C. 5x 2+x1+4=0 D. 3x 2+(1+x) 2+1=0 2. 方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是（ ）A. x 2－5x+5=0B. x 2+5x+5=0C. x 2+5x －5=0D. x 2+5=0 3. 一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）A. 7x 2,2x,0B. 7x 2,－2x ，无常数项C. 7x 2,0,2xD. 7x 2,－2x,0 4. 方程x 2－3=(1－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ）A.2B.－2C.32-D.3221-+5. 若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（ ）A. 2B. －2C. 0D. 不等于2 6. 关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解 7、下列方程中，不是整式方程的是（ ）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=8、下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．234x x m =+B ．280ax -=C ．20x y +=D ．560xy x -+=9、若方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数 10、下列各方程中属于一元二次方程的是（ ）（1）214yy -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-=A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（1）（2）（6）D ．（1）（2）11、关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） Ａ．1，3mn ，22mn n - Ｂ．1，3m -，22mn n - Ｃ．1，m -，2n - Ｄ．1，3m ，22mn n -四、填表2.1 认识一元二次方程参考答案一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√二、1. ax 2+bx+c=0(a ≠0) 2. 5x 2+6x －1=0 3. x 2+1=0 4. 0 85. 5x 2－22x+3=0；5x 2；－22x ；36. 07. ≠18. ≠4 =49.3k ≠ 10.1，4-，1 11.答案：2a >-且0a ≠三、1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7. C 8.A 9.C 10.D 11.B。
北师大版九年级数学第二章一元二次方程2.1--2.3课时练习题(含答案)
第1课时 用配方法解简单的一元二次方程1．一元二次方程x 2－16＝0的根是( )A ．x ＝2B ．x ＝4C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x 1＝4，x 2＝－4 2．对于形如(x ＋m )2＝n 的方程，下列说法正确的是( )A ．可以直接开平方得x ＝－m ±nB ．可以直接开平方得x ＝－n ±mC ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－m ±nD ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－n ±m 3．一元二次方程(x ＋6)2－9＝0的解是( )A ．x 1＝6，x 2＝－6B ．x 1＝x 2＝－6C ．x 1＝－3，x 2＝－9D ．x 1＝3，x 2＝－9 4．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有实数根，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥－34B ．m ≥0C ．m ≥1D ．m ≥25．若一元二次方程(x ＋6)2＝5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x ＋6＝ 5，则另一个一次方程是________________．6．若把x 2＋2x －2＝0化为(x ＋m )2＋k ＝0的形式(m ，k 为常数)，则m ＋k 的值为( ) A ．－2 B ．－4 C ．2 D ．47．用配方法解关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0时，方程可变形为( ) A ．(x ＋p2)2＝p 2－4q4 B ．(x ＋p2)2＝4q －p 24 C ．(x －p 2)2＝p 2－4q 4 D ．(x －p 2)2＝4q －p248．代数式x 2＋4x ＋7的最小值是________．9．若一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a＝________． 10．小明用配方法解一元二次方程x 2－4x －1＝0的过程如下所示：解：x 2－4x ＝1，① x 2－4x ＋4＝1，② (x －2)2＝1，③ x －2＝±1，④ x 1＝3，x 2＝1.⑤ (1)小明解方程的方法是________，他的求解过程从第________步开始出现错误，这一步的运算依据应该是____________________；(2)解这个方程．11．用直接开平方法解下列方程：(1)(2x ＋1)2－6＝0； (2)(x －2)2＋4＝0. (3)x 2＋4x －2＝0； (4)x 2－x －1＝0；(5)x 2－3x ＝3x ＋7； (6)x 2＋2x ＋2＝6x ＋4.7．若a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0，求a 2－b 2的值．8．定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝a 2＋b 2；当a ＜b 时，a *b ＝a 2－b 2，则方程x *2＝12的解是________．20．将4个数a ，b ，c ，d 排成两行两列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，我们将其称为二阶行列式，并定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 1－x x －1 x ＋1＝6，则x ＝________． 公式法1．用公式法解－x 2＋3x ＝1时，需先求出a ，b ，c 的值，则a ，b ，c 依次为( ) A ．－1，3，－1 B ．1，－3，－1 C ．－1，－3，－1 D ．－1，3，12．用公式法解方程：(1)x 2－2x ＝1； (2)4x 2－3＝12x . (3)3x 2＋4x －4＝0； (4)2x 2＋1＝4x.3．2017·广元方程2x 2－5x ＋3＝0的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．两根异号 4．2017·安顺若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是( ) A ．0 B ．－1 C ．2 D ．－35．2017·长春若关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是________． 6．2017·潍坊若关于x 的一元二次方程kx 2－2x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是________． 7．已知关于x 的方程x 2＋2 kx －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ≥0B ．k ＞0C ．k ≥－1D ．k ＞－1 8．关于x 的一元二次方程x 2＋4kx －1＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断12．已知三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，则该三角形的周长是( )A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对13．2017·通辽若关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2＋2(k ＋1)x ＋k －2＝0有实数根，则k 的取值范围在数轴上表示正确的是( )图2－3－114．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步．经过计算，你的结论是：长比宽多( )A ．12步B ．24步C ．36步D ．48步15．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a *b ＝(a ＋1)2－ab ，则方程(x ＋2)*5＝0的解为( ) A ．x ＝－2 B ．x 1＝－2，x 2＝3C ．x 1＝－1＋32，x 2＝－1－32D ．x 1＝－1＋52，x 2＝－1－5216．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m 的值．17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0.(1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)为m 选取一个合适的整数值，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．18证明：关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，不论a为何值，该方程都是一元二次方程．19．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20.在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．(1)经过几秒钟，△PBQ的面积为8 cm2?(2)经过几秒钟，P，Q两点间的距离为53 cm?1．A . 2．D ． 3．B 4．C [5．解：(1)x 2－2x －1＝0，x ＝2±（－2）2－4×1×（－1）2×1＝1±2，∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. (2)4x 2－12x －3＝0，x ＝12±（－12）2－4×4×（－3）2×4＝12±8 38 ＝3±2 32， ∴x 1＝32＋3，x 2＝32－ 3.6．B 7．D . 8．49．k ≤1且k ≠0 10．A 11．A ． 12．B13．A 14．A 15．D16．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，∴2m －1＝±4， ∴m ＝52或m ＝－32.17．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即[－2(m ＋1)]2－4m 2＞0， 解得m ＞－12.(2)∵m ＞－12，∴可取m ＝0，此时方程为x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.(答案不唯一) 18．解：(1)△ABC 是等腰三角形． 理由：∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c )×(－1)2＋2b ×(－1)＋(a －c )＝0， ∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0，∴a －b ＝0， 即a ＝b ，∴△ABC 是等腰三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根， ∴(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0， ∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0， 即a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形． (3)当△ABC 是等边三角形时，(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0可整理为2ax 2＋2ax ＝0， ∴x 2＋x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－1.详解1．D 2.C3．C [解析] (x ＋6)2＝9，∴x ＋6＝±3， ∴x 1＝－3，x 2＝－9.故选C. 4．B5．x ＋6＝－ 5 [解析] 直接开平方，得x ＋6＝± 5. 6．解：(1)移项，得(2x ＋1)2＝6，直接开平方，得2x ＋1＝±6，即2x ＝－1±6， 解得x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62.(2)移项，得(x －2)2＝－4， ∵(x －2)2≥0，－4＜0， ∴该方程无实数根．7．B [解析] x 2＋2x －5＝0，x 2＋2x ＝5，x 2＋2x ＋1＝5＋1，(x ＋1)2＝6.故选B. 8．D9．B [解析] 由x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2＝x 2＋2qx ＋q 2，得2q ＝－4，p ＝q 2， 解得p ＝4，q ＝－2.10．a 1＝2＋11，a 2＝2－11 11．解：(1)移项，得x 2＋4x ＝2. 配方，得x 2＋4x ＋4＝6. 整理，得(x ＋2)2＝6， ∴x ＋2＝±6，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. (2)移项，得x 2－x ＝1. 配方，得x 2－x ＋14＝54.整理，得(x －12)2＝54，∴x －12＝±52，即x 1＝1＋52，x 2＝1－52.(3)原方程可化为x 2－6x ＝7. 配方，得x 2－6x ＋9＝7＋9. 整理，得(x －3)2＝16， ∴x －3＝±4， 即x 1＝7，x 2＝－1.(4)移项，得x 2＋2x －6x ＝4－2. 合并同类项，得x 2－4x ＝2. 配方，得x 2－4x ＋22＝2＋22. 整理，得(x －2)2＝6，所以x －2＝6或x －2＝－6， 即x 1＝2＋6，x 2＝2－ 6.12．A [解析] x 2＋2x ＝2，x 2＋2x ＋1＝3，(x ＋1)2＝3，所以m ＝1，k ＝－3，所以m ＋k ＝1－3＝－2. 故选A.13．A [解析] 首先进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方式，右边是常数的形式．14．3 [解析] x 2＋4x ＋7＝x 2＋4x ＋4＋3＝(x ＋2)2＋3≥3，则原式的最小值为3. 15．4 [解析] 利用直接开平方法得到x ＝±ba，得到方程的两个根互为相反数，所以m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，则方程的两个根分别是2与－2，则有b a ＝2，然后两边平方得到ba＝4. 16．解：(1)小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第②步开始出现错误，这一步的运算依据应该是等式的基本性质．故答案为：配方法，②，等式的基本性质． (2)x 2－4x ＝1，x 2－4x ＋4＝1＋4，(x －2)2＝5，x －2＝±5， x ＝2±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.17．解：∵a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0， ∴(a 2＋2a ＋1)＋(b 2－6b ＋9)＝0，即(a ＋1)2＋(b －3)2＝0， ∴a ＝－1，b ＝3，∴a 2－b 2＝(－1)2－32＝－8. 18．解：设道路的宽为x m ， 由题意得(32－2x )(20－x )＝570， 整理，得x 2－36x ＋35＝0， 解得x 1＝1，x 2＝35.∵x ＝35＞20，∴不合题意，舍去． 答：道路的宽为1 m.19．x 1＝2 2，x 2＝－4 [解析] 当x ≥2时，x *2＝x 2＋22＝12， 解得x 1＝2 2，x 2＝－2 2. 因为x ≥2，所以x ＝22； 当x ＜2时，x *2＝x 2－22＝12， 解得x 1＝4，x 2＝－4. 因为x ＜2，所以x ＝－4.综上可知，方程的解为x 1＝2 2，x 2＝－4.20．± 2 [解析] 定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 1－x x －1 x ＋1＝6， 则(x ＋1)2－(x －1)(1－x )＝6， 化简得x 2＝2， 即x ＝± 2.。
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第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程（1）
班级：__________ 姓名：__________
一、判断题（下列方程中，是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）
（ ）1. 5x 2+1=0
（ ）2. 3x 2+x
1+1=0 （ ）3. 4x 2=ax (其中a 为常数)
（ ）4. 2x 2+3x =0
（ ）5. 5
132+x =2x （ ）6. 22)(x x + =2x
（ ）7. ｜x 2+2x ｜=4
二、填空题
1. 一元二次方程的一般形式是__________.
2. 将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为__________.
3. 将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为__________.
4. 方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________.
5. 方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.
6. 若ab ≠0，则a 1x 2+b
1x =0的常数项是__________. 7. 如果方程ax 2+5=(x +2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a __________.
8. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m __________时，是一元一次方程.
三、选择题
1. 下列方程中，不是一元二次方程的是
A. 2x 2+7=0
B. 2x 2+23x +1=0
C. 5x 2+x
1+4=0 D. 3x 2+(1+x ) 2+1=0
2. 方程x 2－2(3x －2)+(x +1)=0的一般形式是
A. x 2－5x +5=0
B. x 2+5x +5=0
C. x 2+5x －5=0
D. x 2+5=0
3. 一元二次方程7x 2－2x =0的二次项、一次项、常数项依次是
A. 7x 2,2x ,0
B. 7x 2,－2x ，无常数项
C. 7x 2,0,2x
D. 7x 2,－2x ,0
4. 方程x 2－3=(3－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是 A.2 B.－2 C.32- D.3221-+
5. 若关于x 的方程（a x +b ）(d －cx )=m (ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为
A. m
B. －bd
C. bd －m
D. －(bd －m )
6. 若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是
A. 2
B. －2
C. 0
D. 不等于2
7. 关于x 2=－2的说法，正确的是
A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程
B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程
C.x 2=－2是一个一元二次方程
D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解
四、解答题
现有长40米、宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来。
参考答案
一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√7.√
二、1.ax2+bx+c=0(a≠0)
2. 5x2+6x－1=0
3. x2+1=0
4. 0 8
5. 5x2－22x+3=0 5x2 －22x 3
6. 0
7. ≠1
8. ≠4 =4
三、1.C 2.A 3.D 4.D 5.D 6.A 7. C
四、设计方案：即求出满足条件的便道及休息区的宽度.
若设便道及休息区宽度为x米，则游泳池面积为(40－2x)(30－2x)米2，便道及休息区面积为2［40x+(30－2x)x］米2，依题意，可得方程：
(40－2x)(30－2x)∶2［40x+(30－2x)x］=3∶2
由此可求得x的值，即可得游泳池长与宽.。