第二节 定积分计算公式和性质
定积分计算法则
定积分计算法则一、定积分的基本概念1. 定积分的定义- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有界。
- 在[a,b]中任意插入n - 1个分点a=x_0< x_1< x_2<·s< x_{n - 1}< x_n = b，把区间[a,b]分成n个小区间[x_{i - 1},x_i]，i = 1,2,·s,n。
- 记Δ x_i=x_i - x_{i - 1}，λ=max{Δ x_1,Δ x_2,·s,Δ x_n}。
- 在每个小区间[x_{i - 1},x_i]上任取一点ξ_i∈[x_{i - 1},x_i]，作和式∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。
- 如果当λ→0时，上述和式的极限存在（这个极限值与[a,b]的分法及ξ_i的取法均无关），则称函数y = f(x)在区间[a,b]上可积，并称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_{a}^bf(x)dx，即∫_{a}^bf(x)dx=limlimits_{λ→0}∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。
其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间。
2. 定积分的几何意义- 当f(x)≥slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
- 当f(x)≤slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的负值。
- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积。
二、定积分的基本性质（假设以下性质中的函数在相应区间上可积）1. 线性性质- ∫_{a}^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_{a}^bf(x)dx + k_2∫_{a}^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
微积分》第二篇第二章讲义定积分
dx
1 e4 1 x4 e 1 3e4 1 4 4 1 16
28
（4） 求定积分 2 xcos2xdx. 0
【解】
2
xcos2xdx
1
2 x(sin2x)dx
0
20
1 2
x
sin
2x
2 0
2 0
1
s
in
2
xdx
1 2
0
1 2
2 0
(c
os2
x)dx
1 2
0
1 cos2x 2
0 excosxdx 0 ex cosxdx
a
a
excosx 0 0 exsinxdx aa
1 eacosa 0 ex sinxdx a
37
即 0 excosxdx a
1 eacosa exsinx 0 0 excosxdx aa
1 eacosa 0 easina 0 excosxdx a
39
21
2 22 1
1 e2 1 4 24
【例7】求定积分 4 1 xex dx. 0
解： 原式
4
1dx
4 xexdx.
0
0
x 4
4
x
ex
dx.
0
0
4
xex
4 0
4 0
x
e
xdx
.
4 4e4 4 exdx 0
4 4e4 ex 4 5 5e4 0
25
课本P-274，题2，（1）—（4）
广义积分 f (x)dx收敛或存在. a 相反，如果极限 lim b f (x)dx不存在， b a
我们就称广义积分 f (x)dx发散或不存在. a 我们的目标：计算一些函数的广义积分
定积分性质与运算法则
定积分性质与运算法则引言在微积分中，定积分是一个重要的概念。
定积分可以用来计算曲线所包围的面积、求某一区间上函数的平均值等。
为了更好地理解和应用定积分，我们需要了解定积分的性质和运算法则。
定积分性质定积分的存在性定积分的存在性是指，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果在[a, b]上连续或者仅有有限个间断点，那么这个函数在[a, b]上就是可积的。
也就是说，函数f(x)在[a, b]上的定积分是存在的。
定积分的线性性质定积分具有线性性质，即对于两个可积函数f(x)和g(x)，以及任意实数c，有如下等式成立：∫(c1f(x) + c2g(x)) dx = c1∫f(x) dx + c2∫g(x) dx其中，c1和c2是任意实数。
定积分的加法法则对于一个可积函数f(x)，以及给定的区间[a, b]和[c, d]，有如下等式成立：∫(a到b) f(x) dx + ∫(b到c) f(x) dx = ∫(a到c) f(x) dx这说明，对于一个函数在不同的区间上的定积分，我们可以通过将这些区间连在一起进行求解，得到整个区间上的定积分。
定积分的比较性质对于两个可积函数f(x)和g(x)，如果在[a, b]上满足f(x) ≤ g(x)，那么有如下不等式成立：∫(a到b) f(x) dx ≤ ∫(a到b) g(x) dx也就是说，如果在某个区间上一个函数始终小于等于另一个函数，那么这两个函数在该区间上的定积分的大小关系也是相同的。
定积分的运算法则分部积分法分部积分法是一种计算定积分的方法，它可以将一个乘积形式的积分转化为一个易于处理的形式。
分部积分法的公式如下：∫u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) - ∫v(x) u’(x) dx其中，u(x)和v(x)是可导的函数。
代换法代换法是另一种常用的计算定积分的方法，它通过引入新的变量来简化积分的计算。
代换法的公式如下：∫f(u(x)) u’(x) dx = ∫f(u) du其中，u是一个可导函数。
定积分计算公式和性质
第二节定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为图5-10从几何上看，也很显然。
因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。
因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为图5-11另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）即由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。
它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。
它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
例1 计算因为是的一个原函数所以例 2 求曲线和直线x=0、x=及y=0所围成图形面积A(5-12)解这个图形的面积为图5-12二、定积分的性质设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即(A为常数) 性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即这个性质对有限个函数代数和也成立。
定积分计算公式和性质
第二节定积分计算公式和性质、变上限函数设函数/S）在区间卜上］上连续，并且设x为^上］上的任一点，于是，/W 在区间卜“］上的定积分为M比这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数恥），我们把处）称为函数7匕）在区间卜上］上变上限函数记为心:二「‘r咐m :图5-10从几何上看，也很显然。
因为X是上一个动点，从而以线段b』］为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。
因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度吨作直线运动，那么在时间区间也打上所经过的路程S为图5-111 f 曲■■ V -------------------- <5 』 £■另一方面，如果物体经过的路程 s 是时间t 的函数「盯，那么物体从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11）由导数的物理意义可知即（丿是一个原函数，因此，为了求出定积分设函数 /W 在闭区间上连续， 陀）是"） 的一个原函数，即 弘）5）， 则打加皿紂―％）这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成"（诟十魁"糾-陀）牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。
它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、 下限处函数值之差。
它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供 了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
例1计算I"应先求出被积函数 皿）的原函数呦，再求呦在区间 M 上的增量血卜册即可。
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分 因为I 是-的一个原函数所以般方法:例2求曲线 图形面积A(5-12)解这个图形的面积为 = J am 二—uosjrg图5-12-—COS7T + cos 0 = 1 -Fl = 2二、定积分的性质设「•；）、-:—在相应区间上连续，利用前面学过的知识，单性质： 性质1被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即（A 为常数）性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即f L/C ）士 ★出“打（说士 f £陽这个性质对有限个函数代数和也成立。
定积分的重要公式及性质(例题 解析)
定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为 ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。
重要公式及性质：
牛顿——莱布尼兹公式
(a为下限，b为下限）
例：
特殊公式：
（n为奇数）
（n为偶数)
例：
上下限为相反数
f(x)为偶函数
f(x)为奇函数
奇函数：y=x , x3, sinx , tanx
偶函数：y= x2, cosx , lxl
例：
同济七版NUAA高数课件 第五章 定积分 第二节 定积分的性质、中值定理
1. 定积分性质 2. 中值定理
一、定积分性质和中值定理
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
a b
f
( x)dx .
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1
b
b
b
a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx.
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a,b]上至少存在一个点
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a f ( x)dx
f ( )(b a)(.a
b)
1. 积分中值公式的几何解释：
y
在区间[a, b]上至少存在一
个点 ，使得以区间[a,b]为
f ( )
底边， 以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
则 b a
f
(
x)dx
0.
(a b)
证 f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2,,n)
n
xi 0, f (i )xi 0,
i 1
max{x1,x2 ,,xn }
n
lim
0
i 1
f (i )xi
b
f ( x)dx 0.
a
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
等于同一底边而高为 f ( ) o a b x 的一个矩形的面积。
mb定积分计算公式和性质
第二节定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为图5-10从几何上看，也很显然。
因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。
因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为图5-11另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11）即由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。
它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。
它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
例1 计算因为是的一个原函数所以例 2 求曲线和直线x=0、x=及y=0所围成图形面积A(5-12)解这个图形的面积为图5-12二、定积分的性质设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即(A为常数)性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即这个性质对有限个函数代数和也成立。
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第二节 定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，并且设x 为[]b a ,上的任一点，于是，()x f 在区间[]b a ,上的定积分为()dx x f xa ⎰ 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 ()dt t f x a ⎰ 如果上限x 在区[]b a ,间上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在[]b a ,上定义了一个以x 为自变量的函数()x ϕ，我们把()x ϕ称为函数()x f 在区间[]b a ,上变上限函数记为()()()b x a dt t f x x a ≤≤=⎰ϕ从几何上看，也很显然。
因为X 是[]b a ,上一个动点，从而以线段[]b a ,为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。
因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度()()()0〉t v t v 作直线运动，那么在时间区间[]b a ,上所经过的路程s 为()dt t v s b a ⎰=另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数()t s ，那么物体从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11）即 ()()()a s b s dt t v ba -=⎰ 由导数的物理意义可知：()()t v t s ='即()t s 是()t v 一个原函数，因此，为了求出定积分()dt t v ba ⎰，应先求出被积函数()t v 的原函数()t s ，再求()t s 在区间[]b a ,上的增量()()b s a s -即可。
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分()dx x f ba ⎰的一般方法： 设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，()x F 是()x f 的一个原函数，即()()x f x F ='，图 5-10 图5-11则()()()a F b F dx x f ba-=⎰ 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成 ()()[]()()a F b F x F dx x f b a b a -==⎰牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。
它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。
它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
例1 计算dx x ⎰102 因为331x 是2x 的一个原函数所以3103131103102=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰x dx x 例2 求曲线x y sin =和直线x=0、x=π及y=0所围成图形面积A(5-12)解 这个图形的面积为[]ππ00cos sin x xdx A -==⎰2110c o s c o s =+=+-=π二、定积分的性质 设()x f 、()x g 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：性质 1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即()()dx x f A dx x Af ba ba ⎰⎰=(A 为常数)性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即 ()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰±=± 这个性质对有限个函数代数和也成立。
性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即()()dx x f dx x f ab b a ⎰⎰-= 以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。
性质4 如果将区间[]b a ,分成两个子区间[]c a ,及[]b c ,那么有()()()dx x f dx x f dx x f b cc a b a ⎰⎰⎰+=这个于区间分成有限个的情形也成立。
下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。
当a<c<b 时，从图5-13a 可知，由y=f ()x 与和x=a x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积A :A A A 21+= 图 5-12 图 5-13a因为⎰⎰⎰===bc ca b a dxx f A dx x f A dx x f A )(;)(;)(21所以⎰⎰⎰+=bc c a b a dxx f x f dx x f )()()(即性质4成立。
当a<b<c 时，即点c 在[]b a ,外，由图5-13b 可知，()()()dx x f dx x f A A dx x f cb b ac a ⎰⎰⎰+=+=21()()()()()dxx f x f dxx f dx x f x f bc c a c b ca b a ⎰⎰⎰⎰⎰+=-=所以显然，性质4也成立。
总之，不论c 点在[]b a ,内还是[]b a ,外，性质4总是成立的。
例3 求dxx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+21213[][]2ln 71ln 2ln 18ln 13132121321212212+=-+-=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰⎰x x dxx dx x dx x x例 4 求dx x2sin 2202⎰π解 dx x 2sin 2202⎰π=()dx x ⎰-20cos 1π[][]120sin 2sin 2sin cos 20202020-=+-=-=-=⎰⎰πππππππx x dx x dx例 5 求dx x x ⎰+10221解 图5-13b()41a r c t a n 11111111010210221022π-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-+=+⎰⎰⎰x x dx x dxx x dx x x 所以[]()252212121202012200121=+=+-=+-=---⎰⎰⎰x x x d xdx x dx x 例 6 求dx x ⎰-21 解 (){2001≤≤〈≤--==x x x x x x f 于是， ⎰⎰⎰--+-=012021xdx xdx dx x2020122121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-x x25221=+=例 7 设 ()1121112≤≤-≤〈-⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 求()dx x f ⎰-21解 因为 ()[]上分段连续在2,1-x f所以()()()dx x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰+=--211121=()dx x dx x ⎰⎰+--2121111 =2111212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x x x =23- 例8 火车以v=72km/h 的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。
设火车以加速度a=-5m/2s 刹车。
问从开始刹车到停车，火车走了多少距离？解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间。
当 时火车速度s m s m h km v /203600100072/720=⨯==刹车后火车减速行驶。
其速度为()t at v t v 5200-=-=当火车停住时，速度()0=t v ，故从()0520=-=t t v 解得s s m s m t 4/5/202==于是在这段时间内，火车走过的距离为 ()()40240402520520⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-==⎰⎰t t dt t dt t v s=mm402454202=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯即在刹车后，火车需走过40m才能停住。
习题5-2 1 求下列定积分：（1）dxx⎰--2121211(2)；dxxx⎰⎪⎭⎫⎝⎛+2121(3)dxx⎰+331211(4)()dxxx⎰+πsincos(5)dxxx⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+321（6）tdt⎰-222cosππ(7)dxxxx⎰-+++12241133(8)dxxxx⎰+20sincos2cosπ(9)dxxx⎰3622cossin1ππ(10)dxx⎰π0sin(11)设(){()⎰-≤≤-≤〈-=2121111,2dxxfxf xxxx求2.求由2xy=与直线x=1,x=2及x轴所成的图形的面积。
3.一物体由静止出发沿直线运动，速度为23tv=，其中,v以m/s单位，求物体在1s到2s之间走过的路程。