解二元一次方程组方法
二元一次方程解法大全
二元一次方程解法大全1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n>0)的方程，其解为x=土根号F n+m.例 1.解方程(1) (3x+1)2=7 (2) 9x2-24x+16=11分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2, 右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
⑴解:(3x+1)2=7X・ *. (3x+1 )2=5•••3x+仁土 (注意不要丢解)/. x=.••原方程的解为x1=,x2=(2) 解:9x2-24x+16=11.•.(3x-4)2=11A3x-4=±/. x=原方程的解为x1=,x2=2. 配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(aH0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1： x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=当b"2-4ac20 时，x+=±.••x=(这就是求根公式)例2.用配方法解方程3x"2-4x-2=0(注：X"2是X的平方)解：将常数项移到方程右边3x A2-4x=2将二次项系数化为1： x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±/.x=•••原方程的解为x1=,x2=.3. 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac 20 时，把各项系数a,b,c 的值代入求根公式x=[-b±(b A2-4ac)A(1 /2)]/(2a),(b24ac20) 就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0.°.a=2,b=-8,c=5b A2-4ac=(-8)2-4X2X5=64-40=24>0/.x=[(-b±(b A2-4ac)A(1/2)]/(2a)二原方程的解为x1=,x2=.4. 因式分解法：把方程变形为一边是零，耙另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．
一、代入法
2x+5y=－21
例1、解方程组
x+3y=8
3x－4y=9
例2、解方程组
9x－10y=3
※解题方法：
①编号：②变形③代入④求x（或y）：；⑤求y（或x）：⑥联立：
三、加减消元法
2x+3y=14
例3、解方程组
4x－5y=6
3(x+2)+(y －1)=4 例4 解方程组
3(x+2)+(1－y)=2
※解题方法：
①编号 ②系数相等
③相加（或相减） ④求值 ⑤求另值 ⑥联立
3．精选真题强化练习：
解二元一次方程组：
（1）⎩⎨⎧=+=+52y x 4
y 2x
（2）⎩⎨⎧==+112y -3x 12y x。
二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本方法是消元，而我们熟知的方法就是代入消元法和加减消元法，但这两种方法都比较繁琐．下面通过加减消元法的解答过程探讨更简单直接的方法．例．解方程组的解．加减消元法解答过程：······························①两式作差，得···························②··························③将③代入，得··························④所以，原方程组的解为：【解析】由方程组的解可知，，的分母均为，我们可先求二者的分母，而该值亦是②式中的系数，再由①式形式，我们可以通过把原方程组中的两个方程的，的系数写成如下形式：·····························⑤交叉相乘相减，得到二者的分母．再求的分子，即②式右边的数值，可由得到．事实上，用替换⑤中计算可得．即求的值时，用常数列相应替换的系数列．同样地，求的分子，可由得到．即求的值时，则在⑤中用常数列相应替换的系数列计算可得．通过上述推导，我们得到解二元一次方程组的简单方法：，．其中，，，．【注】作为，的分母，因此要求方程组才有解．事实上，二元一次方程组的解可看成两直线和的交点的横纵坐标，而条件“”告诉我们两直线相交，因此方程组有唯一解．而当时，则两直线平行或重合，相应地，方程组要么有无穷多解要么无解．。
二元一次方程怎么解 详细过程
二元一次方程怎么解详细过程
二元一次方程的解法：代入消元法
例题：
{x-y=3 ①
{3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3（y+3)-8y=4
y=1
把y=1带入③
得x=4
则：这个二元一次方程组的解为
x=4
y=1
代入消元法的知识点：
1、选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；
2、将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程(在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的)；
3、解这个一元一次方程，求出未知数的值；
4、将求得的未知数的值代入变形后的方程中，求出另一个未知数的值；
5、用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
6、最后检验(代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边)。
二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组的常见解法二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．2x+5y=－21 ①例1、解方程组x+3y=8 ②解由②得：x=8－3y ③把③代入①得2（8－3y）+5y=－21解得：y=37把y=37代入③得：x=8－3×37=－103x=－103所以这个方程组的解是y=37二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．3x－4y=9 ①例2、解方程组9x－10y=3 ②解由①得3x=4y+9 ③把③代入②得3(4y+9)－10y=31/3解得y=－12把y=－12代入③得3x=4×(－12)+9解得x=－13x=－13所以方程组的解是y=－12三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．2x+3y=14 ①例3、解方程组4x－5y=6 ②解由①×2得4x+6y=28 ③③－②得：11y=22解得y=2把y=2代入②得4x－5×2=6解得x=4x=4所以方程组的解为y=2四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．3(x+2)+(y－1)=4 ①例4解方程组3(x+2)+(1－y)=2 ②解①－②得(y－1)－(1－y)＝4－2整理得2y=4解得y=22/3把y=2代入①得3(x+2)+(2－1)=4整理得3x+7=4解得x=－1x=－1所以方程组的解为y=2解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法，因为方程的形式是多种多样的．所以在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法．3/3。
初中数学：二元一次方程组的几种简便解法
初中数学：二元一次方程组的几种简便解法1、整体代入法整体代入法是用含未知数的表达式代入方程进行消元．有些方程组并不一定能直接应用这种解法，不过，我们可以创造条件进行整体代入．解析：这道题中的系数较繁，按常规方法去解比较麻烦．我们可以先将②式有目的地进行变形，再将①式中的看成一个整体代入求解．由②式可得．化简，得．③将①代入③，得．解得，代入①可得．故方程组的解为2、换元法换元法就是设出一个辅助未知数，分别用含有这个未知数的代数式表示原方程组中未知数的值，把二元一次方程组转化为一元一次方程组进行求解．换元有一定的技巧性．有代数式整体换元，还有设比值换元等多种方法，下面举例说明．解析：我们可以分别尝试整体换元和设比值换元．方法１：设，则．代入②，得．解得．从而可得方程组的解为方法２：设．由①得，所以．③由②得．④③÷④，得．解得．从而可得3、直接加减法直接加减法有别于课本中的加减消元法，它通过将方程组中的方程相加减后把较繁的题目转化得相对简单．解析：若用一般方法去解这个方程组，其复杂程度可想而知，我们采用直接加减法．①＋②，得，即．③①－②，得．④由③④可得4、消常数项法解析：可将两式消去常数项，直接得到与的关系式，而后代入消元．①－②，得，即．将代入②，得，即．从而可得5、相乘保留法解析：去分母时，如果把两数相乘得出结果，不仅数值变大，而且给下面的解题过程带来麻烦，所以有时我们暂时保留相乘的形式．由①，得．③由②，得．④④－③，得．从而可得6、科学记数法当方程组中出现比较大的数字时，可用科学记数法简写．例６、解方程组解析：这个数比较大，可用科学记数法写成．由②，可得．③将①代入③，得．从而可得7、系数化整法若方程组中含有小数系数，一般要将小数系数化为整数，便于运算．解析：利用等式的性质，把①式变形为．③利用分子、分母相除，把②式变形为．④③－④，得．从而可得8、对称法例８、解方程组解析：这个方程组是对称方程组，其特点是把某一个方程中的互换即可得到另一个方程．由对称性可知，则可得解得9、拆数法例９、解方程组解析：我们可以有目的地将常数项进行变形，通过观察得出方程组的解．原方程组可变形为从而可得。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法二元一次方程是指形如ax+by=c的方程，其中a、b、c分别是已知实数系数，x、y是未知数。
解二元一次方程的方法包括代入法、消元法和相减法。
代入法是指将一个方程的一个变量表示成另一个方程的变量的形式，然后再将其代入到另一个方程中求解。
下面举一个例子来说明代入法的解法步骤。
例子：解方程组2x + 3y = 73x - 4y = 10首先，可以选择其中一个方程（假设选第一个方程）将其中的一个变量（假设选择x）表示成另一个方程的变量的形式，然后代入另一个方程中：2x = 7 - 3yx = (7 - 3y) / 2将x代入第二个方程中，得到：3(7 - 3y) / 2 - 4y = 1021 - 9y - 8y = 20-17y = -1y = 1/17将y的值代入第一个方程中，得到：2x + 3(1/17) = 72x + 3/17 = 72x = 7 - 3/17x = (7 - 3/17) / 2因此，这个方程组的解为x = (7 - 3/17) / 2，y = 1/17。
消元法则是通过相加或相减两个方程，使其中一个变量的系数相等，从而消去这个变量，然后解剩下的一个一元方程。
下面通过一个例子来说明消元法的解法步骤。
例子：解方程组2x + 3y = 73x - 4y = 10为了消去y，可以将两个方程的系数相乘：2(3x - 4y) = 3(2x + 3y)6x - 8y = 6x + 9y-8y - 9y = 0-17y = 0y = 0将y = 0代入第一个方程中，得到：2x = 7x = 7/2因此，该方程组的解为x = 7/2，y = 0。
相减法是通过将两个方程相减，消去一个变量，然后解剩下的一个一元方程。
下面通过一个例子来说明相减法的解法步骤。
例子：解方程组2x + 3y = 73x - 4y = 10为了消去x，可以将两个方程相减：(2x + 3y) - (3x - 4y) = (7) - (10)2x + 3y - 3x + 4y = 7 - 10-y + 7y = -36y = -3y = -1/2将y = -1/2代入其中一个方程中（假设选择第一个方程），得到：2x + 3(-1/2) = 72x - 3/2 = 72x = 7 + 3/2因此，该方程组的解为x = (7 + 3/2) / 2，y = -1/2。
解二元一次方程组的方法
解二元一次方程组的方法二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，通常形式为：ax + by = c。
dx + ey = f。
要解这样的方程组，我们可以使用多种方法，下面将介绍几种常用的解法。
方法一，代入法。
代入法是解二元一次方程组常用的一种方法。
我们可以通过将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的未知数的形式，然后代入到另一个方程中，从而得到另一个未知数的值。
举个例子，对于方程组：2x + 3y = 8。
x y = 1。
我们可以将第二个方程中的x表示成x = 1 + y，然后代入到第一个方程中，得到：2(1 + y) + 3y = 8。
2 + 2y + 3y = 8。
5y = 6。
y = 6/5。
将y的值代入到x y = 1中，得到：x 6/5 = 1。
x = 11/5。
因此，方程组的解为x = 11/5，y = 6/5。
方法二，消元法。
消元法是解二元一次方程组的另一种常用方法。
通过将两个方程相减或相加，消去一个未知数，然后解得另一个未知数的值。
以方程组。
2x + 3y = 8。
x y = 1。
为例，我们可以将两个方程相加，得到：3x + 2y = 9。
然后将这个新得到的方程与原来的其中一个方程相减，消去一个未知数，得到另一个未知数的值。
方法三，克莱姆法则。
克莱姆法则是一种利用行列式来解二元一次方程组的方法。
对于方程组。
ax + by = e。
cx + dy = f。
如果ad bc ≠ 0，那么方程组有唯一解，且解为：x = (ed bf) / (ad bc)。
y = (af ec) / (ad bc)。
方法四，图解法。
图解法是通过在坐标系中画出两个方程的图像，从而找到它们的交点来求解方程组的方法。
通过观察图像的交点坐标，我们可以得到方程组的解。
总结。
解二元一次方程组的方法有很多种，上面介绍的只是其中的几种常用方法。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解方程组，以便高效地求得未知数的值。
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课堂小结
1。代入消元法
将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知 数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未 知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这 种解方程组的方法称为代入消元法，简称为代入法。
2。代入法的基本思想：消元(化二元为一元)。
3。代入法解二元一次方程组主要步骤：
“消元”—把“二元”变为一元。
解二元一次方程组的主要步骤
将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个
未 知数的代数式表示出来.
将表示出来的未知数代入另一个方程中化简， 得到一元一次方程 ，
解一元一次方程，并代入任意一个 方程求得另一 个未知数。
写出方程组的解
课堂练习：用代入消 元法解下列方程组
x 2y 4 （2） 2x 3y 1
达标测评
我能行
• 1. 把方程2x-y-5=0化成①用x的代数式表示
y的形式 用y的代数式表示x的形式
• 2.解方程组 X-y=1
2x+y=5
• 3.有18支球队520名运动员参加蓝、排球比
赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12 人，每名运动员只参加一项比赛，蓝、排 球队各有多少支参赛？
谈谈通过本节课的学习你 又学到了什么？
2x+12x=20
如何解这个方程组呢？
探索新知解决问题
x+y=12 ①
解方程组 2x+y=20 ② 解： 由①得，y=12-x ③ 变形，用含x的代数表示y
把③代入②，得：
2x+12-x=20 解这个方程得：x=8
代入，让“二元”化成“一 元” 解一元一次方程，求出x值。
把x=8代入③得：y=4 再代入，求出y的值。
一变，二代入消元，
三解，四再代，五总结
应注意的问题
• 用代入法解二元一次方程组时，常选用系数较为
简单的方程变形这样有利于正确简洁的消元
• 由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代
数式必须带入另一个方程中去，否则会出现一个 衡等式
• 方程组解的表示方法，应用大括号将一对未知数
的值连在一起，表示同时成立。切记不可写成 “x= ?” “y=?”
所以原方程组的解是
x=8 y=4
总结写ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程组解。
一变，二代入消元，三解，四再代，五总结
探索新知解决问题
x+y=12 解方程组 2x+y=20
你能通过消去x的方法解这个方程组 吗？
二元一次方程组怎么解？请同学们 想一想，然后将自己的想法和周围 同讨论一下，并回答下面问题：
思路：
上面解二元一次 方程组的思路和 步 骤是什么？
解二元一次方程组方法（一）
营盘中学数学组
X
一目标：①会用代入法解二元一次方程组 ②体会解二元一次方程组的“消元
思想”和“化未知为已知”的化归思想
二重点： 熟练用代入法解二元一次方程组
三难点：探索怎样用代入法化二元为一元的 消元过程
创设情境 提出问题
根据篮球比赛规则:赢一场得2分,输一场得 1分.在某次篮球联赛中,一支球队, 打完12 场比赛后积20分,问该球队赢了多少场?输 了多少场?
若只设一个未知数 比如设胜x场 可 列方程
2x+12x=20
如果设该队赢了x场，输了y场，那么请你填写下表：
场数 得分 积分
赢 x 2 2x 输y 1 y
若只设一 个未知数
这些量存在什么样的相等关系?
比如设胜
可以用什么式子表达问题中的相等的量? x场 可列
2x+y=20 X+y=12
方程
x+y=12 2x+y=20
{ （3） 2 x 3 y 16 3x 4y 13
累死我了
他们各驮多 少包裹?
你还累?这么大 的个才比我多驮
两个.
哼,我从你背上拿 来一个,我的包裹 数就是你的2倍!
真的?!
• 解：设牛驮x 袋 马驮y袋 • 根据题意可列方程组
• 解这个方程组得
• 答：牛驮 7袋 马驮5 袋
把求出的解代入原方程 组，看是否保证每一个 方程左右两边的值相等。
•布置作业： •课本97页1、2.3.题