信号与系统1.5信号的分解
沈阳工业大学807信号与系统2019年沈阳工业大学考研专业课初试大纲
2019年沈阳工业大学考研专业课初试大纲
硕士研究生入学考试大纲
考试科目名称：信号与系统
考试大纲援引教材：
《信号与系统》郑君里高等教育出版社
第一章绪论
1.1 信号与系统
1.2 信号的描述、分类和典型示例
1.3 信号的运算
1.4 阶跃信号与冲激信号
1.5 信号的分解
1.6 系统模型及其分类
1.7 线性时不变系统、
1.8 系统分析方法
第二章连续时间系统的时域分析
2.1 微分方程式的建立与求解
2.2 起始点的跳变——从0-到0+状态的转换
2.3 零输入响应和零状态响应
2.4 冲激响应与阶跃响应
2.5 卷积
2.6 卷积的性质
2.7 用算子符号表示微分方程
第三章傅里叶变换
3.1 周期信号的傅里叶级数分析
3.2 典型周期信号的傅里叶级数
3.3 傅里叶变换
3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
3.5 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
3.6 傅里叶变换的基本性质
3.7 卷积特性(卷积定理)
3.8 周期信号的傅里叶变换
3.9 抽样信号的傅里叶变换
3.10 抽样定理
第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
4.1 拉普拉斯变换的定义、收敛域
4.2 拉氏变换的基本性质
4.3 拉普拉斯逆变换
4.4 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模
4.5 系统函数(网络函数)H(s)
4.6 由系统函数零、极点分布决定时域特性
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信号与系统第一章(重点)
－1
图 1.2-1 连续时间信号
离散时间信号：亦称序列， 其自变量n是离散的， 通常为整数。 若是时间信号 （可为非时间信号）， 它只在某些不连续的、 规定的瞬时给出确定的函数值， 其它 时间没有定义， 其幅值可以是连续的也可以是离散的， 如图1.2-2所示。
x1(n) 2
1
只能取－1,0,1,2
0
t
－1
6. 单位冲激偶函数δ′(t)
单位冲激函数的导数。
(t)
1 lim
0
u(t
)
2
u(t
2)
(t)
d(t)
dt
1 lim
0
(t
)
2
(t
2)
(1.3-30) (1.3-31)
式（1.3-31）取极限后是两个强度为无限大的冲激函数，
0
t
－k
3. 复指数信号
f(t)=kest
s=σ+jω为复数， σ为实部系数， ω为虚部系数。 借用欧拉公式： kest=ke(σ+jω)t=keσt e jωt=keσt cosωt+jkeσt sinωt 复指数信号可分解为实部与虚部。 实部为振幅随时间变化的余弦函数， 虚部为振幅随时间变化的正弦函数。
第1章 信号与系统
1.1 信号与系统概述 1.2 信号及其分类 1.3 典型信号 1.4 连续信号的运算 1.5 连续信号的分解 1.6 系统及其响应 1.7 系统的分类 1.8 LTI系统分析方法
1.1 信号与系统概述
人们每天都与载有信息的信号密切接触:
听广播、看电视是接收带有信息的消息； 发短信、打电话是传送带有信息的消息。
信号与系统郑君里ppt课件
2．正弦信号
f (t) K sin(t )
f
t
T
K
2π
O
2π
衰减正弦信号：
K et sint
f (t) 0
第
26 页
振幅：K 周期： T
2π
1
f
频率：f
角频率： 2 π f t 初相：
t0 0
t0
X
第
欧拉(Euler)公式
X
第
三．几种典型确定性信号
24 页
1.指数信号
信号的表示
2.正弦信号
函数表达式 波形
3.复指数信号(表达具有普遍意义)
3. 抽样信号(Sampling Signal) 5.钟形脉冲函数(高斯函数)
X
第
1．指数信号
25 页
f (t) K e t
l 0 直流(常数),
0
f t
a 1 压缩,保持信号的时间缩短
f (t) f (at)0 a 1 扩展,保持信号的时间增长
X
第
4．一般情况
38
页
f t f at b f at b a 设a 0
先展缩：a>1，压缩a倍； a<1，扩展1/a倍 后平移： +，左移b/a单位；－，右移b/a单位
27
页
sin t 1 ejt ejt 2j
cos t 1 ejt ejt 2
ej t cost jsint
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是同频率的正弦 信号。
X
第
3．复指数信号
信号的分解原理
信号的分解原理
信号的分解原理是通过将复杂的信号拆分为若干个简单的成分来进行分析和处理。
这种分解可以帮助我们更好地理解信号的性质和特征。
在信号处理中，常常使用傅里叶变换和小波变换等方法来实现信号的分解。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它通过将一个连续时间域上的信号分解为一系列复指数函数的线性组合，来表示信号的频谱特性。
傅里叶变换可以将信号分解为一组不同频率分量的振幅和相位，从而揭示了信号在频率域上的能量分布。
小波变换是一种将信号分解为一系列小波基函数的线性组合的方法。
小波是一种局部化的基函数，能够更好地描述信号的瞬时特性。
小波变换将信号分解为不同尺度和位置上的小波基函数，从而能够同时提供时域和频域的信息。
通过信号的分解，我们可以获得信号在不同频率、不同时间、不同尺度上的特征信息。
这种分解原理可以应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域，帮助我们更好地理解和处理复杂的信号。
信号与系统chapter 1
3
x( K )
1
2 2
t
-2 -1
0 1 2
k
连续时间信号
离散时间信号
§周期性信号与非周期性信号
连续时间周期信号定义： t R, 存在非零T，使得 x(t)=x(t+kT),k为整数 成立，则x(t)为周期信号。 离散时间周期信号定义: n I , 存在非零N，使得 x(n)=x(n+kN), n为整数，N为正整数 成立，则x [n] 为周期信号。 满足上述条件的最小的T或N值称为周期信号的周期。若令 周期信号的周期T（或）N趋于无限大，则成为非周期信号。
3 -4
(2) 利用筛选特性，有
x2 (t ) =蝌 e d (t - 6)dt = e -4
3 - 2t - 12
d (t - 6)dt = 0
(3) 利用展缩和筛选特性，有
x3 (t ) = 1 -2
¥
td (t - 1) =
1 2
d (t - 1)
(4) 利用抽样特性，有
x4 (t ) =ò- ? d (t 1 4 ) sin(p t )dt = sin(p t ) t = 1 = sin
0
0
ï î0,
t < t0
x(t t0 )
单 位 斜 变 信 号
x(t)
1
1
1
O
t
O
t0
t0 1
延 迟 斜 变 信 号
§单位阶跃信号
单位阶跃信号表达式为：
ì ï 1, u (t ) = í ï î 0,
t >0 t <0
在跳变点 t = 0 处，函数值未定义 单位斜变信号与单位阶跃信号互为积分和微分的关系。即
第一章 信号与系统概论(3)
因果系统的判断
向右平移（即延迟）是因果的，而向左平移 1. 向右平移（即延迟）是因果的 （即超前）、翻转（即时间倒转）和尺度运算 都是非因果的，因为超前和时间倒转都会使将 来发生的事情先于现在出现； 乘法和加法运算是因果的； 2. 乘法和加法运算是因果的 3. 微分是非因果的，因为它与将来时刻的信号值 有关；下限为的积分运算是因果的，因为它与 下限为的积分运算是因果的， 下限为的积分运算是因果的 将来时刻的信号值无关；但正如例1-5f所证， 将来时刻的信号值无关 下限为零的积分却是非因果的； 所有即时映射都是因果的； 4. 所有即时映射都是因果的 5. 电路和描述实际物理系统的微分方程都是因果 因为它们都是物理可实现的。 的，因为它们都是物理可实现的。
1. 2. 3. 4.
系统稳定性
• 一般的稳定性判断相当复杂，它与所讨论 问题有关，往往需使用特定领域中的特定 判断方法。 • 本书仅限于讨论其中最简单系统的，尤其 是LTIV LTIV系统的稳定性。 LTIV • 我们将在第二章和第四章分别证明，LTIV LTIV 系统稳定的充要条件是： 系统稳定的充要条件是：系统冲激响应绝 对可积， 对可积，或等价地，系统传递函数的极点 系统传递函数的极点 都在左半S平面。 都在左半S平面
信号与系统_1.5-1.8
1 ∆τ
∆τ
t
t
山东农业大学 信息学院
9
信号与系统 Signals & Systems
x(t) ≈ ∑ x(k∆τ )[u(t − k∆τ ) − u(t −k∆τ −∆τ )]
k =−∞ ∞
∞
x (t )
[u(t −k∆τ) −u(t −k∆τ −∆τ)] = ∑ x(k∆τ) ⋅∆τ ∆τ k=−∞
1 f D = ∫ f (t )dt T −T
2 T 2
信号减去直流分量剩下的就是交流分量： 信号减去直流分量剩下的就是交流分量：
f A (t ) = f (t ) − f D
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2
信号与系统 Signals & Systems
若此时间函数为电流信号，则在时间间隔 内流 若此时间函数为电流信号，则在时间间隔T内流 过单位电阻所产生的平均功率等于： 过单位电阻所产生的平均功率等于： 1 T2 2 P = ∫ T f (t )dt T −2
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13
信号与系统 Signals & Systems
x (t ) = ∑ ci g i (t )
i =1
n
式中的c 是组合系数，它与函数x和分量g (t)有关 有关： 式中的ci是组合系数，它与函数x和分量gi(t)有关：
t2
x (t ) g i* (t ) dt ∫
t1 t2
∞
= ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ = x(t) ∗δ (t)
−∞
∞
山东农业大学 信息学院
10
信号与系统 Signals & Systems
以上积分式称为卷积积分。式子说明： 以上积分式称为卷积积分。式子说明：一连续时间信 号可表示为此信号与单位冲激信号的卷积积分。或者说， 号可表示为此信号与单位冲激信号的卷积积分。或者说， 单位冲激信号与一信号的卷积积分，仍是此信号。 单位冲激信号与一信号的卷积积分，仍是此信号。也有 用此式作为单位冲激信号的定义。 用此式作为单位冲激信号的定义。 ∞
信号与系统基础知识
第1章 信号与系统的基本概念1.1引言系统是一个广泛使用的概念，指由多个元件组成的相互作用、相互依存的整体。
我们学习过“电路分析原理”的课程，电路是典型的系统，由电阻、电容、电感和电源等元件组成。
我们还熟悉汽车在路面运动的过程，汽车、路面、空气组成一个力学系统。
更为复杂一些的系统如电力系统，它包括若干发电厂、变电站、输电网和电力用户等，大的电网可以跨越数千公里。
我们在观察、分析和描述一个系统时，总要借助于对系统中一些元件状态的观测和分析。
例如，在分析一个电路时，会计算或测量电路中一些位置的电压和电流随时间的变化；在分析一个汽车的运动时，会计算或观测驱动力、阻力、位置、速度和加速度等状态变量随时间的变化。
系统状态变量随时间变化的关系称为信号，包含了系统变化的信息。
很多实际系统的状态变量是非电的，我们经常使用各种各样的传感器，把非电的状态变量转换为电的变量，得到便于测量的电信号。
隐去不同信号所代表的具体物理意义，信号就可以抽象为函数，即变量随时间变化的关系。
信号用函数表示，可以是数学表达式，或是波形，或是数据列表。
在本课程中，信号和函数的表述经常不加区分。
信号和系统分析的最基本的任务是获得信号的特点和系统的特性。
系统的分析和描述借助于建立系统输入信号和输出信号之间关系，因此信号分析和系统分析是密切相关的。
系统的特性千变万化，其中最重要的区别是线性和非线性、时不变和时变。
这些区别导致分析方法的重要差别。
本课程的容限于线性时不变系统。
我们最熟悉的信号和系统分析方法是时域分析，即分析信号随时间变化的波形。
例如，对于一个电压测量系统，要判断测量的准确度，可以直接分析比较被测的电压波形)(in t v （测量系统输入信号）和测量得到的波形)(out t v （测量系统输出信号），观察它们之间的相似程度。
为了充分地和规地描述测量系统的特性，经常给系统输入一个阶跃电压信号，得到系统的阶跃响应，图1-1是典型的波形，通过阶跃响应的电压上升时间（电压从10％上升至90％的时间）和过冲（百分比）等特征量，表述测量系统的特性，上升时间和过冲越小，系统特性越好。
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t1 t1
[f f (0)u(t)
t1 t1
(t1
)
f (t1 t1
t1
)]u(t
t1
)t1
取 t1 0 的极限：
f (t)
f (0)u(t)
0
df (t1 dt1
)u
(t
t1
)dt1
说明：将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广， 在第二章将由此引出卷积积分的概念，并进一步研 究它的应用。
t0 T t0
fA2(t) dt
（二）偶分量与奇分量
对任何实信号而言：
f
(t)
fe (t)
fo (t)
fe (t) fo (t)
: 偶分量 : 奇分量
fe t fe t e: even
fo t fo t
o: odd
fe (t)
1 2
f
(t)
f
(t)
fo (t)
1
2
f
(t)
f
(t)
（四）实部分量与虚部分量
瞬时值为复数的信号可分解为实、虚部两个部分之和。
f (t) fr (t) jfi (t)
共轭复函数 f *(t) fr (t) jfi (t)
fr (t)
1 2
f
(t)
f
* (t )
jfi (t)
1 2
f
(t)
f
* (t )
实际产生的信号都是实信号，但是在信号分析中可以
f (t) f (t1)u(t t1) u(t t1 t1）
t1
令t1 0
t1
f (t1)
u(t
t1
)
u(t t1
t1
t1）
t1
t1 d t1,
t1
t1
u(t
t1
)
u(t t1
t1
t1）
(t
t1
)
出现在不同时
刻的，不同强
所以 f (t)
f (t1) (t t1) d t1
信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率
（三）脉冲分量分解
1．矩形窄脉冲分量 f t
t1
f t1
O
t1 脉宽： ,
t
当t t1, 脉高：f t1 , 存在区间：u(t t1) u(t t1 t1 )
此窄脉冲可表示为 f t1u(t t1) u(t t1 t1)
从t1 到, f (t)可表示为许多窄脉冲的叠加
借助于复信号来研究实信号的问题，可以简化计算或
建立有益的概念。
（五）正交函数分量
如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成 信号的各分量就是相互正交的。
把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与 系统理论中占有重要地位，这将是本课程讨论的主 要课题。
我们第三章开始学习。
（六）利用分形理论描述信号
下图示出Sierpinski（希尔宾斯基）三角形集合的几 何图形，容易看出图中依次演变的规律，图形中的局部 与整体具有明显的相似性。
Sierpinski三角形集合
Koch（克赫）曲 线
度的冲激函数 的和。
2．阶跃信号分量的叠加
f t
f
t1
f t1
t1
f 0
t1
O
t1
t
第一个阶跃是： f0 (t) f (0)u(t)
任意 t1 时刻分解的阶跃信号为： [ f (t1) f (t1 t1)]u(t t1)
于是：
f (t) f (0)u(t) [ f (t1) f (t1 t1)]u(t t1)
fD
(t
)
1 T
t0 T f (t) d t
t0
fD t：信号的直流分量，即平均值。
f (t)
f A (t)
fD (t)
信号的平均功率 = 信号的直流功率 + 交流功率
P 1 T
t0T f 2 (t) d t 1
t0
T
t0 T t0
fD(t)
fA (t)
2
dt
f D2 (t )
1 T
§1.5 信号的分解
信号的分解：将信号分解为一些简单(基本)的信号 之和。分解的角度不同，可以分解为不同的分量。
（一）直流分量与交流分量 （二）偶分量与奇分量 （三）脉冲分量 （四）实部分量与虚部分量 （五）正交函数分量 （六）利用分形理论描述信号
（一）直流分量与交流分量
f (t) fA (t) fD (t)
分形几何理论简称分形理论或分数维理论；创始 人为B.B.Mandelbrot;分形是“其部分与整体有形似 性的体系”；
应用分形技术的实例：图像数据压缩、语音合成、 地震信号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检 测、通信网业务流量描述等。
这些信号的共同特点都是具有一定的自相似性， 借助分形理论可提取信号特征，并利用一定的数学 迭代方法大大简化信号的描述，或自动生成某些具 有自相似特征的信号。