积分(二重,三重积分,第一类曲线,曲面积分)的定义和性质
七大积分总结范文
七大积分总结范文积分是微积分的一个重要概念，它在数学、物理及工程学等领域中具有广泛的应用。
在微积分中，积分被认为是导数的逆运算，可以用来求函数的面积、弧长、体积等。
在数学中，有七大积分，包括定积分、不定积分、曲线积分、曲面积分、重积分、线积分和路径积分。
下面将对这七大积分进行详细总结。
定积分是微积分中最基本的积分形式，它可以用于计算曲线下面积。
定积分被表示为∫f(x)dx，在区间 [a,b] 上计算函数 f(x) 的定积分，可以得到曲线 f(x) 和 x 轴之间的面积。
定积分的计算有很多方法，如牛顿-莱布尼茨公式、Riemann 可积性等。
定积分广泛应用于计算几何、物理学、经济学等领域。
不定积分是定积分的逆运算，表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x) 是函数 f(x) 的原函数，C 是常数。
不定积分求解的过程中，要确定函数 f(x) 的原函数 F(x)，然后加上一个常数 C。
不定积分在微积分中有着广泛应用，如求函数的原函数、求定积分中的不定系数等。
曲线积分是一种沿曲线或曲线段对给定函数进行积分的方法。
它可以用来计算沿曲线运动的物体的工作量、流量、质心等。
曲线积分有两种形式：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第一类曲线积分表示为∫Cf(x,y) ds，第二类曲线积分表示为∫C Pdx + Qdy。
曲线积分的计算可以通过参数方程、向量法、Green 公式等方法进行。
曲面积分是对给定曲面上的函数进行积分的方法。
它可以用来计算质量、重心、通量等。
曲面积分有两种形式：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分表示为∫∫S f(x,y,z) dS，第二类曲面积分表示为∫∫S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy。
曲面积分的计算可以通过参数方程、向量法、高斯公式等方法进行。
重积分是对多元函数在给定区域上进行积分的方法。
它可以用来计算体积、质量、质心、惯性矩等。
重积分可以分为二重积分和三重积分。
高等数学中的三重积分与曲面积分
高等数学中的三重积分与曲面积分在高等数学中，三重积分和曲面积分是两个重要的概念和计算方法。
它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍三重积分和曲面积分的基本概念、计算方法以及它们的应用。
一、三重积分三重积分是对三维空间中某一区域内的函数进行求和的方法。
它可以看作是二重积分的推广。
三重积分的计算需要确定积分区域的边界和积分函数的形式。
一般来说，三重积分可以分为直角坐标系下的三重积分和柱坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过分割积分区域为小立方体，并对每个小立方体进行求和来实现。
具体地，我们可以将积分区域分割成若干个小立方体，每个小立方体的体积为ΔV，然后对每个小立方体内的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
这种方法称为立体分割法。
在柱坐标系下，三重积分的计算可以通过极坐标变换来实现。
具体地，我们可以将积分区域由直角坐标系转化为柱坐标系，然后对柱坐标系下的函数进行积分。
柱坐标系下的三重积分的计算方法相对简单，适用于具有旋转对称性的问题。
二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行求和的方法。
它可以看作是线积分的推广。
曲面积分的计算需要确定曲面的参数方程和积分函数的形式。
一般来说，曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分是对曲面上的标量函数进行求和的方法。
具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
第一类曲面积分的计算方法相对简单，适用于曲面上的标量场问题。
第二类曲面积分是对曲面上的向量函数进行求和的方法。
具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的向量函数进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
第二类曲面积分的计算方法相对复杂，适用于曲面上的向量场问题。
三、应用三重积分和曲面积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
§1 二、三重积分,第一类曲线、曲面积分的概念概要
i 1 n
则称 I 为 f ( M )在 上的黎曼积分，记为
I f ( M )d,
这时，我们也称 f ( M ) 在 上可积
1、如果几何形体 是一块可求面积的平面图 形 ，那么 上的积分就称为二重积分，在直 f ( x, y)dxdy 角坐标系下记为 2、如果几何形体 是一块可求体积的空间几何 体 V ，那么 V上的积分就称为三重积分，在直角 坐标系下记为 f ( x, y, z )dxdydz
1 2 n i
ห้องสมุดไป่ตู้
d max { i 的最大直径 }
1 i n
在每一块 中任意取一点 M ，作下列和式 （称为黎曼和数，或者积分和数）
i i
f ( M i )i
i 1
n
如果这个和式不论对于 怎样划分以及 M i 在 上 如何选取，只要当 d 0 时恒有同一极限 I ，称此 极限为 f ( M ) 在几何形体 上的黎曼积分，记为 I f ( M )d,
§1 二、三重积分，第一类曲线、 曲面积分的概念
几何体上的黎曼积分的定义 设 为一几何形 体（它或者是直线段，或者是曲线段，或者是一 块平面图形，一块曲面，一块空间区域等），这 个几何形体是可以度量的，在这个几何形体上定 义一个函数 f ( M ), M ，将此几何形体分成若干 个可以度量的小块 , , , ，既然每小块都 可以度量，故它们都有度量大小可言，把它们的 度量大小仍记为 (i 1,2n)。并令
i
f ( M i )i ，这个极限是 f ( M )d lim 也就是 d 0 i 1 与的分法及取法无关的
n
以上定义也可以用说法表达为：
二重积分与三重积分区别
都是递进关系，从一重积分开始，只说几何意义吧。
一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x)当被积函数为1时，就是直线的长度(自由度较大)∫(a→b) dx = L(直线长度)被积函数不为1时，就是图形的面积(规则)∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f²(x) dx圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了∫(α→β) (1/2)[A(θ)]² dθ = A(极坐标下的平面面积)二重积分：有两个自变量z = f(x，y)当被积函数为1时，就是面积(自由度较大)∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)当被积函数不为1时，就是图形的体积(规则)、和旋转体体积∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等极坐标变换：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ三重积分：有三个自变量u = f(x，y，z)被积函数为1时，就是体积、旋转体体积(自由度最大)∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ z = z{ h ≤ r ≤ k{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z₁→z₂) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ{ y = rsinφsinθ{ z = rcosφ{ h ≤ r ≤ k{ a ≤φ≤ b、最大范围：0 ≤φ≤π{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) r²sin²φ drdφdθ所以越上一级，能求得的空间范围也越自由，越广泛，但也越复杂，越棘手，而且限制比上面两个都少，对空间想象力提高了。
曲面积分的定义
曲面积分的定义曲面积分是微积分中的一项重要概念，在数学和物理学中有广泛的应用。
本文将介绍曲面积分的定义及其应用。
首先，我们来了解一下曲面积分的基本概念。
曲面积分是对一个曲面上某个向量场进行积分，用于表示该向量场在曲面上的贡献。
曲面积分可以分为两种类型：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分是在曲面上的每一个微小面元上计算某个标量函数的积分。
设S是一个光滑曲面，f(x, y, z)是定义在S上的连续函数，则第一类曲面积分的定义如下：∬S f dS = ∫∫S f(x, y, z) dS其中，∬表示曲面积分，S表示曲面，f表示定义在曲面上的函数，dS表示曲面上的面元。
第二类曲面积分是在曲面上的每一个微小面元上计算某个向量场的点积，它表示向量场贯穿曲面的流量。
设F(x, y, z)是一个定义在曲面S上的向量场，则第二类曲面积分的定义如下：∬S F ⋅ dS = ∫∫S F(x, y, z) ⋅ dS其中，F表示定义在曲面上的向量场，⋅表示点积。
曲面积分的计算可以通过参数化方法进行。
将曲面参数化为u和v的函数，即：r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))。
在这个参数化的曲面上，微小面元dS可以表示为：dS = |r_u × r_v| du dv其中，r_u和r_v分别是r对u和v的偏导数，×表示向量的叉乘。
通过参数化方法，我们可以将曲面积分转化为二重积分。
例如，第一类曲面积分可以表示为：∬S f dS = ∫∫D f(r(u, v))|r_u × r_v| du dv其中，D是曲面在平面上的投影，表示为(u, v)的取值范围。
同样地，第二类曲面积分也可以通过参数化方法进行计算。
例如，第二类曲面积分可以表示为：∬S F ⋅ dS = ∫∫D F(r(u, v)) ⋅ (r_u × r_v) du dv曲面积分在数学和物理学中有广泛的应用。
(完整word版)定积分、曲线积分、重积分、曲面积分的几何意义(2014.1.25)
定积分、曲线积分、重积分、曲面积分的几何意义(2014.1.25)一、定积分x d x f b a ⎰)(1、物理意义：变速直线运动的路程⎰21)(t t dt t v （或变力沿直线做功⎰ba dr r F )(） 2、几何意义：求以)(x f 为曲边的曲边梯形的面积当)(x f =1时，x d ba ⎰表示求直线段的长度二、曲线积分第一型曲线积分(对弧长) (,)L f x y ds ⎰（或(,,)Lf x y z ds ⎰） 1、物理意义 ：求曲线段的质量（()y x f ,表示线密度）2、几何意义：当()时，1,=y x f ()ds y x f l ,⎰表示求曲线段的长度 第二型曲线积分(对坐标)(,)(,)L P x y dx Q x y dy +⎰（或(,,)(,,)(,,)LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰） 物理意义：求变力做功 三、重积分二重积分(,)D f x y d σ⎰⎰1、物理意义：求平面薄板的质量（()y x f ,表示面密度）（或加在平面面积上压力（压强可变））2、几何意义：求以()y x f z ,=为曲顶的曲顶柱体的体积当()时，1,=y x f σd y x f D ),(⎰⎰表示求平面区域D 的面积 三重积分(,,)V f x y z dV ⎰⎰⎰1、物理意义：求空间物体的质量（),,(z y x f 表示体密度）2、几何意义：当),,(z y x f =1时，⎰⎰⎰VdV 表示求空间区域V 的体积四、曲面积分第一型曲面积分（对面积）(,,)S f x y z dS ⎰⎰1、物理意义：求曲面块的质量（),,(z y x f 表示面密度）2、几何意义：当),,(z y x f =1时，⎰⎰S dS 表示求曲面快的面积 第二型曲面积分（对坐标）(,,)(,,)(,,)S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰物理意义：求流经曲面流体的流量。
重积分、曲线积分、曲面积分
重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。
对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。
若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。
性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。
5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。
二重积分第一类曲面积分第二类曲线
二重积分第一类曲面积分第二类曲线
二重积分（第一类）和曲面积分（第二类）是数学中的两个重要概念，分别与曲线和曲面上的函数相关。
1. 二重积分（第一类）：
二重积分是对平面上的函数进行积分的一种方法。
它用于计算平面区域内函数在该区域上的总体积、质量、重心等物理量。
第一类表示积分变量是平面上的面积元素，通常用两个变量表示。
例如，对于函数f(x, y)，在平面区域D 上的二重积分可以表示为∬D f(x, y) dA。
2. 曲面积分（第二类）：
曲面积分是对曲面上的函数进行积分的一种方法。
它用于计算曲面上的流量、电荷、质量等物理量。
第二类表示积分变量是曲面上的面积元素，通常用参数方程表示。
例如，对于函数f(x, y, z)，在曲面S 上的曲面积分可以表示为∬S f(x, y, z) dS。
3. 第一类曲线积分：
第一类曲线积分是对曲线上的函数进行积分的一种方法。
它用于计算曲线上的长度、质量、功等物理量。
第一类表示积分变量是曲线上的弧长元素，通常用参数方程表示。
例如，对于函数f(x, y, z)，在曲线C 上的第一类曲线积分可以表示为∮C f(x, y, z) ds。
总之，二重积分（第一类）和曲面积分（第二类）分别应用于平面和曲面上的函数积分，而第一类曲线积分用于曲线上的函数积分。
它们在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
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积分（二重，三重积分，第一类曲线，曲面积分）的定义
和性质
CH 19 积分(二重，三重积分，第一类曲线，曲面积分)的定义和
性质
1(重积分的概念
n
(1) 定义:二重积分表示一种类型和式的极限,limf(,,,),,，三重积分表
f(x,y)d,,iii,,,,0,1iD
n
f(x,y,z)dV示,limf(,,,,,),v,其值均取决于被积函数的对应规则和积分
区,iiii,,,,,0,1iD
域，而与积分变量的记号无关。
连续是可积的充分条件，二者的不同点是:二重积分的被积函数
是定义在平面区域上的二元函数，而三重积分的被积函数是定义在空间区域上的三元函数。
D,
f(x,y),0z,f(x,y)(2) 几何与物理意义:当时，表示以曲面为曲顶，以为
Df(x,y)d,,,D
,,f(x,y)f(x,y,z),0底的柱体体积，或表示以面积密度的平面薄片的质量。
当，D
,,f(x,y,z)f(x,y,z)dV表示体密度的空间立体的质量。
,,,,D
(3) 性质:重积分具有与定积分类似的线性性质，对区域的可加性，积分不等式，以及积分中值定理。
2(第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义
(1) 由曲线形构件的质量问题引入对弧长的曲线积分，其定义简记为
n
,limf(,,,),S f(x,y)ds,iii,,,0,1il
f(x,y)ll其中函数在曲线上有定义切有界，是对的任意分割下的段的长度，i,SS,0ii
,,max{,S}。
i1,i,n
(2) 由求变力沿曲线所作功等问题，可引入对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的概念，其定
义简记为
n
,limP(,,,),x P(x,y)dx,iii,,,0,1il
n
,limQ(,,,),y Q(x,y)dy,iii,,,0,1il
,ll ，的意义同前，，为小弧段在坐标轴上的投影，其正负与的方向有
关。
,x,yii
3(两类曲面积分的定义
(1) 由计算曲面片的质量问题引入对面积的区面积分，其定义简记为
n
f(x,y,z)dS ,limf(,,,,,),S ,iiii,,,,0,1i,
f(x,y,z)其中在曲面上有定义，是的任意分割下第块的面积(，)i,S,,S,0ii ,,max{,S的直径}。
i1,,in
(2) 第二类曲面积分
P(x,y,z)dydz，Q(x,y,z)dzdx，R(x,y,z)dxdy,,,
n
,lim[P(,S)，Q(,S)，R(,S)] ,iiyziizxiixy,,0i,1
其中，，表示小片曲面在三个坐标面的投影，其正负与曲
(,S)(,S)(,S)iyzixyixz
面所取的侧有关。
q22例1(计算，由抛物线和直线所围的区域。
Dx,(q,0)y,2pxxydxdy,,2D q解:先求两曲线的交点，则 (,),pq2
qq32pxpqq2222xdxydy,ydyxdx,ppq原式,。
2,,,,y,,02pxpq212p
22222222V例2(计算，其中是由两球的公共部分所zdxdydzx，y，z,R,x，y，z,2Rz,,,V
组成。
2222,x，y，z,R3R,222,解:,x，y,Rz, ,22242,2x，y，z,Rz,
R322RR,r592522,drdrzdz,,R方法1:原式, 22,,,00R,R,r480
方法2:
RR222原式,，zdzdxdyzdzdxdyR,,,,,,02,,'zz
RR592222252,,,，,,,,z(2Rzz)dzz(Rz)dzRR,,04802方法3:
,,222cos,R,R,592424532dsincosdddsincosddR原
式, ,,,,,,，,,,,,,,,,,,,,,,000004802。