第8章 回归分析
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第八章 相关分析与回归分析
第8章 回归分析
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③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产 生在—列”，如下图所示，单击“下一步” 按钮。
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20
④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如 下图所示。
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⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图 所示。
n 8, x 36.4, x 207.54 , y 104214 y 880, . xy 4544 6
2 2
r
n xy x y n x2 x 2 n y2 y 2 8 4544 6 36.4 880 .
第8章 回归分析
40
（二）回归分析的种类： 1、按自变量 x 的多少，分为一元回归和多 元回归； 2、按 y 与 x 关系的形式，分为线性回归和 非线性回归。
第8章 回归分析
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二、一元线性回归分析
x y 62 86 80 110 115 132 135 160
42
（一）一元线性回归方程：
2、非线性相关：当一个变量变动时， 另一个变量也相应发生变动，但这种变 动是不均等的。
第8章 回归分析
9
㈢根据相关关系的方向 1、正相关：两个变量间的变化方向一 致，都是增长趋势或下降趋势。 2、负相关：两个变量变化趋势相反。
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第8章 回归分析
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（四）根据相关关系的程度 1、完全相关：两个变量之间呈函数关系 2、不相关：两个变量彼此互不影响，其 数量的变化各自独立
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③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产 生在—列”，如下图所示，单击“下一步” 按钮。
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④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如 下图所示。
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⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图 所示。
n 8, x 36.4, x 207.54 , y 104214 y 880, . xy 4544 6
2 2
r
n xy x y n x2 x 2 n y2 y 2 8 4544 6 36.4 880 .
第8章 回归分析
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（二）回归分析的种类： 1、按自变量 x 的多少，分为一元回归和多 元回归； 2、按 y 与 x 关系的形式，分为线性回归和 非线性回归。
第8章 回归分析
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二、一元线性回归分析
x y 62 86 80 110 115 132 135 160
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（一）一元线性回归方程：
2、非线性相关：当一个变量变动时， 另一个变量也相应发生变动，但这种变 动是不均等的。
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㈢根据相关关系的方向 1、正相关：两个变量间的变化方向一 致，都是增长趋势或下降趋势。 2、负相关：两个变量变化趋势相反。
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（四）根据相关关系的程度 1、完全相关：两个变量之间呈函数关系 2、不相关：两个变量彼此互不影响，其 数量的变化各自独立
回归分析方法
第八章 回归分析方法当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型。
如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。
本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。
回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。
变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是：一个变量随着其它变量的确定而确定。
另一类关系叫相关关系，变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来。
例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系，人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。
回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。
其解决问题的大致方法、步骤如下： （1）收集一组包含因变量和自变量的数据；（2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数；（3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； （4）判断得到的模型是否适合于这组数据； （5）利用模型对因变量作出预测或解释。
应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上。
运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。
MATLAB 等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。
MATLAB 统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。
运用MATLAB 统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。
本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。
第八章 相关与回归分析
相关系数的特点：
相关系数的取值在-1与1之间。 相关系数的取值在之间。 =0时 表明X 没有线性相关关系。 当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。 表明X 当 时，表明X与Y存在一定的线性相关关 系； 表明X 为正相关; 若 表明X与Y 为正相关; 表明X 为负相关。 若 表明X与Y 为负相关。 表明X 完全线性相关； 当 时，表明X与Y完全线性相关； r=1， 完全正相关； 若r=1，称X与Y完全正相关； r=完全负相关。 若r=-1，称X与Y完全负相关
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2 11 10.8 10.6 10.4 10.2 10 0 5 10
相关关系的类型
25
● 从变量相关关系变化的方向 方向看 方向 正相关——变量同方向变化 正相关 负相关——变量反方向变化 负相关 ● 从变量相关的程度看 完全相关 不完全相关 不相关
x
最小二乘法 ˆ ˆ (α 和 β 的计算公式)
根据最小二乘法， 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下
最小二乘估计的性质 ——高斯 马尔可夫定理 高斯—马尔可夫定理 前提： 在基本假定满足时
最小二乘估计是因变量的线性函数 线性函数 最小二乘估计是无偏估计 无偏估计，即 无偏估计 在所有的线性无偏估计中，回归系数的最小二 乘估计的方差最小 方差最小。 方差最小
结论：
回归系数的最小二乘估计是最佳线性无偏估计 最佳线性无偏估计
四、简单线性回归模型的检验
回归模型的检验包括： 回归模型的检验包括： 理论意义检验： 理论意义检验：主要涉及参数估计值的符号和取 值区间，检验它们与实质性科学的理论以及人们 的实践经验是否相符。 一级检验： 一级检验：又称统计学检验，利用统计学的抽样 理论来检验样本回归方程的可靠性，具体分为拟 合优度检验和显著性检验。 二级检验： 二级检验：又称计量经济学检验，它是对标准线 性回归模型的假设条件是否满足进行检验，包括 自相关检验、异方差检验、多重共线性检验等。
《SPSS数据分析与应用》第8章 逻辑回归分析
准确率=TP TN / TP TN FP FN
➢ TPR—在所有真实值为阳性的样本中，被正确地判断为阳性的样本所占的比例。
TPR=TP / TP FN
➢ FPR—在所有真实值为阴性的样本中，被正确地判断为阳性的样本所占的比例。
FPR=FP / FP TN
Part 8.2
逻辑回归分析模型 的实现与解读
定性变量 （3水平）
定量变量
定性变量
取值范围 1代表幸存 0代表死亡 1=男、2=女 [0.42,80]
1代表一等舱, 2代表二等舱, 3代表三等舱
[0, 512.3292]
C = 瑟堡港， Q =昆士敦，S = 南安普顿
定性变量
0代表无家庭成员，1代表成员为1~3人的中 型家庭，2代表成员为4人及以上的大型家庭
2.逻辑回归分析模型
逻辑回归分析模型
在经过Logit变换之后，就可以利用线性回归模型建立因 变量与自变量之间的分析模型，即
经过变换，有
Sigmoid函数 （S型生长曲线）
逻辑回归分析模型
Sigmoid函数
➢ Sigmoid函数，表示概率P和自变量之间 的非线性关系。通过这个函数，可以计 算出因变量取1或者取0的概率。
总计
混淆矩阵
预测值
Y=0（N）
Y=1(P)
TN
FP
FN
TP
总计 TN+FP FN+TP TP+FP+FN+TN
➢ TP：预测为1，预测正确，即实际1； ➢ FP：预测为1，预测错误，即实际0； ➢ FN：预测为0，预测错确，即实际1； ➢ TN：预测为0，预测正确即，实际0。
4.模型评价
➢ 准确率
➢ TPR—在所有真实值为阳性的样本中，被正确地判断为阳性的样本所占的比例。
TPR=TP / TP FN
➢ FPR—在所有真实值为阴性的样本中，被正确地判断为阳性的样本所占的比例。
FPR=FP / FP TN
Part 8.2
逻辑回归分析模型 的实现与解读
定性变量 （3水平）
定量变量
定性变量
取值范围 1代表幸存 0代表死亡 1=男、2=女 [0.42,80]
1代表一等舱, 2代表二等舱, 3代表三等舱
[0, 512.3292]
C = 瑟堡港， Q =昆士敦，S = 南安普顿
定性变量
0代表无家庭成员，1代表成员为1~3人的中 型家庭，2代表成员为4人及以上的大型家庭
2.逻辑回归分析模型
逻辑回归分析模型
在经过Logit变换之后，就可以利用线性回归模型建立因 变量与自变量之间的分析模型，即
经过变换，有
Sigmoid函数 （S型生长曲线）
逻辑回归分析模型
Sigmoid函数
➢ Sigmoid函数，表示概率P和自变量之间 的非线性关系。通过这个函数，可以计 算出因变量取1或者取0的概率。
总计
混淆矩阵
预测值
Y=0（N）
Y=1(P)
TN
FP
FN
TP
总计 TN+FP FN+TP TP+FP+FN+TN
➢ TP：预测为1，预测正确，即实际1； ➢ FP：预测为1，预测错误，即实际0； ➢ FN：预测为0，预测错确，即实际1； ➢ TN：预测为0，预测正确即，实际0。
4.模型评价
➢ 准确率
第8章 相关与回归分析
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估计标准误差
估计标准误差（standard error of estimate）是 对各观测数据在回归直线周围分散程度的一个度 量值，它是对误差项ε的标准差σ的估计。 估计标准误差Sy可以看作是在排除了X对Y的线性 影响后，Y随机波动大小的一个估计量。
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从估计标准误差的实际意义看，它反映了用估计 的回归方程预测因变量Y时预测误差的大小。若 各观测数据越靠近回归直线，Sy越小，回归直线 对各观测数据的代表性就越好，根据估计的回归 方程进行预测也就越准确。
当一个变量取一定数值时，另一个变量有确定值 与之相对应，这种关系称为确定性的函数关系。 当一个变量取一定数值时，与之相对应的另一变 量的数值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定 的范围内变化，这种关系称为不确定性的相关关 系。
7
变量间的关系: 函数关系
y
ห้องสมุดไป่ตู้
x
是一一对应的确定关系 记为 y = f (x)， x 称为自变 量，y 称为因变量 – 某种商品的销售额(y)与 销售量(x)之间的关系可 表示为 y = p x (p 为单 价) – 圆的面积(S)与半径之间 的关系: S = R2
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复相关系数和偏相关系数
复相关系数反映一个变量Y与其他多个变量X1， X2，…Xk之间的线性相关程度 偏相关系数 反映在X2，…Xk不变的情况下，变量 Y与X1之间的线性相关程度
20
第三节 简单线性回归分析
回归分析的内容
回归分析的特点
相关分析与回归分析的区别与联系
21
相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度， 但是相关分析不能指出变量间相互关系的具体形 式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量 的变化情况。 回归分析则是研究变量之间相互关系的具体形式， 它对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测 定，确定一个回归方程，根据这个回归方程可以 从已知量来推测未知量，从而为估算和预测提供 了一个重要的方法。
第8章--回归分析预测法概要
其表达F式 S余 为 （ /S回 n /m ： m1）
20
❖ 将通过上式计算F的值，与F分布表查到的Fc 临界值比较，从而判断回归方程是否具有显 著性。
❖ ①当 F> Fc (α,m,n-m-1)，则回归方程与实际 直线方程拟和的程度好，x和y之间的变化是 符合回归模型；
❖ ②当F ≤ FC(α，m,n-m-1)时，则回归模型与 实际直线方程拟和程度不好，x和y之间的变 化不符合实际直线的变化，预测模型无效。
i1
i1
i1
min （3）
即对（3）求极值，有：
Q
a
2
n i1
(
yi
a
bxi
)
0
Q
b
n
2
i1
( yi
a
bxi )xi
0
（4） （5）
15
由（ 4 ）得：
n
n
n
y i a bx i 0
i1
i1
i1
y i na b x i
由（ 5）得：
n
n
n
x i y i ax i x i bx i 0
❖ ②确定变量之间的相关密切程度，这是相关 分析的主要目的和主要内容。
7
3、建立回归预测模型 ❖ 就是依据变量之间的相关关系，用恰当的数
学表达式表示出来。 4、回归方程模型检验 ❖ 建立回归方程的目的是预测，但方程用于预
测之前需要检验回归方程的拟合程度和回归 参数的显著性，只有通过了有关的检验后， 回归方程才可用于预测。常用的检验方法有 相关系数r检验、F检验、t检验等。
36
二、多元线性回归预测法 ❖ 一般形式：ŷi=a+b1X1+b2X2+……+bnXn ❖ 其中： X1，X2，……，Xn 为自变量， ❖ a, b1, b2, ……, bn为回归方程的参数 ❖ 存在两个自变量条件下的多元线性回归方程
[课件]第八章 直线回归与相关分析PPT
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Q SS U 283 176 . 4 106 . 6 y
（2）F检验：
U 176 . 4 F ( n 2 ) ( 5 2 ) 4 . 96 Q 106 . 6
因为 F ， 4 . 96 F 10 . 13 0 . 05 ( 1 , 3 ) .05 。说明小白鼠体重和日龄间 所以， p 0 的直线关系不显著。
相关分析（correlation analysis）3
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依 变量的回归分析称为一元回归分析；
直线回归分析 曲线回归分析
研究“多因一果”，即多个自变量与一个依 变量的回归分析称为多元回归分析。
多元线性回归分析
多元非线性回归分析
第二节：直线回归
Linear Regression
回归和相关分析结果仅适用于自变量的试验取值 范围。
9
2. 进行直线回归分析时应符合的基本条件 （基本假定） （1）x是没有误差的固定变量；而y是随机 变量，具有随机误差。 （2）x的任一值都对应着一个y的总体，且 呈正态分布。
（3）随机误差是相互独立的，且呈正态分
布。
10
对两个变量间的线性关系的显著性进行检验时， 采用的方法是 F 检验或 t 检验。 直线回归中，只有一个自变量，所以回归平方和 的自由度为1，离回归平方和的自由度为n－2 。 1. 计算回归平方和U和离回归平方和Q：
序号 日龄 x 体重 y 1 6 12 2 9 17 3 12 22 4 15 25 5 18 29
13
（一）求回归方程： （1）由观测值计算6个一级数据
n 5
x 6 9 12 15 18 60 x 6 9 12 15 18 810
（2）F检验：
U 176 . 4 F ( n 2 ) ( 5 2 ) 4 . 96 Q 106 . 6
因为 F ， 4 . 96 F 10 . 13 0 . 05 ( 1 , 3 ) .05 。说明小白鼠体重和日龄间 所以， p 0 的直线关系不显著。
相关分析（correlation analysis）3
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依 变量的回归分析称为一元回归分析；
直线回归分析 曲线回归分析
研究“多因一果”，即多个自变量与一个依 变量的回归分析称为多元回归分析。
多元线性回归分析
多元非线性回归分析
第二节：直线回归
Linear Regression
回归和相关分析结果仅适用于自变量的试验取值 范围。
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2. 进行直线回归分析时应符合的基本条件 （基本假定） （1）x是没有误差的固定变量；而y是随机 变量，具有随机误差。 （2）x的任一值都对应着一个y的总体，且 呈正态分布。
（3）随机误差是相互独立的，且呈正态分
布。
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对两个变量间的线性关系的显著性进行检验时， 采用的方法是 F 检验或 t 检验。 直线回归中，只有一个自变量，所以回归平方和 的自由度为1，离回归平方和的自由度为n－2 。 1. 计算回归平方和U和离回归平方和Q：
序号 日龄 x 体重 y 1 6 12 2 9 17 3 12 22 4 15 25 5 18 29
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（一）求回归方程： （1）由观测值计算6个一级数据
n 5
x 6 9 12 15 18 60 x 6 9 12 15 18 810
第八章 方差分析与回归分析
第八章 方差分析与回归分析§8.1 方差分析8.1.1 问题的提出举例说明概念因子和水平。
因子：对研究对象产生影响的因素。
水平：因子所处的状态。
8.1.2 单因子方差分析的统计模型在研究中只考察一个因子则称为单因子试验，其中，记因子为A ，设其有r 个水平，记为r A A ,,1 ，在每一水平下考察的指标可以看成一个总体，现有r 个水平，故有r 个总体，假定：(1)每一总体均为正态总体，记为r i N i i ,,2,1),,(2；(2)各总体的方差相同，记222221 r ；(3)从每一总体中抽取的样本是相互独立的，即所有的试验结果ij y 都相互独立。
这些假定都可以用统计方法进行验证。
首先比较各水平下的均值是否相同，即要对如下的一个假设进行检验，不全相等r rH H ,,,::211210在不会引起误解的前提下，1H 通常可以省略不写。
若0H 成立，则称因子A 不显著，否则，称因子A 显著。
对如上的假设进行检验，需要从每一水平下的总体抽取样本，设从第i 个水平下的总体获得m 个试验结果(各个水平下相同)，记ij y 表示第i 个总体的第j 次重复试验结果。
共得如下m r 个试验结果：m j r i y ij ,,1,,,1,其中r 为水平数，m 为重复数，i 为水平编号，j 为重复编号。
在水平i A 下的试验结果ij y 与该水平下的指标均值i 一般总是有差距的，记i ij ij y ，ij 称为随机误差，于是有ij i ij y上式称为试验结果ij y 的数据结构式。
把三个假定用于数据结构式就可以写出单因子方差分析的统计模型：),0(,,1,,,1,2 N m j r i y ij ij i ij 相互独立，且都服从诸为了能更好地描述数据，常引入总均值和效应的概念：总均值：诸i 的平均 ri i r r 11 ；称第i 水平下的均值i 与总均值 的差i i a ，r i ,,1为因子A 的第i 水平的主效应，简称为i A 的效应。
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3
SPSS 23(中文版)统计分析实用教程(第2版)
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8.1 回归分析简介 （3）回归分析的一般步骤
第1步 确定回归方程中的因变量和自变量。 第2步 确定回归模型。 第3步 建立回归方程。 第4步 对回归方程进行各种检验。
拟合优度检验 回归方程的显著性检验 回归系数的显著性检验
第5步 利用回归方程进行预测。
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主要内容
8.1 回归分析简介 8.2 线性回归分析 8.3 曲线回归分析 8.4非线性回归分析 8.4 二元Logistic回归分析
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8.2 线性回归分析
方差分析表
模型 1 回归 残差 总计 a. 因变量：财政收入 b. 预测变量：（常量），国内生产总值 平方和 1557492999.819 34187286.770 1591680286.589 自由度 1 13 14 均方 1557492999.819 2629791.290 F 592.250 显著性 .000b
8.2线性回归分析 8.2.1 基本概念及统计原理
1.基本概念
线性回归假设因变量与自变量之间为线性关系，用一定的 线性回归模型来拟合因变量和自变量的数据，并通过确定模型 参数来得到回归方程。根据自变量的多少，线性回归可有不同 的划分。当自变量只有一个时，称为一元线性回归，当自变量 有多个时，称为多元线性回归。
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8.1 回归分析简介
（1）确定性关系与非确定性关系
变量与变量之间的关系分为确定性关系和非确定性关系， 函数表达确定性关系。研究变量间的非确定性关系，构造变量 间经验公式的数理统计方法称为回归分析。
（2）回归分析基本概念
回归分析是指通过提供变量之间的数学表达式来定量描述 变量间相关关系的数学过程，这一数学表达式通常称为经验公 式。我们不仅可以利用概率统计知识，对这个经验公式的有效 性进行判定，同时还可以利用这个经验公式，根据自变量的取 值预测因变量的取值。如果是多个因素作为自变量的时候，还 可以通过因素分析，找出哪些自变量对因变量的影响是显著的 ，哪些是不显著的。
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8.3 曲线回归分析 8.3.1 基本概念及统计原理
(1) 统计原理 在曲线估计中，有很多的数学模型，选用哪一种形式的回归 方程才能最好地表示出一种曲线的关系往往不是一个简单的问 题，可以用数学方程来表示的各种曲线的数目几乎是没有限量 的。在可能的方程之间，以吻合度而论，也许存在着许多吻合 得同样好的曲线方程。因此，在对曲线的形式的选择上，对采 取什么形式需要有一定的理论，这些理论是由问题本质决定的 。 (3) 分析步骤 首先，在不能明确究竟哪种模型更接近样本数据时，可在上 述多种可选择的模型中选择几种模型； 其次，SPSS自动完成模型参数的估计，并输出回归方程显著 性检验的F值和概率P值、决定系数R2等统计量； 最后，以判定系数为主要依据选择其中的最优模型，并进行 预测分析等。
1986
1987 1988 1989 1990
45.8
71.04 109.5 142.6 178.5
10201.4
11954.5 14922.3 16917.8 18598.4
1997
1998 1999 2000 2001
1080
1247.3 1393.22 1595.9 2109.36
73142.7
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8.2 线性回归分析
回归系数表
未标准化系数 模型 1 （常量） 国内生产总值 a. 因变量：财政收入 B 4993.281 .197 标准误差 919.356 .008 .989 标准化系数 Beta t 5.431 24.336 显著性 .000 .000
8
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8.2 线性回归分析
第1步 分析：这是一个因变量和一个自变量之间的问题，故应 该考虑用一元线性回归解决。 第2步 数据组织：定义三个变量，分别为“year”（年份）、 “x”（国内生产总值）、“y”（财政收入）。 第3步 作散点图，观察两个变量的相关性：依次选择菜单“图 形→旧对话框→散点/点状→简单分布”，并将“国内生产总值 ”作为x轴，“财政收入”作为y轴，得到如下所示图形。
，将所有模型全部选上，看哪种模型拟合效果更好(主要看决定系数 R2)，其所有模型的拟合优度R2如下表所示。
因变量: 保费收入 模型摘要 方程 线性 对数 逆 二次 三次 复合 幂 S 增长 指数 R 方 .941 .772 .481 .973 .990 .789 .972 .946 .789 .789 F 316.551 67.889 18.572 336.771 617.659 74.788 700.929 347.778 74.788 74.788 自由度 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 自由度 2 20 20 20 19 18 20 20 20 20 20 显著性 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 常量 -154.292 -4576.241 966.105 23.846 -166.430 23.315 2.521E-6 7.069 3.149 23.315 参数估算值 b1 .019 508.979 6138735.913 .003 .029 1.000 1.796 27064.140 5.450E-5 5.450E-5 1.756E-7 5.364E-7 5.022E-12 b2 b3
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8.2线性回归分析
8.2.2 SPSS实例分析
【例8-1】现有1992年-2006年国家财政收入和国内生产总值的 数据如下表所示，请研究国家财政收入和国内生产总值之间的 线性关系。
年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 财政收入 国内生产总值 （单位：亿元） （单位：亿元） 26923.5 35333.9 48197.9 60793.7 71176.6 78973.0 84402.3 89677.1 3483.37 4348.95 5218.10 6242.20 7407.99 8651.14 9875.95 11444.08 年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 财政收入 国内生产总值 （单位：亿元） （单位：亿元） 99214.6 109655.2 120332.7 135822.8 159878.3 183867.9 210871.0 13395.23 16386.04 18903.64 21715.25 26396.47 31649.29 38760.20
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8.2 线性回归分析
第5步 主要结果及分析： 变量输入和移去表
模型 1 输入的变量 国内生产总值 移去的变量 . 方法 输入
表中显示回归模型编号、进入模 型的变量、移出模型的变量和变 量的筛选方法。可以看出，进入 模型的自变量为“国内生产总 值” 。
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8.3 曲线回归分析
8.3.2 SPSS实例分析
【例8-3】 表8.16是1989～2001年国家保费收入与国内生产总值的数据， 试研究保费收入与国内生产总值的关系。
年度 1980 保费收入 4.6 国民生产总值 4517.8 年度 1991 保费收入 239.7 国民生产总值 21662.5
表中显示回归模型的常数项、非标准化的回归系数B值及其标准误差、标 准化的回归系数值、统计量t值以及显著性水平（Sig.）。从表中可看出， 回归模型的常数项为-4993.281，自变量“国内生产总值”的回归系数为 0.197。因此，可以得出回归方程：财政收入=-4993.281 + 0.197 × 国内生 产总值。 回归系数的显著性水平为0.000，明显小于0.05，故应拒绝T检验的原假设， 这也说明了回归系数的显著性，说明建立线性模型版)统计分析实用教程(第2版)
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主要内容
8.1 回归分析简介 8.2 线性回归分析 8.3 曲线回归分析 8.4非线性回归分析 8.4 二元Logistic回归分析
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8.3 曲线回归分析 8.3.1 基本概念及统计原理
可以看出两变量具有较强 的线性关系，可以用一元 线性回归来拟合两变量。
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8.2 线性回归分析
第4步 一元线性回归分析设置： 选择菜单“分析→回归→线性”，打开“线性回归”对话框 ，将变量“财政收入”作为因变量 ，“国内生产总值”作为 自变量。 打开“统计量”对话框，选上“估计”和“模型拟合度”。 单击“绘制（T）…”按钮，打开“线性回归：图”对话框 ，选用DEPENDENT作为y轴，*ZPRED为x轴作图。并且选择“直 方图”和“正态概率图” 作相应的保存选项设置，如预测值、残差和距离等。
保费收入y随国内生产总值 x的提高而逐渐提高，而且 当国内生产总值达到一定 水平后，保费收入的增幅 更加明显。因此用线性回 归模型表示x，y的关系是 不恰当的。于是应找拟合 效果好的模型。
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8.1 回归分析简介 （3）回归分析的一般步骤
第1步 确定回归方程中的因变量和自变量。 第2步 确定回归模型。 第3步 建立回归方程。 第4步 对回归方程进行各种检验。
拟合优度检验 回归方程的显著性检验 回归系数的显著性检验
第5步 利用回归方程进行预测。
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主要内容
8.1 回归分析简介 8.2 线性回归分析 8.3 曲线回归分析 8.4非线性回归分析 8.4 二元Logistic回归分析
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8.2 线性回归分析
方差分析表
模型 1 回归 残差 总计 a. 因变量：财政收入 b. 预测变量：（常量），国内生产总值 平方和 1557492999.819 34187286.770 1591680286.589 自由度 1 13 14 均方 1557492999.819 2629791.290 F 592.250 显著性 .000b
8.2线性回归分析 8.2.1 基本概念及统计原理
1.基本概念
线性回归假设因变量与自变量之间为线性关系，用一定的 线性回归模型来拟合因变量和自变量的数据，并通过确定模型 参数来得到回归方程。根据自变量的多少，线性回归可有不同 的划分。当自变量只有一个时，称为一元线性回归，当自变量 有多个时，称为多元线性回归。
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8.1 回归分析简介
（1）确定性关系与非确定性关系
变量与变量之间的关系分为确定性关系和非确定性关系， 函数表达确定性关系。研究变量间的非确定性关系，构造变量 间经验公式的数理统计方法称为回归分析。
（2）回归分析基本概念
回归分析是指通过提供变量之间的数学表达式来定量描述 变量间相关关系的数学过程，这一数学表达式通常称为经验公 式。我们不仅可以利用概率统计知识，对这个经验公式的有效 性进行判定，同时还可以利用这个经验公式，根据自变量的取 值预测因变量的取值。如果是多个因素作为自变量的时候，还 可以通过因素分析，找出哪些自变量对因变量的影响是显著的 ，哪些是不显著的。
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8.3 曲线回归分析 8.3.1 基本概念及统计原理
(1) 统计原理 在曲线估计中，有很多的数学模型，选用哪一种形式的回归 方程才能最好地表示出一种曲线的关系往往不是一个简单的问 题，可以用数学方程来表示的各种曲线的数目几乎是没有限量 的。在可能的方程之间，以吻合度而论，也许存在着许多吻合 得同样好的曲线方程。因此，在对曲线的形式的选择上，对采 取什么形式需要有一定的理论，这些理论是由问题本质决定的 。 (3) 分析步骤 首先，在不能明确究竟哪种模型更接近样本数据时，可在上 述多种可选择的模型中选择几种模型； 其次，SPSS自动完成模型参数的估计，并输出回归方程显著 性检验的F值和概率P值、决定系数R2等统计量； 最后，以判定系数为主要依据选择其中的最优模型，并进行 预测分析等。
1986
1987 1988 1989 1990
45.8
71.04 109.5 142.6 178.5
10201.4
11954.5 14922.3 16917.8 18598.4
1997
1998 1999 2000 2001
1080
1247.3 1393.22 1595.9 2109.36
73142.7
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8.2 线性回归分析
回归系数表
未标准化系数 模型 1 （常量） 国内生产总值 a. 因变量：财政收入 B 4993.281 .197 标准误差 919.356 .008 .989 标准化系数 Beta t 5.431 24.336 显著性 .000 .000
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8.2 线性回归分析
第1步 分析：这是一个因变量和一个自变量之间的问题，故应 该考虑用一元线性回归解决。 第2步 数据组织：定义三个变量，分别为“year”（年份）、 “x”（国内生产总值）、“y”（财政收入）。 第3步 作散点图，观察两个变量的相关性：依次选择菜单“图 形→旧对话框→散点/点状→简单分布”，并将“国内生产总值 ”作为x轴，“财政收入”作为y轴，得到如下所示图形。
，将所有模型全部选上，看哪种模型拟合效果更好(主要看决定系数 R2)，其所有模型的拟合优度R2如下表所示。
因变量: 保费收入 模型摘要 方程 线性 对数 逆 二次 三次 复合 幂 S 增长 指数 R 方 .941 .772 .481 .973 .990 .789 .972 .946 .789 .789 F 316.551 67.889 18.572 336.771 617.659 74.788 700.929 347.778 74.788 74.788 自由度 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 自由度 2 20 20 20 19 18 20 20 20 20 20 显著性 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 常量 -154.292 -4576.241 966.105 23.846 -166.430 23.315 2.521E-6 7.069 3.149 23.315 参数估算值 b1 .019 508.979 6138735.913 .003 .029 1.000 1.796 27064.140 5.450E-5 5.450E-5 1.756E-7 5.364E-7 5.022E-12 b2 b3
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【例8-1】现有1992年-2006年国家财政收入和国内生产总值的 数据如下表所示，请研究国家财政收入和国内生产总值之间的 线性关系。
年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 财政收入 国内生产总值 （单位：亿元） （单位：亿元） 26923.5 35333.9 48197.9 60793.7 71176.6 78973.0 84402.3 89677.1 3483.37 4348.95 5218.10 6242.20 7407.99 8651.14 9875.95 11444.08 年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 财政收入 国内生产总值 （单位：亿元） （单位：亿元） 99214.6 109655.2 120332.7 135822.8 159878.3 183867.9 210871.0 13395.23 16386.04 18903.64 21715.25 26396.47 31649.29 38760.20
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8.2 线性回归分析
第5步 主要结果及分析： 变量输入和移去表
模型 1 输入的变量 国内生产总值 移去的变量 . 方法 输入
表中显示回归模型编号、进入模 型的变量、移出模型的变量和变 量的筛选方法。可以看出，进入 模型的自变量为“国内生产总 值” 。
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8.3 曲线回归分析
8.3.2 SPSS实例分析
【例8-3】 表8.16是1989～2001年国家保费收入与国内生产总值的数据， 试研究保费收入与国内生产总值的关系。
年度 1980 保费收入 4.6 国民生产总值 4517.8 年度 1991 保费收入 239.7 国民生产总值 21662.5
表中显示回归模型的常数项、非标准化的回归系数B值及其标准误差、标 准化的回归系数值、统计量t值以及显著性水平（Sig.）。从表中可看出， 回归模型的常数项为-4993.281，自变量“国内生产总值”的回归系数为 0.197。因此，可以得出回归方程：财政收入=-4993.281 + 0.197 × 国内生 产总值。 回归系数的显著性水平为0.000，明显小于0.05，故应拒绝T检验的原假设， 这也说明了回归系数的显著性，说明建立线性模型版)统计分析实用教程(第2版)
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主要内容
8.1 回归分析简介 8.2 线性回归分析 8.3 曲线回归分析 8.4非线性回归分析 8.4 二元Logistic回归分析
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8.3 曲线回归分析 8.3.1 基本概念及统计原理
可以看出两变量具有较强 的线性关系，可以用一元 线性回归来拟合两变量。
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第4步 一元线性回归分析设置： 选择菜单“分析→回归→线性”，打开“线性回归”对话框 ，将变量“财政收入”作为因变量 ，“国内生产总值”作为 自变量。 打开“统计量”对话框，选上“估计”和“模型拟合度”。 单击“绘制（T）…”按钮，打开“线性回归：图”对话框 ，选用DEPENDENT作为y轴，*ZPRED为x轴作图。并且选择“直 方图”和“正态概率图” 作相应的保存选项设置，如预测值、残差和距离等。
保费收入y随国内生产总值 x的提高而逐渐提高，而且 当国内生产总值达到一定 水平后，保费收入的增幅 更加明显。因此用线性回 归模型表示x，y的关系是 不恰当的。于是应找拟合 效果好的模型。
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