不定积分求解方法及技巧
不定积分求解方法及技巧
不定积分求解方法及技巧不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解函数的原函数的过程。
在不定积分中，我们将对函数进行积分的过程称为求解原函数，通常用∫f(x)dx 表示。
下面我将详细介绍不定积分的求解方法和技巧。
1. 基本积分法：基本积分法也称为反函数法，是最基础的求解不定积分的方法。
利用基本积分法，我们可以根据一些简单的函数的不定积分结果，求解出更复杂的函数的不定积分。
例如，对于一个多项式函数 f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + k ，我们可以分别求解每一项的不定积分。
2.积分换元法：积分换元法也称为变量代换法，是一种常用的求解不定积分的方法。
当被积函数中存在一个复杂的函数表达式时，我们可以通过一个新的变量代换，将复杂的函数转化为简单的函数，从而更容易求解不定积分。
通常，我们选用新变量u或t，使得被积函数的形式更加简化。
3. 分部积分法：分部积分法是一种特殊的积分求解方法，它可以将一个函数的不定积分通过分部积分公式转化为另一个函数的不定积分。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx ，其中u(x) 和 v(x) 是两个可导函数。
4.偏微分方程解法：在一些复杂函数的不定积分求解中，我们可以通过偏微分方程求解方法，将不定积分转化为偏微分方程的求解问题。
利用偏微分方程解法，我们可以将不定积分问题转化为求解偏微分方程的初始条件问题或边界条件问题。
5.换元换限法：换元换限法是一种将不定积分问题转化为定积分问题的方法。
在不定积分中，我们通常使用常数C来表示不定积分结果的任意常数项。
而在定积分中，我们可以通过换元换限的方法将不定积分转化为定积分，从而求出准确的积分结果。
1.善于运用基本积分公式和常用函数的不定积分结果，掌握它们的微分公式和积分公式，可以更快地求解不定积分。
2.熟练掌握积分换元法和分部积分法，灵活地根据被积函数的形式选择合适的方法，将复杂的函数转化为简单的函数，从而更容易求解不定积分。
不定积分的求解方法和技巧
不定积分的求解方法和技巧不定积分是微积分中的一种重要概念，可以用来求解函数的原函数。
在求解不定积分时，有一些方法和技巧可以帮助我们简化计算和找到更好的求解路径。
接下来，我将介绍一些常见的不定积分求解方法和技巧。
一、基本不定积分公式：不定积分有许多基本公式，它们是我们在求解过程中常常会用到的工具。
下面是一些常见的不定积分公式：1. 恒等式：$\\int dx = x + C$2. 幂函数：$ \\int x^n dx = \\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C, (n \eq -1)$3. 对数函数：$\\int \\frac{1}{x} dx = \\ln|x| + C$4. 三角函数：$\\int \\sin(x) dx = -\\cos(x) + C, \\int \\cos(x) dx = \\sin(x) + C$5. 指数函数：$\\int e^x dx = e^x + C$这些基本不定积分公式可以大大简化我们计算的过程，在求解时可以灵活运用。
二、换元法：换元法是一种常用的求解不定积分的方法。
其基本思想是，通过适当选择变量替换，使积分表达式变得简单。
设有函数$y=f(u)$, 且$u=\\varphi (x)$ 是一个可导的单调函数，且$\\varphi'(x) ≠0$。
则可以计算积分$\\int f(\\varphi(x))\\varphi'(x) dx$。
换元法的具体步骤如下：1. 选择一个合适的变量替换 $u = \\varphi(x)$。
2. 计算变量替换的导数 $\\varphi'(x)$。
3. 将原函数中的$x$ 用$u$ 表示，并将$\\varphi'(x)$ 插入到积分中。
4. 做出了新的积分表达式，对 $u$ 进行不定积分。
5. 将 $u$ 再用 $x$ 替换，得到所求积分的结果。
换元法在求解一些特定形式的不定积分时特别有用，例如复合函数的形式。
不定积分的求解简单技巧
不定积分的求解简单技巧不定积分是微积分中的基础概念，用于求解函数的原函数。
虽然在某些情况下可以通过直接积分进行求解，但在实际应用中，我们经常遇到一些复杂的函数，直接求解有时并不容易。
因此，我们可以运用一些简单的技巧来求解不定积分。
以下是一些常用的技巧：1. 基本积分公式：这是最基本的积分公式，由求导的逆操作得到。
例如，对于函数f(x)，如果F(x)是它的原函数，那么有：∫ f(x) dx = F(x) + C其中，C为常数。
2. 分部积分法：分部积分法是求解不定积分中常用的方法之一，它利用了积分运算的交换性。
对于两个函数u(x)和v(x)，根据分部积分法，有：∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫ v(x) u'(x) dx通过不断应用分部积分法，可以将原积分转化为更容易求解的形式。
3. 代换法：代换法是另一种常用的不定积分求解技巧。
通过选择合适的变量代换来简化原函数的形式。
通常，我们会选择一个函数的导数作为变量代换，从而将问题转化为更简单的形式。
代换法的一般步骤是：(1) 选择变量代换u=g(x)，根据链式法则求出du/dx；(2) 将变量代换和 du/dx 带入原不定积分式，得到以u 为自变量的不定积分；(3) 对新的不定积分进行求解；(4) 将 u 替换回变量 x。
4. 三角函数的换元：对于含有三角函数的不定积分，常常可以通过选择适当的角度代换来简化计算。
例如，对于∫sin^2(x) dx，我们可以通过使用三角恒等式sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2 来化简积分式，从而得到更容易求解的形式。
5. 分式的分解：对于含有分式的不定积分，我们可以尝试将其分解为更简单的部分。
例如，对于∫(x^2 + 2x + 1)/(x + 1)(x + 2) dx，我们可以将分子进行展开，然后将分母进行因式分解，最后将不定积分分解成两个较简单的部分。
6. 奇偶性的利用：对于一些具有特殊奇偶性质的函数，我们可以利用它们的对称性来简化不定积分的求解。
不定积分求解方法及技巧小汇总
不定积分求解方法及技巧小汇总不定积分是求解函数的原函数的过程，在数学领域中具有广泛的应用。
下面是一些不定积分的求解方法和技巧的小汇总。
1.基本积分法则：基本积分法则是不定积分中最基本的方法。
它是指通过学习和掌握常见函数的不定积分，从而求解更复杂的函数的不定积分。
常见的函数和它们的积分表达式如下：- 幂函数：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C- 正弦函数：∫sin(x) dx = -cos(x) + C- 余弦函数：∫cos(x) dx = sin(x) + C- 指数函数：∫e^x dx = e^x + C2.分部积分法：分部积分法是用于求解两个函数的乘积的不定积分。
它利用了积分的乘法法则，将乘积的积分转化为两个函数的不定积分的组合形式。
分部积分法的公式如下：∫u dv = uv - ∫v du具体步骤是选择一个函数作为u，选择另一个函数的导函数作为dv，利用公式求出v和du，然后代入公式进行计算。
3.替换法（换元积分法）：替换法是通过进行变量替换来简化求解不定积分的过程。
对于一些复杂的函数形式，通过合理的变量替换，可以将其转化为较为简单的形式，从而便于求解。
常见的变量替换有以下几种：- 代数替换：将一个复杂的代数表达式进行替换，使其转化为一个简单的形式。
例如，将∫(x^2 + 1)^2 dx 替换为∫u^2 du，其中u = x^2 + 1- 三角替换：将一个复杂的三角函数表达式进行替换，使其转化为一个简单的形式。
例如，将∫(sinx + cosx)^2 dx 替换为∫(1 + sin(2x)) dx，其中2x = u。
- 指数替换：将一个复杂的指数函数表达式进行替换，使其转化为一个简单的形式。
例如，将∫e^(x^2) dx 替换为∫(1/2) e^u du，其中u = x^24.三角函数的积分：对于三角函数的积分，有一些常用的积分公式，可以帮助简化求解的过程。
常见的三角函数积分公式如下：- ∫sin(ax) dx = - 1/a cos(ax) + C- ∫cos(ax) dx = 1/a sin(ax) + C- ∫tan(ax) dx = (-1/a) ln，cos(ax)， + C- ∫cot(ax) dx = (1/a) ln，sin(ax)， + C5.偏微分法：当被积函数可以表示为两个变量的偏导数之和时，可以使用偏微分法进行求解。
不定积分的求解技巧和方法
不定积分的求解技巧和方法不定积分是微积分学中的重要概念，可以用于求解函数的原函数。
在求解不定积分时，我们可以使用一些常见的技巧和方法来简化计算过程。
下面将介绍一些常见的不定积分求解技巧和方法。
1. 基本积分法：基本积分法是最常用的不定积分求解技巧。
它基于导函数与原函数的关系，即求一个函数的导函数时，再反向求解出原函数。
常用的基本积分公式包括幂函数积分、指数函数积分、三角函数积分等。
2. 分部积分法：分部积分法用于解决乘积函数的积分。
根据分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，我们可以选取两个函数u和v来进行积分求解。
常见的选择包括选择一个函数的导函数为u'(x)，另一个函数为v(x)，或者选择一个函数的原函数为u(x)，另一个函数的导函数为v'(x)。
通过多次应用分部积分法，可以将原函数的积分分解为更简单的形式。
3. 代换法：代换法是一种常见的不定积分求解技巧。
它基于替换变量的原理，通过选择适当的变量代换，将原函数的积分转化为更简单的形式。
常见的代换法有换元法、三角代换法等。
在使用代换法时，需要选择合适的变量替换，并计算出变量的微分，再将原函数用新的变量表示。
4. 递推法：递推法是一种特殊的不定积分求解方法。
递推法的基本思想是将一个复杂的积分问题，通过递推求解出一个简单的积分问题，并根据递推关系得到原函数的积分表达式。
递推法通常适用于具有特定递推关系的函数，例如级数的递推关系。
5. 分数分解法：分数分解法是一种用于解决有理函数积分的方法。
有理函数是由多项式函数和分式函数构成的函数。
通过将有理函数进行分数分解，可以将积分转化为多个简单的有理函数的积分。
分数分解法常用于解决分式函数的积分，例如部分分式分解。
6. 特殊函数积分法：特殊函数积分法是一种根据特殊函数的性质和定义，对特殊函数的积分进行求解的方法。
特殊函数包括超几何函数、伽玛函数、贝塞尔函数等。
不定积分的求解方法及拓展
不定积分的求解方法及拓展不定积分，也称为积分的原函数，是微积分中的重要概念。
它是求导运算的逆运算，用来求解函数的原函数。
1.直接求解法如果被积函数是已知的常见函数，可以直接利用基本积分公式求解。
例如，对于幂函数、指数函数、三角函数等常见函数，我们可以利用其基本积分公式进行求解。
2.分部积分法对于形如uv形式的函数积分，可以利用分部积分法进行求解。
这种方法可以将一个复杂的积分问题，转化为一个简单的积分问题来求解。
其公式为：∫(udv) = uv - ∫(vdu)其中，u和v是已知函数，du和dv是它们的微分。
3.代换法当被积函数是复杂的复合函数时，可以利用代换法进行求解。
代换法的基本思想是通过变量代换，将原函数转化为一个更简单的形式进行求解。
常用的代换方法有三角代换、线性代换、指数代换等。
4.收敛恒等式法对于一些特殊的函数积分，可以利用收敛恒等式进行求解。
例如，对于有理函数的不定积分，可以通过分解成部分分式的形式，然后利用收敛恒等式来求解。
5.利用性质和技巧法不定积分求解中还有一些常用的性质和技巧可以使用。
例如，对称性、周期性、奇偶性等可以用来简化积分，或者利用一些积分的性质，如积分的可加性和线性性质等。
1.定积分：不定积分的概念是求函数的原函数，而定积分则是求函数在一些区间上的面积。
定积分可以看作是不定积分的一种应用，两者有一定的关联。
2.微分方程：微分方程是研究函数与其导数之间的关系的方程。
不定积分可以用来求解一些普通微分方程的解，其中包括初值问题和边值问题。
3.应用领域：不定积分在物理学、工程学、经济学等应用领域中有广泛的应用。
例如，利用不定积分可以计算曲线的弧长、质心、惯性矩等物理量。
4.数值积分：不定积分求解的过程中，有时会遇到无法用常见函数表示的积分，或者求解结果过于复杂的情况。
此时可以利用数值积分的方法求解，将积分转化为数值计算，通过数值方法求得近似解。
总之，不定积分的求解方法和拓展内容非常丰富，不仅可以应用于求解常见函数的原函数，还可以用于求解微分方程和应用于各种学科领域。
不定积分计算方法总结
不定积分计算方法总结一、背景引入微积分作为数学的一个重要分支，是研究函数的变化规律的工具之一。
在微积分中，不定积分是其中的一大核心概念。
不定积分可以被看作是求函数原函数的逆运算，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。
本文将总结一些常见的不定积分计算方法，帮助读者更好地掌握这一技巧。
二、常见的不定积分计算方法1. 基本积分公式基本积分公式是求解不定积分时最基础、最重要的方法之一。
常见的基本积分公式有：- ∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n为常数，C为常数。
例如，∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C。
- ∫e^x dx = e^x + C。
- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
通过熟练掌握这些基本积分公式，可以快速计算出许多不定积分。
2. 代换法代换法是解决一些复杂不定积分的常用方法之一。
它通过引入一个新的变量，将原先的变量换成新变量，从而将原本较难处理的积分转化为较容易处理的形式。
例如，对于∫(x^2 + 1)^(1/2) dx，我们可以令u = x^2 + 1，将积分转化为∫u^(1/2) du，然后再使用基本积分公式来计算。
3. 分部积分法分部积分法是求解某些复杂函数积分时常用的方法。
它基于对积分符号下的函数进行分解，并适当选择哪一部分作为u，哪一部分作为dv，通过不断应用分部积分公式，将原先的积分转化为更简单的形式。
分部积分公式的表达式为∫u dv = uv - ∫v du。
例如，对于∫x sin(x) dx，我们可以将u = x，dv = sin(x) dx，然后使用分部积分公式来计算。
4. 三角代换法三角代换法是处理包含三角函数的积分时的一种常用方法。
它通过合理选择三角函数的变量替换原先的变量，将三角函数的积分转化为更易求解的形式。
例如，对于∫sqrt(a^2 - x^2) dx，我们可以令x = asin(t)，从而将积分转化为∫sqrt(a^2 - a^2 sin^2(t)) a cos(t) dt，然后再进行计算。
不定积分的几种形式及求解技巧
不定积分的几种形式及求解技巧不定积分是微积分中的重要概念，通常用来求解函数的原函数。
在求解不定积分时，我们有几种不同的形式和求解技巧。
1. 一般形式不定积分：一般形式的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)是要求积分的函数。
求解一般形式的不定积分的方法主要有以下几种：- 直接积分法：根据不同函数的性质，应用相关的积分求法，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
例如，对于多项式函数f(x)=x^n，不定积分为∫x^n dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C是常数。
- 分部积分法：分部积分法可以将一个复杂的函数积分转化为两个简单函数的乘积积分。
公式表达为：∫u dv = uv - ∫v du。
通过选取适当的u和dv，进行分部积分求解不定积分。
例如，对于函数f(x)=x*sin(x)，可以令u=x，dv=sin(x)dx，然后进行分部积分求解。
- 代换法：代换法是通过选择一个新的变量来简化不定积分的求解过程。
通过选择适当的代换变量可以将复杂的函数转化为一个简单的函数。
例如，对于函数f(x)=e^x，我们可以令u=e^x，然后进行代换求解。
- 部分分式分解法：当不定积分的被积函数可以使用部分分式分解时，就可以将其转化为一组简单的分式的和的形式，然后依次求解。
例如，对于函数f(x)=1/(x^2+1)，可以将其分解为1/((x+1)(x-1))的形式，然后再分别进行不定积分求解。
2. 特殊形式不定积分：特殊形式的不定积分是指一些常见的函数在积分过程中的特殊形式。
这些特殊形式的不定积分可以通过特定的方法进行求解。
常见的特殊形式不定积分有以下几种：- 三角函数不定积分：对于一些常见的三角函数，例如sin(x)、cos(x)、tan(x)等，其不定积分可以通过特定的恒等变换和公式进行求解。
例如，∫sin(x)dx=-cos(x)+C，∫cos(x)dx=sin(x)+C，∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C。
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不定积分求解方法及技巧小汇总摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。
一．不定积分的概念与性质定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。
定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I）简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则（1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。
定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为⎰f(x)d(x),即⎰f(x)d(x)=F(x)+C其中记号⎰称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。
性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则⎰[f(x)±g(x)]dx=⎰f(x)dx±⎰g(x)dx.性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx.二．换元积分法的定理如果不定积分⎰g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ϕ(x)] ϕ’(x).做变量代换u=ϕ(x),并注意到ϕ‘（x）dx=dϕ(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du.如果⎰f(u)du可以积出，则不定积分⎰g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。
第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。
定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C.第一类换元法是通过变量代换u=ϕ(x),将积分⎰f[ϕ(x) ϕ’(x)dx化为⎰f(u)du.但有些积分需要用到形如x=ϕ(t)的变量代换，将积分⎰f(x)dx化为⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t).在求出后一积分之后，再以x=ϕ(t)的反函数t=ϕ1-(X)带回去，这就是第二类换元法。
即.⎰f(x)dx={⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t)dt})(1X=ϕt-为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=ϕ1-（x）存在的条件，给出下面的定理。
定理2 设x=ϕ(t)是单调，可导的函数，并且ϕ‘（t）≠0.又设f[ϕ(t)] ϕ’(t)具有原函数F（t）,则⎰f(x)dx=⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t)dt=F(t)+C=F[ϕ1-(x)]+C其中ϕ1-（x ）是x=ϕ（t ）的反函数。
三．常用积分公式1 基本积分公式（1）⎰kdx=kx+C(k 是常数)； （2）⎰x udx=1u x 1u +++C(u≠-1);（3）⎰x dx =ln x +C ； （4）⎰2x1dx +=arctanx+C; (5)⎰2x1dx -=arcsinx+C; (6)⎰cosxdx=sinx+C;(7) ⎰sinxdx=-cosx+C ; (8) ⎰x2cos dx=⎰sec 2xdx=tanx+C;(9)⎰xdx2sin =⎰csc2xdx=-cotx+C; (10)⎰secxtanxdx=secx+C;(11) ⎰cscxcotxdx=-cscx+C; (12) ⎰e x dx= e x +C; (13) ⎰a x dx= e x +C; (14) ⎰shxdx=chx+C; (15) ⎰chxdx=shx+C. (16) ⎰tanxdx=-lncosx +C;(17) ⎰cotxdx=ln sinx +C; (18) ⎰secxdx=lntanx secx ++C;(19)cscxdx=ln x cot cscx -+C; (20)⎰22xa dx+=ax x ln a 1+-a +C;(21) ⎰22x a dx -=arcsinax+C; (22) ⎰22x a dx +=ln(x+22a x ++C; (23) ⎰22a x dx -=ln 22a x x -++C.2.凑微分基本类型四．解不定积分的基本方法四．求不定积分的方法及技巧小汇总~1.利用基本公式。
（这就不多说了~）2.第一类换元法。
（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。
则C x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ其中)(x ϕ可微。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。
当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。
如例1、例2：例1：⎰+-+dx x x xx )1(ln )1ln(【解】)1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2)ln )1(ln(21)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰+dx x x x 2)ln (ln 1【解】x x x ln 1)'ln (+=C x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1)ln (ln )1(ln 1223.第二类换元法：设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。
常见的变换形式需要熟记会用。
主要有以下几种：achtx t a x t a x a x asht x t a x t a x a x ta x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 也奏效。
，有时倒代换当被积函数含有：：tx c bx ax x t dcx bax d cx b ax tb ax b ax m n nnn 1)6()5()4(2=++⋅=++++=++4.分部积分法.公式：⎰⎰-=νμμννμd d分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。
具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型举两个例子吧~！ 例3：dx xx x ⎰-⋅231arccos【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则=-=-=-⎰⎰⎰tdt t dt t t ttdx x x x 3323cos )sin (sin cos 1arccosC x x x x x C t t t t t t d t t t t dt t t t t t t t td t d t t +-+---=+---=-+-=---=-=-⎰⎰⎰⎰arccos 1)2(313291cos 91cos 32sin sin 31cos )1sin 31(sin sin 31)sin sin 31(sin sin 31)sin sin 31(sin )1(sin 22333233332例4：⎰xdx 2arcsin 【解】⎰⎰--=dxx x x x x xdx 22211arcsin 2sin arcsinCx x x x x dx xx x x x x x xd x x +--+=----+=-+⎰⎰2arcsin 12arcsin 121arcsin 12arcsin 1arcsin 2arcsin 22222上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。
有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。
在⎰⎰-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律：选取的函数不能改变。
，会出现循环，注意，，，νμββνμνμνμ)3(sin ,cos )3()(arcsin ,arctan ,ln )2(cos ,sin ,)()1(xx e x P x x x ax ax e x P axm ax m ======将以上规律化成一个图就是：但是，当x x arcsin ln ==νμ，时，是无法求解的。
对于（3）情况，有两个通用公式：Cbx b bx a b a e dx bx e I Cbx b bx a b a e dx bx e I ax axaxax+++=⋅=+-+=⋅=⎰⎰)sin cos (cos )cos sin (sin 2222215.几种特殊类型函数的积分。
（1）有理函数的积分有理函数)()(x Q x P 先化为多项式和真分式)()(*x Q x P 之和，再把)()(*x Q x P 分解为若干个部分分式之和。
（对各部分分式的处理可能会比较复杂。
出现⎰+=nn x a dx I )(22时，记得用递推公式：121222)1(232))(1(2----++-=n n n I n a n a x n a x I ）例5：dx x x x x x ⎰+--+223246)1(24【解】=++-++=+--+223222346223246)1(24)1()1(24x x x x x x x x x x x x 22322)1(241++-+x x x x x2222422242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(211xdx x x x xdx x x x dx x x x C x dx x x =++=++=++++=+⎰⎰⎰⎰μC x x C d d d ++-=+-+=+-=+-+=++⎰⎰⎰)1(1111))1(11()1()1()1(122222222222μμμμμμμμμμμμμμ故不定积分求得。
（2）三角函数有理式的积分万能公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=+=2tan 12tan 1cos 2tan 12tan 2sin 222x xx x x x 化为有理函数可用变换2tan )cos ,(sin )cos ,(sin x t dx x x Q x x P =⎰的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。
对于只含有tanx （或cotx ）的分式，必化成xxx x sin cos cos sin 或。