实验五 线性代数方程组的数值解matlab代码
matlab求解方程组代码
matlab求解方程组代码
要在MATLAB中求解方程组，你可以使用`linsolve`函数或者反斯密特正交分解（QR分解）来求解线性方程组。
假设你有一个形如Ax = b的线性方程组，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
首先，使用`linsolve`函数可以直接求解线性方程组。
例如，如果你有一个3x3的系数矩阵A和一个3x1的常数向量b，你可以这样做：
matlab.
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10];
b = [3; 6; 10];
x = linsolve(A, b);
另一种方法是使用QR分解来求解方程组。
你可以使用MATLAB 中的`qr`函数来进行QR分解，然后使用得到的分解来求解方程组。
这是一个示例代码：
matlab.
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10];
b = [3; 6; 10];
[Q, R] = qr(A);
y = Q'b;
x = R\y;
以上是两种常见的方法，你可以根据具体情况选择合适的方法来求解你的线性方程组。
希望这些信息能帮助到你。
数值分析中求解线性方程组的MATLAB程序(6种)
数值分析中求解线性方程组的MATLAB程序（6种）1.回溯法（系数矩阵为上三角）function X=uptrbk(A,B)%求解方程组，首先化为上三角，再调用函数求解[N,N]=size(A);X=zeros(N,1);C=zeros(1,N+1);Aug=[A B];for p=1:N-1[Y,j]=max(abs(Aug(p:N,p)));C=Aug(p,:);Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:);Aug(j+p-1,:)=C;if Aug(p,p)==0'A was singular.No unique solution.'break;endfor k=p+1:Nm=Aug(k,p)/Aug(p,p);Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1);endendD=Aug;X=backsub(Aug(1:N,1:N),Aug(1:N,N+1));2.系数矩阵为下三角function x=matrix_down(A,b)%求解系数矩阵是下三角的方程组n=length(b);x=zeros(n,1);x(1)=b(1)/A(1,1);for k=2:1:nx(k)=(b(k)-A(k,1:k-1)*x(1:k-1))/A(k,k);end3.普通系数矩阵（先化为上三角，在用回溯法）function X=uptrbk(A,B)%求解方程组，首先化为上三角，再调用函数求解[N,N]=size(A);X=zeros(N,1);C=zeros(1,N+1);Aug=[A B];for p=1:N-1[Y,j]=max(abs(Aug(p:N,p)));C=Aug(p,:);Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:);Aug(j+p-1,:)=C;if Aug(p,p)==0'A was singular.No unique solution.'break;endfor k=p+1:Nm=Aug(k,p)/Aug(p,p);Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1);endendD=Aug;X=backsub(Aug(1:N,1:N),Aug(1:N,N+1));4.三角分解法function [X,L,U]=LU_matrix(A,B)%A是非奇异矩阵%AX=B化为LUX=B，L为下三角，U为上三角%程序中并没有真正解出L和U，全部存放在A中[N,N]=size(A);X=zeros(N,1);Y=zeros(N,1);C=zeros(1,N);R=1:N;for p=1:N-1[max1,j]=max(abs(A(p:N,p)));C=A(p,:);A(p,:)=A(j+p-1,:);A(j+p-1,:)=C;d=R(p);R(p)=R(j+p-1);R(j+p-1)=d;if A(p,p)==0'A is singular.No unique solution'break;endfor k=p+1:Nmult=A(k,p)/A(p,p);A(k,p)=mult;A(k,p+1:N)=A(k,p+1:N)-mult*A(p,p+1:N);endendY(1)=B(R(1));for k=2:NY(k)=B(R(k))-A(k,1:k-1)*Y(1:k-1);endX(N)=Y(N)/A(N,N);for k=N-1:-1:1X(k)=(Y(k)-A(k,k+1:N)*X(k+1:N))/A(k,k);endL=tril(A,-1)+eye(N)U=triu(A)5.雅克比迭代法function X=jacobi(A,B,P,delta,max1);%雅克比迭代求解方程组N=length(B);for k=1:max1for j=1:NX(j)=(B(j)-A(j,[1:j-1,j+1:N])*P([1:j-1,j+1:N]))/A(j,j);enderr=abs(norm(X'-P));relerr=err/(norm(X)+eps);P=X';if (err<delta)|(relerr<delta)breakendendX=X';k6.盖斯迭代法function X=gseid(A,B,P,delta,max1);%盖斯算法，求解赋初值的微分方程N=length(B);for k=1:max1for j=1:Nif j==1X(1)=(B(1)-A(1,2:N)*P(2:N))/A(1,1);elseif j==NX(N)=(B(N)-A(N,1:N-1)*(X(1:N-1))')/A(N,N);elseX(j)=(B(j)-A(j,1:j-1)*X(1:j-1)-A(j,j+1:N)*P(j+1:N))/A(j,j);endenderr=abs(norm(X'-P));relerr=err/(norm(X)+eps);P=X';if (err<delta)|(relerr<delta)break;endendX=X';k。
实验5_线性代数方程组的数值解法
实验5 线性代数方程组的数值解法化工系 毕啸天 2010011811【实验目的】1. 学会用MATLAB 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；2. 通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。
【实验内容】题目3已知方程组Ax=b ，其中A ，定义为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------=32/14/12/132/14/14/12/132/14/14/12/132/14/12/13A试通过迭代法求解此方程组，认识迭代法收敛的含义以及迭代初值和方程组系数矩阵性质对收敛速度的影响。
实验要求：（1）选取不同的初始向量x (0)和不同的方程组右端项向量b ，给定迭代误差要求，用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论；（2）取定右端向量b 和初始向量x (0)，将A 的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角线元素不变，每次用雅可比迭代法计算，要求迭代误差满足 ，比较收敛速度，分析现象并得出你的结论。
3.1 模型分析选取初始向量x(0) =(1,1,…,1)T ，b=(1,1,…,1)T ，迭代要求为误差满足 ，编写雅各比、高斯-赛德尔迭代法的函数，迭代求解。
3.2 程序代码function x = Jacobi( x0,A,b,m ) D=diag(diag(A)); U=-triu(A,1); L=-tril(A,-1); B1=D\(L+U); f1=D\b; x(:,1)=x0;x(:,2)=B1*x(:,1)+f1; k=1;while norm((x(:,k+1)-x(:,k)),inf)>m x(:,k+2)=B1*x(:,k+1)+f1; k=k+1; endendfunction x = Gauss( x0,A,b,m )D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);B2=(D-L)\U;f2=(D-L)\b;x(:,1)=x0;x(:,2)=B2*x(:,1)+f2;k=1;while norm((x(:,k+1)-x(:,k)),inf)>mx(:,k+2)=B2*x(:,k+1)+f2;k=k+1;endendA1=3.*eye(20,20);A2=sparse(1:19,2:20,-1/2,20,20);A3=sparse(1:18,3:20,-1/4,20,20);AA=A1+A2+A3+A2'+A3';A=full(AA);b=ones(20,1); %输入自选右端项向量b x0=ones(20,1); %输入自选初始向量x0 m=1e-5;x1=Jacob(x0,A,b,m);x2=Gauss(x0,A,b,m);结果输出数据：3.3.1将x0各分量初值置为0【分析】从数据中可以看出，当迭代的初值变化了，达到相同精度所需要的迭代次数也变化了。
线性方程组的数值算法C语言实现(附代码)
线性方程组AX=B 的数值计算方法实验一、 实验描述：随着科学技术的发展，线性代数作为高等数学的一个重要组成部分，在科学实践中得到广泛的应用。
本实验的通过C 语言的算法设计以及编程，来实现高斯消元法、三角分解法和解线性方程组的迭代法（雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法），对指定方程组进行求解。
二、 实验原理：1、高斯消去法：运用高斯消去法解方程组，通常会用到初等变换，以此来得到与原系数矩阵等价的系数矩阵，达到消元的目的。
初等变换有三种：(a)、(交换变换)对调方程组两行；(b)、用非零常数乘以方程组的某一行；(c)、将方程组的某一行乘以一个非零常数，再加到另一行。
通常利用(c)，即用一个方程乘以一个常数，再减去另一个方程来置换另一个方程。
在方程组的增广矩阵中用类似的变换，可以化简系数矩阵，求出其中一个解，然后利用回代法，就可以解出所有的解。
2、选主元：若在解方程组过程中，系数矩阵上的对角元素为零的话，会导致解出的结果不正确。
所以在解方程组过程中要避免此种情况的出现，这就需要选择行的判定条件。
经过行变换，使矩阵对角元素均不为零。
这个过程称为选主元。
选主元分平凡选主元和偏序选主元两种。
平凡选主元：如果()0p pp a ≠，不交换行；如果()0p pp a =，寻找第p 行下满足()0p pp a ≠的第一行，设行数为k ，然后交换第k 行和第p 行。
这样新主元就是非零主元。
偏序选主元：为了减小误差的传播，偏序选主元策略首先检查位于主对角线或主对角线下方第p 列的所有元素，确定行k ，它的元素绝对值最大。
然后如果k p >，则交换第k 行和第p 行。
通常用偏序选主元，可以减小计算误差。
3、三角分解法：由于求解上三角或下三角线性方程组很容易所以在解线性方程组时，可将系数矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵。
其中下三角矩阵的主对角线为1，上三角矩阵的对角线元素非零。
有如下定理：如果非奇异矩阵A 可表示为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积： A LU = (1) 则A 存在一个三角分解。
实验五(线性方程组的数值解法和非线性方程求解)
1大学数学实验 实验报告 | 2014/4/5一、 实验目的1、学习用Matlab 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；2、通过实例学习用线性代数方程组解决简化问题。
二、 实验内容项目一：种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变。
种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。
种群年龄记作k=1,2,…,n ,当年年龄k 的种群数量记作x k ，繁殖率记作b k （每个雌性个体1年的繁殖的数量），自然存活率记作s k （s k =1−d k ，d k 为1年的死亡率），收获量记作ℎk ，则来年年龄k 的种群数量x ̌k 应该为x ̌k =∑b k n k=1x k , x ̌k+1=s k x k −ℎk , (k=1,2,…,n -1)。
要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要求使得x ̌k =x k , (k=1,2,…,n -1).(1) 如果b k , s k 已知，给定收获量ℎk ，建立求各个年龄的稳定种群数量x k 的模型（用矩阵、向量表示）.(2) 设n =5,b 1=b 2=b 5=0,b 3=5,b 4=3,s 1=s 4=0.4,s 2=s 3=0.6,如要求ℎ1~ℎ5为500,400,200,100,100，求x 1~x 5.(3) 要使ℎ1~ℎ5均为500，如何达到？问题分析：该问题属于简单的种群数量增长模型，在一定的条件（存活率，繁殖率等）下为使各年龄阶段的种群数量保持不变，各个年龄段的种群数量将会满足一定的要求，只要找到种群数量与各个参量之间的关系，建立起种群数量恒定的方程就可以求解出各年龄阶段的种群数量。
模型建立：根据题目中的信息，令x ̌k =x k ，得到方程组如下：{x ̌1=∑b k nk=1x k =x 1x ̌k+1=s k x k −ℎk =x k+1整理得到：{−x 1∑b k nk=1x k =0−x k+1+s k x k =ℎk2 大学数学实验 实验报告 | 2014/4/52写成系数矩阵的形式如下：A =[b 1−1b 2b 3s 1−100s 2−1…b n−1b n0000⋮⋱⋮000000000⋯00−10s n−1−1]令h =[0, ℎ1,ℎ2,ℎ3,…,ℎn−2,ℎn−1]Tx =[x n , x n−1,…,x 1]T则方程组化为矩阵形式：Ax =h ，即为所求模型。
数学实验——线性代数方程组的数值解
数学实验——线性代数⽅程组的数值解实验5 线性代数⽅程组的数值解法分1 黄浩 43⼀、实验⽬的1.学会⽤MATLAB软件数值求解线性代数⽅程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；2.通过实例学习⽤线性代数⽅程组解决简化的实际问题。
⼆、For personal use only in study and research; not forcommercial use三、四、实验内容1.《数学实验》第⼆版（问题1）问题叙述：通过求解线性⽅程组，理解条件数的意义和⽅程组性态对解的影响，其中是n阶范德蒙矩阵，即是n阶希尔伯特矩阵，b1，b2分别是的⾏和。
（1）编程构造（可直接⽤命令产⽣）和b1，b2；你能预先知道⽅程组和的解吗？令n=5，⽤左除命令求解（⽤预先知道的解可验证程序）。
（2）令n=5,7,9，…，计算和的条件数。
为观察他们是否病态，做以下试验：b1，b2不变，和的元素，分别加扰动后求解；和不变，b1，b2的分量b1(n),b2(n)分别加扰动后求解。
分析A与b的微⼩扰动对解的影响。
取10^-10,10^-8,10^-6。
（3）经扰动得到的解记做，计算误差，与⽤条件数估计的误差相⽐较。
模型转换及实验过程：（1）⼩题.由b1,b2为,的⾏和，可知⽅程组和的精确解均为n ⾏全1的列向量。
在n=5的情况下，⽤matlab编程（程序见四.1），构造,和b1，b2，使⽤⾼斯消去法得到的解x1,x2及其相对误差e1,e2（使⽤excel计算⽽得）为：由上表可见，当n=5时，所得的解都接近真值，误差在10^-12的量级左右。
（2）⼩题分别取n=5,7,9,11,13,15，计算和的条件数c1和c2，（程序见四.2），结果如下：由上表可见，⼆者的条件数都⽐较⼤，可能是病态的。
为证实和是否为病态，先保持b不变，对做扰动，得到该情况下的⾼斯消元解，（程序见四.3），结果如下：(为使结果清晰简洁，在此仅列出n=5,9,13的情况，n=7,11,15略去)=10^-10时：=10^-8时：=10^-6时：由上表可见：a)对于希尔伯特阵，随着阶数的增加，微⼩扰动对解带来的影响越来越⼤，到了n=9时，已经有了6倍误差的解，到了n=13时，甚⾄出现了22倍误差的解元素；⽽随着的增加，解的偏差似乎也有增加的趋势，但仅凭上述表格⽆法具体判断（在下⼀⼩题中具体叙述）。
用MATLAB做线性代数实验
2
0
, 2
5 3
, 3
1
3
, 4
1
4
, 5
1
2
。
3
6
0Hale Waihona Puke 73【程序如下】：
% (1)
A=[1 2 1 3;4 -1 5 6;1 -3 -4 7;1 2 1 1]' r=rank(A) [R,IP]=rref(A) % (2) A=[1 2 0 2 1;-2 -5 1 -1 1;0 -3 3 4 2;P3 6 0 -7 3] r=rank(A) [R,IP]=rref(A)
例如：
已知
A
1 3
2 4
,
B
1 1
2 0
，解矩阵方程
(1)
AX
B , (2) XA B 。
MATLAB 程序如下：
A=[1 2;3 4];
B=[1 2;-1 1];
X1=inv(A)*B % AX=B or
X1=A\B
X2=B*inv(A) % XA=B
X2=A/B
将 p(x) 分解为最简分式之和 q( x)
[p,q]=residue(a,b,r) 将简单分式之和合并为有理分式
例如，将有理分式
f
(x)
x2 x3 2x2 3x2
分解为最简分式之和的程序如下：
p=[1 2];
q=[1 2 3 2];
[a,b,r]=residue(p,q)
输出：a =
-0.2500 - 0.4725i
p=[1 -6 11 -6];
MATLAB解代数方程
例 用Jacobi迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0， 迭代精度为10-6。 在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下： A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10]; b=[9,7,6]'; x= [x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6) 0.9958
x= -66.5556 25.6667 -18.7778 26.5556
(2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一 个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。 MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格 式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使 之满足X=QR。 [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵 R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或 x=E(R\(Q\b))。
-1.7556 n= n1 =
4
1011
非线性方程数值求解
单变量非线性方程求解 在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量 非线性方程的根。该函数的调用格式为： z=fzero('fname',x0,tol,trace) 其中fname是待求根的函数文件名，x0为搜索的起点。一个 函数可能有多个根，但fzero函数只给出离x0最近的那个 根。tol控制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace• 指 定迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示， 缺省时取trace=0。
例 用LU分解求解线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) 采用LU分解的第2种格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b)
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当n很大时Hilbert 矩阵呈病态
例：观察Hilbert矩阵的病态性 观察 矩阵的病态性
例. Hx=b, 其中 H=hilb(5), b=[1,…1]T
H=hilb(5), h=rats(H), b=ones(5,1); x=H\b; b(5)=1.1; x1=H\b; [x,x1], n1=cond(H), n2=rcond(H), x x1 1.0e+003 * 0.0050 0.0680 -0.1200 -1.3800 0.6300 6.3000 -1.1200 -9.9400 0.6300 5.0400 cond(H)=4.7661e+005
4 1 1 4 1 0 设 A= 1 4 O 0 O O 1 1 4n×n
b = [ ,2,L ] 1 n
T
n=500;b=[1:n]'; a1=sparse(1:n,1:n,4,n,n); a2=sparse(2:n,1:n-1,1,n,n); a=a1+a2+a2'; tic;x=a\b;t1=toc aa=full(a); tic;xx=aa\b;t2=toc y=sum(x) yy=sum(xx)
线性方程组数值解法的MATLAB实现
4． ilbert 矩 ： h=hilb(n) H ． 阵 输 出h为n阶Hilbert 矩 阵
L 1 1/ 2 L 1/ n 1/ 2 1/ 3 L 1/(n +1) L H= L L 1/ n 1/(n +1) L /(2n −1) 1
例. 解
10x1 + 3x2 + x3 =14
并对系数矩阵 2x1 −10x2 + 3x3 =−5 作LU分解 分解
x1 + 3x2 +10x3 =14
A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10], b=[14 -5 14]', x=A\b, [L1,U1]=lu(A); L1,U1, A1=L1*U1, [L2,U2,P]=lu(A); L2,U2,P, A2=L2*U2, A3=inv(P)*A2 [Q,R]=qr(A) Q*R [U,S,V]=svd(A) U*S*V’
其他相关的MATLAB函数
提取（产生） 1. 提取（产生）对角阵 v=diag(x) 输入向量 ，输出 是以 为对角元素的对角阵； 输入向量x，输出v是以 为对角元素的对角阵； 是以x为对角元素的对角阵 输入矩阵x，输出v是 的对角元素构成的向量 的对角元素构成的向量； 输入矩阵 ，输出 是x的对角元素构成的向量； trace(x) 返回 的迹，即对角元素的和 返回x的迹 的迹， 提取上（ 2. 提取上（下）三角阵 y=triu(x) v=tril(x) v=triu(x,1) v=tril(x,-1) flipud(x) fliplr(x) ) 输入矩阵x，输出 是 的上三角阵 的上三角阵； 输入矩阵 ，输出v是x的上三角阵； 输入矩阵x，输出v是 的下三角阵 的下三角阵； 输入矩阵 ，输出 是x的下三角阵； 同上，但对角元素为0， 同上，但对角元素为 ， 同上，但对角元素为0。 同上，但对角元素为 。 矩阵x上下翻转 矩阵 上下翻转 矩阵x 矩阵x左右翻转
例：
clear，clc A=[1 1/4 0;0 1/2 0;0 1/4 0]; x=[0 9 0.1 0]; [norm(x),norm(x,1),norm(x,inf)] [norm(A),norm(A,1),norm(A,inf)] [cond(A),cond(A,1),cond(A,inf)] rcond(A)
线性方程组数值解法的MATLAB实现
1. 求解 Ax = b 用左除： x = A\ b 。 用左除：
若A为可逆方阵，输出原方程的解x 若A为n×m矩阵（n>m），且ATA可逆，输出原 方程的最小二乘 矩阵 分解 矩阵LU分解
[x,y]=lu(A) 若A可逆且顺序主子式不为零， 输出 为单位下 可逆且顺序主子式不为零， 可逆且顺序主子式不为零 输出x为单位下 三角阵L， 为上三角阵 为上三角阵U， 可逆， 为一交 三角阵 ，y为上三角阵 ，使A=LU； 若A可逆，x为一交 ； 可逆 换阵与单位下三角阵之积. 换阵与单位下三角阵之积 [x,y,p]=lu(A) 若A可逆，输出 为单位下三角阵 ， y为上三 可逆， 为单位下三角阵L， 为上三 可逆 输出x为单位下三角阵 角阵U，p为一交换阵 ，使PA=LU. 为一交换阵P， 角阵 ， 为一交换阵 u =chol(A) 对正定对称矩阵 的Cholesky分解，输出 为上 对正定对称矩阵A的 分解， 分解 输出u为上 三角阵U， 三角阵 ，使A=UTU [Q,R]=qr(A) 正交三角分解，其中，Q为正交阵，R为上三角阵 正交三角分解，其中， 为正交阵 为正交阵， 为上三角阵 [U,S,V]=svd(A) 奇异值分解，即A=USV ’ ，U，V为正交阵，S 奇异值分解， 为正交阵， ， 为正交阵 为对角阵。 为对角阵。
t1, t2相差巨大，说明用稀疏矩阵计算的优点 相差巨大， 相差巨大 说明用稀疏矩阵计算的优点 用于简单地验证两种方法结果的一致） （y=yy 用于简单地验证两种方法结果的一致）
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3. 范数 条件数 特征值 n=norm (x, p) 输入x为向量或矩阵，输出为x的p-范 数,p可取1，2，‘inf’，分别为1-范数， 2-范数，∞-范数，p缺省值为2. c=cond (x，p) 输入x为矩阵, 输出为x的p-条件数，p 的含义同norm r=rcond (x) 输入x为方阵, 输出为x条件数倒数 e=eig(x) 输入x为矩阵，输出x的全部特征值
例： A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; t=trace(A),d=diag(A) l=tril(A),u=triu(A) b=flipud(A),c=fliplr(A)
MATLAB处理稀疏矩阵: 进行大规模计算的优点
实际应用中， 实际应用中，许多大型矩阵都含有很 元素，称为稀疏矩阵。 多0元素，称为稀疏矩阵。 a=sparse(r,c,v,m,n) 在第 行、第c列 在第r行 列 输入非0元素v，矩阵共m行 列 输出a为稀 输入非0元素 ，矩阵共 行n列，输出 为稀 疏矩阵，只给出(r,c)及v 疏矩阵，只给出 及 a=sparse(aa) 将满元素矩阵 转化为稀 将满元素矩阵aa转化为稀 疏矩阵a 疏矩阵 aa=full(a) 输入稀疏矩阵 ，输出aa为满 输入稀疏矩阵a，输出 为满 矩阵（包含零元素） 矩阵（包含零元素）
例：a=sparse(2,2:3,8,2,4), aa=full(a), a =(2,2) 8 输出 (2,3) 8 aa= 0 0 0 0 0 8 8 0
例：s=sparse([1 6 2],[2 4 6],[0.1 0.2 0.3],6 ,6) A=full(s)
例. 分别用稀疏矩阵和满矩阵求解Ax=b, 比较计算时间 分别用稀疏矩阵和满矩阵求解