高二数学三角函数——角的概念的推广和弧度制苏教版知识精讲
高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结
高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。
来判断3α所在的象限 x y O x y O（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
角的概念的推广与弧度制课件
02
CATALOGUE
角的概念的推广
任意角
根据角的旋转方向，将角分为正角、负角和零角。正角是指逆时 针旋转所形成的角，负角是指顺时针旋转所形成的角，零角则是 终边与始边重合的角。
终边相同的角
如果两个角的终边相同，则这两个角互为终边相同的角。它们之间存在一个最小正角，即360°/n（n为两角的终边相同的角的 个数）。
圆的面积公式
在弧度制下，圆的面积公式为$pi r^{2}$，其中$r$为半径。这个公式与 角度制下的圆的面积公式具有相同的 形式。
三角函数在弧度制下的定义
正弦函数
在弧度制下，正弦函数定义为 $sinalpha = frac{text{对边}}{text{斜 边}}$，其中$alpha$为角的大小。
余弦函数
在弧度制下，余弦函数定义为 $cosalpha = frac{text{邻边}}{text{ 斜边}}$，其中$alpha$为角的大小。
05
CATALOGUE
弧度制的应用
在物理学中的应用
旋转机械
在旋转机械中，如电动机和发电机，弧度制用于描述旋转角度和角速度，以便更好地理解旋转运动的物理性质。
角的度量单位
总结词
角度的度量单位是度，也称为度数。
详细描述
角度的度量单位是度，也称为度数，用于表示角的大小。在数学和物理学中， 角度的度量单位是度（°），并且规定1圆周角等于360°。Fra bibliotek角的分类
总结词
根据角的度数大小，可以将角分为锐角、直角、钝角、平角和周角。
详细描述
根据角的度数大小，可以将角分为以下几种类型：锐角（小于90°）、直角（等 于90°）、钝角（大于90°而小于180°）、平角（等于180°）和周角（等于360° ）。
三角函数基本概念-角的推广
三角函数基本概念一、知识要点梳理知识点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.知识点二：弧度制弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(2)弧度与角度互换公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.知识点三：任意角的三角函数1.三角函数定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦,记做,即；(2)叫做的余弦,记做,即；(3)叫做的正切,记做,即.2.三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.二、规律方法指导1.象限角问题是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以2.角度制与弧度制(1)可利用比例关系进行角度制与弧度制的互化；(2)弧长公式： (是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：3.三角函数定义及其应用(1)三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.、我们只需计算点到原点的距离, 那么,,(2)三角函数在各象限的符号：(一全二正弦，三切四余弦)三. 经典例题透析类型一：象限角1．已知角；(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角； (2)集合，,那么两集合的关系是什么？2． 集合{|04},{|}2A B k k παααπαπ=≤<=<≤+，求A B ⋂？3．（1）已知“是第一象限角，则2α是第几象限角?（2）已知“是第二象限角，则是第几象限角?举一反三： 【变式1】集合，，则( ) A 、B 、C 、D 、【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题4．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？5．已知一面积为S的扇形，求使它的周长最小时，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.类型三：利用三角函数的定义解题6．已知角的终边过点，求的三个三角函数值.举一反三：【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.。
苏教版高中数学高考总复习(理科)知识讲解_三角函数的概念
三角函数的概念：：【考纲要求】1.了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法.3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊角的三角函数值.4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题.【知识网络】三角函数的概念角的概念的推广、弧度制任意角的三角函数同角三角函数的基本关系正弦、余弦的诱导公式式【考点梳理】考点一、角的概念与推广1．任意角的概念：正角、负角、零角2．象限角与轴线角：与α终边相同的角的集合：{β|β=2kπ+α,k∈Z}第一象限角的集合：{β|2kπ<β<π2+2kπ,k∈Z}第二象限角的集合：{β|π2+2kπ<β<π+2kπ,k∈Z}第三象限角的集合：{β|π+2kπ<β<3π2+2kπ,k∈Z}第四象限角的集合：{β|3π+2kπ<β<2π+2kπ,k∈Z} 2.rad≈0.01745rad；1rad=()≈57.30=5718'xy2,k∈Z}；y=cotα，y=cscα的定义域是{α|α≠kπ,k∈Z}.终边在x轴上的角的集合：{β|β=kπ,k∈Z}终边在y轴上的角的集合：{β|β=kπ+π2,k∈Z}终边在坐标轴上的角的集合：{β|β=kπ2,k∈Z}要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系考点二、弧度制1．弧长公式与扇形面积公式：弧长l=α⋅r，扇形面积S扇形1=lr=212r2α（其中r是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.2．角度制与弧度制的换算：180=π；1=π180180π要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式.考点三、任意角的三角函数1.定义：在角α上的终边上任取一点P(x,y)，记r=OP=x2+y2则sinα=y x y r r,cosα=,tanα=，cotα=，secα=，cscα=. r r x x y2.三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP，OM，A T分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线.3.三角函数的定义域：y=sinα，y=cosα的定义域是α∈R；y=tanα，y=secα的定义域是{α|α≠kπ+π4.三角函数值在各个象限内的符号：cosαcotα=（2±α，要点诠释：①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用.考点四、同角三角函数间的基本关系式1.平方关系：s in2α+cos2α=1;sec2α=1+tan2α;csc2α=1+cot2α.2.商数关系：tanα=sinα;cosαsinα.3.倒数关系：tanα⋅cotα=1;sinαcscα=1;cosα⋅secα=1要点诠释：①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如1=sin2α+cos2α，1=sec2α-tan2α=tan45=，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.考点五、诱导公式1.2kπ+α(k∈Z),-α,π±α,2π-α的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.2.π3π2±α的三角函数值等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.要点诠释：诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是记忆.π2的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行(【典型例题】类型一、角的相关概念例 1.已知θ 是第三象限角,求角θ2精品文档 用心整理 的终边所处的位置.【答案】θ2是第二或第四象限角【解析】方法一：∵θ 是第三象限角，即 2k π + π < θ < 2k π + 3π 2, k ∈ Z ，∴ k π + π 2 < θ 2 < k π + 3π 4, k ∈ Z ,当 k = 2n 时， 2n π + π 2 < θ 2 < 2n π +3π 4, n ∈ Z , ∴ θ 2是第二象限角，当 k = 2n + 1 时， 2n π + 3π θ 7π< < 2n π + , n ∈ Z ,2 2 4∴ θ 2是第四象限角，θ∴ 是第二或第四象限角.2方法二：由图知: θ的终边落在二，四象限.2【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为θ2是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是 (π ,3π ) ．解决本题的关键就是为了凑出 2π 的整数倍，需要对整数进行分类．2θ（2）确定“分角”所在象限的方法：若 θ 是第 k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断 ， n ∈ N * ) n是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧 n 等份，并从 x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上 1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号 k 的区域就是角 θn( n ∈ N * )终边所在的范围。
高中数学 第1章 三角函数 1.1 任意角、弧度知识导航
1.1 任意角、弧度知识梳理一、角的概念的推广1.定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类:正角、零角、负角.3.象限角如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角时，可表示为{α|2kπ<α<2kπ+2π,k∈Z }； α是第二象限角时，可表示为{α|2kπ+2π<α<2kπ+π,k∈Z }； α是第三象限角时，可表示为{α|2kπ+π<α<2kπ+23π,k∈Z }； α是第四象限角时，可表示为{α|2kπ+23π<α<2kπ+2π,k∈Z }. 4.轴线角(象限界角)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角，也叫象限界角.终边落在x 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ,k∈Z }；终边落在x 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+π,k∈Z }；终边落在y 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+2π,k∈Z }； 终边落在y 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+23π,k∈Z }； 终边落在坐标轴上的角可表示为{α|α=2πk ,k∈Z }. 5.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+2kπ,k∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的3601为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制. 2.弧度的定义:规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即3601周角=1°，π21周角=1弧度. 3.弧度与角度的换算360°=2π rad，180°=π rad， 1°=180πrad≈0.017 45 rad，1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′. 4.弧长公式:l=|α|·r(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数).5.扇形的面积公式:S 扇形=21l·r=21|α|r 2(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数). 知识导学要理解任意角概念，可创设情境“转体720°，逆(顺)时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、象限界角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式，以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.疑难突破1.弧度制与角度制相比，具有哪些优点？剖析:(1)用角度制来度量角时，人们总是十进制、六十进制并用的.例如α=66°32′2″，其中66、32、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的.于是，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进制)，需要经过一番计算，这就太不方便了.但在用弧度表示角时，只用十进制，所以容易找到与角对应的实数.(2)弧度制下的弧长公式l=|α|r、扇形面积公式S=21|α|r 2，与角度制下的弧长公式l=180r n π、扇形面积公式S=3602r n π比较，不但具有更简洁的形式，而且在计算弧长和扇形面积时，也更为方便.2.为何说三角函数看成是以实数为自变量的函数时，角的集合与实数集R 是一一对应关系？ 剖析:在用弧度制或角度制度量角的前提下，角的集合与实数集R 建立了一种一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(角的角度数或弧度数等于这个实数)与它对应.于是，有了角的集合与实数集R 的一一对应关系，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数.要注意角度制是60进位制,类似22°30′这样的角,应该把它化为十进制22.5°，它与实数22.5对应，但弧度制不存在这个问题 ，因为弧度制是十进制的实数.。
任意角及弧度制知识点总结
任意角及弧度制知识点总结1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z .（3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈o .如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y xr rαα==，()tan ,0y x xα=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec rx α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
角与弧度制、三角函数的概念知识点讲解+例题讲解(含解析)
角度制与弧度制、三角函数的概念一、知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.结论：1.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3.象限角的集合4.轴线角的集合二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知角α的终边过点P (8m ，3)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12B.12C.－32D.32解析 由题意得m <0且8m (8m )2＋32＝－45，解得m ＝－12. 答案 A3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.解析所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.答案{－675°，－315°}4.(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.答案D5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，所以α＝3.答案36.(2019·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________.解析如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝yx＝－xx＝－1.答案－1考点一 角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.答案 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . (2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z .答案 (1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z考点二 弧度制及其应用【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 解 由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2).【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形 ＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12·10π3·10－12·102·32 ＝50π－7533(cm 2).【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10). 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【训练2】(2019·青岛质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米解析 法一 如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米).法二 由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB ＝12×4×4×sin 2π3＝4 3.故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 答案 B考点三 三角函数的概念【例3】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32B.－12C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin(π＋α)＝－sin α＝－12.(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角. 答案 (1)B (2)C【训练3】 (1)(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.解析 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsinβ＝－2425.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围， 故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 (1)A(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z三、课后练习1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 答案 C2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ·360°＋94π(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ，易知D 错误，C 正确. 答案 C3.(2019·北京朝阳区模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27B.127C.9D.19解析 ∵tan 7π3＝3m m ＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27， ∴m ＝127，故选B.4.已知点M 在角θ终边的反向延长线上，且|OM |＝2，则点M 的坐标为( ) A.(2cos θ，2sin θ) B.(－2cos θ，2sin θ) C.(－2cos θ，－2sin θ)D.(2cos θ，－2sin θ)解析 由题意知，M 的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ). 答案 C5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角. 答案 B6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.45解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15， 故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 答案 B7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255B.－55C.55D.255解析 由三角函数定义，cos α＝25＝255， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255. 答案 A8.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6解析 由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 答案 D9.(2019·上海徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于________.解析 由题意知m >0且sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3.答案 310.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 解析 设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案 π311.(2019·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________. 解析 因为α是第二象限角， 所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 答案 －43 12.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 (－2，3]。
高中数学——角概念的推广与弧度制(教案)
角概念的推广与弧度制【知识导图】知识讲解知识点1 角的有关概念1、从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.2、从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.3、若β与α是终边相同的角，则β用α表示为()2k k Z βπα=+∈.知识点2 角度与弧度1、弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是l rα=. 3．角度与弧度的换算①1180rad π︒=；②1801rad π⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭. 4．弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为()rad α，半径为r ，则l r α=，扇形的面积为21122S lr r α==. [易错提醒]角度制与弧度制不可混用角度制与弧度制可利用180rad π︒=进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.知识点3 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么sin y α=，cos x α=，y tan xα=角的概念与弧度制任意角角的概念的推广角的分类终边相同的角弧度制定义弧度制与扇形任意角的三角函数三角函数的定义三角函数的符号三角函数线2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是()1,0. [方法技巧]三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.知识点4 三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos sin αα，，即()P cos sin αα，，其中cos OM α=，sin MP α=，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT α=．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余例题讲解【例题1】与263-︒角终边相同的角的集合是（ ）A ． {α|α=k ⋅360°+250°,k ∈Z }B ． {α|α=k ⋅360°+197°,k ∈Z }C ． {α|α=k ⋅360°+63°,k ∈Z }D ． {α|α=k ⋅360°−263°,k ∈Z } 【答案】D当α终边相同的角与α相差360°的整数倍，所以，与−263°角终边相同的角的集合是{α|α=k ⋅360°−263°,k ∈Z }，故选D ． 【例题2】9°=（ ）A ． π36 B ． π20 C ． π10 D ． π9 【答案】B由角度制与弧度制的转化公式可知：9∘=9180π=π20.本题选择B 选项.【例题3】已知0240的圆心角所对的弧长为8m π，则这个扇形的面积为_______2m . 【答案】24π04240π3=弧度．设扇形所在圆的半径为r ，由题意得483r ππ=⋅，解得6r =． 所以扇形的面积为186242S ππ=⨯⨯=．【例题4】如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB =2π3，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D ．若CD 的长为a ，则ACB 与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积为______________.【答案】(4π3−√3)a 2设扇形的半径为r ，则在△OAD 中，OA =r,OD =r −a,∠OAD =π6， ∴OD =OA ∙sin π6，即r −a =r2， 解得r =2a ．∴扇形面积为S 扇形OAB =13×π×(2a)2=4π3a 2，又S △OAB =12∙AB ∙OD =12×2√3a ×a =√3a 2， ∴S 弓形ACB =S 扇形OAB −S △OAB =(4π3−√3)a 2【例题5】不等式sin x ≥____________________． 【答案】2|22, 33x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】233sinsin ππ== ∴结合正弦函数的图象及正弦函数的性质可得不等式2sinx ≥的解集为2{|22}33x k x k k Z ππππ+≤≤+∈，课堂练习【基础】1. 下列各个说法正确的是（ ）A ．终边相同的角都相等B ．钝角是第二象限的角C ．第一象限的角是锐角D ．第四象限的角是负角 【答案】B对于选项A ，与角α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k ∈Z}，故终边相同的角相差2π的整数倍数，所以终边相同的角都相等不对，故选项A 不对；对于选项B ，第二象限角的集合为{α|π2+2kπ<α<π+2kπ,k ∈Z} ，当k =1时，集合为{α|π2<α<π} ，即为钝角的范围.所以选项B 正确.对于选项C ，π4+2π是第一象限角，但其不是锐角，故选项C 错误； 对于选项D ，7π4是第四象限角，但不是负角，故选项D 错误. 故选B .2.256π-是（ ） A ． 第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角【答案】D 由题意得25466πππ-=--， ∴256π-的终边和角6π-的终边相同， ∴256π-是第四象限角． 故选D ．3. 设集合180452|k M x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，，180454|k N x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，，那么( ) A ． M N = B ． N M ⊆ C ． M N ⊆ D ． M N ⋂=∅ 【答案】C由题意可得，(){}18045||2145,2k M x x k Z x x k k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈==+⋅︒∈⎨⎬⎩⎭， 即M 为45°的奇数倍构成的集合，又(){}18045|145,4|k N x x k Z x x k k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈==+⋅︒∈⎨⎬⎩⎭， ，即N 为45°的整数倍构成的集合，M N ⊆，故选：C ．【巩固】4.已知扇形的周长为4，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角α等于_________ 【答案】2设扇形的半径为r ，则周长为24r r α+=， ∴面积为()22221142211122S r r r r r r α⎛⎫==-=-=--+≤ ⎪⎝⎭扇形， 当且仅当1r =时取等号，此时2α=． 故答案为：2．5.已知点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，则2sinα+cosα=__________． 【答案】25.∵m <0，∴r =√(4m)2+(−3m)2=−5m ， ∴sinα=y r =−3m −5m=35，cosα=4m −5m=−45，∴2sinα+cosα=2×35−45=25．6.利用三角函数线，sinx ≤12的解集为___________． 【答案】()5132266|x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭如图，作出满足12sinx =的角的正弦线11M P 和22M P ，226M OP π∠=，1156M OP π∠=．当角的终边位于图中阴影部分时，正弦线的大小不超过12，因此，满足12sinx ≤的解集为()5132266|x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，故答案为：()5132266|x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭．【拔高】7. 设α为第四象限角，其终边上的一个点是(,P x ，且cos 4x α＝，求sin α和tan α．【答案】sin α-＝tan α-＝利用余弦函数的定义求得x ，再利用正弦函数的定义即可求得sin α的值与tan α的值．∵α为第四象限角，∴0x >，∴r =，∴cos 4x x r α==＝，∴x =r sin y r α==＝，tan y x α==＝． 8. 扇形MON 的周长为16cm .（1）若这个扇形的面积为12cm 2，求圆心角的大小；（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长MN . 【答案】(1)23或6；(2)答案见解析.设扇形MON 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， （1）由题意可得{2r +l =1612lr =12 解得{r =6l =4 或{r =2l =12∵α＝l r ∴α＝23或6. （2）∵2r ＋l ＝16∴S 扇＝12l ·r ＝12(16−2r)r =12(16−2r)r =−r 2+8r,r ∈(0,8)， ∴当r ＝4时，l =8，α＝lr =2时，弦长MN ＝4sin 1×2＝8sin 1.小结1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯．象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法．课后练习【基础】1. 将67o 30′化为弧度为____________. 【答案】3π8 ∵67o 30′=67.5o ， ∴67o 30′=67.5×π180=3π8．2. 已知扇形的半径为4cm ，圆心角为π4，则扇形面积为_________cm 2. 【答案】2π∵扇形的半径为4cm ，圆心角为π4， ∴弧长l =4×π4=π,∴这条弧所在的扇形面积为S =12×π×4=2πm 2，故答案为2π. 3. 已知角θ的终边上一点()()3,40a P a a ≠，则sin θ=________. 【答案】45sin θ=±. 3x a =，4y a =，5r a ∴==.此处在求解时，常犯5r a =的错误，出错的原因在于去绝对值时，没有对a 进行讨论. (1)当0a >时，5r a =，455y sin θ∴==. (2)当0a <时，5r a =-，455y sin θ∴==- ∴45sin θ=±. 【巩固】4.下列判断正确的是__________．（填序号） ①sin3080>0；②cos(−3100)<0；③cos(−43π6)>0；④sin212<0.【答案】④由题意结合诱导公式可得：sin308∘=sin (360∘−52∘)=−sin52∘<0，①错误； cos (−310∘)=cos (50∘−360∘)=cos50∘>0，②错误； cos (−436π)=cos (56π−8π)=cos 56π<0，③错误；212∈(3π,72π)，则sin 212<0，④正确；综上可得判断正确的序号为④.5.已知角α的终边经过P (1,2),则tanα⋅cosα等于__________ 【答案】2√55角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，若角α终边经过点P (1,2)，则x =1，y =2，r =|OP |=√5，∴sinα=y r=√5=x r=√5则tan α⋅cos α=sinαcosα⋅cos α=√5=2√55.即答案为2√55. 6.若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积【答案】⎝⎛⎭⎫2π3－3 设弓形面积为S 弓．由题知l ＝2π3cm ， S 弓＝S 扇－S △＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝⎝⎛⎭⎫2π3－3(cm 2)． 【拔高】7.已知α是第三象限角，求2α所在的象限 【答案】当α是第三象限角时，2α是第二或第四象限角322()2k k k Z ππαππ+<<+∈，32()24k k k Z παπππ∴+<<+∈．当()2k n n Z =∈时，322224n n παπππ+<<+，2α是第二象限角， 当21()k n n Z =+∈时，3722224n n παπππ+<<+，2α是第四象限角， 综上知，当α是第三象限角时，2α是第二或第四象限角． 8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA,OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是__________．【答案】12−1π如图，设两个半圆的交点为C ，且以AO 为直径的半圆以D 为圆心，连结OC 、CD ，设OA =OB =2，则弓形OMC 的面积为S 弓形OMC =S 扇形OCD −S Rt∆DCO =14⋅π⋅12−12×1×1=π4−12，可得空白部分面积为S 空白=2S 半圆AO −2S 弓形OMC =2×12⋅π⋅12−(π2−1)=π2+1， 因此，两块阴影部分面积之和S 阴影=S 扇形OAB −S 空白=14π⋅22−(π2+1)=π2−1可得在扇形OAB 内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P =S 阴影S 扇形AOB=π2−1π=12−1π，故答案为：12−1π. 9.xtan x 有意义？【答案】()2,22,2122k k k k ππππππ⎡⎫⎛⎤+⋃++⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦sin 0x ≥所以x 在y 轴上半轴，又因为tan x 有意义2x k ππ≠+所以易求得x 的范围()2,22,2122k k k k ππππππ⎡⎫⎛⎤+⋃++⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦。
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高二数学三角函数——角的概念的推广和弧度制苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：三角函数——角的概念的推广和弧度制二. 教学目标：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。
三. 知识要点：1. 角α和β终边相同：)Z k (360k ∈︒⨯+=αβ角度制与弧度制的互化：π=︒1801801π=︒ 1弧度︒≈︒=3.57180π4. 弧长公式：r l ||α= （α是圆心角的弧度数）5. 扇形面积公式：2||2121r r l S α==【典型例题】例1. 已知角︒=45α；（1）在区间]0,720[︒︒-内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k ,451802k x |x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k ,451804k x |x N那么两集合的关系是什么？ 分析：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角α有相同终边的角，然后列出一个关于k 的不等式，找出相应的整数k ，代回求出所求解；（2）可对整数k 的奇、偶数情况展开讨论。
解：（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：)(36045Z k k ∈︒⨯+︒， 则令︒≤︒⨯+︒≤︒-036045720k ， 得 ︒-≤︒⨯≤︒-45360765k解得 36045360765-≤≤-k 从而2-=k 或1-=k代回︒-=675β或︒-=315β（2）因为{}Z k k x x M ∈︒⨯+==,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合{}Z k k x x N ∈︒⨯+==,45)1(|表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：N M ⊂例2. 若角α是第二象限角，则（1）角2α是哪个象限角？ （2）角α2是哪个象限角？分析：︒+︒⨯<<︒+︒⨯180********k k α（Z k ∈） 解：（1）因为角α是第二象限角，所以︒+︒⨯<<︒+︒⨯180********k k α则 )(90180245180Z k k k ∈︒+︒⨯<<︒+︒⨯α当k 是偶数时，设)(2Z n n k ∈=，则)(90360245360Z n n n ∈︒+︒⨯<<︒+︒⨯α可知2α在第一象限； 当k 是奇数时，设)(12Z n n k ∈+=， 则)(2703602225360Z n n n ∈︒+︒⨯<<︒+︒⨯α可知2α在第三象限； 综上所述，角α是第二象限角，则2α是第一象限角或第三象限角； （2）因为︒+︒⨯<<︒+︒⨯360360221803602k k α可知角α2的终边应在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上；例3. 已知下列各个角：πα7111-=，πα65112=，93=α，︒-=8554α； （1）其中是第三象限的角是（2）将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？分析：（1）先将已知角对应化为πβk 2+或︒⨯+︒360k y )(Z k ∈的形式后，再根据终边相同来判断角所在象限；（2）根据换算公式解第二问；解：（1）7327111πππα+-=-=，它是第一象限角； 67846504765112πππππα+=+==，它是第三象限角；ππα2)29(93+-==，它是第二象限角，︒⨯-=︒-=36038554α︒+225，它也是第三象限角；答案为：2α和4α（2）︒-≈︒⨯-=-=86.2821807117111πα ︒=︒⨯==15330180651165112πα︒≈︒⨯==66.516180993πα ππα4191808558554-=⨯︒-=︒-=例4. 一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，则扇形的圆心角是多少弧度？多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是rad θ，因为扇形的弧长为θr ， 所以扇形的周长是θr r +2依题意知： r r r πθ=+2 ，解得rad 2-=πθ 转化为角度制为 rad 2-=πθππ︒⨯-=180)2('1965︒≈它的面积为：22)2(2121r r S -==πθ例5. 已知α是第三象限角，则3α是第几象限角?分析：由α是第三象限角，可得到角α的范围，进而可得到3α的取值范围，再根据范围确定其象限即可。
也可用几何法来确定3α所在的象限。
解法一：因为α是第三象限角，所以()Z k k k ∈+<<+ππαππ2322 ∴()Z k k k ∈+<<+2323332ππαππ ∴当k=3m （m ∈Z ）时，3α为第一象限角； 当k= 3m ＋1（m ∈Z ）时，3α为第三象限角，当k= 3m ＋2（m ∈Z ）时，3α为第四象限角故3α为第一、三、四象限角解法二：把各象限均分3等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上I 、II 、III 、IV ，并依次循环一周，则α原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为3α的终边所在的区域。
由图可知，3α是第一、三、四象限角 小结：已知角α的范围或所在的象限，求nα所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n 等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则α原来是第几象限的符号所表示的区域即为nα(n ∈N *)的终边所在的区域。
【模拟试题】1. 在下列各组角中，终边不相同的一组是（ ） A. ︒60与︒-300 B. ︒230与︒950 C. ︒1050与︒-300 D. ︒-1000与︒802. 下列各命题中，真命题是（ ） A. 每一象限角是锐角 B. 直角不是任何象限角C. 第二象限角比第一象限角大D. 三角形的内角一定是第一或第二象限角 3. 若角α是第三象限角，则角2α是（ ）的角； A. 第一象限或第三象限 B. 第二象限或第三象限 C. 第二象限或第四象限 D. 第一象限或第四象限 4. 角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集合为（ ） A. }225,45{︒︒B. },4|{Z k k ∈+=ππααC. },42|{Z k k ∈+=ππααD. },4|{Z k k ∈±=ππαα5. 若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角的所夹扇形的面积为（ ）A.2sin 1B.2sin 12C.1sin 12D. 1tan6. 若rad 3-=α，则它是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 7. 在半径不等的圆中，1弧度的圆心角所对的（ ） A. 弦长相等 B. 弧长相等 C. 弦长等于所在圆的半径 D. 弧长等于所在圆的半径8. 角π316化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式是（ ） A. 35ππ+ B. 344ππ+C. 326ππ-D. 373ππ+9. 一个半径为R 的扇形，它的周长为R 4，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）A. 2)1cos 1sin 2(21R -B. 21cos 1sin 21RC. 221R D. 2)1cos 1sin 1(R -10. 已知集合{}Z k k k M ∈+≤≤=,)12(2|παπα，{}66|≤≤-=ααN ，则=N M （ ）A. ∅B.{}παπαα260|≤≤≤≤或C.{}παα≤≤0|D.{}παπαα-≤≤-≤≤60|或11. 第三象限角的集合为：12. 在区间]360,720[︒︒-上且与角︒125终边相同的角是： 13. 在扇形中，圆心角所对弦长等于半径，则这个圆心角的角度数为 14. 若22πβαπ<<<-，则角βα-的取值范围是15. 已知角︒=2005α；（1）将它表示成)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式； （2）在区间)0,2[π-上找出与它终边相同的角；16. 对于角θ)3600(︒<≤︒θ,若它的终边与角θ7的终边相同,则求角θ的值；17. 已知扇形的周长为20，当扇形的圆心角θ为何值时，扇形的面积S 最大，并求出S 的最大值；【试题答案】1. C2. B3. C4. B5. C6. C7. D8. B9. D10. D11. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,2322|ππαππα 12. ︒-595、︒-235、︒125 13. ︒6014. )0,(π-15. （1）ππ364110+（2）π3631- 16. 343230πθπθπθπθθ=====或或或或或35πθ=17. 当5=θ时面积最大，最大值为25。