力对点的矩和平面力偶系
力对点的矩与平面力偶系—平面力偶系的合成与平衡(建筑力学)
平面力偶系
例3-4 如图示的梁AB，受一力偶的作用，已知力偶， M=20kNm，梁长l=4m,梁自重不计，求A、B支座处反力。
解 取梁AB为研究对象。
梁在力偶和A、B两处支座反力作用下平衡。
M 0
FByl M 0
FBy
M l
20 kN 5kN 4FAyLeabharlann FBy 5kN平面力偶系
第三节 平面力偶系的合成与平衡
作用在物体上的两个或两个以上的力偶，称为力偶系。 作用在同一平面内的力偶系称为平面力偶系。 一、平面力偶系的合成
平面力偶系可以合成为一个合力偶，其合力偶矩等于各个 力偶矩的代数和。即
M R M1 M 2 M n M
式中MR表示合力偶矩, M 、M … … Mn表示原力偶系中各 力偶的力偶矩。
合力偶矩大小为
M M1 M 2 M 3 (64 60 24)N m 28N m （ ）
平面力偶系
二、平面力偶系的平衡条件 平面力偶系合成的结果为一个合力偶，力偶系的平衡就
要求合力偶矩等于零。 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各
力偶矩的代数和等于零。
M 0
上式又称为平面力偶系的平衡方程。利用其可以求解一 个未知量。
平面力偶系
例3-3 如图示有三个力偶同时作用在物体某平面内。已知 F1=80N，d1=0.8m，F2=100N ，d2=0.6m，M3=24N.m ，求其合 成的结果。
解 三个共面力偶合成的结果是一个合力偶。各力偶矩为
M1 F1d1 80 0.8 64N m M 3 24N m
M 2 F2d2 100 0.6 60N m
第三章_力对点的矩_平面力偶系
4
平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系的合成
平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。 平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。
=
FR = F1 + F2 + Fn
=
=
′ FR = F1′ + F2′ + Fn′
平面力偶系合成的结果是一个合力偶， 平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 中各力偶矩的代数和。 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。
力对点的矩
F
h
O
M 0 ( F ) = ± Fh
力对点的矩是一个代数量，它的绝对值 绝对值等于力的大小 力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定， 正负可按下法确定 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定，力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 量度
A α M1
OBBiblioteka M2DB 解： 因为杆AB为二力杆，故其反力F 和F 只 因为杆AB为二力杆 故其反力FAB 为二力杆， BA A
α
M1 M2
D
能沿A 能沿A，B的连线方向。 的连线方向。 分别取杆OA和DB为研究对象 分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能 为研究对象。 与力偶平衡，所以支座O 与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只 的约束力F ∴ 能分别平行于F 能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。 且与其方向相反。 B 写出杆OA和DB的平衡方程 写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0 的平衡方程：
力对点的矩
力对点的矩和平面力偶系
第三章 力对点的矩和平面力偶系一、内容提要本章研究了力矩和力偶。
1．力矩及计算（1）力矩 力矩表示力使物体绕矩心的转动效应。
力矩等于力的大小与力臂的乘积。
在平面问题中它是一个代数量。
一般规定：力使物体绕矩心产生逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为()Fd F M O ±=（2）合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各力对同一点的力矩的代数和。
用公式表达为()()F M F M O O ∑=R2．力偶的基本理论（1）力偶 由两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的力系，称为力偶。
力偶与力是组成力系的两个基本元素。
（2）力偶矩 力与力偶臂的乘积称为力偶矩。
为代数量，规定：逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为：Fd M ±=（3）力偶的性质力偶不能合成为一个合力，不能用一个力代替，力偶只能与力偶平衡。
力偶在任一轴上的投影恒为零。
力偶对其平面内任一点矩都等于力偶矩，与矩心位置无关。
在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。
力偶对物体的转动效应完全取决于力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶所在的作用面。
（4）平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成结果为一个合力偶，合力偶矩等于平面力偶系中各个力偶矩的代数和。
用公式表达为：M R =ΣM平面力偶系的平衡条件是合力偶矩等于零。
用公式表达为：ΣM = 0二、思考题提示或解答3-1 试比较力矩与力偶矩的异同点。
答：平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。
这就是平面力系的合力矩定理。
应用合力矩定理在于简化力矩的计算。
当力臂不易确定时，可将力分解为易找到力臂的两个互相垂直的分力，在求出两分力的力矩后，再代数相加即可。
3-3 二力平衡中的两个力，作用与反作用公理中的两个力，构成力偶的两个力各有什么不同?答：二力平衡中的两个力等值、反向、共线，共同作用在一个物体上；作用与反作用公理中的两个力等值、反向、共线，分别作用在两个物体上； 构成力偶的两个力等值、反向、互相平行，也作用在一个物体上。
第2章 平面力系-平面力对点之矩及平面力偶
即
MO(F) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直
距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的单位： 国际制 N·m，kN·m 工程制 公斤力米（kgf·m）
偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
例题
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3
=F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
F 1 180mm
解：由式
F2
M = M1 + M2
F4
则
M =-F1 ·0.18 –F3 ·0.08
FBA
B
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
M1 - FABrcosq 0 - M 2 2FBArcosq 0
因为 FAB FBA
所以求得 M 2 2M1
思考题1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否 等效，为什么？
F1
d1
F2 d2
F1′
=
F2′
M1 F1 d1 , M 2 -F2 d2
F22 d F11
F11′
=
F22′
d
FR
FR′
M1 F11 d , M 2 -F22 d
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
工程力学第三章力矩与平面力偶系_图文
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
第三章 力对点之矩与平面力偶
第三章力对点之矩与平面力偶一、判断题1、力偶是物体间相互的机械作用，这种作用的效果是使物体的运动状态发生改变。
力偶没合力，不能用一个力来等效代换，也不能用一个力来与之平衡。
（√）2、力偶使物体转动的效果完全由力偶矩来确定，而与矩心位置无关。
只要力偶矩相同，不管其在作用面内任意位置，其对刚体的作用效果都相同。
（√）3、01=∑=n i i M是平面力偶系平衡的充要条件。
（√）4、半径为R 的圆轮可绕通过轮心轴O 转动，轮上作用一个力偶矩为M 的力偶和一与轮缘相切的力F,使轮处于平衡状态。
这说明力偶可用一力与之平衡。
（×）5.刚体的某平面内作用一力和一力偶，由于力与力偶不能等效，所以不能将它们等效变换为一个力。
（×）解析：一个力和一个力偶可以简化为一个力。
6、物体受同一平面内四个力的作用，这四个力组成两个力偶（F1，F1′）和(F2,F2′），其组成的力多边形自行封闭，该物体处于平衡。
（×）7、力偶不是基本力学量，因为构成力偶的两力为基本量。
（×）解析：(1)力学中的基本物理量是长度、质量、时间。
(2)国际单位制中的基本单位：长度，米（m）；质量，千克（kg）；时间，秒（s）；电流，安（A）；热力学温度，开（K）；物质的量，摩（mol)；发光强度，坎（cd）。
8、自由刚体受到力偶作用时总绕力偶臂中点转动。
（×）解析：动力学可以证明，静止的自由刚体受力偶作用时，总是绕着刚体的质量中心转动（与质量分布有关，与作用位置无关）。
9、力偶的合力等于零。
（×）解析：力偶是一对大小相等方向相反但不在同一条直线上的两个力,这与力的平衡定理作用在同一直线上的两个力大小相等方向相反则两力平衡是相悖的.力偶对平面内任意点的力矩不为零.10、力偶的合成符合矢量加法法则。
（×）解析：三角形法则，平行四边形法则。
三角形法则是：如果是两个矢量的相加将这两个矢量的首尾相接，从一个矢量的开头指向另一个矢量的末尾就是它们的和向量。
14平面力系--平面力对点之矩 力偶系
FA
FB
FA FB
M 0
FB
60 300N FA FB 300 N 0.2
FB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
例2-6 图示机构不计自重。圆轮上的销子在摇杆BC的光滑导 槽内可自由滑动；圆轮上作用一力偶，其力偶矩 M 1 2kN m, 30 )，系统平衡。 OA r 0.5m 。在图示位置( OA⊥OB， 求作用在摇杆BC上力偶的矩M2 及铰链O、B处的约束力。
合力矩的解析表达式：
y
O
Fx
x
x
MO (FR ) MO (Fi )
( xi Fiy yi Fix )
例2 4图示直杆长为l，力F与x轴夹角为。求力F对插入端O之矩。
y
O o 方法一：利用定义
h
l
Fy
F
Fx
x
M O ( F ) F h F l sin
合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有 各分力对于该点之矩的代数和．
三、力矩与合力矩的解析表达式 力矩的解析表达式：
y
MO (F ) M O ( Fx ) M O ( Fy )
F
Fy
A
x Fy y Fx
x F sin y F cos
F
' F
2、力偶矩
力偶作用面: 力偶臂:
— 代数量 力偶中两力所在的平面
d1 O O
1
力偶中两力作用线间的垂直距离 ' ' M O1 ( F , F ) M O1 ( F ) M O1 ( F ) 力偶可以看作 ' F ( d d ) F d1 1 不能合成的两 Fd 个力
理论力学03力矩力偶与平面力偶系
本章讨论平面力偶系的合成与平衡问题
一、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶； 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M1
M2 M3
M4
M Mi
二、平面力偶系的平衡方程
Mi 0
M
说明：根据平面力偶系的平衡方程，可解 一个未知量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例2] 已知梁长 l = 5 m，M = 100 kN·m ；若不计梁的自重，试求 铰支座 A 、B 处的约束力。
2. 力偶中的两个力对任一点的矩的代数和 恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
dF F
3. 作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充要条件为其力偶矩 相等。
结论：力偶矩唯一决定了力偶对刚体的作用效应。
◆ 通常用力偶矩符号来代表力偶：
F
d
M Fd
F
M 或M
第三节 平面力偶系
平面力偶系：由位于同一平面内的一群力偶所组成的力系
构平衡。试求作用于摆杆 BO1上的力偶矩 M2 （各构件的自重不计）
解： 1）首先研究曲柄 AO与套筒A 的组合 画受力图 列平衡方程
Mi 0, M1 FA r sin 30 0
解得
FA
FO
2M1 r
M1
O
FO
FA
FA
FO
2M1 r
2）再选取摆杆 BO1 为研究对象
画受力图
列平衡方程
Mi 0, M 2 FA AO1 0
的平行力称为一个力偶，记作 F, F。
dF F
二、力偶矩 定义
M Fd
为平面内力偶 F, F 的矩，简称力偶矩。
说明： 1）平面内力偶矩为代数量，其正负号表转向，一般规定 逆时针转向为正，反之为负。
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第三章 力对点的矩和平面力偶系
一、内容提要
本章研究了力矩和力偶。
1．力矩及计算
（1）力矩 力矩表示力使物体绕矩心的转动效应。
力矩等于力的大小与力臂的乘积。
在平面问题中它是一个代数量。
一般规定：力使物体绕矩心产生逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为
()Fd F M O ±=
（2）合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各力对同一点的力矩的代数和。
用公式表达为
()()F M F M O O ∑=R
2．力偶的基本理论
（1）力偶 由两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的力系，称为力偶。
力偶与力是组成力系的两个基本元素。
（2）力偶矩 力与力偶臂的乘积称为力偶矩。
为代数量，规定：逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为：
Fd M ±=
（3）力偶的性质
力偶不能合成为一个合力，不能用一个力代替，力偶只能与力偶平衡。
力偶在任一轴上的投影恒为零。
力偶对其平面内任一点矩都等于力偶矩，与矩心位置无关。
在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。
力偶对物体的转动效应完全取决于力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶所在的作用面。
（4）平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系的合成结果为一个合力偶，合力偶矩等于平面力偶系中各个力偶矩的代数和。
用公式表达为：
M R =ΣM
平面力偶系的平衡条件是合力偶矩等于零。
用公式表达为：
ΣM = 0
二、思考题提示或解答
3-1 试比较力矩与力偶矩的异同点。
答：平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。
这就是平面力系的合力矩定理。
应用合力矩定理在于简化力矩的计算。
当力臂不易确定时，可将力分解为易找到力臂的两个互相垂直的分力，在求出两分力的力矩后，再代数相加即可。
3-3 二力平衡中的两个力，作用与反作用公理中的两个力，构成力偶的两个力各有什么不同?
答：二力平衡中的两个力等值、反向、共线，共同作用在一个物体上；
作用与反作用公理中的两个力等值、反向、共线，分别作用在两个物体上； 构成力偶的两个力等值、反向、互相平行，也作用在一个物体上。
3-4 力偶不能用一个力来平衡。
如图所示的结构为何能平衡?
答；由于力偶不能简化为一个力，所以力偶不能与一个力平衡。
图中的转轮除受到F 和M 作用外，固定铰支座O 处的反力F R 与F 必组成另一与M 反向的力偶，从而平衡。
究其本质，仍是力偶与力偶的平衡。
（空10行） （空10行）
思3-4图 思3-5图
3-5 在物体A 、B 、C 、D 四点作用两个平面力偶，其力多边形封闭，如图所示。
试问物体是否平衡。
答：物体不平衡。
力多边形自行封闭是平面汇交力系的平衡条件，这四个力构成的是平面力偶系。
三、习题解答
3-1 计算下列各图中力F 对点O 的矩。
（空14行）
题3-1图
解
a) M O (F ) = 0
b) M O (F ) = Fl
c) M O (F ) = F · 30sin ·l =2
1F l d) M O (F ) = -Fa
e) M O (F ) = F (l +r )
f) M O (F ) = -F ·2
2l a +·βsin
3-2 如图所示，每米长挡土墙所受F =120kN 的土压力。
求土压力F 对挡土墙的倾覆力矩。
(空10行)
题3-2图
解 可利用合力矩定理。
倾覆力矩
M O (F ) = M O (F x )+ M O (F y )
= (120×cos30°×1.5-120×sin30°×1.5)kN ·m
= 65.9 kN ·m
3-3 求图示力偶的合力偶矩。
已知F 1 =F 1' =100N ，F 2 = F 2' =150N ，F 3 = F 3'=100N ，d 1 = 0.8m ，d 2 = 0.7m ，d 3 = 0.5m 。
(空6行)
题3-3图
解 M R =ΣM
= F 1·d 1- F 2·d 2+ F 3·d 3
=(100×0.8-150×0.7+100×0.5) N ·m
= 25N ·m ( )
3-4 求下列图中各梁的支座反力。
（空13行）
题3-4图
解 取各梁为研究对象，分别画出它们的受力图。
根据“力偶只能和力偶平衡”的性质，固定铰A 的反力F A 必与可动铰B 的反力F B 组成力偶。
因此，F A 的方位必定与F B 一致，而两个力的指向假设成相反即可。
a) ΣM = 0 F A ×3 a - F a = 0 (空5行、14字宽度) F A = F B =3
F b) ΣM = 0 -F A ×4 a + F ×2 a = 0 (空5行、14字宽度) F A = F B =
2F c) ΣM = 0 F A ×2a - F a = 0 (空7行、14字宽度) F A = F B = 2F
= 0.707 F
d) ΣM = 0 -F A ×2 a + F a + F a = 0 (空5行、14字宽度) F A = F B = F
e) ΣM = 0 M A + F a -F ×2 a = 0 (空5行、14字宽度) M A = F a
f) ΣM = 0 F A ×2 a - F ×a = 0 (空7行、14字宽度) F A = F B =
2F。