均匀球体对质点的万有引力的计算及应用

均匀球体对质点的万有引力的计算及应用
湖州中学 竺 斌
牛顿从开普勒定律出发，研究了许多不同物体间遵循同样规律的引力之后，进一步把这个规律推广到自然界中任意两个物体之间，于1687年正式发表了万有引力定律：
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。

即：
2
r Mm
G
F =引 ① 这里的两个物体指的是质点。

万有引力定律只给出了两个质点间的引力。

而对于一般不能看成质点的物体间的万有引力，需将物体分成许多小部分，使每一部分都可视为质点，根据①式求出物体1各小部分与物体2各小部分之间的引力，每个物体所受的引力就等于其各部分所受引力的矢量和。

但是，若物体为球体，且密度均匀分布，他们之间的引力仍然可以用上式计算，其中r 表示两球球心的距离，引力沿两球球心的连线。

这一点在高中教材、教学参考书都没有给出证明，只是用简单的几句话带过。

我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。

”并计算均匀球壳对其内部质点的引力和均匀球对其内部的引力，仅供大家参考。

一、有关引力的计算 1．用微积分法。

)1(．质点与均匀球体间的万有引力。

若质点质量为m ，与球心的距离为R 。

设球的半径
为a ，密度为v ρ，质量为33
4
a M v πρ⋅=。

建立如图所示的坐
标系。

根据对称性可知，球对质点的引力必沿z 方向，x ，y 方向上合力为0。

球上取一微元，坐标为（r, θ，φ）,其体积为
ϕθθd drd r sin 2。

对质点的万有引力。

ϕθϕϕ
ρd drd rR R r r m G dF v cos 2sin 2
22-+= （R ＞a ） 在z 方向上的分力为：
ϕθϕϕϕραd drd rR R r r R r m G
dF dF v z 2
32
2
2)
cos 2(sin )cos (cos -+-=⋅=
x
y
z O
φ α
dF
P(0,0,R) (r,θ,φ)
·
·
dr d d rR R r r R r m G
F F v a z
θϕϕϕϕρππ
2
32
2
20
20
)
cos 2(sin )cos (-+-==⎰
⎰⎰
合
2
22222
22020
2
32
2
220
cos 2cos 2(212)
cos 2(sin )cos (R
Mm G rR R r R r rR R r rR dr r Gm d rR R r r R dr r d Gm a v a v =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+-+⋅=-+-=⎰⎰
⎰⎰π
π
πϕϕπρϕ
ϕϕφθρ 所以均匀球体对球外一点的万有引力好象球体的质量全部集中在球心一样。

那么两个均匀球体间的万有引力就可以分别把质量全部集中至各自球心，所以用公式计算时r 就是球心间距离。

)2(．均匀球壳与球壳内质点间的万有引力。

若质点的质量为m ，与球心距离为R ，球壳的密度为V ρ，
质量为()
313
23
4R R M v -⋅=πρ，建立如图所示的坐标系。

由对称性可知，球对质点的引力必沿z 方向，x 、y 方向上合力为0。

球壳上一微元对质点的万有引力为
ϕθϕ
ϕ
ρd drd rR R r r m G dF v cos 2sin 2
22-+= ()a R < 在z 方向上的分力，
ϕθϕϕϕραd drd rR R r r R r m G
dF dF v z 2
32
2
2)
cos 2(sin )cos (cos -+-=⋅=
ϕ
ϕϕϕθρθϕϕϕϕρπ
π
ππ
d rR R r r R dr r d Gm dr
d d rR R r r R r m G
F F R R v v R R z
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
-+-=-+-==0
2
3
2
2
220
2
32
2
220
0)
cos 2(sin )cos ()
cos 2(sin )cos (21
21
合
cos 2cos 2(212021022222
222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+-+⋅=⎰π
π
ϕϕπρrR R r R r rR R r rR dr r Gm R R v 这就说明均匀球壳对球壳内质点的万有引力等于0。

2．高斯定理法
电学中高斯定理的表述：通过一个任意闭合曲面S 的电通量E Φ等于该面所包围的所有电荷电量的代数和∑i q 除以0ε。

即 ：
∑⎰⎰=
=Φ内
S i
S
E q
dS E 0
1
cos εθ
通过2r Mm G
F =引与221041r q q F ⋅=πε库对比，在力学中引入引力场强度引E ，2
r M
G E =引
，则 引引E m F ⋅=。

再引入引力通量引Φ，θcos S E ⋅=Φ引引，则类似的在引力场中的高斯定理有：∑⎰⎰==Φ内
引引S i S
m G dS E πθ4cos
下面再用高斯定理来证明均匀球体（半径为R ）对质点的万有引力。

如果场点P （设OP=r ）在球外，由于球体质量均匀分布，则引力场强分布应具有球对称性。

在任何与均匀球同心的球面上各点的E 引大小均相等，方向沿半径向外呈辐射状。

根据引力场强的球对称性特点，取高斯面为通过P 点的同心球面，此球面上的引力场强E 引的大小处处和P 点相等，而cos θ处处等于1，通过此面的引力通量为：
引引引引E r dS E dS E S
S
24cos πθ===Φ⎰⎰⎰⎰
根据高斯定理GM m G S i ππ44==Φ∑内
引
∴2
r GM
E =
引 ∴2
r
GMm
m E F =
⋅=引引 (r>R) 如果场点P 在球内，则所有半径大于r=OP 的那些球壳对P 点的引力场强不起作用，只有半径等于r 的球对P 点的引力场强有贡献。

根据上面的结论有
2r
M G
E '
=引 3
33
333
43434R M r R
M r r M v ==⋅='ππρπ
∴3R
Mr
G
E =引 ∴3
R GMmr
m E F =
⋅=引引 （r<R ） 所以均匀球体对球体内的一点的万有引力随深度的增加而减小。

二、在高中物理竞赛中的应用 例1．地球内部引力势能的计算。

如图所示，O 点表示球心，地球质量为M ，设想地球内部有一条从地球表面A 开始到地心的直线通道AO ，一质量为m 物体从地球表面A 点沿直线
AO 运动到某点B ，B 到地心O 的距离为r 。

要计算物体在B 点的引力势能，就要计算物体从A 点运动到B 点万有引力做的功，物体从A 到B 运动，受到的万有引力是变力，而万有引力
3
R
GMmr
F =
引，与到O 点的距离是线形关系，所以万有引力做功可以很方便的计算。

)(2
)(33r R R GMmr
R GMmR r R F W AB
-⋅+=-⋅=)(2223
r R R GMm -⋅=。

万有引力做功等于引力势能减少量，可得：pB pA AB E E W -=，其中R GMm E pA -
=，所以)3(2223r R R
GMm E pB --=。

例2．如图所示，设想在地球表面的A 、B 两地之间开凿一直通隧道，在A 处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦，试证明小球在隧道内做简谐运动。

地球内部质量均匀分布，不考虑地球自转。

设地心到隧道的距离为d ，取隧道中点为坐标原点，当小球的位置矢量为x 时，所受的引力大小为2
23d x R GMm F +⋅-
=，此力沿隧道方向的分力为22223d
x x d x R GMm F +⋅+⋅-= x R
GMm
⋅-
=3。

所以小球在隧道内做简谐运动。

参考文献：1. 赵凯华、陈熙谋，电磁学（上册），高等教育出版社，
1985.6
2. 沈晨，更高更妙的物理，浙江大学出版社，2006.1。