无理数和平方根复习
无理数及根号基础知识回顾
无理数及根号基础知识回顾无理数的解题方法一、无理数及根号1. 无理数为无限不循环小数。
（满足条件3个条件，小数无限不循环）判定方法：带“√”且无法分解的，带π 的。
其余均为有理数。
2. 读法：√x 读作“根号x ”，“x 的算数平方根” “x 的二次方根”。
√3读作“x 的立方根” “x 的三次方根”。
√x 4读作“x 的四次方根”。
√x 5读作“x 的五次方根”。
√x 6读作“x 的六次方根”。
√x n 读作“x 的n 次方根”。
注意：√=√2，当√2通常“根号”处的“2”不写。
3. 根号和无理数怎么来的？2×2=22=4 , 3×3=32=9，那么思考：A ×A =22=4，那么A= ; B ×B =32=9，那么B= C ×C =42=16，那么C= ; D ×D =52=25，那么D=再思考：E ×E =E 2=7，那么E=观察：2×2=22=4 , 3×3=32=9A ×A =22=4，那么A=√4=√22=2,即√4=2B ×B =32=9，那么B=√9=√32=3,即√9=3C ×C =42=16，那么C=√16=√42=4,即√16=4D ×D =52=25，那么C=√25=√52=5,即√25=5那么：E ×E =E 2=7，那么E=√7★无法计算的则直接用根号表示。
同理：2×2×2=23=8，那么F ×F ×F =F 3=23=8√83=√233=2那么：G ×G ×G =G 3=10，那么G=√1034. 无理数的简化计算基本数√4=2 √9=3 √16=4 √25=5 √36=6 √49=7 √64=8 √81=9 √100=10 √121=11 √144=12 √169=13 √196=14 √225=15√83=2 √273=3 √643=4 √1253=5 √2163=6 √3433=7 √5123=8 √164=2 √814=3 √325=√255=225=32，26=64，27=128，28=256，29=512，210=1024 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=22523=8 33=27 43=64 33=125 63=216 73=343 83=512 24=16 34=81 25=32简化计算√8=√4×2=√4×√2=2√2, √12=√4×3=√4×√3=2√3 √18=√9×2=√9×√2=3√2, √20=√4×5=√4×√5=2√5 √56=√4×14=√4×√14=2√14, √52=√4×13=√4×√13=2√13试试看：√24，√48，√72，√56，√108，√37535. 平方根与算数平方根，偶数次方根和奇数次方根√?2 √?32此情况不存在。
2023学年浙教版七年级数学(算术平方根、平方根、立方根、无理数)压轴题解题方法与练习(附答案)
2023学年浙教版七年级数学（算术平方根、平方根、立方根、无理数）压轴题解题方法与练习考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根例题：（2022∙湖北随州∙七年级期末）1的平方根为______，8的立方根为______，9的算术平方根为______． 【变式训练】1．（2022∙黑龙江∙__________的算术平方根是__________．2．（2021∙四川成都∙八年级期中）25的平方根是______________，27-的立方根是_________．考点二 利用算术平方根的非负性解题例题：（2022∙湖南湘潭∙（b ﹣2）2＝0，则a +b ＝_____． 【变式训练】1．（2021∙甘肃陇南∙20210b -=，则ab =________．2．（2022∙江苏∙八年级）已知实数x ，y 满足|3|0x +=，则代数式2021()x y +的值为 __．考点三 求算术平方根的整数部分与小数部分例题：（2022∙全国∙八年级课时练习）已知a ，b 则2a ﹣b 的值为______． 【变式训练】1．（2020∙吉林∙__________.2．（2022∙江苏∙八年级）设2的整数部分和小数部分分别是x 、y ，试求x 、y 的值与x ‐1的算术平方根．考点四 与算术平方根有关的规律探索题例题：（2020∙青海海东∙七年级期中）你能找出规律吗？(1)= ，= ，= ，= ； (2)；(3)若a =，b =a ，b典型例题【变式训练】1．（2021∙河南焦作∙七年级期中）计算：___＝___＝___，___=___．（1a 吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来；（22．（2021∙全国∙八年级单元测试）(1) 观察被开方数a :(2)根据你发现的规律填空:①≈1.414 =________；0.274的整数部分为x ,=___________.考点五 求代数式的平方根例题：（2022∙吉林四平∙七年级期中）已知21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4． (1)求a 、b 的值； (2)求5+ab 的平方根．【变式训练】1．（2022∙全国∙八年级课时练习）已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的平方根是4±，c 分，求2a b c +-的平方根．2．（2020∙四川∙安岳县石羊初级中学八年级期中）已知2b +1的平方根为±3，3a +2b ﹣1的算术平方根为4，求2b +3a 的平方根．3．（2022∙全国∙互为相反数，k 是64的平方根，求m ‐n +k 的平方根．考点六 利用平方根、立方根解方程例题：（2022∙江苏泰州∙八年级期末）求出下列x 的值： (1)4x 2‐9=0 (2)8（x +1）3=125【变式训练】1．（2022∙江苏∙八年级）求x 的值： (1)2361(1)16x -=； (2)364(21)27x +=．2．（2022∙河南洛阳∙七年级期中）解方程： (1)3x 2﹣27＝0；(2)（x ﹣1）2425=(3)8（x ﹣1）31258=-考点七 无理数的定义与分类例题：（2022∙浙江湖州∙七年级期末）下列各数中，无理数是（ ）A ．πB ．2.3C ．﹣1D ．3.14【变式训练】1．（2022∙浙江宁波∙七年级期末）10,,3π- （每两个1之间多一个0 ）中，无理数的个数有（ ）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个2．（2022∙江苏∙七年级专题练习）在3.14159，0.333…，23，0.162，3.010010001…（每两个1之间0的个数逐次增加1），29π中，是无理数的有______________________________．课后训练参考答案考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根例题：（2022∙湖北随州∙七年级期末）1的平方根为______，8的立方根为______，9的算术平方根为______． 【答案】 ±1 2 3 【答案解析】 【要点分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义进行解答即可． 【过程详解】解：1的平方根为±1，8的立方根为2，9的算术平方根为3． 故答案为：±1；2；3． 【名师点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义是解题的关键． 【变式训练】1．（2022∙黑龙江∙__________的算术平方根是__________． 【答案】 ±2【答案解析】 【要点分析】的算术平方根． 【过程详解】 解：∵4=，∴4的平方根是2±； ∵6=，∴6故答案为：2±． 【名师点睛】本题考查平方根和算术平方根．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根．正确理解和掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．典型例题2．（2021∙四川成都∙八年级期中）25的平方根是______________，27-的立方根是_________．【答案】 5± 2 ‐3 【答案解析】 【要点分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行解答即可． 【过程详解】解：25的平方根是5±2，27-的立方根是‐3． 故答案为：5±；2；‐3． 【名师点睛】4的算术平方根．考点二 利用算术平方根的非负性解题例题：（2022∙湖南湘潭∙（b ﹣2）2＝0，则a +b ＝_____． 【答案】1 【答案解析】 【要点分析】根据算术平方根和偶次方的非负数性质可得a 、b 的值，相加即可． 【过程详解】解： 2(2)0b -=0，2(2)0b -…， 10a ∴+=，20b -=，解得1a =-，2b =， 121a b ∴+=-+=．故答案为：1． 【名师点睛】本题考查非负数的性质，解题的关键是掌握两个非负数的和为0，这两个非负数均为0． 【变式训练】1．（2021∙甘肃陇南∙20210b -=，则ab =________． 【答案】‐1 【答案解析】 【要点分析】先根据非负数的性质求出a 、b 的值，然后代入ab 计算即可．【过程详解】解：∵20210b -=，∴a +1=0，b ‐2021=0， ∴a =‐1，b =2021， ∴ab =(‐1)2021=‐1．故答案为：‐1． 【名师点睛】本题考查了非负数的性质，以及有理数的乘方运算，根据非负数的性质求出a 、b 的值是解答本题的关键．2．（2022∙江苏∙八年级）已知实数x ，y 满足|3|0x +=，则代数式2021()x y +的值为 __． 【答案】1- 【答案解析】 【要点分析】利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果． 【过程详解】解：|3|0x += ，30x ∴+=，20y -=，解得：3x =-，2y =， 则原式2021(32)1=-+=-． 故答案为：1-． 【名师点睛】此题考查了代数式求值、绝对值和算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．考点三 求算术平方根的整数部分与小数部分例题：（2022∙全国∙八年级课时练习）已知a ，b 则2a ﹣b 的值为______．【答案】9 【答案解析】 【要点分析】再代入即可. 【过程详解】∵9＜13＜16，∴34，∴a =3，b 3，∴2a﹣b=2×33）=63=9故答案为9【名师点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键. 【变式训练】1．（2020∙吉林∙__________.3【答案解析】【过程详解】∵9<13<16,∴34,∴的整数部分是33.‐3.2．（2022∙江苏∙八年级）设2的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x‐1的算术平方根．【答案解析】【过程详解】代入求值即可．试题答案解析：因为4＜6＜9，所以2＜3，的整数部分是2，所以2的整数部分是4，小数部分是2‐4‐2，‐2=即x=4，y考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．考点四 与算术平方根有关的规律探索题例题：（2020∙青海海东∙七年级期中）你能找出规律吗？(1)= ，= ，= ，= ；(2)；(3)若a=，b=a，b【答案】(1)6；6；20；20；规律见答案解析；(2)9(3ab =【答案解析】【要点分析】（1=（a ≥0，b ≥0），据此判断即可． （2=进行解答即可．（3）根据a =b =ab ===，据此解答即可．(1)∵236=⨯=6==4520=⨯=20==，∴=（a ≥0，b ≥0）． 故答案为：6；6；20；20(2)9===；(3)∵a =b =∴ab ===，【名师点睛】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．【变式训练】1．（2021∙河南焦作∙七年级期中）计算：___＝___＝___，___=___．（1a 吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来； （2【答案】5，0.5，0，5，35；（1）不一定，(0)=0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩；（2）π－3.14 【答案解析】【要点分析】原式各项计算即可求得；（1）根据计算结果观察可发现规律；（2）原式利用得出规律计算即可得到结果．【过程详解】5=0.5=0=，5==35= 故答案为：5 , 0.5 , 0 , 5 , 35； （1a ，(0)=0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩（23.14 3.14ππ=-=-【名师点睛】本题考查了算数平方根，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．2．（2021∙全国∙八年级单元测试）(1) 观察被开方数a :(2)根据你发现的规律填空:①≈1.414 =________；0.274的整数部分为x ,=___________. 【答案】（1） 0.1；10；（2）①14.14；0.1414；②13. 【答案解析】【要点分析】（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案； （2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；（3）利用（1的值，然后得到整数x ，即可得到答案.【过程详解】解：（1）根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；∴0.1x =，10y =；故答案为：0.1，10；（2）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，∵1.414≈，∴14.14=0.1414=；故答案为：14.14，0.1414；（3）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，∵0.274=，∴27.4=，∴27x =，∴13==； 故答案为：13. 【名师点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，解题需注意被开方数的小数点和相应的算术平方根的小数点之间的互换关系．考点五 求代数式的平方根例题：（2022∙吉林四平∙七年级期中）已知21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4．(1)求a 、b 的值；(2)求5+ab 的平方根．【答案】(1)a ＝5，b ＝4；(2)5±．【答案解析】【要点分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可；（2）根据平方根定义，求解即可．(1)解：∵21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4．∴219a -=，3116a b +-=，解得a ＝5，b ＝4．(2)解：当a ＝5，b ＝4时，ab +5＝25 ，而25的平方根为5=±，即ab +5的平方根是5±．【名师点睛】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义．【变式训练】1．（2022∙全国∙八年级课时练习）已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的平方根是4±，c 分，求2a b c +-的平方根．【答案】【答案解析】【要点分析】先根据题意已知式子的算数平方根和平方根求出式子的值，继而可求出5a =，2b =分3c =，然后把a 、b 、c 的值代入【过程详解】解：根据题意可得22139a -==，解得5a =；231(4)16a b +-=±=，把5a =代入可得2b =；因为c 3c =；把5a =，2b =，3c =代入=故答案为．【名师点睛】本题主要考查了已知式子的算数平根和平方根求式子的值，求无理数的整数部分，求代数式的平方根的有关知识．2．（2020∙四川∙安岳县石羊初级中学八年级期中）已知2b +1的平方根为±3，3a +2b ﹣1的算术平方根为4，求2b +3a 的平方根．【答案】．【答案解析】【要点分析】分别根据2b +1的平方根是±3，3a +2b ‐1的算术平方根是4，求出a 、b 的值，再求出2b +3a 的值，求出其平方根即可．【过程详解】解：由题意可知：2b +1=（±3）2=9，∴b =4， 3a +2b ‐1=42=16，∴3a +8‐1=16，∴a =3，∴2b+3a=8+9=17，∴2b+3a的平方根．【名师点睛】本题考查的是平方根和算术平方根的定义，根据题意求出a、b的值是解答此题的关键．3．（2022∙全国∙互为相反数，k是64的平方根，求m‐n+k的平方根．【答案】【答案解析】【要点分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2‐n‐0，解得m=‐1，n=2；由k是64的方根，得出k=±8，再代入m、n、k的值求得m‐n+k的值，求其平方根即可．【过程详解】∵互为相反数，∴＝0，又∵≥0≥0，∴m+1=0，2‐n‐0，∴m=‐1，n=2，∵k是64的平方根，∴k=±8；当k=8时，m‐n+k＝－1－2+8＝5，由m‐n+k的平方根为当k=‐8时，m‐n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m‐n+k的平方根为【名师点睛】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．考点六 利用平方根、立方根解方程例题：（2022∙江苏泰州∙八年级期末）求出下列x的值：(1)4x2‐9=0(2)8（x+1）3=125【答案】(1)x132=，x232=-(2)x＝1.5【答案解析】 【要点分析】（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x ；（2）根据立方根的定义，开立方求出x ．(1)解：4x 2﹣9＝0， 4x 2＝9，x 294=， x 132=，x 232=-； (2) 8（x +1）3＝125，（x +1）31258=， x +152=， x ＝1.5．【名师点睛】本题主要考查了平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．【变式训练】1．（2022∙江苏∙八年级）求x 的值：(1)2361(1)16x -=；(2)364(21)27x +=．【答案】(1)2319x =或1519=x (2)18x =- 【答案解析】【要点分析】（1）通过系数化为1、开平方进行求解；（2）通过系数化为1、开立方进行求解．(1)系数化为1，得216(1)361x -=， 开平方，得4119x -=±， 解得2319x =或1519=x ；(2)系数化为1，得327(21)64x +=， 开立方，得3214x +=， 解得18x =-． 【名师点睛】此题考查了运用开平方、开立方解方程的能力，关键是能通过方程的特殊结构选择解方程的方法求解． 2．（2022∙河南洛阳∙七年级期中）解方程：(1)3x 2﹣27＝0；(2)（x ﹣1）2425= (3)8（x ﹣1）31258=- 【答案】(1)3x =或3x =-(2)72x =或32x =- (3)14x =-【答案解析】【要点分析】（1）根据平方根的定义解方程;（2）根据平方根的定义解方程；（3）根据立方根的定义解方程(1)29x =3x =±∴3x =或3x =-(2)（x ﹣1）2425= 512x -=± 72x ∴=或32x =- (3)8（x ﹣1）31258=- ()3125164x -=- 514x ∴-=- 14x ∴=- 【名师点睛】本题考查了根据平方根与立方根解方程，掌握平方根与立方根是解题的关键．考点七 无理数的定义与分类例题：（2022∙浙江湖州∙七年级期末）下列各数中，无理数是（ ）A ．πB ．2.3C ．﹣1D ．3.14【答案】A【答案解析】【要点分析】 根据无限不循环小数为无理数即可求解．【过程详解】解：A 、π为无理数，故A 选项正确；B 、2.3为有理数，故B 选项错误；C 、‐1为有理数，故C 选项错误；D 、3.14为有理数，故D 选项错误．故选：A ．【名师点睛】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．【变式训练】1．（2022∙浙江宁波∙七年级期末）10,,3π- （每两个1之间多一个0 ）中，无理数的个数有（ ） A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个【答案】B【答案解析】【要点分析】无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的概念进行判断即可．【过程详解】由无理数的概念知：π0.010010001…（每两个1之间多一个0 ）这三个数是无理数． 故选：B ．【名师点睛】本题考查了无理数的概念，一般地：π与有理数的和、差、积（0除外）、商（0除外）的运算结果仍是无理数；开不尽方的数是无理数；形如0.010010001…（每两个1之间多一个0 ）的一类数也是无理数．2．（2022∙江苏∙七年级专题练习）在3.14159，0.333…，23，0.162 ，3.010010001…（每两个1之间0的个数逐次增加1），29π中，是无理数的有______________________________． 【答案】3.010010001…（每两个1之间0的个数逐次增加1），29π 【答案解析】【要点分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【过程详解】 解：23是分数，属于有理数； 3.14159是有限小数，0.162，0.333…是无限循环小数，它们都是有理数， 3.010010001…（每两个1之间0的个数逐次增加1），29π是无理数． 故答案为：3.010010001…（每两个1之间0的个数逐次增加1），29π． 【名师点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．课后训练+2进行计算即可解答．【名师点睛】本题考查了实数的分类，解题关键是准确掌握实数的分类，注意不重不漏．的近似值，即可得出。
专题四 无理数及二次根式
答案：±2，2 7.算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________。 答案：0 和 1，0 和±1 8.若 x
2
256 ，则 x ________，若 x 3 216，则 x ________。
答案：±16，-4
练习
1.下面说法中，正确的是（ ） B． 带根号的数都是无理数 D． 无限小数都是无理数 ） A． 无限不循环小数都是无理数 C． 无理数都是带根号的数 2. ( 6) 的平方根是（
｛★二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根；二次根式的除法 运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。｝ （3）有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。 （4）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式①被开方数每一个因式都小于 2；②被开方数不含分母。 （5）同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，
a2
-
b2
+
( a b) 2
．
5 a 是一个数 m 的平方根，则 a ____, m ______ .
18.如果 2a 1 和
19.求下列各式中 x 的值:
(1)16x 2 49 0
(2)(x 1) 2 25
(3)(2 x) 3 8
(4) ( x 3) 3 27
20、计算： （1 ）
3 3 2 2
｛★由立方根的定义可以得出，每一个数都有立方根，且只有一个。正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负 3 3 3 3 3 3 数的立方根是负数。 √-a=- √a， 利用这个性质可把负数立方根转化为正数立方根来处理； √a =a， （ √a） =a， 3 3 3 3 从而有 √a =（ √a） ｝
升初二数学教案第一讲--无理数与平方根
升初⼆数学教案第⼀讲--⽆理数与平⽅根DSE ⾦牌数学专题系列⽆理数与平⽅根第⼀讲⼀、导⼊：⽆理数的由来⼆、知识点回顾：有理数的分类有理数：和统称为有理数。
有理数分类如下：（1）按整数、分数分类（2）按数的正、负性分类三、知识点精讲 1．⽆理数：⽆限不循环⼩数叫做⽆理数。
2．平⽅根: 如果⼀个数的平⽅等于a ，这个数就叫做a 的平⽅根（或⼆次⽅根），就是说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平⽅根. 这⾥，a 是x 的平⽅数，它是⼀个⾮负数，即a ≥03．平⽅根的表⽰⽅法:(1)当a >0时，a 的平⽅根记为±a ；(2)当a ＝0时，a 的平⽅根是a ，即0＝0；(3)当a <0时，a 没有平⽅根.4．平⽅根的性质:⼀个正数有两个平⽅根，它们互为相反数；0有⼀个平⽅根，它就是0本⾝；负数没有平⽅根.5．算术平⽅根: 正数a 的正的平⽅根，叫做a 的算术平⽅根，记作a ，0的算术平⽅根是0.6．算术平⽅根的性质: ⾮负数的算术平⽅根是⾮负数，即当a ≥0时，a ≥0.7．开平⽅: 开平⽅是⼀种运算⽅法，与加、减、乘、除、乘⽅⼀样，都是⼀种运算。
求⼀个数a 的平⽅根的运算，叫做开平⽅，其中a 叫被开⽅数。
平⽅与开平⽅互为逆运算.8． (1)(a )2＝a ，(a ≥0).........(0)0.........(0)......(0)a a a a a a >??===??-四、精典例题讲解1.⽆理数:例1、－1,23,3.14,－π,?3.3,0,2,27,24,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1)其中，是有理数的是_____________，是⽆理数的是_______________. 有理数有理数在上⾯的有理数中，分数有______________，整数有______________.【变式训练1】：1.下列数中是⽆理数的是（）A.??3212.0B.2πC.0D.7222.下列说法中正确的是（）A.不循环⼩数是⽆理数B.分数不是有理数C.有理数都是有限⼩数D.3.1415926是有理数3.⾯积为6的长⽅形，长是宽的2倍，则宽为（）A.⼩数B.分数C.⽆理数D.不能确定4.______⼩数或______⼩数是有理数，______⼩数是⽆理数.5.x 2=8,则x ______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”)6.已知：在数－43，－??24.1,π,3.1416,32,0,42,(－1)2n,－1.424224222…中，（1）写出所有有理数；（2）写出所有⽆理数；（3）把这些数按由⼩到⼤的顺序排列起来，并⽤符号“<”连接.2.平⽅根：例1、求下列各数的平⽅根：（1）169；（2）22514；（4）10－2；（5）0.0256；（6）172－82；（7）(-0.23)2（8）13例2、求满⾜下列⽅程的x 的值：（1）2x 3=；（2）2x 0.010-=；（3）23x 120-=；（4）()24x 125-=.例3、已知某数有两个平⽅根分别是a +3与2a －15,求这个数.【变式训练2】：1．判断下列说法是否正确：①±6的平⽅根是36；( )②1的平⽅根是1；( ) ③－9的平⽅根是±3；( )④19361±=( ) ⑤9是2)9(-的平⽅根；( )⑥|－16|的平⽅根是±4；( ) ⑦－5是25的平⽅根；( )⑧－π是2π-的平⽅根．( )2．填空题 (1) 1214的平⽅根是_________； (2)(－41)2的平⽅根是_________； (3)9-2的平⽅根是______； (4)4的值等于_________，4的平⽅根为_________；3．求下列各式中的x :（1）9（x 2＋1）＝34；（2）（3x －1）2＝253.算术平⽅根：例1、求下列各数的算术平⽅根.（1）900；（2）1；（3）6449；（4）14；（5）7；（6）2)6(-；（7）0.0625例2、求下列各式的值：（1）2)64(；（2）2)4(-；（3）4)3(-；（4）22)4(3-+.【变式训练3】： 1. 81的算术平⽅根是_____.2.若2a ＝2，则a ＝_____.3.若x x -+有意义，则1+x 的值是_____.4．求下列各式的值：（1）225)12(+-；（2）2)7(-；（3）9005136.031+；（4）81424.3?.4.算术平⽅根的⾮负性：例3、已知,043)2(2=-+-+-z y x 求z y x ，，的值.例4、y 4=+，你能求出x ，y 的值吗？例5、当2【变式训练4】：1.10b +=，则20072007_______a b +=.2.若实数a 、b 、c 满⾜23(5)0a b -++=，求代数式a b c+的值五、巩固练习（⼀）选择：1.下列语句正确的是（）A.3.78788788878888是⽆理数B.⽆理数分正⽆理数、零、负⽆理数C.⽆限⼩数不能化成分数D.⽆限不循环⼩数是⽆理数 2.16的算术平⽅根是（）A ．4±B ．4C ．2±D ．23.⼀个正偶数的算术平⽅根是m ，则和这个正偶数相邻的下⼀个正偶数的算术平⽅根是（）A.m +2B.m +2C.22+mD.2+m4.当1A.－3B.3C.2x －5D.55.下列说法中正确的是（）A.5的平⽅根是的平⽅根是5 C.5-的平⽅根是5± D.2-6. 下列各式中⽆意义的是（）A 、7-B 、7C 、7-D 、()27--7.下列各式中，正确的个数是（）① 3.09.0= ；② 34971±=；③23-的平⽅根是－3；④()25-的算术平⽅根是－5；⑤67±是36131的平⽅根 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.“254的平⽅根是52±”，由数学式⼦可以表⽰为（） A.52254±= B.52254±=± C.52254= D.52254-=- 9.下列判断正确的是（）A.⼀个数的倒数等于它本⾝，这个数是1B.⼀个数的绝对值等于它本⾝，这个数是正数C.⼀个数的相反数等于它本⾝，这个数是0D.⼀个数的平⽅根等于它本⾝，这个数是110.若a 是()24-的平⽅根，b 的⼀个平⽅根是2，则代数式a ＋b 的值为（） A 、8 B 、0 C 、8或0 D 、4或－4（⼆）填空：11.平⽅根是它本⾝的数是_________，算术平⽅根是它本⾝的数是___________.12.在0.351，－32，4.969696…,6.751755175551…,0,－5.2333, 5.411010010001…中，⽆理数的个数有______.13.已知2y x 3=-，且y 的算术平⽅根是4，则x= .14.若12+x 有意义，则x 范围是________. 15.已知｜x －4｜+y x +2=0,那么x =________,y =________. 16.如果a ＜0,那么2a =________,(a -)2=________.（三）解答题：17.求下列各式的值：⑴225 ⑵0004.0-；⑶4112±；⑷ ()21.0--；⑸ 04.081.0-.18．求下列各式中的x :（1）49（x 2＋1）＝50；（2）（3x －1）2＝（－5）2．19.已知a <0,b <0,求4a 2+12ab +9b 2的算术平⽅根.20.已知()215510x y x x y z -+-+-++=,求x y z ++的平⽅根.21.已知,2m +2的平⽅根是±4，3m +n +1的平⽅根是±5，求m +2n 的值.六、思维拓展1.已知x x x y 82112+---=，求654-+y x 的算数平⽅根.2.已知b a 、两数所表⽰的点B A 、在数轴上的位置如下图所⽰，化简代数式22)(b a b a +--.七、反思与总结____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________。
平方根知识点总结
平方根知识点总结
1. 平方根的定义
平方根是一个数字的平方的正值的那个根。
通常使用符号√来表示。
例如,√4 = 2,因为2的平方等于4。
2. 平方根的性质
a) √(a×b) = √a×√b
b) √(a/b) = √a/√b (b≠0)
c) (√a)^2 = a
d) (√a)^n = a^(n/2) (n为偶数)
e) √(a^n) = a^(n/2) (n为偶数)
3. 无理数和有理数的平方根
a) 完全平方数的平方根是有理数,例如√4 = 2,√9 = 3。
b) 非完全平方数的平方根是无理数,例如√2,√5,√π。
4. 计算平方根的方法
a) 对于有理数,可以通过长除法计算平方根的近似值。
b) 对于无理数,可以使用牛顿迭代法或其他数值方法来近似计算平方根。
c) 科学计算器和计算机可以快速精确地计算平方根。
5. 平方根在几何中的应用
平方根在计算三角形的边长、面积和体积等几何运算中有广泛应用。
例如,勾股定理就涉及到直角三角形的两条直角边的平方根和。
平方根是一个基本的数学概念,在各个学科领域中都有重要的应用。
掌握平方根的基本性质和计算方法,对于进一步学习高等数学和相关领域知识很有帮助。
第七讲 无理数与算术平方根
第七讲无理数及算术平方根知识要点：一、无理数1.无限不循环小数称为无理数。
2.判断一个数是无理数需满足三个条件：（1）是小数，（2）是无限小数，（3）是不循环小数。
三个条件，缺一不可。
3.有理数与无理数的主要区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。
（2）任何有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能。
二、算术平方根1. 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x a，那么这个正数x就叫作a的算术，读作“根号a”。
规定0的算术平方根是0.2.（1a是非负数，即a≥0；（20。
也就是说，正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
思维驿站：例题1、如图所示，（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设该正方形的边长为a，则a应满足什么条件？（3）a是有理数吗？变式练习：如图是由16个边长为1的正方形拼成的，连接这些小正方形的若干顶点，得到五条线段CA，CB，CD，CE，CF，其中长度不是有理数的有条。
例题2、已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是x cm。
（1）估计x在哪两个整数之间；（2）如果把x精确到十分位，估计x介于哪两个数之间。
变式练习：已知正整数m 满足条件239m =，则m 的整数部分为 。
例题3、下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？0, ,2π4,- ..0.12, 11,7- 1.112111211,⋅⋅⋅ 3.1415927变式训练：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14, 3,4- ..1.34, 1,3 0.35,- 0,π 0.2020002000002,⋅⋅⋅ 2,π 18例题4、 求下列各数的算术平方根。
（1）1.69 （2）719 （3）()16-- （4）()210-变式练习：计算下列各数的算术平方根。
（1）0 （2）121- （3）2234+ （4）223⎛⎫- ⎪⎝⎭巩固训练一、选择题1. 面积为6的长方形中，长是宽的2倍，则宽为 （ ）A. 整数B. 分数C. 无理数D. 无法确定2. 一个面积为13cm ²的正方形，它的边长是 （ ）A. 一个整数B. 一个分数C. 一个有理数D. 一个无理数3. 面积为3的正方形，其边长为x ，则x 满足 （ ）A. 12x <<B. 23x <<C. 34x <<D. 45x <<4. 估计面积为11的正方形边长的值（精确到十分位）为（）A. 3.1B. 3.4C. 3.3D. 3.55. 下列说法中正确的是（）A. 有理数与无理数的差是有理数B. 无限小数都是无理数C. 有理数都是有限小数D. 两个无理数的和不一定是无理数6. 下列说法不正确的是（）A. 无限小数都是无理数B. 无理数都是无限小数C. 有理数不都是有限小数D. 有限小数都是有理数7. 下列说法中正确的是（）A. 无理数是无限不循环小数B. 有理数是有限小数C. 正数、0、负数统称为有理数D. 无限小数是无理数8. 在实数113-，1.732，..0.23， 1.424424442-⋅⋅⋅，2π，2 6.28π-中，无理数有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个9. 16的算术平方根是（）A. 4B. 8C. －4D. ±410. 一个数的算术平方根是a，比这个数大2的数是（）A. 2a+ B. 2 C. 2 D. 22a+二、填空题1. 等边△ABC中，BC边上的高是AD，如果AB=6，则AD的长是介于整数和之间的无理数。
实数,无理数以及平方根与立方根题型总结
实数中的平方根和立方根一、平方根【学习目标】1．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根2．了解算术平方根、平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根【知识点】1．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中“”表示a的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”；“”表示a的负平方根，读作“负根号a”．零的平方根记作“”，．【总结】（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根．【说明】负数没有平方根，或者说负数不能进行开平方运算，这个结论只是在实属范围内正确．【经典例题】1．若√x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A.；B.；C. ；D. ．2．要使二次根式√x−3有意义，则x的取值范围是（）A. x≠3；B. x>3；C. x≤3；D. x≥3．3．下列各式中，正确的是（）A. √42=−4；B. √(−4)2=−4；C. −√42=4；D. √(−4)2=44．如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则(a−b)等于（）A. 7；B. 6；C. 5；D. 4．5．下列说法正确的是（）①−√2是2的一个平方根；②(−2)2的算术平方根是—2；③√16的平方根是±2；【知识点】【经典例题】例1．实数－2，0.4，17，√2，−π中，无理数的个数是（ ） A. 2个；B. 3个；C. 4个；D. 5个．例2．将下列有理数分类17，﹣1，12，0，﹣3.01，0.62，﹣15，−812，180，﹣15% （1）正数集合：{ }；（2）整数集合：{ }；（3）分数集合：{ }；（4）非负数集合：{ }．例3．有下列说法：①任何实数都可以用分数表示；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有√2，√3，√5，√7这4个；④π2是分数，它是有理数．其中正确的个数是（ ）A. 1；B. 2；C. 3；D. 4．例4．把下列各实数填在相应的大括号内π2，−|−3|，√−127，0，227，−3.，√5，1−√2，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0）．整数 { …}；分数 { …}；无理数 {… }；负数 { …}．四、实数比较大小【知识点】1.数轴比较法2.作差法3.作商法4.倒数比较法，5.平发法6.比较被开方数7.特殊值法，－2，√5表示在数轴上，并用“＜”将它们从小到大连接起来．例1．把112例2．如图所示，数轴上点A表示的数是−1，O是原点，以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB长为半径画弧交数轴于P1、P2两点，则点P1表示的数是，点P2表示的数是．例3．若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A. a＞0；B. ab＞0；C. a＜b；D. a，b互为倒数．例4．比较大小：－3__________ .(填“>””<”或“=”号)例5．已知a=（﹣1）2016，b=﹣（﹣1.2），c=﹣32，则a，b，c的大小关系是（）A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. c＞a＞bD. b＞a＞c例6．已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）A. M＜NB. M=NC. M＞ND. 不能确定例7．当时，的大小顺序是__________例8．比较两实数的大小：与【经典例题】例1．若x−1是125的立方根，则x−7的立方根是．例2．已知x，y为实数，且满足=0，那么x3-y3=__________．例3．下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数的符号一致；④如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是1或0．其中正确有（）个A. 1B. 2C. 3D. 4 例4．已知，且与互为相反数，求的平方根．例5．（1）一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，求a的值．（2）已知，求的立方根．（3）已知x、y为实数，且．求的值．例6．问题：（1）；（2）；（3）．探究1，判断上面各式是否成立．（1）______（2）______（3）______探究2：并猜想=______。
数学考点之平方根和无理数
数学考点之平方根和无理数初中数学知识点：平方根如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，如果x2=a，那么x叫做a的平方根，这里a是x的平方，它是一个非负数，即a≥0。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数;②0有一个平方根，是0本身;③负数没有平方根。
性质：①一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
②如果一个正数x的平方等于a，即x的平方等于a，那么这个正数x叫做a 的算术平方根。
a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。
③规定：0的平方根是0。
④负数在实数范围内不能开平方，只有在复数范围内，才可以开平方根。
例如：-1的平方根为±1，-9的平方根为±3。
⑤平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。
平方根和算术平方根都只有非负数才有。
被开方数是乘方运算里的幂。
求平方根可通过逆运算平方来求。
开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。
若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即正负根号a=正负x利用长式除法可以求平方根。
长式除法需要进行加法，减法，乘法，除法等四则运算。
一般计算机软件的运算精度小于20位数字，如要计算平方根到100位，四则运算的精度需100位以上。
1、概念：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根。
规定：0的算术平方根是0。
2、表示：a的算术平方根记为，读作“根号a”。
注：只有非负数有算术平方根，而且只有一个算术平方根。
平方根和算术平方根的区别于联系：它们之间的区别：(1)定义不同：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根;非负数a 的非负平方根叫做a的算术平方根。
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;而一个正数的算术平方根只有一个。
(3)表示方法不同：正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a。
初二上册数学第二章实数无理数、平方根和算术平方根讲义
无理数概念与平方根知识点1 算术平方根概念及性质22=x ,32=y ,42=z ,52=w ,已知幂和指数,怎么求求底数呢？我们知道：19614,16913,14412,121112222==== 那么请按照要求填写下表 1．已知边长求面积正方形边长 正方形面积 2.已知面积求边长正方形边长 正方形面积 11 121 13 169 0.3 0.09 12一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为“a ”,读作“根号a ”．特别地,我们规定0的算术平方根是0,即00=．由算术平方根的定义我们可知：a 的算术平方根a 是一个非负数;我们知道0²=0,正数x =a ＞0,所以a ≥0.即算术平方根定义中：a 中的a 是一个非负数,a 的算术平方根a 也是一个非负数,负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．例1.求下列各数的算术平方根：(1) 900; (2) 1; (3) 6449; (4) 14．例2.自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间？例3. 01)22=++++y x y （则xy =知识点2 平方根的概念及性质平方根的概念我们知道1²=（-1）²=1, 2²=（-2）²=4, 3²=（-3）²=9,……,a ²=（-a ）²=a ², 如果一个数x 的平方等于a ,即x ²=a .那么x 就叫做a 的平方根.正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示,其中a 表示a 的正的平方根（又叫算术平方根）,读作“根号a ”; －a 表示a 的负的平方根,读作“负根号a ”. ①一个正数a 的平方根有两个,记为a ± ,它们互为相反数.②0的平方根是0. ③负数没有平方根.知识点3 开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方,a 叫做被开方数.（开平方与平方互为逆运算）平方和开平方是互逆运算：2()a a (0)a ≥；2(0)(0)a a a aa a例1.如果x ²=a ,那么下列说法错误是（ ）A ．若x 确定,则a 的值是唯一的B ．若a 确定,则x 的值是唯一的C ．a 是x 的平方D ．x 是a 的平方根例2. a ±的意义是（ ）A ．a 的平方根B ．a 的算术平方根C ．当a ≥0时,a ±是a 的平方根 D ．以上都不正确例3.若1-x +（y +2）²=0,则2018)(y x +等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．20183D ．20183-例4.一个正数的平方根是2a ﹣3与a ﹣12,则这个正数为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．49例5.已知2-x 的平方根是2±,72++y x 的平方根是±3,求22y x +的平方根例6.已知2m +3和4m +9是一个正数的两个不同的平方根,求m 的值和这个正数的平方根.练习题：1.16的平方根是（ ）A ．±4B ．4C ．±2D ．22．4的平方根是 ;3的平方根是 16的平方根是 , 25）（-的平方根是________．3.下列运算正确的是（ ）A ．﹣213）（- =13 B ．26）（- =﹣6 C ．﹣25 =﹣5 D ．9 =±34.若正方形的边长为a ,面积为s ,则（ ）A ．s 的平方根是aB ．a 是s 的算术平方根C ．a =±D .s =5.如果将一个长方形ABCD 折叠，得到一个面积为144cm2的正方形ABFE ，已知正方形ABFE 的面积等于长方形CDEF 面积的2倍，求长方形ABCD 的长和宽．6.若（a －1）²＋|b －9|＝0,则a b 的平方根是 ．7..求下列各式的值：（1）44.1; （2）649; （3）25241 ． 8．在，3.1415926535，三个实数中，无理数的个数有（ ）A ．3B ．2C ．1D ．09．下列各数中，无理数是（ ） A ．2 B ．﹣C ．20%D ．π10．下列各数，3.14159265，，﹣8，，，中，无理数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．下列各数：﹣1，，0，，3.14，4.121121112……，其中无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，，0.1010010001…，（每两个1之间依次多一个0）中，无理数有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个13．在，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．在实数﹣，0.21，，，，0.20202中，无理数的个数为（）A．1B．2C．3D．415．下列各数，，π，0.2020020002…，，，中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个16．下列各数中一定有平方根的是（）A．m2﹣1B．﹣m C．m+1D．m2+117．一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，则这个正数为（）A．4B．16C．3D．918．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（）A．25B．49C．64D．8119．16的平方根是（）A．16B．﹣4C．±4D．没有平方根20．若a，b（a≠b）是64的平方根，则+的值为（）A．8B．﹣8C．4D．021．若一个数的平方等于81，则这个数是（）A．9B．﹣9C．±9D．±8122．下列计算不正确的是（）A．B．2ab+3ba＝5abC．3x﹣2x＝1D．|﹣3|＝323．一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（）A．7B．10C．﹣10D．10024．有理数a2＝（﹣5）2，则a等于（）A．﹣5B．5C．25D．±525．求下列各式中的x：（）（1）9x2﹣25＝0；（2）4（2x﹣1）2＝36．A．x＝和x＝2B．x＝﹣和x＝2或x＝﹣1 C．x＝±和x＝﹣1D．x＝±和x＝2或x＝﹣1 26．平方根等于它自己的数是（）A．0B．1C．﹣1D．4 27．36的平方根是（）A．18B．6C．±6D．±18 28．下列说法正确的是（）A．0的平方根是0B．1的平方根是1C．1的平方根是﹣1D．﹣1的平方根是﹣129．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（）A．±（m+1）B．（m2+1）C．D．30．2a﹣1和a﹣5是某个正数的两个不等的平方根，则实数a的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣2 31．一个正数的平方根是2m+3和m+1，则这个数为（）A．﹣B．C．D．1或32．一个正数m的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则m的值是（）A．2B．2或﹣2C．4D．4或36 33．（﹣10）2的平方根是（）A．﹣10B．10C．±10D．100 34．已知（x+1）2＝4，则x值为（）A．1B．±1C．1或﹣3D．3或﹣1 35．一个正数x的两个平方根分别是a﹣7和2a+1，则这个正数x＝（）A．2B．5C．16D．2536．下列说法：①0的平方根是0；②﹣1的平方根是﹣1；③（﹣4）2的平方根是﹣4；④0.01是0.1的平方根；正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个37．已知一个正数的两个平方根分别为x+2和2x﹣5，则这个正数是（）A．1B．7C．9D．8138．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（）A．﹣3B．1C．﹣1D．﹣3或139．下列叙述中，不正确的是（）A．0的平方根是0B．﹣22的平方根是±2C．正数的平方根是互为相反数D．是一个无理数40．下面说法中错误的是（）A．6是36的平方根B．﹣6是36的平方根C．36的平方根是±6D．36的平方根是641．在（﹣）2，0.9，﹣23（﹣a2+2），0，17六个数中，一定有平方根的个数是（）A．2B．4C．3D．542．2.89的正的平方根是（）A．1.7B．﹣1.7C．±1.7D．±1743．a是有理数，在a2+2，3|a|+5，|a|﹣4，5a2+2a2中一定有平方根的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个44．下列各数中，没有平方根的数是（）A．﹣（﹣2）3B．﹣（﹣47）C．1﹣（﹣2）D．﹣|﹣3|45．下列说法正确的是（）A．9是3的算术平方根B．5是25的算术平方根C．0.1的平方根是0.01D．是的算术平方根46．﹣可以表示（）A．0.2的平方根B．﹣0.2的算术平方根C．0.2的负的平方根D．﹣0.2的平方根47．81的平方根是（）A．B．﹣9C．9D．±948．下列说法正确的是（）A．﹣7是49的算术平方根B．7是（﹣7）2的算术平方根C．±7是49的平方根，即＝±7D．7是49的平方根，即±＝749．根据以下程序，当输入时，输出结果为（）A．B．2C．6D．50．下列计算正确的是（）A．＝±3B．|﹣3|＝﹣3C．＝2D．﹣32＝9 51．实数9的算术平方根是（）A．3B．±3C．﹣3D．±952．下列说法错误的是（）A．4是16的算术平方根B．2是4的一个平方根C．0的平方根与算术平方根都是0D．（﹣3）2的平方根是﹣353．下列计算正确的是（）A．B．C．D．54．下列运算正确的是（）A．﹣2×（﹣3）＝﹣6B．（﹣4）2＝8C．﹣10﹣8＝﹣18D．＝±255．下列各式中，正确的个数是（）①＝4 ②＝③﹣32的平方根是﹣3 ④的算术平方根是﹣5 ⑤是的平方根A．1个B．2个C．3个D．4个56．＝（）A．﹣3B．3C．D．57．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（）A．﹣485.8B．﹣48.58C．﹣153.6D．﹣1536 58．下列叙述中正确的是（）A．﹣2是4的平方根B．4的平方根是﹣2C．﹣2是（﹣2）2的算术平方根D．±2是（﹣2）2的算术平方根59．的平方根是（）A．9B．9或﹣9C．3D．3或﹣3 60．的平方根是（）A．16B．±16C．4D．±461．在1，，0，﹣四个实数中，最小数的是（）A．1B．C．0D．﹣62．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为16时，输出的y是（）A．B．C．4D．863．＝3，则a的值为（）A．±9B．9C．3D．。
无理数及根号基础知识回顾
无理数的解题方法一、无理数及根号1. 无理数为无限不循环小数。
（满足条件3个条件，小数 无限 不循环）判定方法：带“√”且无法分解的，带 π 的。
其余均为有理数。
2. 读法：√x 读作 “根号x ”， “x 的算数平方根” “x 的二次方根”。
√3读作 “x 的立方根” “x 的三次方根”。
√x 4读作 “x 的四次方根”。
√x 5读作 “x 的五次方根”。
√x 6读作 “x 的六次方根”。
√x n 读作 “x 的n 次方根”。
注意：√=√2，当√2通常“根号”处的“2”不写。
3. 根号和无理数怎么来的？2×2=22=4 , 3×3=32=9，那么思考：A ×A =22=4，那么A= ; B ×B =32=9，那么B= C ×C =42=16，那么C= ; D ×D =52=25，那么D=再思考：E ×E =E 2=7，那么E=观察：2×2=22=4 , 3×3=32=9A ×A =22=4，那么A=√4=√22=2,即√4=2B ×B =32=9，那么B=√9=√32=3,即√9=3C ×C =42=16，那么C=√16=√42=4,即√16=4D ×D =52=25，那么C=√25=√52=5,即√25=5那么：E ×E =E 2=7，那么E=√7★无法计算的则直接用根号表示。
同理：2×2×2=23=8，那么F ×F ×F =F 3=23=8√83=√233=2那么：G ×G ×G =G 3=10，那么G=√1034. 无理数的简化计算基本数 √4=2 √9=3 √16=4 √25=5 √36=6 √49=7 √64=8 √81=9 √100=10 √121=11 √144=12 √169=13 √196=14 √225=15√83=2 √273=3 √643=4 √1253=5 √2163=6 √3433=7 √5123=8 √164=2 √814=3 √325=√255=225=32，26=64，27=128，28=256，29=512，210=1024 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=22523=8 33=27 43=64 33=125 63=216 73=343 83=512 24=16 34=81 25=32简化计算√8=√4×2=√4×√2=2√2, √12=√4×3=√4×√3=2√3 √18=√9×2=√9×√2=3√2, √20=√4×5=√4×√5=2√5 √56=√4×14=√4×√14=2√14, √52=√4×13=√4×√13=2√13试试看：√24，√48，√72，√56，√108，√37535. 平方根 与 算数平方根，偶数次方根 和 奇数次方根√−2 √−32此情况不存在。
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无理数和平方根复习
一、选择题
1.下列数中是无理数的是（ ）
A.0.12∙∙32
B.2π
C.0
D.7
22 2.下列说法中正确的是（ ）
A.不循环小数是无理数
B.分数不是有理数
C.有理数都是有限小数
D.3.1415926是有理数
3.下列语句正确的是（ ）
A.3.78788788878888是无理数
B.无理数分正无理数、零、负无理数
C.无限小数不能化成分数
D.无限不循环小数是无理数
5.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ）
A.小数
B.分数
C.无理数
D.不能确定 二、填空题
6.在0.351，－3
2，4.969696…,6.751755175551…,0,－5.2333,5.411010010001…中，无理数的个数有______.
7.______小数或______小数是有理数，______小数是无理数.
8.x 2=8,则x ______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”)
9.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”)
10.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米(精确到0.01).
三、解答题
11.已知：在数－43，－∙∙24.1,π,3.1416,3
2,0,42,(－1)2n,－1.424224222…中， （1）写出所有有理数；
（2）写出所有无理数；
（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.
一、选择题
1.下列各式中，正确的是（ ）
A.－49- =－（－7）=7
B.4
12 =121 C.1694+ =2+43=243 D.25.0 =±0.5
2.下列说法正确的是（ ）
A.5是25的算术平方根
B.±4是16的算术平方根
C.－6是（－6）2的算术平方根
D.0.01是0.1的算术平方根
3.36的算术平方根是（ ）
A.±6
B.6
C.±6
D. 6
4.一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（ ） A.m +2 B.m +2 C.22+m D.2+m
二、填空题
6.x 2=(－7)2,则x =______.
7.若2+x =2,则2x +5的平方根是______.
8.若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为____.
9.已知0≤x ≤3,化简2x +2)3(-x =______.
10.若|x －2|+3-y =0,则x ·y =______.
1.判断题
(1)－0.01是0.1的平方根.………………………………………………………………( )
(2)－52的平方根为－5.…………………………………………………………………（ ）
(3)0和负数没有平方根.………………………………………………………………（ ）
(4)因为16
1的平方根是±41,所以161=±41.………………………………………（ ） （5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数.………………………………………（ ）
2.选择题
（1）下列各数中没有平方根的数是（ ）
A.－(－2)3
B.3－3
C.a 0
D.－（a 2+1） (2)2a 等于（ ）
A.a
B.－a
C.±a
D.以上答案都不对。