复变函数--习题课
复变函数第3篇习题课
y
C2
解 设C1 : z x, x : 1 1
C1 1 O
|z|z dz C1
0 1
1
x
|x|x dx
1
C2 : z ei t , t : 0 d z eit i d t
|z|z dz
C2
ei
t
e i
t
i d t
idt i
0
0
i 原式= | z | z d z | z | z d z
解(C解3i1C)Cg自C22C：1CC：1z原C11zz2z：：C22点d1dzzCz3沿xz2虚3ix•iy3iy轴,,0,1,03yx(至(i3yx::x::0i0,00i再yi))1水223dd13平((x3C至1 zCi3i21y)zd)2izd6z3019(ii原y032原)3式x62 式d2i=(d=i6yx)6232962363ii i
故 被积函数 在 | z | 1 上 处处解析
积分结果为0. 6
49页8 直接得到下列积分的结果，并说明理由
Ñ (3) ez (z2 1) d z |z|1
解 结果为 0 , 因为 被积函数 ez (z2 1) 在 | z | 1上 处处解析， 所以 积分结果为0.
Ñ (4)
|z| 1 2
1 (z2 1) (z3 1)
dz
解 结果为 0 , 由 (z2 1) (z3 1) 0 得到
z 1, z 1 3 i
2 这2些点都在圆 | z | 1 的外部。
故
被积函数
在
|
z
|
1
上
2
处处解析
2
积分结果为0. 7
49页9 沿指定曲线的正向计算下列积分
复变函数与积分变换第一章习题课.
解：
1）（1 i 3）10 [2(cos2 i sin 2 )]10
3
3
210 (cos20 i sin 20 )
3
3
1024(cos2 i sin 2 )
3
3
512 i512 3.
2)3
27
2k i
3e 3 , k
0,1,2.
13
13
w0
3( 2
i
2
), w1
3,
w2
3( 2
x2
x
y2
i
x2
y
y2
u iv,
u2 v2 1 . 4
13.已知映射 z3,求： 2）区域0 arg z 在平面上的像。
3
解：
2）映射 z3将区域0 arg z 映成
3
0 arg z .
15.设f (z) 1 ( z z ),(z 0),试证：当 2i z z
22
2
2 22
z 34 , Argz arctan5 2k , k 0,1,.
2
3
2.当x, y等于什么实数时，等式
x 1 i( y 3) 1 i 5 3i
成立。
解：
原式等价于x 1 i( y 3) 2 8i, 根据复数
相等的概念，有
x y
1 3
28,即
x 1 .
y 11
13. 三角函数
1）定义：
sin z eiz eiz , cos z eiz eiz
2i
2
2）性质： 在复平面内是解析的，且 (sin z) cosz ，(cosz) sin z ．
14. 对数函数
定义: 若 ew z ，则称 w 为复变函数 z 的对数 函数，记为 Lnz ．
复变函数课件第二章习题课
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复变函数极限的洛必达法则
如果f (z)和g(z)在z0解析,且f (z0 )=g(z0 ) 0, g '(z0 ) 0,
f (z) f (z0 )
lim f (z) lim z z0 zz0 g(z) zz0 g(z) g(z0 )
z z0
= f '(z0 ) g '(z0 )
习题课
第二章 解析函数
1、重点和难点 2、内容总结 3、习题处理
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1、重点与难点
重点：1. 函数解析性的定义和判别； 2. 初等解析函数；
难点：1. 解析函数的概念； 2. 多值函数单值化。
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2、内容提要
它们之间的关系
极限 连续性
指数函数 三角函数 双曲函数 对数函数
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复变函数连续的四则运算
(1) 在 z0 连续的两个函数 f (z) 和 g(z)的和、差、 积、商(分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续.
复合函数的连续性
(2) 如果函数 h g(z)在 z0 连续,函数 w f (h)在 h0 g(z0 ) 连续, 那末复合函数w f [g(z)]在 z0 处 连续.
sin(iz) i sh z, cos(iz) ch z.
、csionshh((xx
yi ) yi )
cosh x cos sinh x cos
y i sinh y i cosh
x sin x sin
y, y.
、cosh2 z sinh2 z 1
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双曲函数的定义和性质
复变函数论第三版课后习题答案解析
第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
:解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=]21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
复变函数论第三版课后习题答案解析
第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±L 。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
复变函数--习题课
(4) ch2 z sh2 z 1;
(5) sin(iz) i sh z, cos(iz) ch z.
18
4）对数函数 满足方程ew z (z 0)的函数 w f (z)
称为对数函数, 记为 w Ln z. 因此 w Ln z ln z i Arg z
ln z i arg z 2ki (k 0,1, 2,). 其中ln z ln z i arg z( arg z )称为对数函 数Ln z的主值(支),所以
0
z0 z 0
x0 x
当 z 沿正虚轴 z iy 趋于0时，有
lim
f (z)
f (0)
lim
1
1 e y2
z0
z0
y0 yi
lim f (z) f (0) , 故 f (z) 在原点不可导.
z0
z0
27
例5 研究 f (z) z Re z 的可导性.
解 设 z0 x0 iy0 为 z 平面上任意一定点,
8
2. 解析函数
1)定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可
导, 那末称 f (z) 在 z0 解析.
如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
如果函数 f (z) 在 z0 不解析, 那末称 z0 为 f (z) 的奇点.
线性部分.则 f (z0 ) z 称为函数 w f (z)在点 z0 的微分, 记作 dw f (z0 ) z.
f (z)dz.
7
如果函数在z0 的微分存在, 则称函数 f (z) 在 z0 可微.
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称 f (z)在区域 D内可微. 可导与微分的关系 函数 w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
复变函数与积分变换课后习题答案详解
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩．∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+=2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z35513cos πisin πi 3322=+=--z⑶33i +的平方根．解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i 44ππ2π2π4433i 6e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2 解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数课后部分答案
1 u v . 4
2 2
7.已知映射 z , 求：
3
2）区域0 arg z
解： 2）设z = re ,
3
3
在平面上的像。
i 3 3 3i
i
w (re ) r e ,
3 映成0 arg z .
映射 z 将区域0 arg z
8.下列函数何处可导？何处解析？ 1 ）f ( z) x2 yi; 3) f ( z) xy 2 ix 2 y;
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
复变函数—课后答案习题二解答
2 2
证
| f (z ) |= u 2 + v 2 ，于是
2
∂ | f (z ) |= ∂x
u
∂u ∂v ∂v ∂u u +v +v ∂ ∂ y ∂ y ∂x ， ∂x | f (z ) |= 2 2 2 2 ∂y u +v u +v
在 z 平面上处处连续，且在整个复平面 u,v 才满足 C-R 条件，故 f ( z ) = sin xchy + i cos xshy 在 z 平面处处可导，在 z 平面处处不解析。 3．指出下列函数 f ( z ) 的解析性区域，并求出其导数。 1） ( z − 1) ；
5
（2） z + 2iz ；
3
解
（1）若 f (z ) 恒取实值，则 v = 0 ，又根据 f (z ) 在区域 D 内解析，知 C-R 条件成立，于是
∂u ∂v ∂u ∂v =− = = 0， =0 ∂x ∂y ∂y ∂x
故 u 在区域 D 内为一常数，记 u = C (实常数 ) ，则 f ( z ) = u + iv = C 为一常数。 （2）若 f (z ) = u + iv = u − iv 在区域 D 内解析，则
2 2 ∂u ∂v ⎛ ∂v ⎞ ∂u ⎤ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂u ⎞ + 2uv⎜ − ⎟ ⎥ + v 2 ⎜ ⎟ + v 2 ⎜ ⎟ + 2uv ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎥ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎦
= =
复变函数课后习题答案(全)
精心整理习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（ 1）1（2）i2i 1)(i2)3(i（3）13i （4） i 84i21ii1 i解：（ 1） z1 3 2i ，3 2i 13因此： Re z3 , Im z2 ，13 13 （ 2） zii 3 i ， (i1)(i 2)13i10因此， Re z3 , Im z 1 ，1010（ 3） z1 3i ii3 3i 3 5i ，i 12 2因此， Re z3 , Im z 5 ，32（ 4） zi 8 4i 21i 1 4i i 1 3i因此， Re z 1, Im z 3，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（ ） （ ）1 3i （ ） r (sin i cos )1 i23（ 4） r (cos i sin ) （5）1 cos i sin(02 )解：（ 1） icosi sini e 2 22222（2） 13ii2(cosi sin)2e33 3（ 3） r (sini cos ) r[cos()i sin()] () i2re22（ 4） r (cos i sin ) r[cos( ) i sin( )]re i（5）1cosi sin2sin 22 2i sincos 22页脚内容..3． 求下列各式的值：（1）( 3 i)5 （ 2） (1i )100(1i)100（3）(13i )(cos i sin ) （4） (cos5 i sin 5)2(1 i )(cos i sin ) (cos3 i sin 3)3（5） 3i（ ）1i6解：（ 1） (3 i )5 [2(cos() i sin( ))] 566（2） (1 i )100(1i)100(2i )50( 2i )502(2)50251（3）(13i )(cos i sin )(1 i )(cos i sin )(cos5i sin 5 ) 2（4）i sin 3 )3(cos3（5） 3i3cosi sin22（6）1 i2(cos i sin )4 44． 设 z 11 i, z 23 i, 试用三角形式表示 z z 与z 1212z 2解： zcos i sin , z 2 2[cos() i sin( )] ，所以14466z 1z 22[cos() i sin( 46 )] 2(cos12 i sin ) ，4 6125． 解下列方程：（1） (z i )5 1（ 2） z 4 a 4 0( a 0)解：（ 1） zi51,由此z51i 2k ii ， (k0,1,2,3,4)e 5（2） z4a 44a 4 (cosi sin )..精心整理a[cos 1(2k ) i sin 1(2k )] ，当 k0,1,2,3时，对应的 4 个根分别为：44a(1 i ), a ( 1 i), a ( 1 i ), a (1 i)2 2 226x iy, 则xy zxy． 证明下列各题：（ 1）设 z2证明：首先，显然有 z x 2 y 2xy ；其次，因 x 2y 2 2 x y , 固此有 2( x 2 y 2 ) ( xy )2 ,从而 zx2y2x y2 。
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F [2u(t) 1] 2F [u(t)]F [1]
[ 2
i
2 ( )] 2 ( )
2
i
.
由Fourier变换的微分性质,得
F
[|
t
|]
iF ( )
2
2
.
23
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练习：求函数 | t | cos0t 的傅里叶变换.
解 F [| t | cos 0t] F [t sgnt cos 0t]
F [ f (t t0 )] e F it0 [ f (t)]
F -1 [F( 0 )] f (t)ei0t .
3. 微分性质
F [ f (t)] iF [ f (t)].
F [ f (n) (t )] (i )nF [ f (t )].
21
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d F ( ) F [itf (t )]. d
e d i(t t0 )
2
(t
t0 ).
18
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练习：
(1) 设f (t ) (t t0 ), 则F [ f (t )] ( D )
(A) 1
(B) 2
(C)ei t0
(D) eit0
(2) 设f (t ) cos 0t, 则F [ f (t )] ( A )
在连续点处
2sin .
f (t ) 1 2 sin eitd
2
所以
2 sin costd
0
5
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sin costd
0
0, t
, t
4
2
,
t .
4
,
t
0, t
6
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例2 计 算 函 数f
(t)
变 换.
解 法一 由F [u(t )et ] 1 ,
i
利用位移性质
F [u(t )et sin 0t]
1 F [u(t )etei0t ] 1 F [u(t )etei0t ],
2i
2i
28
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1
1
1
1
2i i( 0 ) 2i i( 0 )
2 0
广义Fourier变换
*
2
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一、求古典傅里叶变换、积分并验证广义积分结果
F ( ) f (t )eitdt
f (t) 1
F ( )eitd
2
3
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例1 求下列函数的傅立叶变换.
0, t 1
(1)
f
(t
)
1, 1,
( A) [ ( 0 ) ( 0 )] (B) [ ( 0 ) ( 0 )] (C )i[ ( 0 ) ( 0 )] (D)i[ ( 0 ) ( 0 )]
19
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(3) 设f (t ) (2 t ) ei0t , 则F [ f (t )] ( A )
2
F [et2 ]
e 4 .
再由微分性质可得
F [tet2 ]
2
e 4 .
2i
31
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注意到f (t)为奇函数
f (t) 1
F
[
f
(t
)]e
it d
2
1 π e itd
2 2i
1
2
e 4 isintd
4i
即有
2
e 4 isintd 2
2
e(1ii )t dt e (1ii )tdt
0
0
| | 1 e(1ii )t 0
e(1i i )t 0
2 1 i i
1 i i
| | e e (1ii )t
(1 i i )t
1 i i 0
1 i i 0
11
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1 2
( A) e2i 2 ( 0 ) (C ) e2i 2 ( 0 )
(B) e2i 2 ( 0 ) (D) e2i 2 ( 0 )
(4)下列变换中不正确的是( C )
( A)F [u(t )] 1 ( ) (B)F [1] 2 ( ) i
(C )F [2 (t )] 1
(D)F [sgn(t )] 2
i
2. (t)和1构成一个Fourier变换对.
3.1和2 ()构成一个Fourier变换对. 4.ei0t和2 ( 0 )构成一个Fourier变换对.
5. (t t0 )和eit0构成一个Fourier变换对.
17
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e dt i( 0 )t
2
(
0 ).
,
t
0 ,
则
函
数f
(t )的
t0
Fourier变 换 为
.
(2)设F
[
f
(t)]
1
3
2
, 则f
(t)
.
答案：
(1)
f
(t)
2a
a2 2
(2) 3 e |t| 2
16
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二、 广义傅里叶变换 一些常见函数的广义Fourier变换: 1.u(t )和 1 ( )构成一个Fourier变换对.
0 (
i
)2
,
再由微分性质
F
[tu(t )et
sin 0t]
i
d
d
02
0 (
i )2
20 (
[
2 0
（
i ) i）2 ]2
29
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法二
F
[tu(t )et
]
i
d
d
F ( )
(
1
i )2
由位移性质,F [tu(t )et sin 0t]
1 F [tu(t )etei0t ] 1 F [tu(t )etei0t ],
1
1 i
i
1
1 i
i
1
1 (1
)i
1
1 (1
)i
2 2 4 44 .
再由Fourier积分公式得
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
12
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1
F ( )costd
0
1
0
2 2 4 4 4 cos
td .
即
2
0 4
2 costd
4
0
2 4
2 4
costd
2
e |t|
cos
t.
解 所给函数Fourier变换为
F ( ) F [ f (t )] f (t )eitdt
e |t| cos teitdt
e |t| e it e it e it dt
2
10
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1 0 e(1ii )tdt 0 e(1ii )tdt
e|t| cos t .
2
13
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例4 已知某函数的傅氏变换为
F ( ) sin ,
求该函数.
解
f
(t)
1
2
sin eitd
1
0
sin
cos
td
1
2
0
sin(1
t )d
1
2
0
sin(1
t )d
14
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,
2
1
2
2
,
0,
2F
[tu(t
)
cos
0
t
]
F
[t
cos
0t]
i
i(
1
0
)
i ( 0 )
i
i
(
1
0
)
i ( 0 )
i ( 0 ) i ( 0 )
(
1
0 )2
1
( 0 )
.
24
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例6 求函数 (t 2)f (2t) 的傅里叶变换, 其中
F () F [ f (t)].
t 1
,
2
t
1
1
2
2
,
t 1 0,
t 1
0,
t 1 t 1
1
2
, ,
2
| t | 1 | t | 1
| t | 1
所以
0, | t | 1
f
(t
)
1 2
,
| t | 1.
1 4
,
| t | 1
15
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练习：
(1)设a
0,
f
(t)
eat ,
e
at
2i
2i
1 2i
[
1
i( 0 )]2
1 2i
[
1
i( 0 )]2
20 (
[
2 0
（
i ) i）2 ]2
30
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四、 综合运用
例8求函数f (t) tet2的Fourier变换,并推证
1
e
4 2