2018-2019数学新学案同步人教A版必修四(全国通用版)讲义：第一章 三角函数1.4.2(一) Word版含答案

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．知识点一 函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案 不一定．必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期．思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是．只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性． 梳理 函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数． 答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数． 答案 由诱导公式一知，对任意x ∈R ， 都有A sin [(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＝f (x )， 所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)也是周期函数．梳理 由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性思考 对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？ 答案 奇偶性．梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称．(2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．1．函数f (x )＝x 2满足f (－3＋6)＝f (－3)，所以f (x )＝x 2是以6为周期的周期函数．( × ) 提示 周期函数需满足对定义域内每一个值x ，都有f (x ＋T )＝f (x )，对于f (x )＝x 2，f (0)＝0，f (0＋6)＝f (6)＝36，f (0)≠f (0＋6)，∴f (x )＝x 2不是以6为周期的周期函数． 2．周期函数y ＝f (x )的定义域可以为[a ，b ](a ，b ∈R )．( × ) 提示 周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界． 3．任何周期函数都有最小正周期．( × )提示 常函数f (x )＝c ，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.类型一 三角函数的周期性 例1 求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R )．考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R .函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π， 即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π， 函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得．而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π.方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，2k π≤x ≤2k π＋π，－sin x ，2k π＋π<x ≤2k π＋2π(k ∈Z )．其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟 对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 跟踪训练1 (2017·大同检测)下列函数是以π为周期的函数是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝sin x ＋2 C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －1考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 C解析 y ＝sin x 及y ＝sin x ＋2的周期为2π，y ＝cos2x ＋2的周期为π，y ＝cos3x －1的周期为2π3.类型二 三角函数的奇偶性 例2 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性 解 (1)f (x )＝sin2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x ) ＝－sin2x －x 2sin x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12.∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z .∴f (x )既是奇函数又是偶函数．反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 跟踪训练2 若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( ) A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性 答案 D解析 由函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，可知y ＝cos(ωx ＋φ)＝sin ωx 或y ＝cos(ωx ＋φ)＝－sin ωx ， 由诱导公式，得φ＝k π＋π2(k ∈Z )．类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦函数性质的综合应用 解 ∵f (x )的最小正周期是π， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. 又∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点 余弦函数性质的综合应用解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cosπ＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos2π＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0. 同理，可得每连续六项的和均为0. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020) ＝f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＋f (2020) ＝cos 2017π3＋cos 2018π3＋cos 2019π3＋cos 2020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋cos 4π3＝12＋⎝⎛⎭⎫－12＋(－1)＋⎝⎛⎭⎫－12＝－32. 反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值．跟踪训练3 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦函数性质的综合应用 答案3解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＋f (2016)＋f (2017)＋f (2018) ＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2017)＋f (2018) ＝336⎝⎛⎭⎫sin π3＋sin 23π＋sinπ＋sin 43π＋sin 53π＋sin2π ＋f (336×6＋1)＋f (336×6＋2) ＝336×0＋f (1)＋f (2) ＝sin π3＋sin 23π＝ 3.1．(2017·金华十校期末)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)，则f (x )的奇偶性( ) A ．与ω有关，且与φ有关 B ．与ω有关，但与φ无关 C ．与ω无关，且与φ无关D ．与ω无关，但与φ有关考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性解析 因为当φ＝k π，k ∈Z 时，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)＝±cos ωx ，为偶函数； 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)＝±sin ωx ，为奇函数．所以f (x )的奇偶性与ω无关，但与φ有关． 2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性 答案 B解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos2x ， ∴f (x )＝－cos2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos2x ＝f (x )， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________． 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 ±π解析 T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π.4．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________. 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案2解析 f (22)＝f (22－20)＝f (2)＝ 2.5．(2017·广州六中期末)已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________. 考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性解析 由f (2018)＝2018a ＋b sin2018＋1＝7， 得2018a ＋b sin2018＝6，∴f (－2018)＝－2018a －b sin2018＋1 ＝－(2018a ＋b sin2018)＋1＝－6＋1＝－5.1．求函数的最小正周期的常用方法(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.一、选择题1．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 D解析 对于D ，x ∈(－1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数．2．下列函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin2xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2 D ．y ＝|sin2x |考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 C解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin2π的周期为T ＝2π2＝π；y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的周期为T ＝2π； y ＝|sin2x |的周期为T ＝π2.故选C.3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A ．5B ．10C ．15D ．20考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 B4．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋15π2是( ) A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为3π的奇函数 D ．周期为4π3的偶函数考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 A5．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x | B ．y ＝|sin x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x 考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 D解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝cos2x 是偶函数，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－sin2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 6．函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x 的奇偶性为( )A ．奇函数B ．既是奇函数也是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性 答案 D解析 由题意知，当1－sin x ≠0， 即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π＋π2，k ∈Z ， 由于定义域不关于原点对称， 所以该函数是非奇非偶函数．7．(2017·广州检测)如果函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为( )A ．3B ．6C ．12D ．24考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 B解析 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，所以T ＝2×π6＝π3，又2πω＝π3，解得ω＝6.二、填空题8．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－πx 3的周期是________． 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 6 解析 T ＝2π⎪⎪⎪⎪－π3＝2ππ3＝6. 9．(2017·海南国兴中学期末)函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2的最小正周期是________． 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 π2解析 ∵函数y ＝sin2x 的最小正周期T ＝π，∴函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2的最小正周期是π2. 10．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案22解析 f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 11．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13.若f (1)＝2，则f (99)＝________. 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案132解析 因为f (x )·f (x ＋2)＝13，所以f (x ＋2)＝13f (x )，f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的函数．所以f (99)＝f (24×4＋3)＝f (3)＝13f (1)＝132. 三、解答题12．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．13．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，f (x )的解析式．考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性解 当x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∵当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π. 四、探究与拓展14．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,4)，则正整数ω的最大值为________．考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，ω>0，则π2＜ω＜2π. ∴正整数ω的最大值为6.15．欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值． 考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性解 函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0,1]内至少含4934个周期， 即⎩⎨⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2， 所以ω的最小值为199π2.。