4-3分部积分法
高等数学课件4-3分部积分法
经济应用：在经济学领域，分部积分 法可以用于求解各种经济问题，例如 在宏观经济学、微观经济学等领域， 可以用于求解各种经济问题。
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高等数学课件4-3分部积分法
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CONTENTS
01 添加目录标题
02 分部积分法的基本 概念
03 分部积分法的计算 步骤
04 分部积分法的应用 实例
05 分部积分法的注意 事项
06 分部积分法的扩展 知识
添加章节标题
分部积分法的基本概念
分部积分法的定义
分部积分法是一种用于求解不定积分的方法
积分顺序：先对u 积分，再对v积分
积分结果：u和v 的乘积减去v的积 分
分部积分法的应用范围
求解一阶微 分方程
求解二阶微 分方程
求解高阶微 分方程
求解常微分 方程
求解偏微分 方程
求解积分方 程
分部积分法的计算步骤
确定被积函数和积分变量
分部积分法的基本思想：将复杂函数分解为简单函数 确定被积函数：选择合适的函数进行分解 确定积分变量：选择合适的变量进行积分 计算步骤：按照分部积分法的公式进行计算 注意事项：选择合适的函数和变量，避免出现错误
不当
注意积分公式 的使用，避免 公式使用错误
注意积分结果 的验证，避免 积分结果错误
注意积分上下限的取值
积分上下限的取值范围要合理，不 能超出函数的定义域
积分上下限的取值要保证积分结果 的正确性，不能出现错误
添加标题
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积分上下限的取值要满足积分条件， 不能出现无穷大或无穷小
积分上下限的取值要符合实际问题， 不能脱离实际背景
4.3分部积分法-习题
第 4 章 不定积分分部积分法 习题解1．求以下不定积分： ⑴xsin xdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，应将乘积中的 sin x 作为先积分部份，得x sin xdxxd( cosx) ---- sin xdx cos x cxcosxcos xdx---- udv uvvduxcosx sin x c ----cosxdx sin x c⑵ arcsin xdx ； 【解】被积函数已经拥有udv 的构造，能够考虑直接套用分部积分公式，得arcsinxdx xarcsin xxd arcsin x----udv uvvdux arcsin x 1 dx---- 整理x1 x 2x arcsin x 11 d (1 x2 ) ---- d (1 x 2) 2xdx21 x 2x arcsin x 1 x 2 c⑶xln( x 1)dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的ln( x 1) ，则应将另一部份 x 作为先积分部份，得x ln( x 1)dxln( x 1)d 1 x 2----xdx 1 x 2 c221 x 2ln( x 1)1x 2d ln( x 1) ----udv uvvdu221 x2 ln( x 1) 1 x 2 1 dx---- 整理22 x 11 x2 ln( x 1) 1 ( x 1 1 )dx ---- 化假分式为多项式 +真分式 2 2 x 1 1x 2 ln( x 1) 1 ( 1 x 2 x ln x 1) c2 2 21 (x2 1)ln( x 1) 1x 2 1 x c 2 4 2⑷xe x dx；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，应将乘积中的 e x作为先积分部份，得xe x dx xd ( e x ) ---- e x dx e x cxe x e x dx ---- udv uv vduxe x e x c ---- e x dx e x c( x 1)e x c⑸ e x cosxdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的 e x作为先积分部份，得e x cosxdx cosxd( e x ) ---- e x dx e x ce x cosx e x d cosx ---- udv uv vdue x cosx e x sin xdx ---- d cos x sin xdxe x cosx sin xd( e x ) ---- e x dx e x ce x cosx [ e x sin x e x d sin x] ---- udv uv vdue x (sin x cos x) e x cosxdx ---- d sin x cosxdx即有e x cosex(sin x cos x) excosxdx xdx移项、整理得 2 e x cosxdx e x (sin x cosx) C1整理得积分结果 e x cosxdx 1 e x (sin x cosx) c2【解法二】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得e x cosxdx e x d sin x ---- cosxdx sin x ce x sin x sin xde x ---- udv uv vdue x sin x ( e x )sin xdx ---- de x e x dxe x sin x e x d ( cosx)----sin xdxcosx c e x sin x e x ( cosx) ( cosx)de x ----udv uv vdue x (sin x cos x) (cosx)( e x )dx---- dexe x dxe x (sin x cos x)e x cosxdx----整理xcos xx即有exdx e (sin x cos x)ecosxdx将右侧的积分项移到左侧，整理得2 e x cos xdx e x (sin x cos x) 最后得积分结果e x cosxdx1 e x (sin x cosx) c2⑹x 2arctanxdx；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的arctanx ，则应将另一部份 x 2 作为先积分部份，得x 2arctan xdx arctan xd 1x 3----x 2 dx 1 x 3 c33 1x 3arctanx 1x 3 d arctanx----udv uvvdu3 31 x 3 arctanx 1 x 3 1 12 dx---- d arctan x1 12 dx33 xx1x 3 arctanx 1 ( x1 x2 ) dx ---- 化假分式为多项式 +真分式3 3 x1x 3 arctanx 1 ( 1 x 21 x dx)----分别积分3 3 2x 21x 3 arctanx 1 [ 1 x 2 1 1 2 d (1 x 2 )]---- d (1 x 2) 2 xdx3 3 2 2 1 x1x 3arctanx 1 [ 1 x 2 1ln(1 x 2)] c ---- 1du ln uc 3 3 2 2u1x 3arctanx 1 x 2 1ln(1 x 2 ) c----整理3 6 6⑺ x cos xdx ；2【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，将乘积中的 cos x作为先积分部份，得2cos x dx 2 cos x dx2sinxx cos xdxxd 2sinx----c2222 22x 2 x----udv uvvdu2x sin sin dx2 2x 2( 2cos xc ----xdxx x2cosx 2x sin) sin 2 sin dc2 222 222x sinx4cosxc---- 整理22⑻ln xdx ；【解】积分式已经拥有udv 的形式，能够直接套用分部积分公式，得ln xdxx ln xxd ln x---- udv uvvdux ln xx 1----d ln x1dxdxxxx ln x dx---- 整理xln x x c----dx x cx(ln x 1) c⑼ xsin x cosxdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得x sin x cosxdxx sin xd sin x----cos xdx sin x cxd 1 sin 2 x---- 仍为两不一样种类函数的乘积-- xuduxd 1 u 2221xsin 2x 1sin 2 xdx----udv uvvdu221xsin 2 x1 1 cos2x dx---- sin 2x1 cos2x2 2 22 1xsin 2x 1( x cos2xdx)---- 分别积分241 xsin2 x 1 ( x 1 cos2xd2x)----d 2x 2dx2 4 21 xsin2 x 1 ( x 1 sin2 x) c ----cosudu sin u c2 4 21xsin 2x 1 x 1sin 2x c ----整理2 4 8【此题解答案与课本后答案能够互化：1x sin 2x 1 x1sin2x c 1 x 1 cos2x 1 x 1sin 2x c1 1 x cos2x 1 1 c11xx sin 2xx cos2xsin 2 x c 】444 848【解法二】为利于积分的进行，先将乘积中的sin x cos x 化简为1sin 2x ，并将其作为先积2分部份，得x sin x cosxdx1 x sin 2xdx---- sin x cos x1sin 2x221 xd ( 1cos2x)----sin 2xdx1cos2 x c2 221 [ 1xcos2x ( 1cos2 x) dx]----udv uvvdu2 221x cos2x 1 cos2xdx ---- 整理4 41x cos2x 1cos2 xd2x ----d2x 2dx4 81x cos2x 1sin 2x c----cosudu sin uc4 8⑽x tan 2xdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，为便于积分，先将乘积中的tan 2 x 化为易于积分的 sec 2 x 1 ，得x tan 2 xdx x(sec 2 x 1)dx---- tan 2 x sec 2x 1( xsec 2 x x)dx---- 整理1 x2 xsec 2 xdx----分别积分21 x2 xd tan x----sec 2 xdx tan x c21 x2 x tan xtan xdx----udv uvvdu21 x2 x tan x sin x dx ---- tan xsin x 2cosxcos x1 x2 x tan x 1 d cos x ---- d cos xsin xdx2cosx1 x2 x tan x ln cosx c----1 du ln u c2uln 3 x ⑾ x 2 dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的ln 3 x ，则应将另一部份1作为先积分部份，得x23 xdxln 3 xd 1 12 dxln 2 ---- 1 c x x x xln 3 x 1d ln 3 x ---- udv uv vdux xln 3 x 1 3ln 2 x dx ---- d ln 3 x 3ln 2 x 1dxx x x xln 3 x 3 ln 2 x dx ---- 整理，并再次应用上边的方法x x2ln 3 x3ln 2 1----1 1cx xdx2 dxx xln 3 x 3ln 2 x 1 d3ln 2 x ---- udv uv vdu x x xln 3 x 3ln 2 x 1 6ln x 1dx ---- d 3ln 2 x 3 2ln x1dxx x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x---- 整理，并再次应用上边的方法x x x 2 dxln 3 x 3ln 2 x 6ln xd 1 ---- 12 dx 1 cx x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x 1d 6ln x ---- udv uv vdu x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x6 1---- d 6ln x6x x x2 dx dx x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x 6 c ---- 12 dx 1 cx x x x x x1(ln 3 x 3ln 2 x 6ln x 6) c ---- 整理x⑿(arcsin x)2 dx ；【解】积分式已经拥有udv 的形式，能够直接套用分部积分公式，得(arcsin x) 2 dx x(arcsin x)2 xd(arcsin x)2 ---- udv uv vdu x(arcsin x)2 x 2arcsin x dx---- d (arcsin x) 2 2arcsin x 1 dx1 x2 1 x2x(arcsin x)2 arcsin x 2x dx ---- 整理1 x2x(arcsin x)2 arcsin xd( 2 1 x2 )---- 2x dx 1x2 d (1 x2 ) 2 1 x2 c1 x2 1x(arcsin x)2 [ 2 1 x2 arcsin x ( 2 1 x2 )d arcsin x] ---- udv uv vdux(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 1 x2 1 dx1 x2---- d arcsin x1dx 1 x2x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 dx ---- 整理x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 x c⒀x2 e x dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，将乘积中的 e x作为先积分部份，得x2 e x dx x2d ( e x ) ---- e x dx e x cx2e x ( e x )dx2 ---- udv uv vdux2e x e x 2xdx ---- 整理x2e x 2xd( e x ) ---- e x dx e x cx2e x 2xe x ( e x )d 2x ---- udv uv vdux2e x 2xe x 2 e x dx ---- 整理x 2e x 2xe x 2e x c ----e x dx e x ce x ( x 2 2x 2) c----整理3⒁ e x dx ；【解】 被积函数中含根式， 且根指数与根号内多项式的次数不等，可应用第二换元积分法中的直接变换法，去掉根号后，再用分部积分法求解。
4-3分部积分法
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例10： 证明递推公式
n 2 2 I tan x (sec x 1) d x 证: n
tan
n 2
x d(tan x ) I n 2
( n 2)
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结束
例13：求
I
e arctan x
(1 x 2 ) 2
3
dx .
解法1 先换元后分部 令 t arctan x , 即 x tan t , 则 et I 3 sec 2 t d t e t cos t d t sec t
e t sin t e t cos t e t cos t d t 1 故 I (sin t cos t ) e t C 2 x 1 arctan x 1 C 2 2 e 1 x 2 1 x
解（二） 令 u x , cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C .
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例2
解
求积分
2 x x e dx .
2 x 2 x x de x e dx
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1 例12：求 I n n dx sin x 1 1 dx n 2 d cot x 解: I n n 2 2 sin x sin x sin x ( n 2) cot x n 2 cot x ( 2 n) sin1 n x cos x dx sin x cos x 1 sin2 x n1 ( 2 n) dx n sin x sin x cos x n 1 ( 2 n ) I n ( 2 n ) I n 2 sin x 1 cos x n2 故 In I n 2 ( n 2) n 1 n 1 sin x n 1
高数4.3 分部积分法
cos x sin x 2 C x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
2 sin x 2 cos x cos x d x x f ( x) dx 2 x x
本节小结
分部积分公式
u v dx u v uv dx u v v du
例4 求 e x sin x dx . （课本例7）
解: 令
v e x , 则 v ex
x x e e sin x ∴ 原式 cos x dx
再令
x
v e x , 则 v ex
e sin x e x cos x e x sin x dx
故 原式 =
2. 求不定积分 解： 方法1 (先分部 , 再换元)
d (e x 1)
令 则
方法2 (先换元,再分部)
令 则
故
3. 求 I sin ( ln x) dx 解: 令 则 x et , d x et d t
I e t sin t d t
et sin t et cos t d t
为三角函数 , 但两次所设类型 说明: 也可设 必须一致 .
解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 反: 反三角函数 顺序, 前者为 后者为 例5（补充题）求 解: 令
v 1 , 则
vx
原式 = x arccos x
x 1 x 2
对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
et (sin t cos t ) I
1 t I e (sin t cos t ) C 2 1 x [sin(ln x) cos(ln x)] C 2
§4-3__分部积分法
x
e sinx ( e cos x e d cos x )
x x
u dv
e x (sin x cos x ) e x sin xdx 注意循环形式
ex e x sin xdx (sin x cos x ) C 2
12
分部积分法
e kx sin(ax b)dx ,
例
arctan e x e x dx
令 u ex
解一:先换元再分部
arctan u 1 arctan e x du dx x e u u 1 arctan ud ( ) u 1 1 1 arctan u 2 du u u 1 u
23
1 1 u arctan u [ 2 ]du u u 1 u 1 1 arctan u ln u ln(1 u2 ) C u 2 1 x x e arctan e x ln(1 e 2 x ) C 2
11
x sin xdx . 例 求 e 应用分部积分法时,可不明显地写出如何选 取u、dv,而直接套用公式.(对较简单的情况) e x sin xdx sin xde x 解 u u dv e x sinx e x d(sin x )
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
4
分部积分法
udv uv vdu
分部积分公式
恰当选取u和dv是一个关键, 选取u和dv的一般原则是: (1) v要易求;
(2)
vdu 比 udv 易求.
5
二、例 题
例 求 x cos xdx .
4-3 不定积分的分部积分法
例1 求积分 x cos xdx .
u?
v?
解：令 u x, cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C .
解： 令 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2de x x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）u x, e xdx dv
x2e x 2 xde x x2e x 2( xe x e x ) C
x2e x 2 xe x 2e x C .
u Pm ( x ) ，使其降幂一次(假定 幂指数是正整数).
题型 求导降幂
注：若取 u cos x ，由分部积分，则需计算
x2 2
sin
xdx，比
x
cos
xdx
难度更大.
例2 求积分 xe xdx.
怎
解：取 u x, e xdx de x dv,
么
选
xe xdx xe x e xdx xe x e x C .
例3 求积分 x2e xdx.
例4 求u x,
2x
dx
d
2x ln 2
dv,
则
x2xdx
x
2x ln2
l2nx2dx
x
2x ln2
2x (ln2)2
C.
小结 对 Pm ( x)sin xdx( Pm ( x)cos xdx) 及 Pm ( x)a xdx 型积分，考虑取
高数第四章-第三节 分部积分法
6、计算 xexdx ，可设 u ______,dv __________ .
二、求下列不定积分：
1、 x 2 cos2 x dx ；
2
2、
(ln x)3 x2
dx
；
3、 e ax cos nxdx ； 5、 cos(ln x)dx ；
4、 e 3 x dx；
6、
xearctan x 3 dx .
第三节 分部积分法
一、基本内容
问题 xe xdx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u(v uv uv,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
分部积分公式
应用分部积分法的关键是恰当选取u、v. 选取u、v一般要考虑以下两点： (1) v要容易求得.
解 x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
例2 求积分 x2e xdx.
udv uv vdu.
解: x2e xdx x2dex x2e x e xdx2
x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
2、 x arcsin x 1 x 2 C ；
3、ln x , x 2dx；
4、e x , cos xdx ；
5、arctan x , x 2dx； 6、x , e x dx .
二、1、 x 3 1 x 2 sin x x cos x sin x C ； 62
2、 1 [(ln x)3 3(ln x)2 6 ln x 6] C ； x
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
高等数学分部积分法
17
例14 已知 f (x) 的一个原函数是 e x 2 , 求 xf (x)dx. 解 xf (x)dxxd[f(x)]x(fx)f(x)dx
f(x)dxex2C,
两边同时对x求导，得 f(x)2xex2,
xf(x)dx xf(x)f(x)dx
Inn 1sin n 1xco x snn 1In2
注意循环形式
I3
sin3 xdx
1sin 2xcoxs2
3
3
sin xdx
1si2n xcox s2cox sC.
3
3
20
例16 求
xe x dx.
ex 1
解 被积函数是两类函数的乘积，所以用分部积分法
xcoxsdx
设函数 uu(x)及 v v(x)具有连续导数. 则 (uv) uvuv,移项 uv(u)vuv
则 uvdxuvuvdx.
即 udvuv vdu 即为分部积分公式
利用分部积分公式求积分的方法叫分部积分法.
作用：化难为易
2
udvuvvdu
21
例16 求
xe x dx.
Байду номын сангаас
ex 1
另解 令 ex 1 u, 则du u22u1du,
(u21)lnu2 (1) 2u
原式=
u
u21du
2lnu(21)du2ulnu(21)4
u2 u21du
2uln u2(1)4u4arcu tC an
2x ex 14ex14arce txa 1n C .
总结 若被积函数是幂函数和对数函数(或反三角函
数)的乘积，就考虑设对数函数(或反三角函数)
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
4-3不定积分的分部积分法
1 x2 ln x 1 xdx 1 x2 ln x 1 x2 C 2 2 2 4
6
注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别.
例4
解
求积分
换元
及积分
分部
7
例5 求 解:
8
例6 解：
求
∫
9
例7 求 解
而 代入到上面的积分 , 有
10
例8 求 解:
11
例9 求 解
§4.4 不定积分的分部积分法
分部积分公式： 设函数
积的导数公式, 有 具有连续的导函数, 则由乘
移项后, 两边积分得:
uv uvdx,
公式（1）即称为分部积分公式.
（1）
在公式（1）中, 如果记
则公式（1）写成一个更容易记忆的公式:
udv uv vdu.
（2）
2
例1 求 解:
比
使得
uvdx 容易求得.
可按对（数函数）,反（三角函数）,幂（函
注2 : 一般地,
数）, 三（角函数）, 指（数函数）的顺序来选择 常见积分及相应规则如下:
将指数函数或三角函数视为
交换后对幂函数求导；
将幂函数视为
交换后对对数函数或反三角函数求导.
4
例2
解
求积分
取 则
注意到, 按另一种选择, 则
∫
由上述等式，可解得
12
在求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分法. 例10 求 解 作代换 则
13
小结
不定积分的分部换元法
uvdx uv uvdx,
或
udv uv vdv=exdx,则v=ex,du=dx ∫ xexdx=xex - ∫exdx =xex-ex+C
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求积分 x cos xdx .
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C .
2 x x 例2 求积分 e dx .
解
u x ,
2
e x dx de x dv ,
2 x 2 x x x x e e 2 xe dx dx
x sin(ln x ) x cos(ln x ) xd [cos(ln x )] x[sin(ln x ) cos(ln x )] sin(ln x )dx
x sin(ln x )dx [sin(ln x ) cos(ln x )] C . 2
x e 例6 求积分 sin xdx .
1 x 2 arctan x 1 x 2 d (arctan x )
1 x arctan x
2
1 1 x dx 2 1 x
2
1 x arctan x
2
1 dx 2 1 x 令 x tan t
1 1 2 dx sec tdt sec tdt 2 2 1 x 1 tan t
x x e sin xdx sin xde 解
e x sin x e x d (sin x ) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x ( e x cos x e x d cos x ) e x (sin x cos x ) e x sin xdx 注意循环形式
（再次使用分部积分法）u x , e x dx dv
x 2 e x 2( xe x e x ) C .
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3
x2 解 令 u arctan x , xdx d dv 22 2 x x x arctan xdx 2 arctan x 2 d (arctan x ) x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x 2 x 1 1 arctan x (1 )dx 2 2 2 1 x x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2
2 x e e
2 x2
x2
C.
二、小结
合理选择 分公式
u, v ，正确使用分部积
uvdx uv uvdx
思考题
在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？
思考题解答
注意前后几次所选的 u 应为同类型函数. 例
x e cos xdx
第一次时若选 u1 cos x
e e sin xdx (sin x cos x ) C . 2
x
x
x arctan x 例7 求积分 dx . 2 1 x x 2 解 1 x , 2 1 x x arctan x 2 arctan xd 1 x dx 2 1 x
一、基本内容
x xe dx ? 问题
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
设函数 u u( x ) 和v v ( x ) 具有连续导数, uv u v uv , uv uv uv ,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
x x x e cos xdx e cos x e sin xdx
第二次时仍应选 u2 sin x
练 习 题
一、填空题： 1、 x sin xdx ________________；
2、 arcsin xdx _______________； 4、计算 e
x
求积分 x arctan xdx .
例4
4 x 3 解 u ln x , x dx d dv , 4 1 4 1 3 3 x ln xdx x ln x x dx 4 4 1 4 1 4 x ln x x C . 4 16
求积分 x ln xdx .
二、求下列不定积分： x 1、 x 2 cos 2 dx ； 2
(ln x ) 3 dx ； 2、 2 x
3、 e ax cos nxdx ； 5、 cos(ln x )dx ；
4、 e 3 x dx ； 6、 xe arctan x (1 x 2 )
3 2
dx .
sin x 三、已知 是 f ( x ) 的原函数，求 xf ' ( x )dx . x 四、设 f ( x )dx F ( x ) C ， f ( x ) 可微，且 f ( x ) 的反
ln(sec t tan t ) C ln( x 1 x 2 ) C
x arctan x dx 2 1 x
1 x 2 arctan x ln( x 1 x 2 ) C .
例 8 已知 f ( x ) 的一个原函数是e
x2
, 求 xf ( x )dx .
x 5、 [cos(ln x ) sin(ln x )] C ； 2 x 1 arctan x e C； 6、 2 2 1 x x 2e x xe x e x C . 7、 x2 2 sin x C. 三、 cos x x
2 3、计算 x ln xdx ， 可设 u _____ ,dv ________；
cos xdx ，可设 u ____ ,dv ________；
2 5、计算 x arctan xdx ，可设 u ____ ,dv ______；
可设 u ______,dv __________ . 6、 计算 xe x dx ，
解
xf ( x )dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx ,
x2
f ( x )dx f ( x ), f ( x )dx e
f ( x ) 2 xe
C,
两边同时对 x求导, 得
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
分部积分公式
例1
1 2 解（一） 令 u cos x , xdx dx dv 2 2 2 x x x cos xdx 2 cos x 2 sin xdx 显然， u, v 选择不当，积分更难进行.
解（二） 令 u x , cos xdx d sin x dv
3
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u.
例5 解
求积分 sin(ln x )dx .
sin(ln x )dx x sin(ln x ) xd [sin(ln x )]
1 x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x
函数 f 1 ( x ) 存在，则来自1 1 f ( x ) dx xf ( x) F f
1
( x ) C .
练习题答案
一、1、 x cos x sin x C ； 2、 x arcsin x 1 x 2 C ； cos xdx ； 3、ln x , x 2 dx ； 4、e x , 5、arctan x , x 2 dx ； 6、 x , e x dx . x3 1 2 二、1、 x sin x x cos x sin x C ； 6 2 1 2、 [(ln x ) 3 3(ln x ) 2 6 ln x 6] C ； x e ax ( a cos nx n sin nx ) C 3、 2 2 a 3 n x 3 2 3 e ( x 23 x 2) C ； 4、