§4.3分部积分法
高等数学课件4-3分部积分法
经济应用：在经济学领域，分部积分 法可以用于求解各种经济问题，例如 在宏观经济学、微观经济学等领域， 可以用于求解各种经济问题。
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高等数学课件4-3分部积分法
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CONTENTS
01 添加目录标题
02 分部积分法的基本 概念
03 分部积分法的计算 步骤
04 分部积分法的应用 实例
05 分部积分法的注意 事项
06 分部积分法的扩展 知识
添加章节标题
分部积分法的基本概念
分部积分法的定义
分部积分法是一种用于求解不定积分的方法
积分顺序：先对u 积分，再对v积分
积分结果：u和v 的乘积减去v的积 分
分部积分法的应用范围
求解一阶微 分方程
求解二阶微 分方程
求解高阶微 分方程
求解常微分 方程
求解偏微分 方程
求解积分方 程
分部积分法的计算步骤
确定被积函数和积分变量
分部积分法的基本思想：将复杂函数分解为简单函数 确定被积函数：选择合适的函数进行分解 确定积分变量：选择合适的变量进行积分 计算步骤：按照分部积分法的公式进行计算 注意事项：选择合适的函数和变量，避免出现错误
不当
注意积分公式 的使用，避免 公式使用错误
注意积分结果 的验证，避免 积分结果错误
注意积分上下限的取值
积分上下限的取值范围要合理，不 能超出函数的定义域
积分上下限的取值要保证积分结果 的正确性，不能出现错误
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
积分上下限的取值要满足积分条件， 不能出现无穷大或无穷小
积分上下限的取值要符合实际问题， 不能脱离实际背景
高等数学 第四章 第三节 分部积分法
（再次使用分部积分法）u x , e x dx dv
x e 2( xe e ) C .
2 x x x
结论
若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 x arctan xdx . 2 x dv 解 令 u arctan x , xdx d
微分部分
积分部分
+
x
2
cos x
sin x
cos x
sin x
2x
2
结束
0
+
2 2 x cos xdx x sinx 2 x cos x 2 sinx C
例13 求积分 x e dx .
微分部分
2
x
竖式算法
选 u x 2 , v' e x
积分部分
+
x
2
e
x
2x
sec x tan x tan x sec xdx
2
sec x tan x (sec 2 x 1) sec xdx
这是一个 sec x tan x (sec 3 x tan x )dx 循环积分
sec x tan x I ln cos x
1 解出I即可 I (se cx tan x lncos x ) C 2
2 x e e
2 x2
x2
C.
例9
解：原式 x ln(1 x ) xd ln(1 x )
2 2
求 ln( x 1)dx
2
2x x ln( 1 x ) x dx 2 1 x
4.3分部积分法-习题
第 4 章 不定积分分部积分法 习题解1．求以下不定积分： ⑴xsin xdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，应将乘积中的 sin x 作为先积分部份，得x sin xdxxd( cosx) ---- sin xdx cos x cxcosxcos xdx---- udv uvvduxcosx sin x c ----cosxdx sin x c⑵ arcsin xdx ； 【解】被积函数已经拥有udv 的构造，能够考虑直接套用分部积分公式，得arcsinxdx xarcsin xxd arcsin x----udv uvvdux arcsin x 1 dx---- 整理x1 x 2x arcsin x 11 d (1 x2 ) ---- d (1 x 2) 2xdx21 x 2x arcsin x 1 x 2 c⑶xln( x 1)dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的ln( x 1) ，则应将另一部份 x 作为先积分部份，得x ln( x 1)dxln( x 1)d 1 x 2----xdx 1 x 2 c221 x 2ln( x 1)1x 2d ln( x 1) ----udv uvvdu221 x2 ln( x 1) 1 x 2 1 dx---- 整理22 x 11 x2 ln( x 1) 1 ( x 1 1 )dx ---- 化假分式为多项式 +真分式 2 2 x 1 1x 2 ln( x 1) 1 ( 1 x 2 x ln x 1) c2 2 21 (x2 1)ln( x 1) 1x 2 1 x c 2 4 2⑷xe x dx；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，应将乘积中的 e x作为先积分部份，得xe x dx xd ( e x ) ---- e x dx e x cxe x e x dx ---- udv uv vduxe x e x c ---- e x dx e x c( x 1)e x c⑸ e x cosxdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的 e x作为先积分部份，得e x cosxdx cosxd( e x ) ---- e x dx e x ce x cosx e x d cosx ---- udv uv vdue x cosx e x sin xdx ---- d cos x sin xdxe x cosx sin xd( e x ) ---- e x dx e x ce x cosx [ e x sin x e x d sin x] ---- udv uv vdue x (sin x cos x) e x cosxdx ---- d sin x cosxdx即有e x cosex(sin x cos x) excosxdx xdx移项、整理得 2 e x cosxdx e x (sin x cosx) C1整理得积分结果 e x cosxdx 1 e x (sin x cosx) c2【解法二】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得e x cosxdx e x d sin x ---- cosxdx sin x ce x sin x sin xde x ---- udv uv vdue x sin x ( e x )sin xdx ---- de x e x dxe x sin x e x d ( cosx)----sin xdxcosx c e x sin x e x ( cosx) ( cosx)de x ----udv uv vdue x (sin x cos x) (cosx)( e x )dx---- dexe x dxe x (sin x cos x)e x cosxdx----整理xcos xx即有exdx e (sin x cos x)ecosxdx将右侧的积分项移到左侧，整理得2 e x cos xdx e x (sin x cos x) 最后得积分结果e x cosxdx1 e x (sin x cosx) c2⑹x 2arctanxdx；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的arctanx ，则应将另一部份 x 2 作为先积分部份，得x 2arctan xdx arctan xd 1x 3----x 2 dx 1 x 3 c33 1x 3arctanx 1x 3 d arctanx----udv uvvdu3 31 x 3 arctanx 1 x 3 1 12 dx---- d arctan x1 12 dx33 xx1x 3 arctanx 1 ( x1 x2 ) dx ---- 化假分式为多项式 +真分式3 3 x1x 3 arctanx 1 ( 1 x 21 x dx)----分别积分3 3 2x 21x 3 arctanx 1 [ 1 x 2 1 1 2 d (1 x 2 )]---- d (1 x 2) 2 xdx3 3 2 2 1 x1x 3arctanx 1 [ 1 x 2 1ln(1 x 2)] c ---- 1du ln uc 3 3 2 2u1x 3arctanx 1 x 2 1ln(1 x 2 ) c----整理3 6 6⑺ x cos xdx ；2【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，将乘积中的 cos x作为先积分部份，得2cos x dx 2 cos x dx2sinxx cos xdxxd 2sinx----c2222 22x 2 x----udv uvvdu2x sin sin dx2 2x 2( 2cos xc ----xdxx x2cosx 2x sin) sin 2 sin dc2 222 222x sinx4cosxc---- 整理22⑻ln xdx ；【解】积分式已经拥有udv 的形式，能够直接套用分部积分公式，得ln xdxx ln xxd ln x---- udv uvvdux ln xx 1----d ln x1dxdxxxx ln x dx---- 整理xln x x c----dx x cx(ln x 1) c⑼ xsin x cosxdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得x sin x cosxdxx sin xd sin x----cos xdx sin x cxd 1 sin 2 x---- 仍为两不一样种类函数的乘积-- xuduxd 1 u 2221xsin 2x 1sin 2 xdx----udv uvvdu221xsin 2 x1 1 cos2x dx---- sin 2x1 cos2x2 2 22 1xsin 2x 1( x cos2xdx)---- 分别积分241 xsin2 x 1 ( x 1 cos2xd2x)----d 2x 2dx2 4 21 xsin2 x 1 ( x 1 sin2 x) c ----cosudu sin u c2 4 21xsin 2x 1 x 1sin 2x c ----整理2 4 8【此题解答案与课本后答案能够互化：1x sin 2x 1 x1sin2x c 1 x 1 cos2x 1 x 1sin 2x c1 1 x cos2x 1 1 c11xx sin 2xx cos2xsin 2 x c 】444 848【解法二】为利于积分的进行，先将乘积中的sin x cos x 化简为1sin 2x ，并将其作为先积2分部份，得x sin x cosxdx1 x sin 2xdx---- sin x cos x1sin 2x221 xd ( 1cos2x)----sin 2xdx1cos2 x c2 221 [ 1xcos2x ( 1cos2 x) dx]----udv uvvdu2 221x cos2x 1 cos2xdx ---- 整理4 41x cos2x 1cos2 xd2x ----d2x 2dx4 81x cos2x 1sin 2x c----cosudu sin uc4 8⑽x tan 2xdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，为便于积分，先将乘积中的tan 2 x 化为易于积分的 sec 2 x 1 ，得x tan 2 xdx x(sec 2 x 1)dx---- tan 2 x sec 2x 1( xsec 2 x x)dx---- 整理1 x2 xsec 2 xdx----分别积分21 x2 xd tan x----sec 2 xdx tan x c21 x2 x tan xtan xdx----udv uvvdu21 x2 x tan x sin x dx ---- tan xsin x 2cosxcos x1 x2 x tan x 1 d cos x ---- d cos xsin xdx2cosx1 x2 x tan x ln cosx c----1 du ln u c2uln 3 x ⑾ x 2 dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的ln 3 x ，则应将另一部份1作为先积分部份，得x23 xdxln 3 xd 1 12 dxln 2 ---- 1 c x x x xln 3 x 1d ln 3 x ---- udv uv vdux xln 3 x 1 3ln 2 x dx ---- d ln 3 x 3ln 2 x 1dxx x x xln 3 x 3 ln 2 x dx ---- 整理，并再次应用上边的方法x x2ln 3 x3ln 2 1----1 1cx xdx2 dxx xln 3 x 3ln 2 x 1 d3ln 2 x ---- udv uv vdu x x xln 3 x 3ln 2 x 1 6ln x 1dx ---- d 3ln 2 x 3 2ln x1dxx x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x---- 整理，并再次应用上边的方法x x x 2 dxln 3 x 3ln 2 x 6ln xd 1 ---- 12 dx 1 cx x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x 1d 6ln x ---- udv uv vdu x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x6 1---- d 6ln x6x x x2 dx dx x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x 6 c ---- 12 dx 1 cx x x x x x1(ln 3 x 3ln 2 x 6ln x 6) c ---- 整理x⑿(arcsin x)2 dx ；【解】积分式已经拥有udv 的形式，能够直接套用分部积分公式，得(arcsin x) 2 dx x(arcsin x)2 xd(arcsin x)2 ---- udv uv vdu x(arcsin x)2 x 2arcsin x dx---- d (arcsin x) 2 2arcsin x 1 dx1 x2 1 x2x(arcsin x)2 arcsin x 2x dx ---- 整理1 x2x(arcsin x)2 arcsin xd( 2 1 x2 )---- 2x dx 1x2 d (1 x2 ) 2 1 x2 c1 x2 1x(arcsin x)2 [ 2 1 x2 arcsin x ( 2 1 x2 )d arcsin x] ---- udv uv vdux(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 1 x2 1 dx1 x2---- d arcsin x1dx 1 x2x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 dx ---- 整理x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 x c⒀x2 e x dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，将乘积中的 e x作为先积分部份，得x2 e x dx x2d ( e x ) ---- e x dx e x cx2e x ( e x )dx2 ---- udv uv vdux2e x e x 2xdx ---- 整理x2e x 2xd( e x ) ---- e x dx e x cx2e x 2xe x ( e x )d 2x ---- udv uv vdux2e x 2xe x 2 e x dx ---- 整理x 2e x 2xe x 2e x c ----e x dx e x ce x ( x 2 2x 2) c----整理3⒁ e x dx ；【解】 被积函数中含根式， 且根指数与根号内多项式的次数不等，可应用第二换元积分法中的直接变换法，去掉根号后，再用分部积分法求解。
(4.3) 第三节 分部积分法(少学时简约版)
(2) 分部积分法的意义 从分析角度看，分部积分法实际是一种积分转化
法，即将形如 ∫u d v 的不易计算的积分转化为另一种 易于积分的形式 ∫v d u 进行计算。
= x( ln x )3 - 3[ x( ln x )2 -2 I 1 ] = x( ln x )3 - 3x( ln x )2 - 6[ x( ln x ) - I0 ]
= x( ln x )3 - 3x( ln x )2 - 6 x( ln x ) - 6 ∫d x
= x[( ln x )3 - 3x( ln x )2 - 6 x( ln x )-1]+ C .
C. P. U. Math. Dept ·杨访
由于不定积分运算是由导数运算定义的，相应的积 分运算法则是由导数运算法则逆转而来的。到目前为止 我们已建立了三个积分运算法则，它们和导数运算法则 的对应关系如下： (1) 导数线性运算法则与分项积分法
k 1 fx k 2 g x k 1 fx k 2 g x .
例：求积分 ∫ x 2 ln x d x .
被积式为乘积式，其中含有因子 ln x ，由基本 本积分表知，形如 ∫ ln x d x 的积分是不能直接积出的， 因此积分变形应考虑设法先消去被积式中的因子 ln x 以 简化积分计算。
显然，代数恒等变形不可能消去该因子，但由微分 运算想到 d ln x = 1/x d x ，因此考虑通过分部积分法将 因子 ln x 转移到微分记号中，再通过微分计算消去。
从运算角度看，分部积分法的实施可分两步进行， 即对形如 ∫u ( x )v ( x )d x 的不易 计算积分先作凑微分计算，使 其化为 ∫u d v 的形式，再将此 积分转化为形如 ∫v d u的易于 积出的形式求积分。
高数4.3 分部积分法
cos x sin x 2 C x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
2 sin x 2 cos x cos x d x x f ( x) dx 2 x x
本节小结
分部积分公式
u v dx u v uv dx u v v du
例4 求 e x sin x dx . （课本例7）
解: 令
v e x , 则 v ex
x x e e sin x ∴ 原式 cos x dx
再令
x
v e x , 则 v ex
e sin x e x cos x e x sin x dx
故 原式 =
2. 求不定积分 解： 方法1 (先分部 , 再换元)
d (e x 1)
令 则
方法2 (先换元,再分部)
令 则
故
3. 求 I sin ( ln x) dx 解: 令 则 x et , d x et d t
I e t sin t d t
et sin t et cos t d t
为三角函数 , 但两次所设类型 说明: 也可设 必须一致 .
解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 反: 反三角函数 顺序, 前者为 后者为 例5（补充题）求 解: 令
v 1 , 则
vx
原式 = x arccos x
x 1 x 2
对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
et (sin t cos t ) I
1 t I e (sin t cos t ) C 2 1 x [sin(ln x) cos(ln x)] C 2
分部积分法
udv uv vdu
重要知识点和考点分析： 1.分部积分的关键是如何恰当地选取u和v，选取原则：①v易求；② vdu 要比 udv 容易求。 2.分部积分的方法和过程相当灵活，有时要通过多次分部积分才能求得最终结果， 有时需兼用换元法，而首要的条件是需对微分公式相当熟练。 3.被积函数中含有两种不同类型函数的乘积时，常考虑用分部积分法。 4.用分部积分法求不定积分的过程中有事会出现复原的情况，应注意，第一种情况 是所求积分又出现但系数不同，可通过移项得到结果；第二种情况是得到递推公式； 第三种情况是积分又回到原形式且与积分前系数也一样，说明积分有误。 5.选择u和v'时可按反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序把 排在前面的那类函数选作u，而把排在后面的那类函数选作v'。
1 x e sin xdx 2 e (sin x cos x) C
x
例5：求 sec xdx 例6：求
3
LOGO
sec 3 xdx sec xd tan x
sec x tan x sec x tan 2 xdx sec x tan x sec x(sec 2 x 1)dx sec x tan x sec 3 xdx sec xdx sec x tan x In sec x tan x sec 3 xdx
类似的，你能求
x arctan xdx 吗？
例5：求 e sin xdx
x
LOGO
e x sin xdx e x sin x cos xde x
e x sin x e x cos x e x sin xdx
由于上式右端的第三项就是所求的积分，把它移到等号左端 去，两端同除以2，便得
§4-3__分部积分法
x
e sinx ( e cos x e d cos x )
x x
u dv
e x (sin x cos x ) e x sin xdx 注意循环形式
ex e x sin xdx (sin x cos x ) C 2
12
分部积分法
e kx sin(ax b)dx ,
例
arctan e x e x dx
令 u ex
解一:先换元再分部
arctan u 1 arctan e x du dx x e u u 1 arctan ud ( ) u 1 1 1 arctan u 2 du u u 1 u
23
1 1 u arctan u [ 2 ]du u u 1 u 1 1 arctan u ln u ln(1 u2 ) C u 2 1 x x e arctan e x ln(1 e 2 x ) C 2
11
x sin xdx . 例 求 e 应用分部积分法时,可不明显地写出如何选 取u、dv,而直接套用公式.(对较简单的情况) e x sin xdx sin xde x 解 u u dv e x sinx e x d(sin x )
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
4
分部积分法
udv uv vdu
分部积分公式
恰当选取u和dv是一个关键, 选取u和dv的一般原则是: (1) v要易求;
(2)
vdu 比 udv 易求.
5
二、例 题
例 求 x cos xdx .
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
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e xdx 2tet dt 2 tdet 2(tet etdt)
2et t 1 C
2e x x 1 C
22
练习一下
例11 .已知 的一个原函数是
求
解 x f (x) dx x d f (x)
9
三、幂函数与对数或反三角函数之积
xn log a xdx 或者 xn arctan xdx
选 v xn
10
例5.求 x ln xdx
解
x ln xdx
ln
x(
x2 2
)dx
ln
xd(
x2 2
)
选取合 适的助
手
x2 ln x 2
x2 1
2 x dx
v 1). 要易求得; 2). vdu 要比 udv 易求.
2
证明：
设函数 u u(x), v v(x)具有连续导数，
由 uv u' v uv'
得 uv uv uv
两边求不定积分，得 uvdx uv uvdx
udv uv vdu
积，可设对数函数或反三角函数为u，而将幂函数为v’,使得 应用分部积分后，对数函数或反三角函数消失。
13
四、单独的对数或反三角函数
log a xdx 或者 arctan xdx
当被积函数单纯为对数函数、反三角函数时,也用分部积分公式。
选 v 1
14
例7. ln xdx
解 ln xdx x ln x xd ln x
抽象函数的积分
x f (x) f (x)dx
x cos x cos x C
x
x
sin x 2 cos x C
x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
x
f
( x)
dx
cos
x
2 sin x
x
2
cos x2
x
d
x
23
练习一下
x2 2
ln
x
1 2
xdx
x2
x2
ln x C
2
4
11
选取合
例6. x arctan xdx
适的助 手
解 原式
arctan
x
x2 2
dx
arctan
x
d
x2 2
arctan x x2 2
x2
2 d arctan x
ex sin x cos xdex
ex sin x ex cos x ex sin xdx
“打回头”现象
于是,
ex sin xdx 1 ex sin x cos x C
2
18
❖ 注：若当被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积，
u和v’可随意选取,但在两次分部积分中，必须选用同类型的 u，以便经过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积 分。
3
一、幂函数与指数函数之积
xnexdx
选 v ex
4
例1.求 xexdx
选取合适 的助手
解
xexdx x( ex )dx xdex
其中，u x, v ex
由分部积分公式,得
xex exdx
xex ex C
5
例2.求 x2exdx
19
说明
在用分部积分法求不定积分时,常出现如下情形:
f (x)dx g(x) k f (x)dx (k 1)
f (x)dx 1 g(x) C. “打回头”现
1 k
象
20
六、多种方法的综合使用
有时在积分过程中,需要同时用到换元法和分部积分法.
21
例10. e x dx 同时用到换元法和分部积分法
arctan x x2 2
x2 2
1
1 x2
dx
Hale Waihona Puke x2 2arctan
x
1 2
1
1
1 x
2
dx
x2 arctan x 1 x arctan x C
2
2
1 x2 1arctan x 1 x C
12
2
2
❖ 注：若当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘
求 x3 ln xdx和 sin(lnx)dx
答案见 P19例4 题4和6。
24
小结
1）分部积分法的四种情况 2）多种积分方法的综合使用
两条经验
1）分部积分法的关键是选取合适的助手，即选择
合适的 v。
2）遇到抽象函数的积分要灵活
25
作业 P196 1(2)(5)(8)(11)(14) 4
注：若当被积函数是幂函数（指数为正整数）与指数函数的
乘积，可设幂函数为u，而将其余部分为v’,使得应用分部积
分后，幂函数的幂次降低一次。
6
二、幂函数与三角函数之积
xn sin xdx 或者 xn cos xdx
选 v sin x 或v cos x
7
例3.求 x cos xdx
26
§4.3 分部积分法
一、幂函数与指数函数之积 二、幂函数与三角函数之积 三、幂函数与对数或反三角函数之积 四、单独的对数或反三角函数 五、三角函数与指数函数之积 六、多种方法的综合使用
1
分部积分法公式
uvdx uv uvdx 或者
udv uv vdu
说明 应用分部积分法的关键在于 u,v 的选择是否恰当. u,v 的选择原则是:
解 x2exdx x2dex x2ex exdx2
选取合适 的助手
x2ex ex 2xdx x2ex 2 xdex
x2ex 2[xex exdx]
x2ex 2xex ex C
ex x2 2x 2 C
x
ln
x
x
1dx x
x ln x 1dx
x ln x x C
15
例8. arccos xdx 同时用到分部积分法和换元法
解
arccos xdx
x arccos x
x dx 1 x2
方法1，换元法 设 x sin t, dx costdt
“打回头”现象
选 v ex 或 v sin x(cos x)
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例9. ex sin xdx
解 ex sin xdx sin x(ex )dx sin xdex
ex sin x exd sin x ex sin x ex cos xdx
x 1 x2
dx
sin t cos t
cos
tdt
sin tdt
cost C 1 x2 C
方法2
x arccos x
2
1 d1 x2
1 x2
x arccos x 1 x2 C
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五、三角函数与指数函数的乘积
ex sin xdx 或者 ex cos xdx
解
x cos xdx xd sin x
选取合 u x, v sin x
适的助 手
由分部积分公式,得
x sin x sin xdx
x sin x cos x C
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例4. 求 x2 sin xdx
选取合 适的助
手
解 x2 sin xdx x2 ( cos x)dx x2d( cos x)
x2 cos x cos xdx2
x2 cos x 2 x cos xdx
x2 cos x 2xsin x 2cos x C
注：若当被积函数是幂函数（指数为正整数）与正（余）弦函
数的乘积，可设幂函数为u，而将其余部分为v’,使得应用分部
积分后，幂函数的幂次降低一次。