3,分部积分法
高等数学课件4-3分部积分法
经济应用：在经济学领域，分部积分 法可以用于求解各种经济问题，例如 在宏观经济学、微观经济学等领域， 可以用于求解各种经济问题。
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高等数学课件4-3分部积分法
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 分部积分法的基本 概念
03 分部积分法的计算 步骤
04 分部积分法的应用 实例
05 分部积分法的注意 事项
06 分部积分法的扩展 知识
添加章节标题
分部积分法的基本概念
分部积分法的定义
分部积分法是一种用于求解不定积分的方法
积分顺序：先对u 积分，再对v积分
积分结果：u和v 的乘积减去v的积 分
分部积分法的应用范围
求解一阶微 分方程
求解二阶微 分方程
求解高阶微 分方程
求解常微分 方程
求解偏微分 方程
求解积分方 程
分部积分法的计算步骤
确定被积函数和积分变量
分部积分法的基本思想：将复杂函数分解为简单函数 确定被积函数：选择合适的函数进行分解 确定积分变量：选择合适的变量进行积分 计算步骤：按照分部积分法的公式进行计算 注意事项：选择合适的函数和变量，避免出现错误
不当
注意积分公式 的使用，避免 公式使用错误
注意积分结果 的验证，避免 积分结果错误
注意积分上下限的取值
积分上下限的取值范围要合理，不 能超出函数的定义域
积分上下限的取值要保证积分结果 的正确性，不能出现错误
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积分上下限的取值要满足积分条件， 不能出现无穷大或无穷小
积分上下限的取值要符合实际问题， 不能脱离实际背景
积分的计算方法
积分的计算方法
1、凑微分法：把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。
2、换元法：包括整体换元，部分换元等等。
3、分部积分法：利用两个相加函数的微分公式，将所建议的分数转变为另外较为简
单的函数的分数。
4、有理函数积分法：有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，由多项式
的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。
分数公式法
直接利用积分公式求出不定积分。
换元积分法
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
一、第一类换元法（即为兎微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。
进而求得原不定积分。
二、备注：第二类换元法的转换式必须对称，并且在适当区间上就是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。
当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
常用的换元手段有两种：
1、根式赋值法，
2、三角代换法。
在实际应用领域中，赋值法最常用的就是链式法则，而往往用此替代前面所说的换元。
链式法则就是一种最有效率的微分方法，自然也就是最有效率的分数方法。
分部积分法
分部积分法的实质就是：将所求分数化成两个分数之差，分数难者先分数，实际上就
是两次分数。
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假
分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为
计算真分式的积分。
可以证明，任何真分式总能水解为部分分式之和。
3 分部积分法
在积分过程中出现循环积分式
例8
sin(ln x)dx x sin(ln x ) xd sin(ln x ) 1 x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x x sin(ln x ) x cos(ln x ) xd cos(ln x ) 1 x[sin(ln x ) cos(ln x )] x sin(ln x ) dx x
[e x cos x e x sin x e x sin xdx]
e x sin xdx e (sin x cos x )
ex x e sin xdx (sin x cos x ) C 2
例10
sec x tan x (sec 2 x 1) sec xdx
解 令u x，dv sin xdx，则du dx，v cos x，则
xsin xdx x cos x ( cos x) dx
x cos x cos x dx
x cos x sin x C.
注意： 使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解 题的关键在于恰当的选择u和v.
x arcsin x xd arcsin x x dx x arcsin x 2 1 x 1 1 1 1 x arcsin x dx 2 x 2 dx 2 x 2 C 2 1 x2 1 1 2 2 x arcsin x (1 x ) d (1 x 2 ) 2 1 1 x arcsin x 2(1 x 2 ) 2 C 2 x arcsin x 1 x 2 C
令u x n
(3) x n ln xdx u
第3节 分部积分法
1 所以 sec xdx (sec xtanx ln sec x tanx ) C . 2
3
34
高等数学
●
戴本忠
17
1 例10 求 I n 2 2 n dx , 其中 n 为正整数 . (x a ) 解 当 n 1 时, 根据分部积分法 1 ( x 2 a 2 ) n 1 dx
高等数学
●
戴本忠
例9 解
求 sec 3 xdx .
3 sec xdx sec xdtan x
(tan x)sec2x (sec x)secxtanx
sec xtanx sec xtan 2 xdx sec xtanx sec x (sec 2 x 1)dx sec xtanx sec 3 xdx sec xdx sec xtanx ln sec x tanx sec 3 xdx .
●
戴本忠
10
例2
解
求 xe x dx .
令 u x, dv e dx,
x
那么 du dx, v e x .
x x x x x x x e d x x e e d x x e e C e ( x 1) C .
例3 解
求 x 2e x d x .
1 x 2 arctan x 1 x 2 d(arctan x )
1 x arctan x
2
34
1 1 x 2 dx 1 x
2
高等数学
●
戴本忠
21
1 x arctan x
2
1 dx 2 1 x 令 x tan t
第三节 分部积分法
第三节分部积分法问题∫=?dx xex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数)(x u u =和)(x v v =具有连续导数,(),v u v u uv ′+′=′(),v u uv v u ′−′=′,dx v u uv dx v u ∫∫′−=′.du v uv udv ∫∫−=分部积分公式)()()((x dv x u dx x v u ⋅=′∫∫分部积分法主要过程如下：∫dxx f )(所求积分∫∫−=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u ∫∫′−=dxx v x u x v x u dx x f )()()()()((3)计算新积分(2)分部积分公式(1)拆分被积表达式中, 如果某部分求导后能得到简化，可考虑选为u ，剩下的部分就是dv 。
范围：一般处理含有多种类型的混合函数。
关键：对被积表达式的适当拆分。
（求导数或微分）∫′⋅dx x v x u )()(旧积分∫′⋅⇒dxx u x v )()(新积分,)()(dx x u x du u ′=⇒)()(x v dx x v dv ⇒′=（求积分或凑微分）u.cos ∫xdx x 求解（1）令,x u =x d xdx dv sin cos ==∫xdx x cos ∫=udv ∫−=vdu uv ∫−=xdx x x sin sin xv dx du sin ,:==则.cos sin C x x x ++=例1解（2）令,cos x u=∫xdx x cos ∫+=xdx x x x sin 2cos 222显然，u,dv 选择不当，积分更难进行.22,sin :xv xdx du =−=则∫xdx x cos ∫−=vdu uv总结若被积函数是幂函数与正(余)弦函数或指数函数的乘积, 可考虑设幂函数为u例2求积分.2∫dx e x x解,2x u =,xxde dx e dv ==∫dx e x x 2∫−=dx xe e x x x 22.)(22C e xe e x xxx+−−=再次使用分部积分法,x u =dxe dv x =),2(xe v xdx du ==),(xe v dx du ==例3求积分.arctan ∫xdx x ∫⋅=xdx x arctan 原式)(arctan 2arctan 222x d xx x ∫−=dx xx x x 222112arctan 2+⋅−=∫dx x x x )111(21arctan 222+−⋅−=∫.)arctan (21arctan 22C x x x x +−−=u dv 2v u ⋅du v ⋅v 熟练以后的写法例4求积分.ln 3∫xdx x 解,ln x u =,443dv xd dx x ==∫xdx x ln 3∫−=x d x x x ln 41ln 4144.161ln 4144C x x x +−=总结若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.u∫−=dx x x x 3441ln 41例6求积分.sin ∫xdx e x解∫xdx exsin ∫=xxdesin ∫−=)(sin sin x d e x e x x ∫−=xdx e x e xxcos sin ∫−=xxxdex e cos sin ∫−−=)cos cos (sin x d e x e x e xx x ∫−−=xdx e x x e xx sin )cos (sin ∫∴xdx e xsin .)cos (sin 2C x x ex+−=注意循环形式)0,(.)(122>∈+=∫a N n dx a x I nn 求解利用分部积分公式得：时当,1>n ∫−+dx a x n 122)(1例7∫+−++=−dxa x xn a x x n n )()1(2)(222122∫+−+−++=−−dx a x a a x n a x x n n n ])()(1[)1(2)(222122122))(1(2)(211221n n n n I a I n a x x I −−++=∴−−−∫+=dx ax I 2211Q C ax a +=arctan 1])32()([)1(2111222−−−++−=∴n n n I n a x xn a I 的递推公式。
第三节 分部积分
1 3 解: 原式 = ∫ arctan x d x 3 1 3 1 x3 = x arctan x −∫ ⋅ dx 2 3 3 1+ x
1 1 3 x2 1 2 = x arctan x − ∫ dx 2 3 1+ x 2 3 1 1 3 1 (1− ) dx2 = x arctan x − ∫ 2 1+ x 3 6
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例3. 求
∫ x ln xdx .
x2 x2 x2 1 dx = ln x−∫ 解: 原式 = ∫ ln x d 2 2 2 x
1 2 1 x2 x2 = ln x − ∫ x dx = ln x − x + C 4 2 2 2
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例4. 求
∫x
2
arctan x dx .
∫e
− x2
dx , dx, ∫ ln x
sin x ∫ cos x dx, ∫ x dx,
2
它们的积分可以借助无穷级数来计算,或运用数学软件 它们的积分可以借助无穷级数来计算 或运用数学软件 快速算出. 快速算出
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x cos x − sin x 例11. 求 ∫ d x. 2 x
x cos x − sin x cos x sin x 解: ∫ dx = ∫ d x −∫ 2 d x 2 x x x
1 sin x = ∫ dsinx −∫ 2 d x x x 1 sin x 1 = sinx −∫ sinx (− 2 )d x −∫ 2 d x x x x 1 = sinx +C. x
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本章主要内容
分部积分法
分部积分法
是微积分中的一类积分办法。
对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行
换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
定积分的分部积分法公式是（uv）'=u'v+uv'，代入∫u'vdx=uv-∫uv'dx，得u'v=（uv）'-uv'，即∫u'vdx=uv-∫uv'dx。
的定分数就是分数的一种，就是函数在区间上分数和的音速。
一个函数，可以存有不
定积分，而不存有的定分数；也可以存有的定分数，而不存有不定积分。
一个连续函数，
一定存有的定分数和不定积分；若只有非常有限个间断点，则的定分数存有；若存有弹跳
间断点，则原函数一定不存有，即为不定积分一定不存有。
分部积分，integral by parts，是适用于三种情况的积分方法： 1、可以逐步降低
幂次的积分例如：∫x?sinxdx = -∫x?dcosx = -x?cosx + 4∫x3cosxdx + c 这样一来，x 的幂次就降低了，以此类推，就积出来了。
2、可以将对数函数转化成代数函数的积分
例如：∫x3lnxdx = (1/4)∫lnxdx? = (1/4)x?lnx - (1/4)∫x3dx + c 这样一来，lnx
就消失了，就轻而易举地可以积出来了。
3、可以将积分过程当成解代数方程一样解的积
分例如∫(e^x)sinxdx∫(e^x)cosxdx∫(e^-2x)sin3xdx、∫(e^-4x)cosxdx。
分部积分法
= 1 + x arctan x − ∫
2
1 1+ x
2
dx
令 x = tan t
∫
1 1+ x
dx = ∫ 2
1 1 + tan 2 t
sec 2 tdt = sec tdt ∫
= ln(sec t + tan t ) + C = ln( x + 1 + x 2 ) + C
∴
∫
x arctan x 1 + x2
= x sin(ln x ) − x cos(ln x ) + ∫ xd[cos(ln x )] = x[sin(ln x ) − cos(ln x )] − ∫ sin(ln x )dx
x ∴ ∫ sin(ln x )dx = [sin(ln x ) − cos(ln x )] + C . 2
例7 求积分 解 ∵
4. 6.
3 x e ∫ dx ；
∫ cos(ln x )dx ；
∫
xe arctgx (1 + x )
3 2 2
dx .
sin x 三、 已知 是 f ( x ) 的原函数， 的原函数，求 ∫ xf ' ( x )dx . x 四、 设 ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ， f ( x ) 可微， 可微，且 f ( x ) 的反
x 5. [cos(ln x ) + sin(ln x )] + C ； 2 x −1 arctan x 6. e + C； 2 2 1+ x x 2e x 7. + xe x − e x + C . x+2 2 sin x 三、 cos x − + C. x
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1,设 xf
(x)dx
arcsinx C ，求
1 f (x)
dx ．
2,
已知
f
( x)
e3x
sin 3x
，且
f
(0)
2 3
，求
f
(x)
.
3,
已知
f
(x)
ax sin
x ，求
f
(
x x
)dx
.
4,
已知
f
(x)dx
1 1 x2
C
，求
f (sin x) cosxdx .
复习题
1,
一般地若被积函数为多项式与反三角 函数的乘积，则可设反三角函数为 u ，
剩下的部分与 dx 的乘积设为 dv
五、其它类型
例 9 求e xdx
例 10,求 ex sin xdx
例 11 求 In xnexdx的递推公式
cos x 例 12 已知
是 f (x) 的原函
数，求 xf (x)dx .
于选择u 和 v ．一般情况下，选择 u 和 v 的原则 是： （1） v 容易求出； （2）新积分 vdu比原积分 udv 容易计算.
二 被积函数是多项式与三角函数的 乘积
例 3 求 x cosxdx
例 4 求 x2 sin xdx
一般地若被积函数为多项式与 sin x, cosx 的 乘积，则可设多项式为 u ，剩下的部分与
作业 P21Байду номын сангаас,1,2,3,4,5,6,8,9,19
练习题
（1） xexdx （3） (ln x)2 dx
(5） x2 ln(1 x)dx (7） ex cosxdx （9） sin xdx
（2） arcsinxdx （4） x2 arctanxdx （6） sin xln xdx （8） eax sin bxdx （10） e 2x dx
arctanx x(1 x)
dx
3,
dx x2 9
dx
2, ex ex 4,1dx2x
分部积分法
两个函数 u 和 v 的乘积的微分运算公式是
d (uv) udv vdu
对该公式的两边积分并利用积分性质得
uv udv vdu
移项得 udv uv vdu
这就是分部积分公式，利用上式求不定积 分的方法称为分部积分法．它的特点是把
求积分 udv 转化成求积分 vdu，因而如果
vdu 比 udv 容易计算，就可以使用此方法
计算不定积分．
一 被积函数是多项式与的乘积
例1 求 xexdx 例 2 求 x2exdx
一般地若被积函数是多项式与 e x 的乘
积时，则可设多项式为 u ，剩下的部分与dx的
乘积设为 dv ． 由此可见，使用分部积分法的关键在
dx 的乘积设为 dv .
三 被积函数为多项式与对数函数的 乘积
例 5 求 x ln xdx 例 6 求 ln(x 1)dx
一般地若被积函数为多项式与对数函 数的乘积，则可设对数函数为u ，剩下的部 分与 dx 的乘积设为 dv .
四 被积函数为多项式与反三角函数的乘积
例 7 求 x arctanxdx 例 8 arctanxdx