不定积分的分部积分法(1)
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不定积分的分部积分法
例1 求不定积分 xe xdx.
解：设 u x , exdx d(ex ) dv, 则
xe xdx xd(e x ) xe x e xdx xex e x C.
若设 u e x , xdx= d( 1 x2 ) = dv, 则
2
xe xdx exd( 1 x2 ) 1 x2e x 1 x2dex
x sin x cos x C.
总结1：如果被积函数是幂函数（指数为正整数） 与三角函数或者幂函数与指数数函数的乘积时， 我们选幂函数为 u
例3 求不定积分 x arctan xdx.
解：设 u arctan x,
x2 xdx d( ) dv
2
x
arctan
x dx
arctan
x d(
x2 2
)
x2 arctan x 2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x 2
1 2
(1
1
1 x
2
)
dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C.
2
2
例4 求不定积分 x ln x dx .
解: 令 u ln x , xdx d ( x2 ) dv
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2
2
显然 , u 和 v 选择不当，积分更难进行.
注1：在分部积分公式中，关键是选择恰当的u和v
例2 求不定积分 x cos xdx .
解：设 u x, cos xdx d(sin x) dv
不定积分的分部积分法
2
两边同时对 x 求导, 得
f ( x ) 2 xe
x2
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 x e
2 x2
e
C.
说明５： 被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递 推公式 例13 求积分 x (ln x )n dx . ( n N * ) 解
( x 2 2 x ) sin x 2 cos x ( x 1) 2 sin x C ( x 2 x 2) sin x 2 cos x ( x 1) C .
2
说明１： 口诀（反、对、幂、三、指）
例5 求不定积分 解
x arctan xdx .
( x 2 1)e x 2( xe x e x ) C . ( x 2 2 x 3)e x C .
例4 求不定积分 解
2 ( x 2 x ) cos xdx .
2 2 ( x 2 x ) cos x d x ( x 2 x )d(sin x )
2 x 1 cos 2 x 1 sin 2 x 1 C .
说明４： 有时应结合换元积分，先换元后再分部；
例 12 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e 求 xf ( x )dx .
x2
,
解
xf ( x )dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx , 由已知可得 f ( x )dx e x C ,
x arctan x (1) dx . 2 1 x xe x ( 2) dx . 2 (1 x )
两边同时对 x 求导, 得
f ( x ) 2 xe
x2
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 x e
2 x2
e
C.
说明５： 被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递 推公式 例13 求积分 x (ln x )n dx . ( n N * ) 解
( x 2 2 x ) sin x 2 cos x ( x 1) 2 sin x C ( x 2 x 2) sin x 2 cos x ( x 1) C .
2
说明１： 口诀（反、对、幂、三、指）
例5 求不定积分 解
x arctan xdx .
( x 2 1)e x 2( xe x e x ) C . ( x 2 2 x 3)e x C .
例4 求不定积分 解
2 ( x 2 x ) cos xdx .
2 2 ( x 2 x ) cos x d x ( x 2 x )d(sin x )
2 x 1 cos 2 x 1 sin 2 x 1 C .
说明４： 有时应结合换元积分，先换元后再分部；
例 12 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e 求 xf ( x )dx .
x2
,
解
xf ( x )dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx , 由已知可得 f ( x )dx e x C ,
x arctan x (1) dx . 2 1 x xe x ( 2) dx . 2 (1 x )
不定积分分部积分公式
x2e x 2 xde x
x2e x 2( xex e xdx)
x2e x 2( xe x e x ) C.
例4 求积分 x ln xdx.
解
ln
xd
x2 2
1 x2 2
ln
x
x2 2
d (ln
x)
1 2
x 2 ln
练习1 求 xsinxdx.
解 令u x，dv sin xdx，则du dx，v cos x，则
xsinxdx x cos x ( cos x) dx x cos x cos x dx
xcos x sin x C.
练习2 求 x4lnxdx.
解
x4
ln
xdx
lnxd(
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx
e x sin xdx
e x (sin x cos x) C . 2
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
例7 求 cos xdx.
解 令 x t，则x t 2，dx 2tdt，有
如果令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos
xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sin
xdx
显然，u, v 选择不当，积分更难进行.
由此可见，如果u和v选取不当，就求不出结果， 所以应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键。 选取u和v一般要考虑下面两点：
（1）v要容易求得；
（2） vdu要比 udv容易积出。
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 2
x2e x 2( xex e xdx)
x2e x 2( xe x e x ) C.
例4 求积分 x ln xdx.
解
ln
xd
x2 2
1 x2 2
ln
x
x2 2
d (ln
x)
1 2
x 2 ln
练习1 求 xsinxdx.
解 令u x，dv sin xdx，则du dx，v cos x，则
xsinxdx x cos x ( cos x) dx x cos x cos x dx
xcos x sin x C.
练习2 求 x4lnxdx.
解
x4
ln
xdx
lnxd(
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx
e x sin xdx
e x (sin x cos x) C . 2
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
例7 求 cos xdx.
解 令 x t，则x t 2，dx 2tdt，有
如果令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos
xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sin
xdx
显然，u, v 选择不当，积分更难进行.
由此可见，如果u和v选取不当，就求不出结果， 所以应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键。 选取u和v一般要考虑下面两点：
（1）v要容易求得；
（2） vdu要比 udv容易积出。
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 2
不定积分分部积分法
解： e x sin xdx sin xdex e x sin x e xd sin x
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xdex
e x sin x e x cos x e xd cos x
e x sin x e x cos x e x sin xdx
例4、求 arccos xdx
解：原式 x arccos x xd arccos x
x x
arccos arccos
x x
1 2
x dx
1 x2 (1 x2
)
1 2
d
(1
x2)
x arccos x 1 x2 C
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分部积分公式： udv uv vdu
例5、求 e x sin xdx
第四章 不定积分
分部积分法
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x (t )
1、第二换元公式： f ( x)dx f [ (t )](t )dt t1( x)
注：一般当被积函数含根号又不能用凑微分法求出其
积分时，考虑用第二换元公式去根号, 把无理化为有理. 2、去根号的方法： (1)被积函数含 a2 x2， 令x a sin t.
例1、求 x cos xdx
解：设令u x，v cos x. 则u 1, v sin x
故 x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
若设u
故x
cos x，
cos xdx
v x.
x2 2
cos
则u sin x，v
x
x2 2
(
sin
x
)dx
x2 2
.
理学新不定积分分部积分
sinx
2t 1 t
2
,
cosx
1 1
t t
2 2
,
dx
1
2 t
2
dt
R(sin x,cos x)dx
R
1
2t t
2
1t2
, 1
t
2
1
2 t
2
dt.
例16
求
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
.
解:令 t tan x , 则 2
sinx
1
2
tan
x 2
u tan x, v tan x
原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
tan x lncos x tan x x C
例9 求
解: 令 u
x2 a2 , v 1, 则 u
x x2a2
,
vx
x2 a2 dx x x2 a2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
一般地
把被积函数视为两个函数之积 ,按“反对幂指三”的
顺序, 前者为 u 后者为 v.
例3 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和 一个真分式之和.
3.2.4_不定积分的分部积分法
1 sin x 1 dx dx d (cos x ) 证： I n n n 1 n 1 sin x sin x sin x
cos x 1 n1 cos xd ( n1 ) sin x sin x
cos x cos 2 x n1 ( n 1) dx n 2 sin x sin x cos x 1 1 n1 ( n 1) dx ( n 1) dx n 2 n sin x sin x sin x
即
udv uv vdu 。
分部积分法是乘积微分公式的逆运算。
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 x n a x dx , x n sin xdx , x n arctan xdx , e x cos xdx 等。
2
3.2.4 不定积分的分部积分法
1 x cos(ln x ) x sin(ln x ) dx x x cos(ln x ) sin(ln x )dx
x cos(ln x ) x sin(ln x ) xd [sin(ln x )] 1 x cos(ln x ) x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x x cos(ln x ) x sin(ln x ) cos(ln x )dx
（5） arcsin xdx
4
3.2.4 不定积分的分部积分法
（1） x sin xdx 。
2
分部积分的步骤：
解： x 2 sin xdx x 2 d (cos x ) ——凑微分，选 u, v ；
[ x 2 cos x cos xd ( x 2 )] ——代分部积分公式；
不定积分的分部积分法.
这节课学习了不定积分的分部积 分法，要求大家一定要掌握一个公 式，熟记一个口诀。
udv uv vdu
凑微口诀：指三幂对反
学法建议：
1、熟记常用的凑微分形式。
2、善于观察，选择适当的积分方法。 3、加强合作精神。 4、验算。
f xdx f x
作业：
课后练习3：（1）---（8）
x = t, 则 x = t 2 ,
d x 2t d t ,
x t t e d x 2 te d t 2 t d( e )
2(tet et d t )
2(tet et ) C
2e x ( x 1) C.
天然气的产量
海上石油钻井平台
• 工程师们发现，一个新开发的天然气井t月 的总产量P（单位： 106 m3）的变化率为
2
三、使用分部积分法应注意
（1）常用于被积函数为两个不同类型函数的 乘积形式，以及特 殊 的单个函数形式。
(如 x sin xdx , e arctan xdx , ln xdx 等)
x
0
x
ln xdx
(2)要正确地选择u与dv。 凑微口诀：指三幂对反
cos x d x. xd v
2 2 x ln xdx ln x x dx
dv
（3）分部积分法可以连续使用．连续使用分部 积分法时，每一次选u的函数一般说必须是同类函 数，否则作两次分部积分后会出现恒等式． （4）求一个不定积分，需要将换元积分法和分 部积分法结合起来使用。
x e 例3求积分 d x.
解： 设
依题意，当 t 0
P 0.
代入上式，得
C 212.25.
udv uv vdu
凑微口诀：指三幂对反
学法建议：
1、熟记常用的凑微分形式。
2、善于观察，选择适当的积分方法。 3、加强合作精神。 4、验算。
f xdx f x
作业：
课后练习3：（1）---（8）
x = t, 则 x = t 2 ,
d x 2t d t ,
x t t e d x 2 te d t 2 t d( e )
2(tet et d t )
2(tet et ) C
2e x ( x 1) C.
天然气的产量
海上石油钻井平台
• 工程师们发现，一个新开发的天然气井t月 的总产量P（单位： 106 m3）的变化率为
2
三、使用分部积分法应注意
（1）常用于被积函数为两个不同类型函数的 乘积形式，以及特 殊 的单个函数形式。
(如 x sin xdx , e arctan xdx , ln xdx 等)
x
0
x
ln xdx
(2)要正确地选择u与dv。 凑微口诀：指三幂对反
cos x d x. xd v
2 2 x ln xdx ln x x dx
dv
（3）分部积分法可以连续使用．连续使用分部 积分法时，每一次选u的函数一般说必须是同类函 数，否则作两次分部积分后会出现恒等式． （4）求一个不定积分，需要将换元积分法和分 部积分法结合起来使用。
x e 例3求积分 d x.
解： 设
依题意，当 t 0
P 0.
代入上式，得
C 212.25.
分部积分法(一)
即 u = xn.
说明
当被积函数为幂函数与对数函数、反三角函数之
积时, 如:
xα loga x, xα arcsin x
要用分部积分公式.
u 并选对数函数、反三角函数为
3
例
x ln xdx= ln x( 2x 2 )dx
3
33
= 2x 2 ln x − 3
2x 2 (ln x)dx 3
= x(e x )dx
= xe x − e x xdx
= xe x − e x + C
xe xdx
= e x ( 1 x2 )dx
2
= 1 x2 e x − 1 x2 (e x )dx
2
2
= 1 x2 e x − 1 x2e xdx
2
2
例
求 x2e xdx
例
求 x cos xdx
解
若取u = cos x, v =
x2 ,
2
由分部积分公式,得
x
cos
xdx
=
(
1 2
x2
)
cos
xdx
= 1 x2 cos x − 1 x2(cos x)dx
2
2
= 1 x2 cos x + 1 x2 sin xdx
2
2
例
求 xe xdx
解
xe xdx
微积分II
Calculus II
第六章 不定积分
§6.1 不定积分的概念和性质 §6.2 积分基本公式 §6.3 换元积分法 §6.4 分部积分法
6.4 分部积分法（一）
一 分部积分法
1 定理一
说明
当被积函数为幂函数与对数函数、反三角函数之
积时, 如:
xα loga x, xα arcsin x
要用分部积分公式.
u 并选对数函数、反三角函数为
3
例
x ln xdx= ln x( 2x 2 )dx
3
33
= 2x 2 ln x − 3
2x 2 (ln x)dx 3
= x(e x )dx
= xe x − e x xdx
= xe x − e x + C
xe xdx
= e x ( 1 x2 )dx
2
= 1 x2 e x − 1 x2 (e x )dx
2
2
= 1 x2 e x − 1 x2e xdx
2
2
例
求 x2e xdx
例
求 x cos xdx
解
若取u = cos x, v =
x2 ,
2
由分部积分公式,得
x
cos
xdx
=
(
1 2
x2
)
cos
xdx
= 1 x2 cos x − 1 x2(cos x)dx
2
2
= 1 x2 cos x + 1 x2 sin xdx
2
2
例
求 xe xdx
解
xe xdx
微积分II
Calculus II
第六章 不定积分
§6.1 不定积分的概念和性质 §6.2 积分基本公式 §6.3 换元积分法 §6.4 分部积分法
6.4 分部积分法（一）
一 分部积分法
1 定理一
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1 x2 arctan x
1
x2
1
1 x2
dx
1 x2 arctan x 1 dx
1 x2 令 x tan t
1
1 x2dx
1 sec2 tdt
1 tan2 t
sec tdt
ln | sect tant | C ln | x 1 x2 | C
x
arctan 1 x2
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的 乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
u
例3 求积分
x arctan xdx.
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
x
2 x
2
2
d
(arctan
第四节 不定积分的分部积分法
问题 xe xdx ?
解决思路
利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
uv uv uv, uv uv uv,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
分部积分公式
例1 求积分
udv uv vdu.
x cos xdx .
解（一）
令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
x cos xdx
cos
xd
x2
2 x2 cos x
x2 sin xdx
22
2
显然， u选,择v不 当，积分更难进行.
解（二） 令 u x, cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C.
例7 求积分
e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x
e x sin x e xd(sin x)
e x sin x e x cos xdx e x sin x e xd sin x
e x sin x (e x sin x sin xdex )
e x sin xdx
本题也可以先凑
,也s要i凑n两x次d.x
例8 求积分
x
arctan 1 x2
x
dx.
解 1 x2 x , 1 x2
x
arctan 1 x2
x
dx
arctan
xd
1 x2
1 x2 arctan x 1 x2d(arctan x)
x
dx
1 x2 arctan x ln | x 1 x2 | C.
合理选择
u, v，正确使用分部积分公式
uvdx uv uvdx
思考题解答
u 注意前后几次所选的 应为同类型函数.
例 e x cos xdx
第一次时若选
u1 cos x
e x cos xdx e x cos x e x sin xdx
4
x3 ln xdx
x4 ln xd
4
1 4
x4
ln
x
1 4
x 3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘 积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .
u
例5 求积分
sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
cos(ln
x)]
C.
例6 求积分
e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e xd cos x)
x sin x cos x C.
例2 求积分
x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx
x 2de x x2e x 2 xe xdx 一次后, x的次数降低.
（再次使用分部积分法）
u x, e xdx dv
x2e x 2( xe x e x ) C.
第二次时仍应选
u2 sin x
作业: P249: 1. (2)(4). 2.
x sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x sin(lnx) cos(lnx)dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)
x)
x 2
x2 1
arctan x 2
2
1
x2 dx
x2
1 x2 11
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2 arctan x 2 1 x2 dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求积分
x3 ln xdx.
解
u ln x, x3dx d x4 dv,