分部积分的计算方法
举例说明不定积分计算的一些常用方法
举例说明不定积分计算的一些常用方法不定积分是微积分中一个重要的概念，常常用于计算函数的原函数。
在计算不定积分时，常用的方法包括分部积分法、换元积分法、三角恒等变换等。
1.分部积分法：分部积分法是求解积分时最常用的方法之一，适用于两个函数相乘的形式。
其基本思想是将原函数拆分成两个函数的乘积，然后利用分部积分公式进行求解。
具体步骤如下：设$f(x)$和$g(x)$是两个具有连续导数的函数，则有$\intf(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)dx$。
例如，我们要计算$\int x \sin(x)dx$，可以令$f(x) = x$和$g'(x)=\sin(x)$。
然后再根据公式，计算出$f'(x)$和$g(x)$，最后代入公式进行计算即可。
2.换元积分法：换元积分法也是常用的一种方法，适用于使用一个变量替换另一个变量的情况。
通过设定适当的变量替换，可以将原函数转换成更容易处理的形式。
具体步骤如下：设$x=g(t)$，则$dx=g'(t)dt$，将上述两式代入不定积分，则有$\int f(g(t))g'(t)dt$，然后对$t$进行求解。
例如，我们要计算$\int xe^x dx$，可以令$u = x$和$dv = e^xdx$，则$du = dx$和$v = \int e^xdx = e^x$。
然后套用换元积分公式$\int udv = uv - \int v du$，我们可以得到$\int xe^x dx = xe^x - \inte^xdx = xe^x - e^x + C$，其中$C$为常数。
3.三角恒等变换：三角恒等变换适用于含有三角函数的积分，通过将三角函数转换成三角恒等式的形式，可以简化计算过程。
常用的三角恒等式有正弦、余弦、正切、余切等。
例如，我们要计算$\int \sin^2x dx$，可以利用三角恒等式$\sin^2x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$，将原函数转换成更容易进行积分的形式。
用表格法计算分部积分
用表格法计算分部积分分部积分是一种利用积分法则将一个复杂的积分问题分解为简单的积分问题来求解的方法。
它是积分学中的重要技巧之一，广泛应用于求解各种函数的积分问题。
分部积分法是基于乘法法则的一个变形，即$(uv)'=u'v+uv'$，其中$u$和$v$是可导函数。
通过这个乘法法则，我们可以得到分部积分公式：$$\int {u\,dv}=uv-\int {v\,du}$$这个公式给出了将一个积分问题转化为一个求导问题的方法。
通过适当选择$u$和$dv$，我们可以将原始的问题转化为一个更简单的问题来求解。
下面我们以一些例子来说明如何使用分部积分法来计算积分。
例1：计算$\int {x\sin{x}\,dx}$首先，我们可以选择$u=x$和$dv=\sin{x}\,dx$，然后对$u$求导并对$v$进行积分：$$du=dx,\quad v=\int {\sin{x}\,dx}=-\cos{x}$$将这些结果代入分部积分公式，我们有：$$\int {x\sin{x}\,dx}=-x\cos{x}+\int {\cos{x}\,dx}=-x\cos{x}+\sin{x}+C$$其中$C$为常数，表示积分的不定性。
例2：计算$\int {x^2e^x\,dx}$在这个例子中，我们可以选择$u=x^2$和$dv=e^x\,dx$，然后对$u$求导并对$v$进行积分：$$du=2x\,dx,\quad v=\int {e^x\,dx}=e^x$$将这些结果代入分部积分公式，我们有：$$\int {x^2e^x\,dx}=x^2e^x-\int {2xe^x\,dx}=x^2e^x-2\int {xe^x\,dx}$$现在我们需要计算$\int {xe^x\,dx}$。
同样地，我们可以选择$u=x$和$dv=e^x\,dx$，然后对$u$求导并对$v$进行积分：$$du=dx,\quad v=\int {e^x\,dx}=e^x$$将这些结果代入分部积分公式，我们有：$$\int {xe^x\,dx}=xe^x-\int {e^x\,dx}=xe^x-e^x$$将这个结果代入之前的积分表达式中，我们有：$$\int {x^2e^x\,dx}=x^2e^x-2(xe^x-e^x)$$$$=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C$$这样，我们就得到了原始积分的结果。
分部积分方法及例题
x
ln x dx u
=
∫
ln
xd
x2 2
dv
=
x2 2
ln
x−
∫
x2 2
d ln
x
vdu
= 1 x2 ln x 2
−
1 2
∫
x
dx
= 1 x2 ln x − 1 x2 + C
2
4
简化
（2）I 2
=
∫
x
arctan
x
dx=
∫
a rc tan
x d(
x2 2
)
udv
=
1 2
x2
arctan
x−
1 2
∫
1 −
n
cos x d(sin1−n x) + In−2
u
∫ ∫ (2) In =
xn
1 x
2
+
1
d
x
=
1+ x2 − x2 d x xn x2 + 1
∫ ∫ =
1+ x2 xn
d
x
−
In−2
=
1
1 −
n
1 + x2 d x1−n − In−2
u
7º 分部积分小结（2） (1) 简化型（例1，例2，例3 ，例4 ）； (2) 方程型 （例5，例6）； (3) 递推型 （例7，例8）.
∫ ∴ x arctan x d x 1 + x2 = 1 + x2 arctan x − ln( x + 1 + x2 ) + C .
例5 I = ∫ e x cos x dx = ∫ cos x d e x
分部积分的计算方法与技巧
分部积分的计算方法与技巧分部积分是微积分中的一种重要工具，用于求解一类积分问题。
它是通过将复杂的积分按照一定的规则进行分解，然后再将分解后的积分进行计算得到最终结果。
本文将介绍分部积分的计算方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用分部积分。
在进行分部积分时，我们需要选择一个函数作为u，并对其求导得到du。
同时选择另一个函数作为dv，并对其求积分得到v。
然后利用分部积分公式：∫u dv = uv - ∫v du将u、v、du和dv带入公式，即可进行积分计算。
下面将具体介绍分部积分的几种常见情况及其计算方法。
情况一：乘积中一个函数的导数容易求得，另一个函数的不定积分容易求得。
当乘积中一个函数的导数容易求得，另一个函数的不定积分容易求得时，可以选择导数容易求得的函数作为u，并对其求导得到du；选择不定积分容易求得的函数作为dv，并对其求积分得到v。
然后将u、v、du和dv带入分部积分公式，进行积分计算。
例如，计算∫x*sin(x)dx。
我们可以选择x作为u，并对其求导得到du=dx；选择sin(x)作为dv，并对其求积分得到v=-cos(x)。
带入分部积分公式，得到∫x*sin(x)dx = -x*cos(x) + ∫cos(x)dx。
进一步求解，得到最终的积分结果为-x*cos(x) + sin(x) + C。
情况二：乘积中的两个函数都含有幂函数。
当乘积中的两个函数都含有幂函数时，可以选择幂函数次数较低的函数作为u，并对其求导得到du；选择幂函数次数较高的函数作为dv，并对其求积分得到v。
然后带入分部积分公式进行积分计算。
例如，计算∫x^2 * ln(x)dx。
我们可以选择ln(x)作为u，并对其求导得到du=(1/x)dx；选择x^2作为dv，并对其求积分得到v=(1/3)x^3。
带入分部积分公式，得到∫x^2 * ln(x)dx = (1/3)x^3 * ln(x) - ∫(1/3)x^3 *(1/x)dx。
第三节 分部积分法
第三节分部积分法问题∫=?dx xex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数)(x u u =和)(x v v =具有连续导数,(),v u v u uv ′+′=′(),v u uv v u ′−′=′,dx v u uv dx v u ∫∫′−=′.du v uv udv ∫∫−=分部积分公式)()()((x dv x u dx x v u ⋅=′∫∫分部积分法主要过程如下：∫dxx f )(所求积分∫∫−=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u ∫∫′−=dxx v x u x v x u dx x f )()()()()((3)计算新积分(2)分部积分公式(1)拆分被积表达式中, 如果某部分求导后能得到简化，可考虑选为u ，剩下的部分就是dv 。
范围：一般处理含有多种类型的混合函数。
关键：对被积表达式的适当拆分。
（求导数或微分）∫′⋅dx x v x u )()(旧积分∫′⋅⇒dxx u x v )()(新积分,)()(dx x u x du u ′=⇒)()(x v dx x v dv ⇒′=（求积分或凑微分）u.cos ∫xdx x 求解（1）令,x u =x d xdx dv sin cos ==∫xdx x cos ∫=udv ∫−=vdu uv ∫−=xdx x x sin sin xv dx du sin ,:==则.cos sin C x x x ++=例1解（2）令,cos x u=∫xdx x cos ∫+=xdx x x x sin 2cos 222显然，u,dv 选择不当，积分更难进行.22,sin :xv xdx du =−=则∫xdx x cos ∫−=vdu uv总结若被积函数是幂函数与正(余)弦函数或指数函数的乘积, 可考虑设幂函数为u例2求积分.2∫dx e x x解,2x u =,xxde dx e dv ==∫dx e x x 2∫−=dx xe e x x x 22.)(22C e xe e x xxx+−−=再次使用分部积分法,x u =dxe dv x =),2(xe v xdx du ==),(xe v dx du ==例3求积分.arctan ∫xdx x ∫⋅=xdx x arctan 原式)(arctan 2arctan 222x d xx x ∫−=dx xx x x 222112arctan 2+⋅−=∫dx x x x )111(21arctan 222+−⋅−=∫.)arctan (21arctan 22C x x x x +−−=u dv 2v u ⋅du v ⋅v 熟练以后的写法例4求积分.ln 3∫xdx x 解,ln x u =,443dv xd dx x ==∫xdx x ln 3∫−=x d x x x ln 41ln 4144.161ln 4144C x x x +−=总结若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.u∫−=dx x x x 3441ln 41例6求积分.sin ∫xdx e x解∫xdx exsin ∫=xxdesin ∫−=)(sin sin x d e x e x x ∫−=xdx e x e xxcos sin ∫−=xxxdex e cos sin ∫−−=)cos cos (sin x d e x e x e xx x ∫−−=xdx e x x e xx sin )cos (sin ∫∴xdx e xsin .)cos (sin 2C x x ex+−=注意循环形式)0,(.)(122>∈+=∫a N n dx a x I nn 求解利用分部积分公式得：时当,1>n ∫−+dx a x n 122)(1例7∫+−++=−dxa x xn a x x n n )()1(2)(222122∫+−+−++=−−dx a x a a x n a x x n n n ])()(1[)1(2)(222122122))(1(2)(211221n n n n I a I n a x x I −−++=∴−−−∫+=dx ax I 2211Q C ax a +=arctan 1])32()([)1(2111222−−−++−=∴n n n I n a x xn a I 的递推公式。
分部积分方法及例题
分部积分方法及例题分部积分法是微积分中的一种重要方法，可以用于求解复杂的积分问题。
它通过将复杂的函数进行分部拆分，再进行逐步求导或求积的过程，最终得到原函数的积分表达式。
在本篇文章中，将介绍分部积分法的基本原理及应用，并给出一些例题进行演示。
一、基本原理分部积分法是基于积分的乘法法则：∫(u*v)dx = ∫u*dv + ∫v*du。
其中，u和v分别是待求函数的两个因子。
通过选择合适的u和dv，可以将原函数的积分改写为更易求解的形式。
具体的步骤如下：1. 选择u：选择一个函数作为u，通常选择原函数中具有较高次幂、三角函数或指数函数等。
2. 求du：对选定的u求导得到du，即du = u' dx。
3. 选择dv：选择原函数中的另一个因子作为dv，即dv = v dx。
4. 求v：对dv进行不定积分得到v。
5. 应用分部积分公式：将待求积分写成∫u dv = ∫v du + ∫v du + C，其中C是常数。
6. 化简并解出原函数：通过代数运算，将得到的方程化简，并解出原函数。
二、应用示例以下是几个分部积分法的应用示例：例题1：计算∫x sin(x) dx。
解：选择u = x，dv = sin(x) dx。
由此，du = dx，v = -cos(x)。
根据分部积分公式，可得∫x sin(x) dx = -x cos(x) - ∫(-cos(x)) dx。
对于∫(-cos(x)) dx，再次应用分部积分法，选择u = -cos(x)，dv = dx，可得到 du = sin(x) dx，v = x。
将结果代入方程，得到∫x sin(x) dx = -x cos(x) + ∫x dx = -x cos(x) +(1/2)x^2 + C，其中C是常数。
例题2：计算∫e^x cos(x) dx。
解：选择u = e^x，dv = cos(x) dx。
由此，du = e^x dx，v = sin(x)。
分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀
一、口诀的运用
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
一般地，从要求的积分式中将
凑成
是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。
分部积分法最重要之处就在于准确地选取
，因为一旦
确定，则公式中右边第二项
中的
也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取
则要依
的复杂程度决定，也就是说，选取的
一定要使
比之前的形式更简单或更有利于求得积分。
依照经验，可以得到下面四种典型的模式。
记忆模式口诀：反（函数）对（数函数）幂（函数）三（角函数）指（数函数）。
通过这个题目我们会看到表格法的优势，幂函数的次数越高，一般算法需要的步骤越多越容易出错，而表格法相对来说会越来越简单
Ⅲ.(情形二)
一般方法
表格法。
不定积分分部积分法
不定积分分部积分法不定积分的分部积分法为Sudv＝uv−Svdu。
例1 求∫x2exdx解：这道题的被积表达式是两个函数相乘，我们首先考虑凑微分法。
但尝试后发现，无论把那个函数凑入微分符号中，积分都不会变简单。
这时候，可以考虑使用分部积分法了。
根据“反对幂指三”的顺序，我们优先选择把指数函数 ex 凑入微分符号，得∫x2d(ex) .由分部积分公式得，原式= x2ex−∫exd(x2)=x2ex−2∫xexdx .这时候剩下的这个积分的被积表达式又是两个函数相乘的形式，而且与一开始的积分形式是一样的，所以对这个积分再次使用分部积分。
即∫xd(ex)=xex−∫exdx=(x−1)ex+C .容易计算出最后的结果是∫x2exdx=(x2−2x+2)ex+C .例2 求∫lnxdx .解：这道题乍一看似乎可以直接用积分公式，但一想，不对啊，没有对应的积分公式可以用啊。
而被积表达式就只有一个函数光溜溜地站在那里，既不能换元，也不能凑微分，那么这时候就又可以考虑分部积分法了。
我们把 lnx 看作 1⋅lnx ，那么 1 就是一个幂函数（ x0 ）。
现在根据“反对幂指三”的顺序，我们选择把幂函数凑入微分符号，得到和原式一样的∫lnxdx 。
下一步就是分部积分了，根据公式，容易得到：xlnx−∫xd(lnx) .计算易得，原式= xlnx−∫x⋅1xdx=x(lnx−1)+C .从上面两个例题我们便可以总结出分部积分法的基本步骤了：①凑微分，∫f(x)g(x)dx=∫f(x)dG(x) ，其中g(x) 的类型是“反对幂指三”中靠后的类型；②带入分部积分公式，∫f(x)dG(x)=f(x)G(x)−∫G(x)df(x)③计算微分 df(x) ；④计算积分∫G(x)f′(x)dx ，可能还需要再用一次分部积分法；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．凑微分法
定理1（第一换元积分法）若函数 在[a,b]可导，且 ， ，有 ，则函数 存在原函数 ，即
**具体应用此定理计算不定积分时，其过程是这样的：
例7．求
分析：我们有公式 ，而上述积分中被积函数根号里面还要加5，不能直接用公式。为了能用公式计算，进行凑微分：
解：
例8．求
分析：为了能应用公式计算，进行凑微分：
一般地，形如 的积分，都可以用分部积分法计算，并且计算方法和例5类似。
例6．求
分析：可以用两种方法凑微分。先看看用下面的凑微分情况怎样。
变成跟原式差不多的积分。再看看用下面的凑微分：
两种凑微分都差不多，都把原不定积分转化为积分 。可以想象，把这个积分作类似的分部积分，就会转化为原积分 。这时采用方程的思想即可求出原积分。（略）
解：
一般地，在计算积分的时候，有时为了化为能用公式计算，我们常根据需要作下面的凑微分公式：
（1）
**计算熟练以后，就可以省略“设”的步骤，把所设的式子当作一个整体，在心里面想着它是一个变数，就可以使书写简化。如上面的例子，就可以简化为
例9．求
分析：注意到我们有
解：
一般地，我们有凑微分公式：
（2）
特殊地，有
§7.2分部积分法与换元积分法
(一) 教学目的：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．
(二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．
————————————————————————
如何计算不定积分 ？我们知道， ，那么是否有 ？显然不对。
计算不定积分，仅有直接积分法还是不行的。如 、 、 等积分就不能直接积分，下面探讨其它的计算不定积分的方法。
，
，
等等。
除此以外，我们还可以写出许多凑微分公式：
（3）
（4）
（5）
（6）（7）（8）源自（9）例10．求分析：应用凑微分公式（2），有
解：（略）
例11．求
例12．求
例13．求
例14．求
例15．求
例16．求
补充例题：
2．第二换元法
这是一种与凑微分法的过程刚好相反的计算不定积分的方法。
定理2（第二换元积分法）若函数 在 可导， ，且 ，函数 在 有定义， ，有
解：设 ，则有 ，于是
要将变量还原为x，由 ，可得 ，于是
一般地，当被积函数是含有形如 的式子时，都可考虑作变量替换 ，目的是去掉根号。此时 ，
例19．求
解：设 ，则有 ，
∴
当 时，
由 ，得 ， ，于是
当 时，
由 ， ，
综上所述，对任意 ，有
一般地，当被积函数是含有形如 的式子时，都可考虑作变量替换 ，目的是去掉根号。此时 ，
则函数 在 存在原函数，且
具体应用此定理计算不定积分时，其过程是这样的：
例17．求
分析：被积函数带有根号，想办法去掉。联想到三角函数公式 ，于是作变换 ，则 ，根号去掉了。
解：设 ，则 ，于是
由 ，得 ，所以
∴
一般地，当被积函数是含有形如 的式子时，都可考虑作变量替换 ，目的是去掉根号。此时
例18．求
二、分部积分法
我们知道，
即
于是，
或
这就是分部积分公式。
应用分部积分公式计算不定积分的过程一般为：
在这里，主要是把不定积分 的计算转化为不定积分 计算。通过这样的转化，往往会达到化未知为已知，化繁为简，化难为易的目的。
在分部积分的过程中，还是要凑微分，
例1．求
分析：初看这道题，会感到无从下手。尝试一下使用分部积分。可以有两个凑微分的方向：
或
走哪条路好呢？通过尝试可以知道，第一种方法越算越复杂，无法得到结果。第二种方法刚好相反。
解：
从此例可以看到，原题中的积分可能有两种凑微分的方法，但选择那一种，有时是要认真考虑或尝试一下的。
一般地，形如 、 的积分，都可以用分部积分法来计算，并且计算方法和例1的方法类似。
例2．求
解：
例3．求
解：
一般地，形如 的积分，都可以用分部积分法来计算，并且计算方法和例1、例2的方法类似。
特别地，k = 0时，
例4．求
解：
一般地，形如 、 等形式的积分，都可以用分部积分法计算，并且计算方法和例4类似。
例5．求
分析：可以用两种方法凑微分，但用哪一种行得通？要试试看。
虽然还不能得到结果，但次数降低了，越变越简单。再进行一次分部积分，应该行得通。
解：
=
有些积分，用一次分部积分不行的话，可进行两次、三次或更多次的分部积分。