(完整版)定积分的分部积分法
高等数学课件4第三节(2) 定积分的分部积分法ppt
(2) “代公式”:得 到 一 个 新 积 分abvdu;
(3)
“微出来”:abvdu
du微 出
来 bv a
udx;
(4) 计算积分: abv udx.
例1.
计算
4 0
x
cos
2 xdx.
abudv [uv ]ba abudv
解:
原式
4
0
xd(
1 2
sin
2x)
[1 2
x sin 2 x]04
π
π
I0
2 dx 0
; 2
(2) 若 n 为 奇 数,则 最 后推 到I1 ,
π
I1
2 0
sin
xdx
1.
2 sinn dx 0
n 1 n 3 3 1 π , n为偶数,
n n2
422
n 1 n 3 4 2 1, n为奇数.
n n2
53
例如:
2 0
sin7
xdx
6 7
第五章
第三节(2) 定积分的分部积分法
回顾 不定积分的分部积分法:
(uv) uv uv
uv uvdx uvdx
uvdx uv vudx 或 udv uv vdu
分部积分公式
定积分的分部积分法:
设函数u( x),v( x)在区间[a,b]上具有连续导数,则
(uv) uv uv
2(e [et ]10 )
2[e (e 1)] 2 证明定积分公式:
In
π 2
s
inn
xdx
0
π 2
cosn
xdx
0
n n
1
n n
3 2
定积分的分部积分公式
1 2
1
0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1 x2df ( x)0源自1 2f(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
5
x2 sin t
f ( x) 1
dt , t
f
(1)
1 sin
1 t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
1 2
f
12
1
1 x2
2
0
3 1.
12 2
2
例2 计算 4
xdx .
0 1 cos 2x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtan x
2
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
4
0
tan xdx
8
1 2
ln
sec
3、 1 xexdx ______________； 0 e
4、1 x ln xdx _____________；
5、
1
x arctan xdx ____________ .
0
二、计算下列定积分：
1、 e sin(ln x) dx ； 1
2、
e 1
ln x
dx ；
e
15
3、 J (m) x sin m xdx ，（m 为自然数） 0
定积分的分部积分法
t
)dt
2(t
ln
|
t
1|)
c
回代2[ x ln |1 x |] c
于是
4 dx 2[ 0 1 x
x ln(1
x )] |04 4 2 ln 2.
解法2 设 x t即x t2 (t 0) 当x 0时，t 0; 当x 4时,t 2.
2.
2
cos
xdx
2
2 0
cos xdx.
2
2．利用定积分的几何意义，求下列定积分．
2
(1)
4－x2 dx;
－2
4
(2)
4x x2 dx.
0
3．利用定积分估值定理，估值定积分
2
(4 1
x2
)dx
的值．
第二节 微积分基本公式
一、变上限的定积分
对应于每一个值,积分 x f (t)dt都有一个确定的值, a
(x) d
x
f (t)dt f (x),
(a x b).
dx a
推论 连续函数的原函数一定存在．
例1 计算 (x) x sin t2dt 在x 0, 处的导数.
0
2
解 因为 d x sin t2dt sin x2, dx 0
故
(0) sin 02 0;
4
( )
4
.
2
3. 1 cos2 x
2sin2 x
2 | sin x |
2
1 cos 2xdx
2
0
2
高数,定积分的分部积分法
例4 设 f ( x) x2 sin t d求t,
1t
1
xf ( x)dx.
0
解 因为sin t 没有初等形式的原函数， t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
1
0 xf ( x)dx
1 2
1
0
f
(
x )d (
x2
)
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
x
2df
(
x
)
1 f (1) 2
,
直到下标减到0或1为止
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 5 26
3 4
1 2 I0,
I2m1
2m 2m
1
2m 2m
2 1
6 7
4 5
2 3
I1 ,
(m 1,2,)
I0
2 dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 5 26
3 4
In
sinn1 x cos x
2
0
(n
1)
2 sinn2 x cos2 xdx
0
0
1 sin2 x
In
(n
1) 2 0
sin n 2
xdx
(n
1) 2 0
sin
n
xdx
(n 1)In2 (n 1)In
In
n
n
1
I
n
2
积分I n关于下标的递推公式
I n2
定积分的分部积分法
§6.5 定积分的分部积分法因为vdu udv uv d +=)(，两边从a 到b 取定积分有：⎰⎰⎰+==b abab ab avdu udv uv uv d ][)(，所以 ⎰⎰-=bab a ba vdu uv udv ][ 例1⎰⎰⎰-=-=5151515151]ln [ln ])[(ln ln dx xx x x x xd x x xdx 45ln 5][05ln 551-=--x例2 11|][1110110=+-=-=-==⎰⎰⎰xx xxx x x e e e e dxe xe xde dx xe例3211|c o s 0s i n|s i n s i n c o s 0000-=--=+=-==⎰⎰⎰πππππx dx x x x x xd xdx x例4⎰⎰⎰-==ee e e xd x x x x xd xdx x 1121221ln 21]ln [21)2(ln ln=414|212122122122122+=⋅-=-⎰e x e dx x x e e e例5⎰⎰=2ln 0222ln 032221dx e x dx e x x x 令2x t =，则原式=⎰⎰⎰-==2ln 02ln 02ln 02ln 021][212121dt e te tde dt te tt t t =212ln 212212ln |212)2(ln 212ln 0-=+⋅-=-⋅t e 例6 求⎰⎰=2020c o s c o s ππx xx d e xd xe =dx x e x d e e x x xx⎰⎰+-=-⋅202020sin 1cos |cos πππ=⎰⎰-⋅+-=+-202020sin ])[(sin 1sin 1πππx d e e x xde x xx=xdx e e x cos 1202⎰-+-ππ∴ 1cos 2220-=⎰ππe xdx e x∴ ⎰-=202)1(21cos ππe x e x例7⎰342s i n ππdx xx=⎰⎰+-=-343434cot ]cot [cot ππππππxdx x x x xd=++-=⎰dx x x 34sin cos 493ππππ⎰++-=34sin sin 493ππππx xd 34]sin [ln 493ππππx ++-=23ln 21493++-ππ 利用定积分还可以求某些和的近似值。
定积分分部积分
定积分的分部积分法
定积分的分部积分法：分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
扩展资料：
不定积分的公式
1、∫adx=ax+C，a和C都是常数。
2、∫x^adx = [x^（a + 1）]/（a + 1）+C，其中a为常数且a≠-1。
3、∫1/xdx =ln|x|+C。
4、∫a^xdx =（1/lna）a^x+C，其中a\u003e0且a≠1。
5、∫e^xdx =e^x+C。
定积分的计算 分部积分
例6： 设f x 在[0,1] 上连续，且 F x f t dt, 证 明
x 0
F x dx 1 x f x dx
1 1 0 0
解： F x dx xF x 0 xF x dx
1 1 1 0 0
f x dx x f x dx
n3 3 1 , n为 正 偶 数 ； n2 4 2 2 n3 4 2 , n为 大 于 1的 正 奇 数 。 n2 5 3
证 令u sinn1 x, dv sinxdx,
则du (n 1) sinn 2 x cos xdx, v cos x.
解 设u arctanx, dv dx,
例2 计算
1
0
e
x
dx.
x 1, t 1.
1 t
解 令 x t , x t 2 , 则dx 2tdt,
x 0, t 0;
e
0
1
x
dx 2 te dt 2 td (e ) 2 te 0
t
依次进行下去，可得
I 2m
2m 1 2 m 3 2 m 5 5 3 1 I0 , 2m 2 m 2 2 m 4 6 4 2
I 2 m 1
2m 2m 2 2m 4 6 4 2 I1 2m 1 2m 1 2m 3 7 5 3
1
2
, 故
2 n 2n 2 （ 1 － x ） d x cos t cos t d t 0 0
2 cos 2 n 1 t d t
0
定积分分部积分法
1 2
x
2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
x
2df
(
x
)
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
f
(
x)
x2
1
sin t
t
dt ,
f
(1)
1
1
sin t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
1 2
f
(1)
11
4、 sinn1 x cos(n 1)xdx . 0
三、已知 f ( x) tan 2 x ,求 4 f ( x) f ( x)dx . 0
四、若 f ( x)在 0 , 连续， f (0) 2 , f () 1 ,
证明：
[ f (x)
f ( x)]sin xdx
22[t[etet]t1]010220101eettddtt22ee22[[eett]]1010 22
1
例2 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
b
uv
b
vdu.
a
aa
◆定积分的分部积分法
例1 1 2 xexdx 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n 102 sin n2xdx n 102 sin n xdx
n 1In2 n 1In
In
n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
预科部：melinda
In2
n n
3 2
In4
,
,
直到
In
的下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
2m 2m
5 4
...5 6
3 4
1 2
I0
I 2 m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
2m 2m
4 3
... 6 7
4 5
2 3
I1
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I0
2
0
sin
0
xdx
2
, I1
2
0
sin
xdx
1
In
2
0
sin
n
xdx
n
n
1 n 1
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx
uv
b a
b
a
uvdx；
或
b
a
udv
uv
b a
b
a
vdu
2.说明
预科部：melinda
(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对
二、例题
例1 计算 1 xexdx . 0
解
1 xexdx 1 xdex
0
0
xex
1 0
1exdx
0
e
ex
1 0
1
预科部：melinda
2
例2
计算
4
0
sin
xdx .
2
解
4
0
sin
xdx
x
t 0, t
x, dx 2tdt
0; x 2 ,t
2 2 0
t
sin
tdt
42
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
2 ,n为大于1的正奇数.
n n2 5 3
证
In
2
0
sin n1
xd cos
x
预科部：melinda
sin n1
x cos
x
2 0
n
102
sin n2
x cos2
xdx
n 102 sin n2 x1 sin 2 xdx
202 td cost
2t
cos
t
2 0
2 2 0
cos tdt
预科部：melinda
2sin
t
2 0
2
例3
设
f
x
x
1
2
sin t
t
dt
，求
1
0
xf
x
dx
.
解
f x sin x2 2x 2sin x2
x2
x
f
1
1
1
sin t
tdt
0
1
0
xf
xdx
1
0
f
xd
x2 2
预科部：melinda
于不含积分号的 uv 项需将积分上下限代入求
差，另一项
b
a
vdu
仍按定积分继续计算.
(2)应用分部积分公式时,被积函数 u和v 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求
定积分，应观察积分区间是否关于原点对称，
被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊
定积分公式简化定积分的运算.
预科部：melinda
2 , n为大于1的正奇数.
n n2 5 3
预科部：melinda
x2 2
f
1
x0
1
0
x2 2
df
x
f
1
2
1
0
x2 2
f xdx
1 0
x2 2
2sin x
x2
dx
1
0
x sin
x2dx
1 2
01sin
x2dx2
1 2
cos
x2
1 0
1 cos11
2
预科部：melinda
例4 证明定积分公式
In
2
0
sin
n
xdx
2
0
cosn xdx
n n
n
1 1Βιβλιοθήκη