高等数学 第四章 第三节 分部积分法
（再次使用分部积分法）u x , e x dx dv
x e 2( xe e ) C .
2 x x x
结论
若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 x arctan xdx . 2 x dv 解 令 u arctan x , xdx d
微分部分
积分部分
+
x
2
cos x
sin x
cos x
sin x
2x
2
结束
0
+
2 2 x cos xdx x sinx 2 x cos x 2 sinx C
例13 求积分 x e dx .
微分部分
2
x
竖式算法
选 u x 2 , v' e x
积分部分
+
x
2
e
x
2x
sec x tan x tan x sec xdx
2
sec x tan x (sec 2 x 1) sec xdx
这是一个 sec x tan x (sec 3 x tan x )dx 循环积分
sec x tan x I ln cos x
1 解出I即可 I (se cx tan x lncos x ) C 2
2 x e e
2 x2
x2
C.
例9
解：原式 x ln(1 x ) xd ln(1 x )
2 2
求 ln( x 1)dx
2
2x x ln( 1 x ) x dx 2 1 x
2
( x 1) 1 x ln( 1 x ) 2 dx 2 1 x 1 2 x ln( 1 x ) 2 dx 2 dx 2 1 x
x sin(ln x )dx [sin(ln x ) cos(ln x )] C . 2
例6 求积分
e
x
sin xdx .
解
e x sin x e x d (sin x )
x x e sin xdx sin xde
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e x d cos x ) e (sin x cos x ) e sin xdx
结论
例5 求积分 sin(ln x )dx . 解 sin(ln x )dx x sin(ln x ) xd[sin(ln x )]
1 x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x
x sin(ln x ) x cos(ln x ) xd[cos(ln x )] x[sin(ln x ) cos(ln x )] sin(ln x )dx
2x 1 x2
1
x
1
-
2x 1 x2
2( x arctanx )
2
调整线Biblioteka 结束02 2 ln( x 1 ) dx x ln( x 1) 2( x arctanx) C
例16
x arctan x 1 x
2
dx 竖式算法 选 u arctanx, v'
ln(sec t tan t ) C ln( x 1 x 2 ) C
x arctan x dx 2 1 x
1 x 2 arctan x ln( x 1 x 2 ) C .
例8 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e 解
x2
, 求 xf ( x )dx .
以及一些特殊类型 如
6
sec
3
xdx
x arcsin x 1 x2
dx
其中P( x ), Q( x )均为x的多项式
2、应用分部积分法计算不定积分的 过程可分为四个步骤：
1 选择u与dv, 把被积函数中的一部分 看成u, 另一部分
视为dv（或另一部分与 dx的乘积）使待积式
f ( x)dx 转化为 u( x)dv( x)
x cos xdx .
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C .
例2 求积分 解
2
2 x
u x ,
x e dx.
2 x
x
e dx de dv,
x
2 x x x e dx x e 2 xe dx
3、选择u和dv的一般原则
dv使 之 求 得 v（ 这 实 际 上 也 是 一 个 分 积 1 先选择 过程 .因此选取 dv可用凑微分法，这样便 于求v )
2 要使 vdu 比原来的不定积分 udv 容易计算
4、由于在实际应用中，将被积表达式 f ( x)dx 转化为Udv的方式一般不是唯一的。
2 x x 2e x x e xe x dx xdex x2 x2
x e 例10 求 ( x 2) 2 dx
2
x
x 2e x xe x e x C x2
例11 求I sec xdx 解 I sec 3 xdx
3
分部
secxd tan x secx tan x tan xd secx
f ( x)dx f ( x), f ( x )dx e
f ( x ) 2 xe
xf ( x )dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx ,
x2
C,
两边同时对 x求导, 得
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 代公式 即 u ( x)dv ( x) u ( x)v( x) v( x)du ( x) 3 求微分 du udx 3 4 计算积分 把 vu dx积分出来 指导思想
分部积分法的作用是解 除难点，变较难的函数
uv积分为较易的函数 vu的积分，因此此法的
关键在于如何分配 u和dv
并注意积累经验，而且 有时往往多种选择方案 都能
得到最终结果，在这种 情况下，就自然应争取 选择较
简 单 ， 明 快 的 方 案 ，何 如选 择 u与dv的 问 题 还 是 有 规 律 可 循 的 ， 为 了于 便记 忆 ， 有 人 把 它 简为 称
LIATE
法。其中
L 对 数 函数
I 反三角函数
第三节
分部积分法
基本内容 小结
一、基本内容
问题
xe
x
dx ?
解决思路
利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u( x ) 和v v ( x )具有连续导数, uv u v uv , uv uv uv ,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
‘容易计算’ ，开始试探时含有相当 的‘ vdu 比 udv
主观愿望’ 和经验的成分，并不一 定可靠，弄得不
好，还有可能越转化越 困难，因此，往往要通 过一个
建立在经验、视察、估 计基础上的试探性的选 择
过 程 ， 有 了 把 握 后 ，正 再式 确 定 u与dv的 选 择 并 进行计算。
如何选择 u与dv并无一定之规，要具体 问题具体分析
1 ( x arctanx ) 2
调整线
结束
0
1 2 1 x arctan dx x arctanx ( x arctanx ) C 2 2
例15 求 ln( x 2 1)dx 竖式算法 选 u ln(x 2 1), v' 1
微分部分 积分部分
+
ln(x 2 1)
x x
x
e e sin xdx (sin x cos x ) C . 2
x
注意循环形式
x arctan x 例7 求积分 dx . 2 1 x x 2 解 1 x , 2 1 x x arctan x 2 arctan xd 1 x dx 2 1 x
2
0
+
e
x x
e x e
结束
2 x 2 x x x x e dx x e 2 xe 2 e C
例14 求积分 x arctan xdx 竖式算法
微分部分
选 u arctanx, v' x
积分部分
+
arctan x
1 1 x2
x
1 2 x 2
1
-
x2 2(1 x 2 )
例12
解
求I x e
5 x 3 1
dx
直接用分部积分，计算过程比较复杂，作变换
x e
5
x 3 1
dx e x 3 e x 3 d ( x 3 ) 3
y x3
e e y y y ye dy ( ye e ) C 3 3
e 3 x3 x3 ( x e e ) C 3
例4 求积分 x 3 ln xdx . 4 x 3 解 u ln x , x dx d dv ,
4 1 4 1 3 3 x ln xdx 4 x ln x 4 x dx 1 4 1 4 x ln x x C . 4 16
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高等数学课件4-3分部积分法
经济应用：在经济学领域，分部积分 法可以用于求解各种经济问题，例如 在宏观经济学、微观经济学等领域， 可以用于求解各种经济问题。
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汇报人：
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高等数学课件4-3分部积分法
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 分部积分法的基本 概念
03 分部积分法的计算 步骤
04 分部积分法的应用 实例
05 分部积分法的注意 事项
06 分部积分法的扩展 知识
添加章节标题
分部积分法的基本概念
分部积分法的定义
分部积分法是一种用于求解不定积分的方法
积分顺序：先对u 积分，再对v积分
积分结果：u和v 的乘积减去v的积 分
分部积分法的应用范围
求解一阶微 分方程
求解二阶微 分方程
求解高阶微 分方程
求解常微分 方程
求解偏微分 方程
求解积分方 程
分部积分法的计算步骤
确定被积函数和积分变量
分部积分法的基本思想：将复杂函数分解为简单函数 确定被积函数：选择合适的函数进行分解 确定积分变量：选择合适的变量进行积分 计算步骤：按照分部积分法的公式进行计算 注意事项：选择合适的函数和变量，避免出现错误
不当
注意积分公式 的使用，避免 公式使用错误
注意积分结果 的验证，避免 积分结果错误
注意积分上下限的取值
积分上下限的取值范围要合理，不 能超出函数的定义域
积分上下限的取值要保证积分结果 的正确性，不能出现错误
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
积分上下限的取值要满足积分条件， 不能出现无穷大或无穷小
积分上下限的取值要符合实际问题， 不能脱离实际背景
高等数学课件4第三节(2) 定积分的分部积分法ppt
(2) “代公式”:得 到 一 个 新 积 分abvdu;
(3)
“微出来”:abvdu
du微 出
来 bv a
udx;
(4) 计算积分: abv udx.
例1.
计算
4 0
x
cos
2 xdx.
abudv [uv ]ba abudv
解:
原式
4
0
xd(
1 2
sin
2x)
[1 2
x sin 2 x]04
π
π
I0
2 dx 0
; 2
(2) 若 n 为 奇 数,则 最 后推 到I1 ,
π
I1
2 0
sin
xdx
1.
2 sinn dx 0
n 1 n 3 3 1 π , n为偶数,
n n2
422
n 1 n 3 4 2 1, n为奇数.
n n2
53
例如:
2 0
sin7
xdx
6 7
第五章
第三节(2) 定积分的分部积分法
回顾 不定积分的分部积分法:
(uv) uv uv
uv uvdx uvdx
uvdx uv vudx 或 udv uv vdu
分部积分公式
定积分的分部积分法:
设函数u( x),v( x)在区间[a,b]上具有连续导数,则
(uv) uv uv
2(e [et ]10 )
2[e (e 1)] 2 证明定积分公式:
In
π 2
s
inn
xdx
0
π 2
cosn
xdx
0
n n
1
n n
3 2
第3节 分部积分法
1 所以 sec xdx (sec xtanx ln sec x tanx ) C . 2
3
34
高等数学
●
戴本忠
17
1 例10 求 I n 2 2 n dx , 其中 n 为正整数 . (x a ) 解 当 n 1 时, 根据分部积分法 1 ( x 2 a 2 ) n 1 dx
高等数学
●
戴本忠
例9 解
求 sec 3 xdx .
3 sec xdx sec xdtan x
(tan x)sec2x (sec x)secxtanx
sec xtanx sec xtan 2 xdx sec xtanx sec x (sec 2 x 1)dx sec xtanx sec 3 xdx sec xdx sec xtanx ln sec x tanx sec 3 xdx .
●
戴本忠
10
例2
解
求 xe x dx .
令 u x, dv e dx,
x
那么 du dx, v e x .
x x x x x x x e d x x e e d x x e e C e ( x 1) C .
例3 解
求 x 2e x d x .
1 x 2 arctan x 1 x 2 d(arctan x )
1 x arctan x
2
34
1 1 x 2 dx 1 x
2
高等数学
●
戴本忠
21
1 x arctan x
2
1 dx 2 1 x 令 x tan t
§4-3__分部积分法
u
x
e sinx ( e cos x e d cos x )
x x
u dv
e x (sin x cos x ) e x sin xdx 注意循环形式
ex e x sin xdx (sin x cos x ) C 2
12
分部积分法
e kx sin(ax b)dx ,
例
arctan e x e x dx
令 u ex
解一:先换元再分部
arctan u 1 arctan e x du dx x e u u 1 arctan ud ( ) u 1 1 1 arctan u 2 du u u 1 u
23
1 1 u arctan u [ 2 ]du u u 1 u 1 1 arctan u ln u ln(1 u2 ) C u 2 1 x x e arctan e x ln(1 e 2 x ) C 2
11
x sin xdx . 例 求 e 应用分部积分法时,可不明显地写出如何选 取u、dv,而直接套用公式.(对较简单的情况) e x sin xdx sin xde x 解 u u dv e x sinx e x d(sin x )
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
4
分部积分法
udv uv vdu
分部积分公式
恰当选取u和dv是一个关键, 选取u和dv的一般原则是: (1) v要易求;
(2)
vdu 比 udv 易求.
5
二、例 题
例 求 x cos xdx .
x
e sinx ( e cos x e d cos x )
x x
u dv
e x (sin x cos x ) e x sin xdx 注意循环形式
ex e x sin xdx (sin x cos x ) C 2
12
分部积分法
e kx sin(ax b)dx ,
例
arctan e x e x dx
令 u ex
解一:先换元再分部
arctan u 1 arctan e x du dx x e u u 1 arctan ud ( ) u 1 1 1 arctan u 2 du u u 1 u
23
1 1 u arctan u [ 2 ]du u u 1 u 1 1 arctan u ln u ln(1 u2 ) C u 2 1 x x e arctan e x ln(1 e 2 x ) C 2
11
x sin xdx . 例 求 e 应用分部积分法时,可不明显地写出如何选 取u、dv,而直接套用公式.(对较简单的情况) e x sin xdx sin xde x 解 u u dv e x sinx e x d(sin x )
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
4
分部积分法
udv uv vdu
分部积分公式
恰当选取u和dv是一个关键, 选取u和dv的一般原则是: (1) v要易求;
(2)
vdu 比 udv 易求.
5
二、例 题
例 求 x cos xdx .
高等数学第四章第三节分部积分法课件.ppt
原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
tan x lncos x tan x x C
例7. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
则 u 1 , v 1 x2
x
2
原式 = 1 x2 ln x 1 x dx
2
2
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
例3. 求 x arctan x dx.
解: 令 u arctan x, v x
则
u
1
1 x
2
,
v 1 x2 2
∴ 原式 1 x2 arctan x 1
2
2
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
1,
1
cos sin
x x
dx
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
再令 u cos x , v ex , 则 u sin x , v ex
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
原式 =
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 ,
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
高等数学课件 分部积分法
tan x ⋅ lncos x + ∫ tan2 xdx 原式 = = tan x ⋅ lncos x + ∫ (sec2 x −1) dx
= tan x ⋅ lncos x +tan x − x + C
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例7 求 解 令 x= t , 则 x = t 2 , dx = 2t d t 原式 = 2∫ t e d t
− xsin x − cos x x2
说明: 说明 此题若先求出
− cos x + 2sin x + 2cos x d x ∫ x f ′(x) dx = ∫ 2 x x
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例12 求 I = ∫
e
arctan x
2 32 (1+ x )
t
令 u = t , v′ = et
= 2( te − ∫ e dt )
t
t
= 2(t et − et ) + C
= 2e x ( x −1) + C
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例8 求 解 令 u = x2 + a2 , v′ =1, 则 x u′ = 2 2 , v = x
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例3 求 ∫ x arctan x dx. 解 令 u = arctanx, v′ = x 1 1 2 ′= 则 u , v= x 2 2 1+ x 1 2 1 x2 ∴ 原式 = x arctan x − ∫ dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 1 = x arctan x − ∫ (1− ) dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 = x arctan x − (x − arctan x) + C 2 2
《分部积分法》课件
实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。
详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从
第三节 分部积分
1 3 解: 原式 = ∫ arctan x d x 3 1 3 1 x3 = x arctan x −∫ ⋅ dx 2 3 3 1+ x
1 1 3 x2 1 2 = x arctan x − ∫ dx 2 3 1+ x 2 3 1 1 3 1 (1− ) dx2 = x arctan x − ∫ 2 1+ x 3 6
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例3. 求
∫ x ln xdx .
x2 x2 x2 1 dx = ln x−∫ 解: 原式 = ∫ ln x d 2 2 2 x
1 2 1 x2 x2 = ln x − ∫ x dx = ln x − x + C 4 2 2 2
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结束
例4. 求
∫x
2
arctan x dx .
∫e
− x2
dx , dx, ∫ ln x
sin x ∫ cos x dx, ∫ x dx,
2
它们的积分可以借助无穷级数来计算,或运用数学软件 它们的积分可以借助无穷级数来计算 或运用数学软件 快速算出. 快速算出
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结束
x cos x − sin x 例11. 求 ∫ d x. 2 x
x cos x − sin x cos x sin x 解: ∫ dx = ∫ d x −∫ 2 d x 2 x x x
1 sin x = ∫ dsinx −∫ 2 d x x x 1 sin x 1 = sinx −∫ sinx (− 2 )d x −∫ 2 d x x x x 1 = sinx +C. x
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本章主要内容
高等数学4-3-分部积分法
2
分部积分法
udv uv vdu 分部积分公式
难求
易求
此公式并没有告诉我们求不定积 分的直接方法，而只是将求一个不定 积分转化为求另外一个不定积分，这 就要求后者积分要比前者更容易求， 否则使用此公式就没有意义了。
3
分部积分法
二、例 题
udv uv vdu
例 求 x cos xdx .
ln
xd
x4 4
1 ln xdx4 1 ( x4 ln x x4d ln x)
4u v 4
1 ( x4 ln x 4
x 3dx)
1 4
x
4
ln
x
1 16
x4
C
.
结论3 若被积函数是幂函数( x )与对数函
数相乘, 将幂函数移入微分号内凑成 v 。
8
例5 求积分 ln xdx. 解 ln xdx
第三节 分部积分法
分部积分公式 例题 小结 作业
1Hale Waihona Puke 第四章 不定积分分部积分法
一、分部积分公式
ln xdx
xexdx
设函数u u( x)及v v( x) 都可导.
(uv) uv uv
uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx
udv uv vdu 分部积分公式
函数相乘, 将幂函数移入微分号内凑成 v 。
10
练习： arctan xdx.
解 arctan xdx
u
v
x arctan x xd arctan x
x
x arctan x 1 x2 dx
x arctan x 1
2
1
1 x2
d(