高数,定积分的分部积分法
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高等数学 第四章 第三节 分部积分法
（再次使用分部积分法）u x , e x dx dv
x e 2( xe e ) C .
2 x x x
结论
若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 x arctan xdx . 2 x dv 解 令 u arctan x , xdx d
微分部分
积分部分
+
x
2
cos x
sin x
cos x
sin x
2x
2
结束
0
+
2 2 x cos xdx x sinx 2 x cos x 2 sinx C
例13 求积分 x e dx .
微分部分
2
x
竖式算法
选 u x 2 , v' e x
积分部分
+
x
2
e
x
2x
sec x tan x tan x sec xdx
2
sec x tan x (sec 2 x 1) sec xdx
这是一个 sec x tan x (sec 3 x tan x )dx 循环积分
sec x tan x I ln cos x
1 解出I即可 I (se cx tan x lncos x ) C 2
2 x e e
2 x2
x2
C.
例9
解：原式 x ln(1 x ) xd ln(1 x )
2 2
求 ln( x 1)dx
2
2x x ln( 1 x ) x dx 2 1 x
高数4.3 分部积分法
x
cos x sin x 2 C x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
2 sin x 2 cos x cos x d x x f ( x) dx 2 x x
本节小结
分部积分公式
u v dx u v uv dx u v v du
例4 求 e x sin x dx . （课本例7）
解: 令
v e x , 则 v ex
x x e e sin x ∴ 原式 cos x dx
再令
x
v e x , 则 v ex
e sin x e x cos x e x sin x dx
故 原式 =
2. 求不定积分 解： 方法1 (先分部 , 再换元)
d (e x 1)
令 则
方法2 (先换元,再分部)
令 则
故
3. 求 I sin ( ln x) dx 解: 令 则 x et , d x et d t
I e t sin t d t
et sin t et cos t d t
为三角函数 , 但两次所设类型 说明: 也可设 必须一致 .
解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 反: 反三角函数 顺序, 前者为 后者为 例5（补充题）求 解: 令
v 1 , 则
vx
原式 = x arccos x
x 1 x 2
对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
et (sin t cos t ) I
1 t I e (sin t cos t ) C 2 1 x [sin(ln x) cos(ln x)] C 2
cos x sin x 2 C x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
2 sin x 2 cos x cos x d x x f ( x) dx 2 x x
本节小结
分部积分公式
u v dx u v uv dx u v v du
例4 求 e x sin x dx . （课本例7）
解: 令
v e x , 则 v ex
x x e e sin x ∴ 原式 cos x dx
再令
x
v e x , 则 v ex
e sin x e x cos x e x sin x dx
故 原式 =
2. 求不定积分 解： 方法1 (先分部 , 再换元)
d (e x 1)
令 则
方法2 (先换元,再分部)
令 则
故
3. 求 I sin ( ln x) dx 解: 令 则 x et , d x et d t
I e t sin t d t
et sin t et cos t d t
为三角函数 , 但两次所设类型 说明: 也可设 必须一致 .
解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 反: 反三角函数 顺序, 前者为 后者为 例5（补充题）求 解: 令
v 1 , 则
vx
原式 = x arccos x
x 1 x 2
对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
et (sin t cos t ) I
1 t I e (sin t cos t ) C 2 1 x [sin(ln x) cos(ln x)] C 2
高数《定积分》章节重点--期末重点
1exdx 1ex2dx
0
0
高 3. 积分的导数
变限积分求导公式：
d ( (x) f (t)dt) f ( (x)) (x) f ((x))(x)
dx ( x)
帮
常见题型 1．计算下列各导数:
(1) d x2 1 t3 dt ;
dx 0
解： d x2 1 t3 dt 1 (x2 )3 d (x 2 ) 2x 1 x6 .
帮 （换元法）
解 令 1 e2x =u ，则 u2 1 e2x e2x 1 u2来自 x= 1 ln 1 u2 . 2
数 数 原式
3 2
ud
(
1
ln(1
u
2
))
0
2
0
3 2
u(
1 2
)
2 u 1 u2
du
3 2 0
1
u
2
u
2du
3 2 0
u
2
1
1 u2
1du
.
3
高 高
3 2
x
dx.
（凑微分）
解
原式
0
1
1 cos2
x
d
cos
x
arctan(cos
x)
0
arctan(cos ) arctan(cos 0) ( ) . 4 42
常考题型 3 1 xe2xdx. 0
（分部积分）
帮
数 解
原式 1 2
1 xde2x
0
1 2
xe2 x
1 0
1
帮
lim
x0
x sin t 2dt
0
x3
lim x0
高数课件-分部积分法
2021-10-3
bx
b
a (a f (t)dt)dx a (b x) f (x)dx .
证
bx
x
b
b
x
( f (t)dt)dx x f (t)dt xd( f (t)dt)
aa
a
a
a
a
b
b
ba f (t)dt a xf (x)dx
b
b
a bf (x)dx a xf (x)dx
22-1
例5 求積分
sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(lnx) xd[sin(lnx)]
x
sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
xsin(lnx) xcos(lnx) xd[cos(lnx)]
x[sin(lnx) cos(lnx)] sin(lnx)dx
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求積分
x3 ln xdx.
解
u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
b
a (b x) f (x)dx
22-1
例 5.5.12 证明
2021-10-3
In
2 sinn xdx
0
2 0
cosn
高数课件-定积分的换元积分法与分部积分法
0 ( 1
sin t
t
dt )d(
x2 2
)
[ x2
2
x 1
2
sin t
t
dt
]10
1 0
x2 2
sin x2 x2
2 xdx
0
1
0
x
sin
x
2dx
1 (cos1 1) 2
1
例13 设f (t)连续, f (1) 0 , 解
1
例14 證明
n1n331 ,
n n2 4 2 2
n 為偶數
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
2
∴
原式 = a 2
2 cos2 t d t
0
a2 2
2 0
(1
cos
2
t)d
t
y
y
a2 x2
a2
4
o
ax
1
例2 求 0a
1
dx
(x2 a2)3
(a 0)
解 令x a tant, dx a sec2 t d t
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
t dt 1
1 t2
2
1
12(1
t
2
)
1 2
d (1 t 2 )
3
12 1t2 2
1 2
1 3
2 2 3
3 2
1
例4
1 x2 1
1
x4
dx 1
1 x2
1
2x 1 x4 1
2x dx
1
1 x2
1
dx
2x 1
1 1
x
2x 4 1
sin t
t
dt )d(
x2 2
)
[ x2
2
x 1
2
sin t
t
dt
]10
1 0
x2 2
sin x2 x2
2 xdx
0
1
0
x
sin
x
2dx
1 (cos1 1) 2
1
例13 设f (t)连续, f (1) 0 , 解
1
例14 證明
n1n331 ,
n n2 4 2 2
n 為偶數
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
2
∴
原式 = a 2
2 cos2 t d t
0
a2 2
2 0
(1
cos
2
t)d
t
y
y
a2 x2
a2
4
o
ax
1
例2 求 0a
1
dx
(x2 a2)3
(a 0)
解 令x a tant, dx a sec2 t d t
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
t dt 1
1 t2
2
1
12(1
t
2
)
1 2
d (1 t 2 )
3
12 1t2 2
1 2
1 3
2 2 3
3 2
1
例4
1 x2 1
1
x4
dx 1
1 x2
1
2x 1 x4 1
2x dx
1
1 x2
1
dx
2x 1
1 1
x
2x 4 1
高等数学分部积分法
x
17
例14 已知 f (x) 的一个原函数是 e x 2 , 求 xf (x)dx. 解 xf (x)dxxd[f(x)]x(fx)f(x)dx
f(x)dxex2C,
两边同时对x求导，得 f(x)2xex2,
xf(x)dx xf(x)f(x)dx
Inn 1sin n 1xco x snn 1In2
注意循环形式
I3
sin3 xdx
1sin 2xcoxs2
3
3
sin xdx
1si2n xcox s2cox sC.
3
3
20
例16 求
xe x dx.
ex 1
解 被积函数是两类函数的乘积，所以用分部积分法
xcoxsdx
设函数 uu(x)及 v v(x)具有连续导数. 则 (uv) uvuv,移项 uv(u)vuv
则 uvdxuvuvdx.
即 udvuv vdu 即为分部积分公式
利用分部积分公式求积分的方法叫分部积分法.
作用：化难为易
2
udvuvvdu
21
例16 求
xe x dx.
Байду номын сангаас
ex 1
另解 令 ex 1 u, 则du u22u1du,
(u21)lnu2 (1) 2u
原式=
u
u21du
2lnu(21)du2ulnu(21)4
u2 u21du
2uln u2(1)4u4arcu tC an
2x ex 14ex14arce txa 1n C .
总结 若被积函数是幂函数和对数函数(或反三角函
数)的乘积，就考虑设对数函数(或反三角函数)
17
例14 已知 f (x) 的一个原函数是 e x 2 , 求 xf (x)dx. 解 xf (x)dxxd[f(x)]x(fx)f(x)dx
f(x)dxex2C,
两边同时对x求导，得 f(x)2xex2,
xf(x)dx xf(x)f(x)dx
Inn 1sin n 1xco x snn 1In2
注意循环形式
I3
sin3 xdx
1sin 2xcoxs2
3
3
sin xdx
1si2n xcox s2cox sC.
3
3
20
例16 求
xe x dx.
ex 1
解 被积函数是两类函数的乘积，所以用分部积分法
xcoxsdx
设函数 uu(x)及 v v(x)具有连续导数. 则 (uv) uvuv,移项 uv(u)vuv
则 uvdxuvuvdx.
即 udvuv vdu 即为分部积分公式
利用分部积分公式求积分的方法叫分部积分法.
作用：化难为易
2
udvuvvdu
21
例16 求
xe x dx.
Байду номын сангаас
ex 1
另解 令 ex 1 u, 则du u22u1du,
(u21)lnu2 (1) 2u
原式=
u
u21du
2lnu(21)du2ulnu(21)4
u2 u21du
2uln u2(1)4u4arcu tC an
2x ex 14ex14arce txa 1n C .
总结 若被积函数是幂函数和对数函数(或反三角函
数)的乘积，就考虑设对数函数(或反三角函数)
高数D5_2变限积分导数、牛莱公式、定积分换元分布(1)
～
1. c ,得 2
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x
f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
x
2
0 f (t ) d t
而
I0
0
2
dx
, 2
I1 2 sin x dx 1
0
故所证结论成立 .
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
0
I n (n 1) 2 sin n 2 x cos 2 x dx
0
(n 1) 2 sin n 2 x (1 sin 2 x) dx
(n 1) I n 2
1 I 由此得递推公式 I n nn n2
0
于是
m 1 I 2 m 3 I 3 1 I I 2 m 22 2 m 2 4 2 0 m 2 m 2 2 m4 m 2 m2 42 I I 2 m1 22 I I 2 m 3 m 1 m 1 22 m 1 5 3 1
d x , 因此
所以
其中
I n I n 1
备用题
3. 证明 是以 为周期的函数.
高数3.4分部积分法
In
n
n
1
I
n2
积分I n关于下标的递推公式
I n2
n n
3 2
In4
, 直到下标减到0或1为止
二、 定积分的分部积分法
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
5 6
3 4
1 2
I
0
,
(m 1,2, )
2m 2m 2 6 4 2
I2m1
2m
1
2m
1
7
5
3 I1,
I0
2
x2
f
( x)dx
二、 定积分的分部积分法
f
(x)
x2 sin t
1
dt , t
f
(1)
1
1
sin t
t
dt
0,
f
(
x)
sin x2 x2
2x
2sin x
)dx
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
1 2
1
0
2
x
sin
x
2dx
1 2
1
0 sin
x
2dx
2
1 2
cos x2
解 由课本公式(3.1.4)得
1 ln(1 x2 )
1 1 e x dx
1 ln(1 x2 ) ln(1 ( x)2 )
=
0
1 ex
1 ex
dx
1 ln(1 x2 )dx 0
x
ln(1
x2)
1 0
1 2x2 0 1 x2 dx
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例4 设 f ( x) x2 sin t d求t,
1t
1
xf ( x)dx.
0
解 因为sin t 没有初等形式的原函数， t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
1
0 xf ( x)dx
1 2
1
0
f
(
x )d (
x2
)
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
x
2df
(
x
)
1 f (1) 2
,
直到下标减到0或1为止
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 5 26
3 4
1 2 I0,
I2m1
2m 2m
1
2m 2m
2 1
6 7
4 5
2 3
I1 ,
(m 1,2,)
I0
2 dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 5 26
3 4
In
sinn1 x cos x
2
0
(n
1)
2 sinn2 x cos2 xdx
0
0
1 sin2 x
In
(n
1) 2 0
sin n 2
xdx
(n
1) 2 0
sin
n
xdx
(n 1)In2 (n 1)In
In
n
n
1
I
n
2
积分I n关于下标的递推公式
I n2
n n
3 2
In4
定积分的分部积分法
一、分部积分公式
定积分也可以象不定积分一样进行分部积分，
设函数u( x)、v( x)在区间a,b上具有连续导数，则
有
b
a udv
b
uv a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导 uv uv uv,
b (uv
)dx
Hale Waihona Puke uvb,a
a
uvba
b
uvdx
a
b
uvdx,
a
b
udv
证明：
[ f (x)
f ( x)]sin xdx 3.
0
练习题答案
一、1、(n 1)!!； 2、(n 1)!! ； 3、1 2 ；
n!!
n!! 2
e
4、1 (e 2 1)； 5、(1 3 ) 1 ln 3 .
1 3
1 x2
2
0
12
2
1.
例2
计算 4
xdx .
0 1 cos 2x
1 cos 2x 2cos2 x,
解 4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
xdtan x
02
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
4
0
tan xdx
8
1 ln
2
sec
x
4
0
ln 2 . 84
f
(2)
3，
f
(2)
5
，求 1 0
xf
(2
x
)dx
.
思考题
解答01 xf (2x)dx
1 2
1
0
xdf
(2
x)
1 xf
2
(2
x )10
1 2
1
f (2x)dx
0
1 2
f
(2)
1
4
f
(2 x )10
5 1 f (2) f (0) 2.
24
练习题
一、填空题：
1、设 n 为正奇数，则 2 sinn xdx ___________； 0
2、设 n 为正偶数，则 2 cosn xdx =___________； 0
3、 1 xexdx ______________； 0 e
4、1 x ln xdx _____________；
5、
1
x arctan xdx ____________ .
0
二、计算下列定积分：
1、 e sin(ln x) dx ； 1
例3
计算
1 0
ln(1 x) (2 x)2
dx.
解
1 ln(1 x)
0 (2 x)2 dx
1
0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)
1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2
3
1
1
1 dx
0 2 x 1 x
11
1 x 2 x
ln 2 3
ln(1
x)
ln(2
x)10
5 ln 2 ln 3. 3
0
t
x xt
(x t) f (u)du f (u)du(dt)
0
0 0 0
xt
f (u)dudt
0 0
二、小结
定积分的分部积分公式
b udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
应用公式的关键是选择 u , v ，次序仍然是：
反、对、幂、指、三 思考题
设 f ( x) 在 0,1 上 连 续 ， 且 f (0) 1 ，
1 2
, 2
I2m1
2m 2m
1
2m 2m
2 1
6 7
4 5
2. 3
例6 设 f ( x ) 证明
x连续
xt
( x t ) f (t )dt f (u)dudt
0
x
0 0
证一 记 F ( x) ( x t) f (t)dt
0
xt
G( x) f (u)dudt 则
0 0
x
2、
e 1
ln x
dx ；
e
3、J (m) x sinm xdx，（m 为自然数） 0
4、 sinn1 x cos(n 1)xdx . 0
三、已知 f ( x) tan2 x ,求 4 f ( x) f ( x)dx . 0
四、若 f ( x)在 0 , 连续， f (0) 2 , f () 1 ,
F ( x) G( x) f (t )dt F( x) G( x) C
0
而 F(0) G(0) 0 故 F( x) G( x)
t
证二 注意到 f (u)du 是 f ( t ) 的一个原
0
函数
故
x
x
t
( x t) f (t)dt ( x t)d( f (u)du)
0
0
b
uv
b
vdu.
a
aa
例1 算
1
计 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du
dx , 1 x2
v x,
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
x
1 2
0
1
2 0
xdx 1 x2
1 26
1
1 2
20
1 d(1 x2 ) 1 x2
12
1 0
1 (cos1 1). 2
例5 证明定积分公式
In
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx
0
n n
n
1 1
n n n
3 2 3
3 4
4
1 2 2
,
2
,
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
证 设 u sinn1 x, dv sin xdx,
du (n 1)sinn2 x cos xdx, v cos x,
1 2
1
0
x
2
f
(
x
)dx
f
(
x)
x2
1
sin t
t
dt ,
1 sin t
f (1) 1 t dt 0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1 0
xf
( x)dx
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
1 2
1
0
2
x
sin
x 2dx
1 2
1
0 sin
x
2dx 2
1 cos x2 2