高数,定积分的分部积分法

定积分的分部积分法
一、分部积分公式
定 积分 也可 以象不 定积 分一样 进行 分部 积分 ， 上具有连续导数， 设函数u( x ) 、v ( x ) 在区间[a, b]上具有连续导数，则 有 ∫a udv = [uv ] − ∫a vdu .
b b a b
定积分的分部积分公式 推导 (uv)′ = u′v + uv′,
1
思考题解答
1 1 ∫0 xf ′′( 2 x )dx = 2 ∫0 xdf ′( 2 x )
1
1 1 1 1 = [ xf ′( 2 x )]0 − ∫ f ′( 2 x )dx 2 2 0
1 1 1 = f ′( 2) − [ f ( 2 x )]0 2 4 5 1 = − [ f ( 2) − f (0)] = 2. 2 4
0
π 2
例6 设 f ( x ) 连续 证明
t ∫ ( x − t ) f (t )dt = ∫ ∫ f (u)dudt 0 0 0 x
x x
证一 记 F ( x ) = ( x − t ) f ( t )dt
∫ 0
t G( x) = ∫ ∫ f (u)dudt 0 0
[uv] = ∫a u′vdx + ∫a uv′dx, b b b ∴ ∫ udv = [uv] − ∫ vdu. a a
b a b b
∫a (uv)′dx = [uv]a ,
b
b
a
例1 解 令
计算
∫ arcsin xdx.
0
1 2
u = arcsin x , dv = dx , dx , v = x, 则 du = 2 1− x 1 1 xdx 2 2 ∫0 arcsin xdx = [ x arcsin x ] 0 − ∫0 1 − x 2
5、0. 三、8.
b
（注意与不定积分分部积分法的区别） 注意与不定积分分部积分法的区别） 应用公式的关键是选择 u , v ，次序仍然是： 次序仍然是：
思考题
反、对、幂、指、三
设 f ′′( x ) 在 [0,1] 上 连 续 ， 且 f (0) = 1 ，
f ( 2) = 3 ， f ′( 2) = 5 ，求 ∫0 xf ′′( 2 x )dx .
例3 计算 解
∫
1
0
ln(1 + x) dx. 2 (2 + x)
∫0
1
1 ln(1 + x ) 1 dx = − ∫0 ln(1 + x )d 2 (2 + x ) 2+ x
1
ln( 1 + x ) + 1 1 d ln(1 + x ) = − ∫0 2 + x 2 + x 0
3 、
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( m − 1) π 2 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ m ⋅ 2 , m 为偶数 J (m) = ； 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ ( m − 1) ⋅ π , m > 1为奇数 1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ m
0, 当 n 为正奇数时 4、 2( n − 1)!! ； n!! π, 当 n 为正偶数时
1 2
1 1 1 1 π = ⋅ d (1 − x 2 ) + ∫02 2 6 2 1 − x2
π = + 12
[ 1− x ]
2
1 2
0
3 = + − 1. 12 2
π
例2 计算
xdx ∫0 1+ cos 2x.
2
π 4
解
π 4
∵ 1 + cos 2 x = 2 cos x ,
π π xdx xdx 4 x 4 ∴∫ =∫ = ∫ d (tan x ) 2 0 1 + cos 2 x 0 2 0 2 cos x π 1 1 π 4 4 = [x tan x ] 0 − ∫ tan xdx 2 2 0 π π 1 π ln 2 4 . = − [ln sec x ] 0 = − 8 2 8 4
x
则
F ′( x ) = G ′( x ) =
而 F(0) = G(0) = 0 故
∫ 0
x
f ( t )dt ⇒ F( x) − G( x) = C
F ( x) = G( x)
证二 注意到 故
x
∫ f (u)du 是 f ( t ) 的一个原函数 0
x t
t
∫ ( x − t ) f (t )dt = ∫ ( x − t )d (∫ f (u)du) 0 0 0
1 1 1 2 = f (1) − ∫0 x f ′( x )dx 2 2
∵ f ( x ) = ∫1
x2
sin t dt , t
sin t f (1) = ∫1 dt = 0, t
1
sin x 2 2 sin x 2 f ′( x ) = , ⋅ 2x = 2 x x
1 1 2 1 ∴ ∫0 xf ( x )dx = f (1) − ∫0 x f ′( x )dx 2 2
1、 ∫ sin(ln x ) dx ；
1 e
1 1
2、 2、 ∫1 ln x dx ；
e
e
3、 J ( m ) =
π
∫0
π
x sin m xdx ， m 为自然数） （ 为自然数）
sin n−1 x cos( n + 1) xdx . 4、 ∫
0
三、已知 f ( x) = tan2 x,求
π
∫
π 4 0
1
1 1 1 1 2 = − ∫0 2 x sin x dx = − ∫0 sin x 2dx 2 2 2
1 1 2 1 = [cos x ]0 = (cos 1 − 1). 2 2
例5 证明定积分公式
3 1 π n − 1 n − 3 ⋅ ⋅⋯ ⋅ ⋅ , n为正偶数 ⋅ n n− 2 4 2 2 = n − 1⋅ n − 3 ⋅ ⋅⋯4 ⋅ 2, n 为大于1的正奇数 为大于 的正奇数 n n− 2 5 3
练习题
填空题： 一、填空题： 为正奇数， 1、设 n 为正奇数，则 为正偶数， 2、设 n 为正偶数，则
1 0 e
∫
∫
π 2 0 π 2 0
sin n xdx = ___________； ___________； cos n xdx =___________； ___________ ___；
______________； 3、 ∫ xe − x dx = ______________； _____________； 4、 ∫ x ln xdx = _____________； 5、 ∫ x arctan xdx = ____________ . 、 0 二、计算下列定积分： 计算下列定积分：
0
1
sin t 没有初等形式的原函数， 因为 没有初等形式的原函数， t 无法直接求出 f ( x ) ，所以采用分部积分法
1
1 1 xf ( x )dx = ∫ f ( x )d ( x 2 ) ∫0 2 0
1 1 2 1 1 2 = [x f ( x ) ]0 − ∫ x df ( x ) 2 2 0
0
1− sin x −
2
I n = ( n − 1) ∫0 sin
2
π
n− 2
xdx − ( n − 1) ∫0 sin n xdx
2
π
= ( n − 1) I n− 2 − ( n − 1) I n
n−1 In = I n− 2 n I n− 2
I2m
积分In关于下标的递推公式 直到下标减到0或 为止 直到下标减到 或1为止
− 证 设 u = sin n−1 x , dv = sin xdx ,
− du = ( n − 1) sin n− 2 x cos xdx , v = − cos x ,
π 2 π 2
In = ∫0 sinn xdx = ∫0 cosn xdx
π 2
π 2
I n = [− sin n−1 x cos x ]0 + ( n − 1)∫0 sin n− 2 x cos 2 xdx
= ( x − t )∫ f (u)du − ∫ ∫ f (u)du(−dt) 0 0 0 0
t x t x
x
=
∫ 0
t ∫ f ( u ) du 0
dt
二、小结
定Байду номын сангаас分的分部积分公式
∫ udv = [uv ] − ∫ vdu.
b b a a a
1 1 − 1+ x 2 + x ln 2 1 =− + [ln(1 + x ) − ln( 2 + x )]0 3
5 = ln 2 − ln 3. 3
ln 2 =− 3
1 1 dx +∫ ⋅ 0 2+ x 1+ x
1
例4 设 f ( x) = ∫1 解
x2
sint dt ,求 t
∫ xf ( x)dx.
2m − 1 2m − 3 5 3 1 = ⋅ ⋅ ⋅⋯ ⋅ ⋅ I 0 , 2m 2 m − 2 6 4 2 2 m 2m − 2 6 4 2 = ⋅ ⋅ ⋅⋯ ⋅ ⋅ I 1 , 2 m + 1 2m − 1 7 5 3
n−3 I n−4 ⋯⋯, = n−2
( m = 1,2,⋯)
I 2 m +1
I
0
=
∫0
π 2
dx
于是 I = 2m − 1 ⋅ 2m − 3 ⋅ ⋅⋯ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ π , 2m 2m 2 m − 2 6 4 2 2 2m 2m − 2 6 4 2 I 2 m +1 = ⋅ ⋅ ⋅⋯ ⋅ ⋅ . 2m + 1 2 m − 1 7 5 3