高等数学(上册)教案20 分部积分法
大学高等数学-分部积分法课件
可经n次分部积分求得。
( pn ( x)为n次多项式。）
例Example 6
ln xdx
解 Solution
u=lnx dv=dx (好象u、v已选好）
du 1 dx
v=x
x
ln xdx x ln x x 1dx =xlnx-x+c
x
例 Example 7 求积分
x3 ln xdx.
解 Solution
u ln x, x3dx d x4 dv, 4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
例 Example 8 求积分 解Solution
arcsin xdx
arcsin xdx xarcsin x xd(arcsin x)
x arcsin x
x dx 1 x2
x arcsin x 1 x2 c
例 Example 9 求积分
x arctan xdx.
解Solution x arctan
令u xdx
arctan x x2 arctan
, x
xdx x2
d x2 dv 2
d(arctan x)
2
3
9
27
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘 积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
u
（1）形如
xne xdx, xn sin xdx, xn cos xdx 的积分
选u x n ，可经n次分部积分求得。
高等数学(上) 第2版教案4.3
教 案任课教师：序号授课日期学生年限 高中后三年制 班级 项目（章节） 第4.3节 分部积分法授课时数2教学目标 与要求 会用分部积分法求不定积分。
教学难点 与重点 分部积分法的应用，注意u 、v 的选取。
教学方法 和手段 课堂教学，讲授为主，习题为辅。
作 业习题4-3教学内容及过程时间分配一、课程导入：1.复习：第一换元积分法（凑微分）第二换元积分法，代数代换，三角代换2.引言：已经学了3种积分方法，直接积分法，第一换元，第二换元积分法。
但是还不够，有些积分以上方法都不能奏效，例如：⎰xdx x cos ，⎰xdx e xcos ，⎰xdx ln 本节将介绍另一种积分方法：分部积分法二、主要内容：1.思考：对于⎰xdx x cos ，⎰xdx e xcos ，⎰xdx ln 这些积分该如何去求？被积函数有什么特点？2.分部积分法：设函数)(),(x v v x u u ==为连续函数，根据乘积的求导法则有：u v v u uv '+'=')(⇒v u uv u v '-'=')(两边积分：dx v u dx uv udx v ⎰⎰⎰'-'=')( ⎰⎰-=vdu uv udv这个公式称为分部积分公式.这种计算不定积分的方法叫做分部积分法.例1：⎰xdx x cos解：C x x x xdx x x x xd xdx x ++=-==⎰⎰⎰cos sin sin sin sin cos若按以下方法选择u 、v ，则⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x cos 21cos 21cos 21cos 222⎰+=xdx x x x sin 21cos 2122 则新转化出来的积分⎰xdx x sin 2比原积分更不易算出. u 、v 的选取是关键：1）v 要容易求得； 2）⎰vdu 要比⎰udv 容易算出.例2：⎰dx e x x 2 例3：⎰xdx x ln 2例4：⎰xdx ln 例5：⎰xdx arctan 例6：⎰xdx e x cos （循环积分）解题思路：两次应用分部积分法后又回到原来的积分，解方程可得. 例7：⎰dx x cos解题思路：第二换元积分法与分部积分法同时使用.三、课堂小结1. ⎰⎰-=vdu uv udv 分部积分公式要牢记，会用。
大学高数积分法的应用教案
教学目标：1. 使学生掌握积分法的基本概念和原理。
2. 理解并能够运用分部积分法、换元积分法解决实际问题。
3. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学思维水平。
教学重点：1. 分部积分法的原理和应用。
2. 换元积分法的原理和应用。
教学难点：1. 分部积分法在复杂函数积分中的应用。
2. 换元积分法在不同类型函数积分中的应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 积分表。
3. 练习题。
教学过程：一、导入1. 复习导数和微分的概念，引出积分的概念。
2. 介绍积分法的应用领域，激发学生学习兴趣。
二、新课讲授1. 分部积分法a. 介绍分部积分法的原理，公式。
b. 通过实例讲解分部积分法的应用步骤。
c. 分析分部积分法在复杂函数积分中的应用。
d. 举例说明分部积分法在实际问题中的应用。
2. 换元积分法a. 介绍换元积分法的原理，公式。
b. 通过实例讲解换元积分法的应用步骤。
c. 分析换元积分法在不同类型函数积分中的应用。
d. 举例说明换元积分法在实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 学生根据所学知识，完成以下练习题：a. 利用分部积分法计算不定积分。
b. 利用换元积分法计算不定积分。
2. 教师巡回指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 总结分部积分法和换元积分法的原理和应用。
2. 强调积分法在解决实际问题中的重要性。
五、课后作业1. 完成以下习题：a. 利用分部积分法计算不定积分。
b. 利用换元积分法计算不定积分。
2. 查阅资料，了解积分法在其他领域的应用。
教学反思：本节课通过讲解分部积分法和换元积分法的原理和应用，使学生掌握了积分法的基本方法。
在教学过程中，教师应注重以下方面：1. 注重理论与实践相结合，通过实例讲解积分法的应用，提高学生解决问题的能力。
2. 针对不同类型函数，引导学生运用合适的积分方法，培养学生的数学思维能力。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养合作学习的精神。
高数课件-分部积分法
2021-10-3
bx
b
a (a f (t)dt)dx a (b x) f (x)dx .
证
bx
x
b
b
x
( f (t)dt)dx x f (t)dt xd( f (t)dt)
aa
a
a
a
a
b
b
ba f (t)dt a xf (x)dx
b
b
a bf (x)dx a xf (x)dx
22-1
例5 求積分
sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(lnx) xd[sin(lnx)]
x
sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
xsin(lnx) xcos(lnx) xd[cos(lnx)]
x[sin(lnx) cos(lnx)] sin(lnx)dx
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求積分
x3 ln xdx.
解
u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
b
a (b x) f (x)dx
22-1
例 5.5.12 证明
2021-10-3
In
2 sinn xdx
0
2 0
cosn
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
《分部积分法》课件
实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。
详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从
(完整版)分部积分法教案
分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。
重点：分部积分法及其应用难点：在分部积分法中，要恰当的选取u 和v教学方法：讲练法0 回顾上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。
凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；dx x x f dx x f )(')]([)(ϕϕ⎰⎰=)]([)]([x d x f ϕϕ⎰=)(x u ϕ=↓令 du u f ⎰=)(Cx F Cu F +=+=)]([)(ϕ 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换)(t x ϕ=，使得难求的积分易求dt t t f dx x f t x )(')]([)()(ϕϕϕ⎰⎰−−−→−=令 CF(x)C ])([)()]([+=+==⎰t F t d t f ϕϕϕ1引入用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔③第二类换元积分法解：不妨设 t x tx arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211arccos 更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u 、 v 为两个函数） 已知： '')'(uv v u v u +=⋅对上式两边积分得：⎰⎰+=dx uv vdx u uv ''移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v ’为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
C x x x xdxx x x dxx x xdxx ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样先要化的和要求积分的真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
高等数学(第二版)上册课件：分部积分法
例4.3.4 求 x cosxdx
分析 被积函数是幂函数(指数为正整数)和三角函数
的乘积，选择幂函数为 u 容易求解.
解 xcos xdx xdsin x
． xsin x sin xdx
xsin x cos x C
例4.3.5 求 e x sin xdx ．
于是 xe x dx xd e x
xex exdx
xex ex C
由此例可以看到，如果 u 和 d v 选取不当，就
求不出结果．所以应用分部积分法时，恰当选取 u
和 dv 是关键，一般以 vdu 比 u d v 易求出为
原则.
例4.3.2 求下列不定积分.
(1) ln xd x ； (2) x ln xdx .
解 e x s i n x d x
sin xd ex
ex sinx ex cosxdx
ex sinx cosxd ex
exsinxexcosx exsinxdx
类似的方法可求 e x c o s x d x
1 e x ( c o s x s i n x ) C 2
例4.3.6 求 arctan x d x ．
dv
d
x2 2
，
于是 x e x d x
e xd
x2 2
1 x2ex 2
x2 d
ex
2
1 x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 1 x2exdx
2
2
这样做的结果就是新得到的 v u dx 1 x 2e xdx 部
2
分比原积分更加难求，因此这种选择行不通.
(2)若选择 u x ，v ex ，dv d ex
x2 ln
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第4章 不定积分
分部积分法
【教学目的】：
1. 理解分部积分法；
2. 能熟练地运用分部积分法求解不定积分。
【教学重点】：
1. 分部积分法。
【教学难点】：
1. 分部积分法应用中u 和v 的选择。
【教学时数】：2学时
【教学过程】：
我们在求积分时，经常会遇到被积函数是两类不同函数乘积的不定积分，这类积分用我们上一节学习的换元积分法很难求出来，这一节我们就学习解决这类积分的积分方法：分部积分法．
设)(),(x v v x u u ==有连续的导数，由'')'(uv v u uv +=，得v u uv uv ')'('-=两边积分，有⎰⎰⎰-=vdx u dx uv dx uv ')'(' 即 ⎰⎰-=vdu uv udv ① 式①称为分部积分公式，使用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法． 利用分部积分公式解题的关键是如何恰当的选取dv u 和，选取原则是：
（1）v 要容易求出．
（2）⎰vdu 要比原积分⎰udv 易求得．
下面通过例子说明分部积分公式适用的题型及如何选择dv u 和：
例1 求⎰xdx x cos ．
解 令 ,cos ,xdx dv x u ==则x v sin =，于是
⎰⎰⎰+--=-==C x x x xdx x x x xd xdx x )cos (sin sin sin )(sin cos
sin cos x x x C =++．
此题若令,,cos xdx dv x u ==则22
1x v =，于是
⎰⎰⎰-⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=)(cos 2121cos 21cos cos 222x d x x x x xd xdx x xdx x x x sin 2
1cos 2122⎰+=
． 这样新得到的积分⎰xdx x sin 212反而比原积分⎰xdx x cos 更难求了．所以在分部积分法中，)()(x dv dv x u u ==和的选择不是任意的，如果选取不当，就得不出结果．
例2 求⎰dx xe x ．
解 设dx e dv x u x ==,，则x e v =，于是
C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰
⎰⎰． 注：在分部积分法中，dv u 及的选择有一定规律的．当被积函数为幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，往往选取幂函数为u ．
例3 求⎰xdx x ln 2．
解 为使v 容易求得，选取⎪⎭
⎫ ⎝⎛===3221,ln x d dx x dv x u ，则331x v =，于是 ⎰
⎰⎰-==)(ln 31ln 31ln 31ln 3332x d x x x xdx xdx x
C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31． 例4 求⎰xdx arctan ．
解 设dx dv x u ==,arctan ，则x v =，于是
21arctan arctan (arctan )arctan 1xdx x x xd x x x x dx x =-=-⋅
+⎰⎰⎰ 222111arctan (1)arctan ln(1)212
x x d x x x x C x =-+=-+++⎰． 注 1如果被积函数含有对数函数或反三角函数，可以用考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u ．
注2 在分部积分法应用熟练后，可把认定的u ，dv 记在心里在而不写出来，直接在分部积分公式中应用．
例6 求⎰xdx e x sin ．
解 dx x e x e x d e xdx e x x x x ⎰⎰⎰+-=-=cos cos )cos (sin
⎰⎰-+-=+-=xdx e x e x e x d e x e x x x x x sin sin cos )(sin cos ．
移项，得12)cos (sin sin 2C x x e xdx e x x +-=⎰，
故 C x x e xdx e x x +-=⎰)cos (sin 2
1sin ． 注1 如果被积函数为指数函数与正（余）弦函数的乘积，可任选项其一为u ，但一经选定，在后面的解题过程中要始终选项其为u ．
注2 有时求一个不定积分，需要将换元积分法和分部积分法结合起来使用．（如下例）
例7 求⎰dx e x ．
解 先去根号，设t x =，则tdt dx t x 2,2==，于是
⎰⎰⎰⎰-==⋅=dt e te tde tdt e dx e t t t t x 2222
()
C x e C e te x t t +-=+-=⎰1222． 例8 已知)(x f 的一个原函数是x x ln )sin 1(+，试求⎰dx x xf )('． 解 由题意知C x x dx x f ++=⎰ln )sin 1()(，得
x
x x x C x x dx x f x f sin 1ln cos ]'ln )sin 1[(]')([)(++=++==⎰ 所以 x x x x x xf sin 1ln cos )(++=．
故 ⎰⎰-=dx x f x xf dx x xf )()()('
C x x x x x x ++-++=ln )sin 1(sin 1ln cos ．
【教学小节】：
通过本节的学习，学会使用分部积分法计算不定积分。
【课后作业】：
能力训练 P117 1（1、3、6、7、9）。