高等数学(上册)教案20-分部积分法
大学高等数学-分部积分法课件
可经n次分部积分求得。
( pn ( x)为n次多项式。）
例Example 6
ln xdx
解 Solution
u=lnx dv=dx (好象u、v已选好）
du 1 dx
v=x
x
ln xdx x ln x x 1dx =xlnx-x+c
x
例 Example 7 求积分
x3 ln xdx.
解 Solution
u ln x, x3dx d x4 dv, 4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
例 Example 8 求积分 解Solution
arcsin xdx
arcsin xdx xarcsin x xd(arcsin x)
x arcsin x
x dx 1 x2
x arcsin x 1 x2 c
例 Example 9 求积分
x arctan xdx.
解Solution x arctan
令u xdx
arctan x x2 arctan
, x
xdx x2
d x2 dv 2
d(arctan x)
2
3
9
27
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘 积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
u
（1）形如
xne xdx, xn sin xdx, xn cos xdx 的积分
选u x n ，可经n次分部积分求得。
高等数学教案(含)
高等数学教案一、教学目标1.知识与技能：（1）理解极限、导数、积分等基本概念，掌握它们的计算方法。
（2）熟练运用导数和积分解决实际问题，如最值问题、曲线拟合等。
（3）了解多元函数的极限、连续性、可导性，掌握偏导数、全微分、方向导数等概念。
（4）掌握多元函数的极值问题，了解条件极值和拉格朗日乘数法。
2.过程与方法：（1）通过实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
（2）通过探究式学习，培养学生的创新精神和合作意识。
（3）通过数学软件的应用，提高学生的数学建模和计算能力。
3.情感、态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和热情，增强学生的自信心。
（2）培养学生严谨、求实的科学态度，提高学生的逻辑思维能力。
（3）培养学生团结协作的精神，增强学生的集体荣誉感。
二、教学内容1.极限与连续（1）数列极限的定义及性质（2）函数极限的定义及性质（3）无穷小量与无穷大量（4）极限的运算法则（5）夹逼定理与单调有界定理（6）连续函数的定义及性质2.导数与微分（1）导数的定义及几何意义（2）导数的运算法则（3）高阶导数（4）隐函数及参数方程求导（5）微分中值定理（6）泰勒公式3.不定积分与定积分（1）不定积分的概念及性质（2）基本积分公式（3）换元积分法与分部积分法（4）定积分的概念及性质（5）定积分的计算（6）定积分的应用4.多元函数微分学（1）多元函数的极限与连续（2）偏导数与全微分（3）复合函数求导法则（4）隐函数求导法则（5）方向导数与梯度（6）多元函数的极值问题5.多元函数积分学（1）二重积分的概念及性质（2）二重积分的计算（3）三重积分的概念及性质（4）三重积分的计算（5）线积分与面积分三、教学安排1.总学时：64学时2.教学进度安排：（1）极限与连续：12学时（2）导数与微分：18学时（3）不定积分与定积分：18学时（4）多元函数微分学：8学时（5）多元函数积分学：8学时四、教学方法1.讲授法：讲解基本概念、性质、定理等。
《分部积分法》ppt课件
cos sin
x x
dx
cos x sin x
dx
cos x sin x
dx
1,
1
cos sin
x x
dx
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
21
P191 1 2
22
x)
C
说明: 1。也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
2.有些不定积分经过分部积分后，虽未能求出该积分，
但又出现了与所求积分相同的形式，这时可以从等式中
象解代数方程那样解出所求的积分来。
14
把被积函数视为两个函数之积 ,
按 “ 反对幂指三” 的顺 前者为 u 后者为 v.
序, 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
幂函数的幂次降低一次。即在
Pn (x)exdx Pn (x)sin xdx Pn (x)cos xdx
中，总令
Pn (x) u
7
(ax b)sin xcos xdx
解：原式
(ax
b)
1 2
sin
2xdx
1 4
(ax
b)
sin
2xd
2x
1 4
(ax
b)d
cos
2x
1 4
(ax
b)
cos 2 x
xarccosx 1 x2 C
10
x arctan x dx.
解: 原式
x2 arctanx d .
2
1 x2 arctanx 1
2
2
《分部积分法》课件
02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。
高数课件-分部积分法
2021-10-3
bx
b
a (a f (t)dt)dx a (b x) f (x)dx .
证
bx
x
b
b
x
( f (t)dt)dx x f (t)dt xd( f (t)dt)
aa
a
a
a
a
b
b
ba f (t)dt a xf (x)dx
b
b
a bf (x)dx a xf (x)dx
22-1
例5 求積分
sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(lnx) xd[sin(lnx)]
x
sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
xsin(lnx) xcos(lnx) xd[cos(lnx)]
x[sin(lnx) cos(lnx)] sin(lnx)dx
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求積分
x3 ln xdx.
解
u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
b
a (b x) f (x)dx
22-1
例 5.5.12 证明
2021-10-3
In
2 sinn xdx
0
2 0
cosn
(完整版)分部积分法教案
分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。
重点：分部积分法及其应用难点：在分部积分法中，要恰当的选取u 和v教学方法：讲练法0 回顾上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。
凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；dx x x f dx x f )(')]([)(ϕϕ⎰⎰=)]([)]([x d x f ϕϕ⎰=)(x u ϕ=↓令 du u f ⎰=)(Cx F Cu F +=+=)]([)(ϕ 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换)(t x ϕ=，使得难求的积分易求dt t t f dx x f t x )(')]([)()(ϕϕϕ⎰⎰−−−→−=令 CF(x)C ])([)()]([+=+==⎰t F t d t f ϕϕϕ1引入用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔③第二类换元积分法解：不妨设 t x tx arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211arccos 更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u 、 v 为两个函数） 已知： '')'(uv v u v u +=⋅对上式两边积分得：⎰⎰+=dx uv vdx u uv ''移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v ’为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
C x x x xdxx x x dxx x xdxx ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样先要化的和要求积分的真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
分部积分法具体步骤
分部积分法具体步骤
嘿，咱今儿就来说说这分部积分法的具体步骤哈！
你看啊，这分部积分法就像是一把神奇的钥匙，能打开好多积分难题的大门呢！那它到底咋用呢？
首先呢，咱得把被积函数拆分成两部分，就好比把一个大拼图拆成两块。
这两块得选得有讲究，一块要能比较容易地积分，另一块呢，得是它的导数比较简单。
然后啊，咱就按照公式开始操作啦！这公式就像是一个魔法咒语，一念就灵。
把这两块分别对应公式里的 u 和 v'。
接着呢，咱就一步一步地算。
就像走迷宫一样，得小心谨慎，可不能走错路喽！先求出 u 的导数和 v，然后把这些值代进去。
你想想，这是不是挺有意思的？就像搭积木一样，一块一块地往上垒。
举个例子来说吧，比如求∫xcosx dx。
那咱就可以把 x 当作 u，cosx 当作 v'。
然后求出 u 的导数是 1，v 是 sinx。
再代进去算算，是不是就有头绪啦？
这分部积分法有时候得反复用，就像打怪升级一样，一层一层地突破。
可别嫌麻烦呀，数学的乐趣不就在这嘛！
咱再说说，要是第一次没成功咋办？那咱就再来一次呗！就像投篮，一次不进就再来一次，总有投进的时候。
而且啊，这分部积分法还能解决好多看起来很难的问题呢！只要咱
掌握了方法，就不怕它难。
总之呢，分部积分法的具体步骤就是先拆分，再代入公式，然后细
心计算。
就这么简单！学会了它，咱在积分的世界里就能畅游啦！可
别小瞧了它哦，它可是很厉害的呢！咱可得好好把它掌握住，让它为
咱的数学学习添砖加瓦呀！。
高等数学-分部积分法
10
01 分部积分法
例5 求不定积分 cos( ) ．
解
令 = නcos( ) ，则有 ( ) = −() ∙
1
= නcos( ) = cos( ) − න ( )
= ( ) + න( )
2
2
2
转化后的积分 比原来的积分更麻烦，
2
所以正确的选取和 ′ 非常关键！
5
01 分部积分法
例2 求不定积分 2 ．
解
选取 = 2 ， ′ = ，则
2
න 2 = න 2 = 2 −2
4
−
2
2
，
′′ () = ′ − +
=
2
2
+
3 2
+ .
+
13
න
− න
= 2 +2 න
= 2 +2（ − න ）
= 2 +2 − 2 + .
6
01 分部积分法
注 （1）多次使用分部积分时，和 ′ 的选取类型要与
第一次的保持一致，否则将回到原积分.．
（2）解决两个不同类型函数乘积的积分计算.
（3）按 “反、对、幂、三、指”的顺序，把排在
前面的函数选作 ，把排在后面的那个函数选作′.
3
01 分部积分法
例1 求不定积分 ．
解
被积函数为幂函数与三角函数的乘积，
故选取 = ， ′ = ，则
න = න = − න
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4章不定积分
分部积分法
【教学目的】：
1. 理解分部积分法；
2. 能熟练地运用分部积分法求解不定积分。
【教学重点】：
1.分部积分法。
【教学难点】：
1.分部积分法应用中u和v的选择。
【教学时数】：2学时
【教学过程】：
我们在求积分时，经常会遇到被积函数是两类不同函数乘积的不定积分，这类积分用我们上一节学习的换元积分法很难求出来，这一节我们就学习解决这类积分的积分方法：分部积分法.
设u u(x),v v(x)有连续的导数，由(uv)' u'v uv'，得uv' (uv)' u'v两边
积分，有uv'dx (uv)' dx u'vdx 即udv uv vdu ①式①称为分部积分公式，使用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法.
利用分部积分公式解题的关键是如何恰当的选取u和dv,选取原则是：
(1)v要容易求出.
(2)vdu要比原积分udv易求得.
下面通过例子说明分部积分公式适用的题型及如何选择u和dv :
例 1 求xcosxdx .
解令u x,dv cosxdx,贝U v sin x，于是
xcosxdx xd(sinx) xsinx sin xdx xsinx ( cosx) C
xsinx cosx C .
1
此题若令u cosx,dv xdx,则v x2，于是
2
xcosxdx cosxd - x cosx —X — x 2d(cosx)
2 2 2 1 2 1 2
x cosx x sin xdx . 2 2 1
这样新得到的积分 x 2 sin xdx 反而比原积分 xcosxdx 更难求了.所以在 2
分部积分法中，u u(x)和dv dv(x)的选择不是任意的，如果选取不当，就得不 出结果.
例 2 求 xe x dx .
解设u x,dv e x dx ，则v e x ，于是
x x x x x x
xe dx xde xe e dx xe e C .
注：在分部积分法中，u 及dv 的选择有一定规律的.当被积函数为幕函数与 正（余）弦或指数函数的乘积时，往往选取幕函数为 u .
例 3 求 x 2 In xdx .
例 4 求 arctanxdx . 解 设 u arctan x, dv dx ，贝U v x ，于是
注1如果被积函数含有对数函数或反三角函数， 可以用考虑用分部积分法, 并设对数函数或反三角函数为u .
注2在分部积分法应用熟练后，可把认定的u , dv 记在心里在而不写出来, 直接在分部积分公式中应用. 2 1 3
1 3, 1 3
x In xdx In xdx x In x — x d(l n x) 3 3 3 1 3, 1 2」 1 3 , 1 3
x In x — x dx - x I n x x 3 3 3 9 C
.
解为使v 容易求得，选取u
2 In x, dv x dx 1
3 1 3 d 2x ，则v 3x ，于是 arcta nxdx x arcta nx xd (arctanx) xarctanx 1 1 x 2
dx xarcta nx Jd(1 x 2) 2 1 x 2 xarcta nx 1ln(1 x 2)
例 6 求 e x sinxdx .
e x d( cosx) e x cosx e x cosxdx x x x x x
e cosx e d(sinx) e cosx e sinx e sinxdx .
如果被积函数为指数函数与正（余）弦函数的乘积，可任选项其一为u ,
但一经选定，在后面的解题过程中要始终选项其为 u .
注2有时求一个不定积分，需要将换元积分法和分部积分法结合起来使 用.（如下例）
例7求e x dx .
解 先去根号，设X t ，则x t 2,dx 2tdt ，于是
e"dx e 2tdt 2 tdd 2td 2 Edt
2td 2e t C 2e x . x 1 C .
例8 已知f （x ）的一个原函数是（1 sinx ）ln x ,试求
解 由题意知 f(x)dx (1 sinx)lnx C ，得
f(x)
[ f(x)dx]' [(1 sinx)lnx C]' cosxlnx xf'(x)dx xf(x) f (x)dx
x cos x l nx 1 sinx (1 sin x)l nx C .
【教学小节】：
通过本节的学习，学会使用分部积分法计算不定积分
【课后作业】：
能力训练 P117 1 （1、3、6、7、9）
e x sin xdx
移项，得 2 e x sin xdx
x e (sinx cosx) 2G , e x sin xdx
1e x (sin x cosx) C . xf'(x)dx . 1 sin x 所以
xf(x) xcosxlnx 1 sinx .。