高等数学上册教案

高等数学教案

一、课程的性质与任务

高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限

教学目的与要求18学时

1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

第一节：映射与函数

一、集合

1、集合概念

word

word 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素

表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素

1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质=

元素与集合的关系：A a ? A a ∈

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +

元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。

如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。

空集φ： A ?φ

2、 集合的运算

并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或

交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且

差集 B A \：}|{\B x A x x B A ?∈=且

全集I 、E 补集C A ：

集合的并、交、余运算满足下列法则：

word 交换律、A B B A ?=? A B B A ?=?

结合律、)()(C B A C B A ??=??

)()(C B A C B A ??=??

分配律 )()()(C B C A C B A ???=??

)()()(C B C A C B A ???=??

对偶律 (c c c B A B A =?) c c c B A B A ?=?)(

笛卡儿积A ×B }|),{(B y A x y x ∈∈=且

3、 区间和邻域

开区间 ),(b a

闭区间 []b a ,

半开半闭区间 ]

()[b a b a ,, 有限、无限区间

邻域：)(a U }{),(δδδ+-=a x a x a U

a 邻域的中心

δ邻域的半径

去心邻域 ),(δa U

左、右邻域

二、映射

1. 映射概念

定义 设X ，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，

word 则称f 为从X 到Y 的映射，记作

Y X f →：

其中y 称为元素x 的像，并记作)(x f ，即 )(x f y = 注意：1）集合X ；集合Y ；对应法则f

2）每个X 有唯一的像；每个Y 的原像不唯一

3) 单射、满射、双射

2、 映射、复合映射

三、函数

1、 函数的概念：

定义：设数集R D ?，则称映射R D f →:为定义在D 上

的函数 记为 D x x f y ∈=)(

自变量、因变量、定义域、值域、函数值

用f 、g 、?

函数相等：定义域、对应法则相等

自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.

例：１) ｙ＝２

2) ｙ＝x

3) 符号函数

4) 取整函数 []x y = （阶梯曲线）

?????-==0

10001 x x x y

word 5) 分段函数 ??

?+≤≤=11102 x x x x y

2、 函数的几种特性 1） 函数的有界性 (上界、下界；有界、无界)

有界的充要条件：既有上界又有下界。

注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2) 函数的单调性 （单增、单减）在x 1、x 2点比较函数值

)(1x f 与)(2x f 的大小（注：与区间有关）

3) 函数的奇偶性(定义域对称、)(x f 与)(x f -关系决定)

图形特点 (关于原点、Y 轴对称)

4)函数的周期性(定义域中成立：)()(x f l x f =+)

3、 反函数与复合函数

反函数：函数)(:D f D f →是单射，则有逆映射x y f

=-)(1，称此映射1-f 为f 函数的反函数

函数与反函数的图像关x y =于对称

复合函数：函数)(y g u =定义域为D 1，函数)(x f y =在D 上有定义、且1)(D D f ?。则)())((x f g x f g u ==为复合函数。(注意：构成条件)

4、 函数的运算

和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)

5、 初等函数：

word 1) 幂函数：a x y = 2)指数函数：x a y =

3) 对数函数 )(log x y a =

4)三角函数

)cot(),tan(),cos(),sin(x y x y x y x y ====

5) 反三角函数

)arcsin(x y =， )arccos(x y =

)cot()arctan(x arc y x y ==

以上五种函数为基本初等函数

6) 双曲函数

2

x

x e e shx --= 2x x e e chx -+= x x x

x e e e e chx shx thx --+-==

注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式

shy

shx chy chx y x ch shy shx chy chx y x ch shy

chx chy shx y x sh shy

chx chy shx y x sh ?-?=-?+?=+?-?=-?+?=+)()()()(

反双曲函数：arthx

y archx y arshx

y ===

作业： 同步练习册练习一

word

第二节：数列的极限

一、数列

数列就是由数组成的序列。

1）这个序列中的每个数都编了号。

2）序列中有无限多个成员。

一般写成： n a a a a a 4321

缩写为{}n u

例 1 数列??????n 1是这样一个数列{}n x ，其中

n

x n 1=

， 5,4,3,2,1=n 也可写为： 514131

2

1

1 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为

01lim

=∞→n

n 1、 极限的N -ε定义：

εε a x N n N

n -???0则称数列{}n x 的极限为a ，记成 a x n n =∞→lim

也可等价表述：

1）ερε<>??>?)(0a x N n N n

word 2）)(0εεa O x N n N n ∈>??>?

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质

定理1：如果数列{}n x 收敛，那么它的极限是唯一

定理2 如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界

定理3：如果a x n x =∞

→lim 且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N 时，)0(0<>n n x x

定理4、如果数列}{n x 收敛于a 那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a 。

第三节：函数的极限

一、极限的定义

1、在0x 点的极限

1）0x 可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f 在0x 有没有定义，以及函数值)(0x f 的大小。只要满足：存在某个0>ρ使：D x x x x ?+?-),(),(0000ρρ。

2）如果自变量x 趋于0x 时，相应的函数值 )(x f 有一个总趋势-----以某个实数A 为极限 ，则记为 ：A x f x x =→)(lim 0

。 形式定义为：