高数有理分式积分法分解
多个积分的分解方法
多个积分的分解方法一、分部积分法分部积分法是求解多个积分中的一种常用方法，通过将一个复杂的积分分解为两个简单的积分相乘的形式，从而简化计算过程。
例如，对于积分∫f(x)g(x)dx，我们可以选择一个函数u(x)来对f(x)进行求导，选择另一个函数v(x)对g(x)进行积分，然后应用分部积分公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，将原积分转化为两个简单的积分相加或相减的形式。
二、换元积分法换元积分法也是常用的分解积分的方法之一，通过引入一个新的变量进行变量替换，将原积分转化为对新变量的积分。
例如，对于积分∫f(g(x))g'(x)dx，我们可以选择一个函数u(x)等于g(x)，然后计算出u'(x)等于g'(x)，将原积分转化为∫f(u)du 的形式，在新变量u下进行计算。
三、分式分解法分式分解法常用于求解包含有有理函数的积分。
有理函数是指多项式之比，可以通过将有理函数进行分解，再对每一项进行积分来求解整个积分。
例如，对于积分∫(x+1)/(x^2+2x+1)dx，我们可以将分子进行分解为x/(x+1)和1/(x+1)，然后分别对这两个分式进行积分，最后将积分结果相加得到原积分的解。
四、三角函数积分法三角函数积分法适用于包含三角函数的积分求解。
通过利用三角函数的性质和恒等式，将复杂的三角函数积分转化为简单的三角函数积分或常数乘积的形式。
例如，对于积分∫sin^2(x)cos^3(x)dx，我们可以利用三角函数的恒等式将其转化为∫(1-cos^2(x))cos^3(x)sin(x)dx，然后再进行适当的换元或分部积分，最终得到简化的积分形式。
五、分段函数积分法分段函数积分法常用于求解包含有分段函数的积分。
通过将分段函数分解为多个简单的函数，再对每个函数进行积分求解。
例如，对于积分∫|x|dx，我们可以将其分解为∫x dx和∫-x dx两个部分，然后分别对这两个部分进行积分，最后将积分结果相加得到原积分的解。
有理分式积分待定系数法
有理分式积分待定系数法理分式的积分可以使用待定系数法进行求解，具体步骤如下：1. 将有理分式进行部分分式分解。
例如，对于形如$$\frac{N(x)}{D(x)} = \frac{N_1(x)}{D_1(x)} + \frac{N_2(x)}{D_2(x)} + \cdots +\frac{N_k(x)}{D_k(x)}$$的有理分式，其中$N(x)$和$D(x)$分别为分子和分母多项式，$N_1(x)$和$D_1(x)$等为部分分式形式。
2. 根据部分分式的形式进行计算。
对于每一项$\frac{N_i(x)}{D_i(x)}$，可以使用待定系数法进行计算。
若$D_i(x)$的次数大于$N_i(x)$的次数，则可设$\frac{N_i(x)}{D_i(x)} =\frac{A_{i1}}{D_{i1}(x)} + \frac{A_{i2}}{D_{i2}(x)} + \cdots + \frac{A_{im_i}}{D_{im_i}(x)}$，其中$D_{ij}(x)$的次数小于$D_i(x)$的次数。
若$D_i(x)$的次数等于$N_i(x)$的次数，则可设$\frac{N_i(x)}{D_i(x)} = \frac{A_{i1}x +B_{i1}}{D_{i1}(x)} + \frac{A_{i2}x + B_{i2}}{D_{i2}(x)} + \cdots + \frac{A_{im_i}x +B_{im_i}}{D_{im_i}(x)}$。
3. 将部分分式进行通分，整理等式。
4. 将所得等式两边同时积分。
例如，对于每一个部分分式$\frac{A_{ij}x + B_{ij}}{D_{ij}(x)}$，可以通过先对其分子进行展开得到$\frac{A_{ij}x}{D_{ij}(x)} + \frac{B_{ij}}{D_{ij}(x)}$。
然后，可通过分别使用常数乘法法则和有理函数法则进行积分，最终得到对应的积分结果。
有理分式拆分技巧
有理分式拆分技巧
一个真分式，分子的次数 \uc 分母的次数。
通常第一步会先把分母进行因式分解，然后按照那个因式分裂为小分式对于小分式，分子的次数总会比分母的次数少1次方：deg(分子) = deg(分母) - 1
例如分母是二阶ax^2+bx+c，则分子为ax+b
若分母就是一阶ax+b，则分子为常数a
分解步骤总览：
1.辨别真假分式.
2.真分式分解出待定式.
3.未定系数解方法: 实根法(一次式), 复根法(二次式), 微分法(一次n重), 极限法
(一、二次的二重)
1. 判别真假分式
形例如 [公式] 的分式, 若分子指数等同于或低于分母, 则必须化成真分式
化简方法: 做多项式除法
2. 真分式水解
3. 待定系数求解
并无特征——反解方程法
将各项通分合并, 将分子与原式的分子做系数比对, 写出关于待定系数的方程, 进行求解
多个相同的一次式, 且线框因式——实根代入法
同一个因式的n重式——求导法
针对多个相同线框二次因式部分——复根代入法
一次或二次式的二重因式——极限法
(1) 采用实根、复根法求出来线框因式,多重因式的二次幂项, 剩二重因式的一次幂因式.
(2) 等式两边乘以 [公式] 的某次幂, 使得未分解式的分子分母的最高次幂同阶,趋于无穷的极限为非零常数.
(3)解方程.
(4)若为二次式, 待定系数为 [公式] 的, 只能求出 [公式] , 之后将已知的系数全部带入原式, 再令 [公式] 为一个方便运算的常数, 解出方程即可得到b.。
高数有理分式积分法分解
2
4q p2
4q p2
6
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求四种类型的不定积分：
(4)
(x2
Ax B px
q)k
dx
A 2
d(x2 p (x2 p x
x q) q)k
(B Ap )dx 2
[(x p )2 (q p2 )]k
2 t x 4p
2
A (x2 p x q)k1(B Ap )
A (x a)k
dx
A (x a)k1 C k 1
(k 2,3, 4,)
(3)
Ax B x2 p x q
dx
A 2
d
(x2 p x q) x2 p x q
(B Ap )dx 2
(x p)2 (q p2 )
2
4
A ln(x2 p x q) 2B AP arctan 2x p C
(
x
1 1)2
x(
1 x
1)
1 (x 1)2
x (x 1) x(x 1)
(x
1 1)2
1 x 1
1 x
9
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(2) 用赋值法
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)
A x2
B x3
A (x 2) 原式
x 2
x3 x3
x2
5
B (x 3) 原式
3
3
1 arctan cos2 x C
3
3sin x
d(t
1 t
)
(t 1t )2 3
26
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2. 简单无理函数的积分
有理函数的积分拆分方法
有理函数的积分拆分方法一、前言积分是高等数学中非常重要的概念。
而有理函数则是些基础的函数，其定义域是有理数的多项式函数。
在进行有理函数的积分时，我们有时可以通过拆分的方式，将原式转化为简单的形式，从而使求解变得更加容易。
本文将讨论有理函数的积分拆分方法，特别是常见的分式分解法和部分分式分解法。
二、分式分解法分式分解法是将原有理式拆分成若干个分式相加的形式。
下面我们将介绍一下分式分解法的具体步骤：1.将分母拆分成多项式的积。
例如：$\frac{x^2+2x}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{ B}{x+2}$其中 $A$，$B$ 是待定系数。
2.将原式中的分式分别乘上其对应的除数。
例如：$x^2+2x=A(x+2)+B(x+1)$3.利用待定系数的方法求解 $A$，$B$。
例如：在上式中将 $x$ 替换为 $x=-1$，可以得到 $A=-1$。
在上式中将 $x$ 替换为 $x=-2$，可以得到 $B=2$。
最终得到：$\frac{x^2+2x}{(x+1)(x+2)}=\frac{-1}{x+1}+\frac{2}{x+2}$三、部分分式分解法部分分式分解法则是将有理式模拟成部分分式，之后进行求解。
下面我们将介绍部分分式分解法的具体步骤：1.将分母分解因式。
例如：$\frac{5x-1}{x^2-3x+2}=\frac{5x-1}{(x-1)(x-2)}$2.将各因式拆成单项式。
例如：$\frac{5x-1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$3.用待定系数法求解。
例如：$5x-1=A(x-2)+B(x-1)$4.解得系数 $A$，$B$。
例如：在上式中将 $x=1$，可以得到 $A=-4$。
在上式中将 $x=2$，可以得到 $B=9$。
最终得到：$\frac{5x-1}{x^2-3x+2}=\frac{-4}{x-1}+\frac{9}{x-2}$四、总结：通过上述两种方法，我们可以将有理函数的积分拆分为若干个简单的分式相加。
有理积分的拆分原则
有理积分的拆分原则我们学习任何知识，都会根据自己的情况来判断是否需要进行拆分。
所以在我们学习一个新的知识之前，我们首先要看一下这个知识应该如何进行拆分。
很多人都认为有理积分就是一个简单的拆分题目。
这其实是一种错误的认识。
有理积分并不是简单的进行一个拆分题目就能得到一个结果的。
如果我们的题目是这样的话那么我们就要考虑到拆分的问题了。
下面我们一起来看一下有理积分的拆分原则是什么呢？1、拆分是有条件的。
我们首先要明白，有理积分是有条件的。
如果我们想要拆分有理积分的话。
首先我们必须要满足一定的条件才可以进行拆分。
对于一个数学运算题而言，我们可以根据不同的条件进行拆分，一般情况下一道运算题的拆分分值应该是比较小的，这跟上面的问题其实是有很大不同的。
但是如果我们要拆分有理积分的话，那么我们可以把需要进行拆分的运算题分成两个步骤来进行拆分。
一个步骤就代表一个拆分必须要经过两个步骤才能完成。
2、分数拆分的条件必须是连续可解的。
分数的拆分并不是单有一个简单的条件就可以进行分拆了。
我们要看这个分拆的条件是连续可解的。
比如这道题是要让一个数是1个1的分数来进行求和运算。
所以我们要考虑分拆之后被分拆到哪一部分然后我们再来进行判断。
比如说这道题有4个数是2个1,那么应该把这4个数分成两部分进行求和后再来进行拆分。
这样我们就可以进行简单的判断了。
当然我们也可以根据被分拆开两部分来进行判断。
3、分数必须是等价性相等，如果分数之间存在着某种联系的话，那么我们需要根据这些联系来判断应该怎样拆分。
如果我们有很多的分数，那么可以先把这些分数分成一个等价的等式，然后再进行拆分。
因为等价的等式有很多种。
比如把两个相同数量的物质等分。
我们在进行分拆的时候就要考虑这个数与另一个数是等价的，那么我们就可以用这个等式来求解。
这个等式可以用来表示一个数与另一个数是相同数量级是等价关系。
比如两个10以内的分数,10以内的数不能作为等式进行求解。
这个时候我们要根据分数之间存在着某种联系来判断是否需要进行拆分。
高数有理分式积分法分解课件
有理分式积分公式在解决高数问题中 非常有用，特别是在求解定积分和不 定积分时。
01
分解技巧与实例
分解技巧一：分子分解法
总结词
分子分解法是一种通过将有理分式的分子进行因式分解，从而将有理分式转化为易于积 分的形式的方法。
详细描述
在有理分式积分法中，分子分解法是一种常用的技巧。通过将分子进行因式分解，我们 可以将复杂的分式转化为更简单的形式，从而更容易找到其不定积分。例如，对于分式
01
习题与解答
习题一：基础练习
总结词
掌握基本概念
详细描述
通过简单的有理分式积分题目，熟悉有理分式积分的基本概念和步骤，为后续ห้องสมุดไป่ตู้练习打下基础。
习题二：进阶练习
总结词
提升解题技巧
详细描述
在基础练习的基础上，通过更复杂的题目，学习如何灵活运用有理分式积分的技巧和方法，提高解题 效率。
习题三：综合练习
高数有理分式积分法 分解课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 引言 • 有理分式积分法基础 • 分解技巧与实例 • 习题与解答 • 总结与展望
01
引言
课程简介
有理分式积分法是高等数学中的重要 内容，它涉及到有理函数的积分和分 解。
通过学习有理分式积分法，学生可以 掌握有理函数的积分技巧，理解分式 函数的性质和运算方法。
$frac{x^3}{x+1}$，我们可以将其分子进行因式分解为$x^2-x+1$，从而得到 $frac{x^2-x+1}{x+1}$，进一步简化积分过程。
分解技巧二：分母分解法
要点一
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
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例9. 求
1
2
解: 原式
cos x
dx
2
a tan x b
2
2
1 d tan x 2 2 a tan 2 x ( b ) a
1 a arctan( tan x ) ab b
说明: 通常求含 sin x , cos x 及 sin x cos x 的有理式 的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
12
例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 求 解: 原式
1 ( 2 x 2) 3 2
x 2x 3
2
2
dx
d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
Ak A1 A2 2 ( x a) ( x a) ( x a) k
其中 A1 , A2 , Ak 为待定系数. (2) 若Q(x)=0有一对k重共轭复根 和 , (即把Q(x)在实数 范围内因式分解,含有 ( x2 p x q)k 因子),则分解时必含有 Bk x Ck B1 x C1 B2 x C2 2 2 2 2 ( x p x q) ( x p x q) ( x p x q) k
x ln cos x sin x C a cos x b sin x dx 的积分. 说明: 此技巧适用于形为 c cos x d sin x
解: 令 3 cos x sin x
二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分 设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x) dx
A 2 B AP 2x p 2 ln( x p x q) arctan C 2 4q p 2 4q p 2
6
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Ap (B )dx Ax B A d ( x 2 p x q) 2 (4) 2 dx p 2 p2 k 2 ( x 2 p x q)k ( x p x q)k [( x ) (q )] 2 4p
x 令 t tan 2
万能代换
t 的有理函数的积分
20
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1 sin x dx . 例8. 求 sin x(1 cos x) x 解: 令 t tan , 则 2 x cos x x 2 sin 2 2 tan 2t 2 2 sin x 2 x cos 2 x 1 tan 2 x 1 t 2 sin 2 2 2
t x
求四种类型的不定积分：
A Ap dt p2 2 k 1 a q ( x p x q) ( B ) 2 2 k Ik 4 2(k 1) 2 (t a )
2
四种类型的不定积分 都为初等函数
上一节例9 1 t 2 n 1 I k 1 I 2 2 2 n 2 k 2 n a (t a ) 2na I 1 arctan t C 1 a a
例. 求
A(cos x sin x) B(cos x sin x) ( A B) cos x ( A B) sin x 令 a cos x b sin x A B 3 1 2 x) 比较同类项系数 故 A(c cos x d sin x) , B (c A cos x,B d sin A B 1 d(cos x sin x) ∴ 原式 dx 2 cos x sin x
1 1 2 ( x 1 )2 2 2 ( x 1 )2 2
x x
d( x 1 ) x
d( x 1 ) x
(见P348公式21)
1 2 2
arctan
x1 x
1 1 C ln 2 22 2 x1 2 x
17
常规 目录 上页 下页 返回 结束
x1 2 x
1 4 2x 1 原式 = 5 1 2x 1 x2
11
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例2. 求 解: 已知
1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x 2 ) 1 dx 原式 2 5 1 2x 5 1 x2 5 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
Ax B (3) 2 ( p 2 4q 0) x pxq Ax B 2 (4) 2 ( p 4q 0, k 2,3, 4 ) k ( x p x q)
于是,求任何一个真分式的不定积分问题,也就转化为求
以上四种类型的不定积分.
5
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15
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例6. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) dx 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 2 x 2) 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2) 2
2
1 arctan(x 1) 2 C x 2x 2
第四节 有理函数的积分
第四章
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
• 初等函数
求导
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
1
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有理函数 rational function 真分式 假分式 proper fraction improper fraction
故
5 6 原式 x2 x 3
10
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(3) 混合法
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
4 A (1 2 x) 原式 1 x 2 5 2 B 5 1 C 5
4 1 C 5 1 4 BC 6 15 2
思考: 如何求
提示: 变形方法同例3, 并利用上一节课件例9 .
13
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x 3 dx . 例4. 求 2 ( x 1) ( x 1)
解: 令
x 3 A B C 2 2 ( x 1) ( x 1) x 1 ( x 1) x 1
解:
2 x 5x 2x 5 I 4 dx 4 dx 2 2 x 5x 4 x 5x 4
3
2
( x 2 1) ( x 2 4) 1 d( x 4 5 x 2 5) dx 4 2 2 2 2 x 5x 4 ( x 1)( x 4) 1 1 x 4 2 ln x 5 x 4 arctan arctan x C 2 2 2
求四种类型的不定积分：
A (1) dx A ln | x a | C xa A A k 1 (2) dx ( x a ) C (k 2,3, 4, ) k ( x a) k 1 Ap (B )dx Ax B A d ( x 2 p x q) 2 (3) 2 dx 2 p 2 p2 2 x pxq x pxq ( x ) (q ) 2 4
8
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例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (1) 用拼凑法
1 x ( x 1) 2 x( x 1) x( x 1) 2
1 1 2 ( x 1) x( x 1)
1 x ( x 1) 2 x( x 1) ( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
16
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dx 例7. 求 4 x 1 1 ( x 2 1) ( x 2 1) 解: 原式 dx 4 2 x 1
1 2
1 x2 2 x 12 x
1
1 dx 2
1 x2 2 x 12 x
1
注意本题技巧
dx
按常规方法较繁
2 x 其中B1 , Bk , C1 , Ck 为待定系数. p x q ( x )( x )
4
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P( x) 都可分解成若干个 根据上述的结论,一个真分式 Q( x)
简单分式之和,而这些简单分式不外乎为以下四种类型:
A (1) xa A (2) (k 2,3, 4 ) k ( x a)
1
2t
2t 1t 2
2 1 t ) 2 (1 2 1t 1t
22 1 t
1 1 dt t 2 2 t
dt
1 1 2 t 2t ln t C 2 2
1 2x x x 1 tan tan ln tan C 4 2 2 2 2
x sin 2 x 1 tan 2 x 2 cos 2 2 1 t 2 2 cos x 2 2 2 2 x cos x 1 tan x sin 2 1 t 2 2 2 dx d t 1 t 2
21
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1 sin x sin x(1 cos x) dx
一、 有理函数的积分
有理函数: