有理函数之积分(部分分式法)

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本单元的重点与难点
1.重点：有理函数的部分分式分解方法． 2难点：将三角函数的有理函数，简单无理根式化为有理函数的方法．教学时数 3-4学时．
一、有理函数的不定积分
1.有理函数的部分分式分解方法
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具
有如下形式的函数：
( ) P x ( ) Q x
=
a0 xn b0 xm
⎟⎟⎠
⎥ ⎥ ⎦
t
=
x
+
p,a 2
=
q− p2 4
dt t2 +a2 n
而
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) In−1 =
( ) dt
t2 + a2
n −1
=
t t2 + a2
n−1 + 2
n −1
t2 t 2 + a2 n dt
( ) ∫ ( ) ( ) =
t t2 + a2
n−1 + 2(n − 1)
⎠
= a2 + b2 (sinϕsin x + cosϕcos x)
= a2 + b2 cos( x −ϕ)
其中ϕ = arctan a , 则
b
∫
a sin
dx x+b
cos
x
=
1 a2 +
b2
∫
cos
(
1 x
−
ϕ
)dx
= 1 ln sec( x − ϕ ) + tan ( x − ϕ ) + C
N
−
Mp ⎞ 2 ⎟⎠
dx
⎡⎢⎣⎢⎛⎝⎜
x
+

第四节有理函数的积分

A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
x
cos
x
dx.
解
由万能置换公式
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du,
1
sin sin x
x
cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
2u 1 u2 1 u2
(1 u)(1 u2 ) du
(1 (1
u)2 (1 u)(1
u
u2 2)
cos x
sec2
x
2
1
tan2
2 x
,
2
2
令u tan x x 2arctan u（万能置换公式） 2
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u2
du
R(sin x,cos x)dx
2u 1 u2 2
R
1
u2
,
1
u2
1
u2

有理函数的积分

§6.3 有理函数的积分法（1）【导语】【正文】一、有理函数的积分设()n P x 与()m Q x 分别是n 次和m 次多项式，则称()()m n Q x P x 为有理函数；当m n <时，()()m n Q x P x 称为真分式；当m n ≥时，()()m n Q x P x 称为假分式． A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式（部分分式）．定理6（多项式除法定理）任意一个假分式都可以表示成一个多项式与一个真分式之和．当m n ≥时，设()()()()()m n n Q x R x S x P x P x =+，则 ()()d ()d d ()()m nn Q x R x x S x x x P x P x =+∫∫∫． Remark 有理函数的积分问题转化为真分式的积分问题！（一）分母为一次重因式的真分式的积分法例1 求积分2353d (2)x x x ++∫．解令 232353(2)2(2)(2)x A B Cx x x x +=++++++．将右端通分得22323353(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x A B C A x B x Cx x x x x +++++=++=+++++．比较两端分子对应项的系数得5,40,42 3.A A B A B C =+=++=解得 5,20,23.A B C ==− =所以23235352023(2)2(2)(2)x x x x x +=−+++++，于是2353d (2)x x x ++∫2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =−++++∫∫∫ 220235ln 222(2)x C x x =++−+++．（二）分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法对于d ()()cx dx x a x b +−−∫，可令()()cx d A Bx a x b x a x b+=+−−−−，等式右端通分得()()()()()()cx d A B A x b B x a x a x b x a x b x a x b +−+−=+=−−−−−−．比较两端分子对应项的系数得待定系数A 和B 满足的一次方程组，求出,A B 的值．于是d d d ln ||ln ||()()cx dA Bx x x A x a B x b C x a x b x a x b +=+=−+−+−−−−∫∫∫．例2 求积分2d (3)(5)x x x x −−−∫．解令2(3)(5)35x A Bx x x x −=+−−−−．等式右端通分得2()(53)(3)(5)35(3)(5)x A B A B x A B x x x x x x −+−+=+=−−−−−−．比较两端分子对应项的系数得1,53 2.A B A B +=+=解得12A =−，32B =．所以13222(3)(5)35x x x x x −−=+−−−−．于是2d (3)(5)x x x x −−−∫113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x C x x =−−+−=−−+−+−−∫∫．（三）分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法1．积分21d x x px q++∫假设240p q −<，则22211d d 4()24x x p q p x px q x =−++++∫∫．记2pu x =+，A21d x x px q ++∫221d u u A =+∫1arctan uA A=C ．2．积分2d (0)ax bx a x px q+≠++∫假设240p q −<，则2222(2)()d d d 2bb x x p p ax b a a a x a x x x px q x px q x px q+++−+==++++++∫∫∫ 222d()21()d 22a x px q a bp x x px q a x px q +++−++++∫∫ 2221ln()d 22a a bx px q p x ax px q+++− ++ ∫．（四）分母为二次重因式的真分式的积分法例3 求积分322221d (1)x x x x x −+++∫．解令3211222222221(1)1(1)A x B A x B x x x x x x x x ++−+=+++++++．等式右端通分得32321122111121122222222()()21(1)1(1)(1)A x B A x B A x A B x A A B x B B x x x x x x x x x x +++++++++−+=+=++++++++．比较两端分子对应项的系数得111121121,2,0,1.A A B A A B B B = +=− ++= += 解得11221,3,2,4.A B A B ==− = = 所以 32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x −+−+=+++++++．对于积分23d 1x x x x −++∫，有2231(21)7d d 121x x x x x x x x −+−=++++∫∫221d(1)7212x x x x ++−++∫217ln(1)22x x C ++−．对于积分222(2)d (1)x x x x +++∫，有2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xx x x x x x x x x x +++++==+++++++++∫∫∫∫222113d 13(1)[()]24x x x x =−+++++∫，其中22212d 133[()]3()244x x C x x =++++∫．（Remark 对于22d ()n nxI a x =+∫，有122222122()n nn n x I I na na a x +−=++）于是32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x x x x x x x x x x −+−+=+++++++∫∫∫222112ln(1)32(1)4x x x C x x x ++−+++++．（五）分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法对于积分22d ()()bx cx d xx a x px q ++−++∫2(40)p q −<，令 222()()bx cx d A Bx Cx a x px q x a x px q+++=+−++−++．等式右端通分后，根据分子相等得恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++≡++++−．比较两端对应项的系数得待定系数,,A B C 满足的一次方程组，求出,,A B C 的值．于是22d ()()bx cx dxx a x px q ++−++∫22d d ln ||d A Bx C Bx C x x A x a x x a x px q x px q +++=−+−++++∫∫∫．Remark1 在上述积分问题中牵扯到的简单积是：（1）d Ax ax b+∫ln Aax b C a++；（2）()d kAxax b +∫11(1)()k A C a k ax b −+−+；(0,1)k k >≠ （3）22d (40)Bx Cx q pr px qx r+−<++∫“2211211d d 2211x x x x x x x x x ++=+++++∫∫”（4）22d (40,0,1)()kBx Cx q pr k k px qx r +−<>≠++∫“2211211d d 22(1)(1)k k x x x x x x x x x ++=+++++∫∫．Remark2A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式．定理7 设()()Q x P x 是一真分式，则其可表示成最简分式之和，且表示形式唯一．设 221122111222()()()()()k l P x a x b a x b p x q x r p x q x r =++++++ ，则12211222222()()()()k k A A A Q x AP x a x b a x b a x b a x b =++++ ++++112222222111222222222()()l l l B x C B x C B x C Bx Cp x q x r p x q x r p x q x r p x q x r +++++++++ +++++++++ ．【本讲总结与下讲预告】。

理学新不定积分分部积分

sinx
2t 1 t
2
,
cosx
1 1
t t
2 2
,
dx
1
2 t
2
dt
R(sin x,cos x)dx
R
1
2t t
2
1t2
, 1
t
2
1
2 t
2
dt.
例16
求
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
.
解:令 t tan x , 则 2
sinx
1
2
tan
x 2
u tan x, v tan x
原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
tan x lncos x tan x x C
例9 求
解: 令 u
x2 a2 , v 1, 则 u
x x2a2
,
vx
x2 a2 dx x x2 a2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
一般地
把被积函数视为两个函数之积 ,按“反对幂指三”的
顺序, 前者为 u 后者为 v.
例3 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.

高数讲义第四节有理函数的积分全

例9
求积分
1
x
1 xdx x
解令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式

有理函数的不定积分

4 2 3 2
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B

部分分式展开法公式

部分分式展开法公式部分分式展开法公式是高等数学中常用的一种技巧，用于将一个分式拆分成多个分式之和的形式。

这种技巧在微积分、复变函数、常微分方程等领域都有广泛的应用。

一、部分分式展开法的基本思想部分分式展开法的基本思想是将一个分式表示成若干个分式之和的形式，其中每个分式的分母是不可约的一次多项式。

具体而言，对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，如果 $Q(x)$ 可以分解成若干个不可约的一次多项式的乘积，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$，则我们可以将 $frac{P(x)}{Q(x)}$ 表示成如下形式的分式之和：$$frac{P(x)}{Q(x)} = frac{A_{1,1}}{x - a_1} + cdots +frac{A_{1,k_1}}{(x - a_1)^{k_1}} + cdots + frac{A_{m,1}}{x - a_m} + cdots + frac{A_{m,k_m}}{(x - a_m)^{k_m}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数，可以通过比较系数的方法求得。

这样，我们就成功地将一个分式展开成了若干个分式之和的形式，每个分式的分母都是不可约的一次多项式。

二、部分分式展开法的具体步骤部分分式展开法的具体步骤如下：1. 对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，首先将 $Q(x)$ 分解成不可约的一次多项式的乘积形式，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$。

2. 对于每个不可约的一次多项式 $(x - a_i)^{k_i}$，分别列出如下形式的分式：$$frac{A_{i,1}}{x - a_i} + cdots + frac{A_{i,k_i}}{(x -a_i)^{k_i}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数。

求有理函数的不定积分中如何对分母因式分解

求有理函数的不定积分中如何对分母因式分解就是在实数范围内分解因式，下面看如何做部分分式：R(x)=\frac{2x^4-x^3+4x^2+9x-10}{x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8}=\frac{P(x)}{Q(x)}而分母可分解为 Q(x)=(x-2)(x+2)^2(x^2-x+1)预先求出 P(2)=48,P(-2)=28,P'(-2)=-83 是有好处的。

由此设部分分式 R(x)=\frac{A_0}{x-2}+\frac{A_1}{x+2}+\frac{A_2}{(x+2)^2}+\frac{Bx+C}{x^2 -x+1} (※)要求出 A_0 ,两端同乘 x-2 :(x-2)R(x)=\frac{P(x)}{(x+2)^2(x^2-x+1)}=A_0+(x-2)\Big[\frac{A_1}{x+2}+...\Big]令 x=2 可得： A_0=\frac{P(2)}{(2+2)^2(2^2-2+1)}=\frac{48}{48}=1为了求 A_1 , A_2 两端同乘 (x+2)^2 :\frac{P(x)}{(x-2)(x^2-x+1)}=A_1(x+2)+A_2+(x+2)^2\Big[\frac{1}{x-2}+...\Big](*)令 x=-2 直接得到： A_2=-1 ,而要求 A_1 ,必须对 (*) 式求一下导，然后再令 x=-2最右边一堆可以不管了，因为得0，就剩下了： A_1=\lim_{x \rightarrow -2}\Big[\frac{P(x)}{(x-2)(x^2-x+1)}\Big]’=\lim_{x \rightarrow -2}\Big[\frac{P(x)}{(x-2)(x^2-x+1)}\Big]\Big[\frac{P'(x)}{P(x)}-\frac{1}{x-2}-\frac{2x-1}{x^2-x+1}\Big]=\Big[\frac{28}{-28}\Big]\Big[-\frac{83}{28}+\frac14+\frac57\Big]=\Big[-1\Big]\Big[-\frac{83}{28}+\frac{27}{28}\Big]=\frac{56}{28}=2为了求 Bx+C ,在(※)式两端同乘 (x^2-x+1) :\frac{P(x)}{(x-2)(x+2)^2}=Bx+C+(x^2-x+1)\Big[\frac1{x-2}+...\Big]令 x^2-x+1=0 可得： Bx+C=\frac{2x^4-x^3+4x^2+9x-10}{(x-2)(x^2+4x+4)}|_{x^2-x+1=0}分子可以用长除法得出：2x^4-x^3+4x^2+9x-10=(2x^2+x+3)(x^2-x+1)+11x-13Bx+C=\frac{11x-13}{(x-2)(5x+3)}=\frac{11x-13}{5x^2-7x-6}=\frac{11x-13}{5(x-1)-7x-6}=\frac{11x-13}{-2x-11}\frac{2x-13}{2x-13}=\frac{22x^2-169x+169}{-4x^2+4x+143}=\frac{22(x-1)-169x+169}{-4(x-1)+4x+143}=\frac{-147x+147}{147}=-x+1所以： R(x)=\frac{2x^4-x^3+4x^2+9x-10}{(x-2)(x+2)^2(x^2-x+1)}=\frac1{x-2}+\frac2{x+2}-\frac1{(x+2)^2}+\frac{1-x}{x^2-x+1}可见求Bx+C 相当麻烦，其实用特殊值法就行，在A_0,A_1,A_2 已经求出的条件下,令 x=0 ,可得方程：\frac54=-\frac12+1-\frac14+C,C=1 ,求 B 可以用x=\infty ,在两端乘以 x ,再令 x\rightarrow\infty 可得方程： 2=1+2+B,B=-1。

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☆3一3 有理函數之積分(部分分式法)
●部分分式法
部分分式法：就是將一個分式化成數個分式的和。

其步驟與原則如下
(1)檢查原分式，看分子的次數有沒有比分母低，如果沒有，依照公式
=+被除式餘式
商式除式除式
將原分式化成帶分式的形態
(2)將分母作因式分解，按照多項式的性質得知，得到的因式只可能出現
下面四種可能 ①ax b +
②2
ax
bx c ++
③()n
ax b + ④2
()n ax
bx c ++
(3)按照下面的形態將原分式化成數個分式的和 ①所有的因式都是一次不重複的
12
11221122
()
()()
()
n
n n n n
A A A P x a x b a x b a x b a x b a x b a x b =
++
+
++++++
②重複的一次因式
122
()()()
()
n
n n
A A A P x ax b ax b ax b ax b =+++
++++
③所有的因式都是二次不重複的
222
111222()
()()
()
n n n P x a x b x c a x b x c a x b x c ++++++
1122
22
2
111222n n
n n n
A x
B A x B A x B a x b x c a x b x c a x b x c +++=+++++++++
④重複的二次因式
2()()n P x ax bx c ++112
2222
2()
()
n n
n
A x
B A x B A x B ax bx c ax bx c ax bx c +++=+++
++++++
例題1. 求21
4
x dx x +-⎰
Sol ：
24(2)(2
)x x x -=+- 令
2
1422
x A B x x x +=+-+- 【等號兩邊同乘2
4(2)(2)x x x -+-或】
⇒1(2)(2)
x A x B x +=-++ 令2x =-代入⇒
41A -=-1
4
A ∴=
令2x =代入⇒43B =34
B ∴=
∴原式143413
()ln 2ln 22244
dx x x C x x =+=++-++-⎰
提示：公式 11
ln dx ax b C ax b a =+++⎰
例題2. 求32232
x x
dx x x -++⎰
Sol ：
【因為分子的次數沒有比分母低，所以必須把32232x x
x x -++化成帶分式】
【利用多項式的除法與公式=+被除式餘式
商式除式除式
】
得32232
x x
x x -++2
56332x x x x +=-+++ ∴原式=
2
56
(3)32
x x dx x x +-+
++⎰ 【接下來依規定將256
32
x x x +++化成部分分式】
232(1)(2)
x x x x ++=++ 設
2
563212
x A B
x x x x +=+++++ 【等號兩邊同乘2
32(1)(2)x x x x ++++或】
⇒56(2)(1)x A x B x +=+++
令1x =-代入⇒1A =
令2x =-代入⇒
44B B -=-∴=
∴原式=
2
56
(3)32
x x dx x x +-+
++⎰
=14
(3)12
x dx x x -++++⎰
2
3l n 14l n 22
x x x x C
=-+++++
例題3. 求23
26
(1)
x x dx x +--⎰ Sol ：
令23
26
(1)
x x x +--=231(1)(1)A B C x x x ++--- 【等號兩邊同乘3
(1)x -】
⇒
2226(1)(1)x x A x B x C +-=-+-+
2(21)(1)A x x B x C =-++-+
2(2)()
A x
B A x A B
C =+-+-+ 【比較係數後，得到下面的聯立方程式】
1226A B A A B C =⎧
⎪
-=⎨⎪-+=-⎩
⇒1,4,3A B C ===- ∴23
26(1)
x x dx x +--⎰23143()1(1)(1)dx x x x -=++---⎰ =1
23
ln 14(1)(1)2
x x x K -----+-+
提示：23
43
()(1)(1)
dx x x -+--⎰的積分方法(代換法)
1u x d u d x
=-⇒= 23
43()(1)(1)dx x x -+--⎰2343
()du u u
=-⎰
2
3
1
23
(43)42
u
u
d u u u
----=-=-+
⎰
1
23
4(1)(1)2
x x --=--+-
【提示：其實利用綜合除法也可以求,,A B C (比較方便)】
A
1 2+ 6-
C。