第8讲 有理真分式的递推公式
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高数有理分式积分法分解
2
4q p2
4q p2
6
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求四种类型的不定积分：
(4)
(x2
Ax B px
q)k
dx
A 2
d(x2 p (x2 p x
x q) q)k
(B Ap )dx 2
[(x p )2 (q p2 )]k
2 t x 4p
2
A (x2 p x q)k1(B Ap )
A (x a)k
dx
A (x a)k1 C k 1
(k 2,3, 4,)
(3)
Ax B x2 p x q
dx
A 2
d
(x2 p x q) x2 p x q
(B Ap )dx 2
(x p)2 (q p2 )
2
4
A ln(x2 p x q) 2B AP arctan 2x p C
(
x
1 1)2
x(
1 x
1)
1 (x 1)2
x (x 1) x(x 1)
(x
1 1)2
1 x 1
1 x
9
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(2) 用赋值法
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)
A x2
B x3
A (x 2) 原式
x 2
x3 x3
x2
5
B (x 3) 原式
3
3
1 arctan cos2 x C
3
3sin x
d(t
1 t
)
(t 1t )2 3
26
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2. 简单无理函数的积分
有理真分式分解为部分分式导数法
户 当 走< n
( 时 Q ,
(n 一 走) x
) 〔( x
一a
〕 ( ) Q ( k ) =
( ” 一 无) x 。
由引理 1 知
时 ( ) [ ( ) 〕 x = a
Q ,
(” 一 走) x
.
x 一 。 ` (k ) = 0
因此 走<
n
时 , 〔Q ( x ) ( x
一 a 户〕( ” ) 有 因 式 ( x
”
(k ) =
A, Q (” ) ( x ) + A 。 一 1 Q ( x ) ( x
a ) 〕( n )
+ … + A l〔43;
(尺 (x ) Q ( x ) (x
) 〕 一 a
” (” )
(关 )
习 艺 中 而
晓 〔 ( ) ( ) 〕 尸( ” 一 k ) x
嵘 Q (x ) n !
考虑 到
Q (a
)=
,
o 因此
x
=
a
是 〔Q (x ) (x
〕 ) 一 a ” ( ” ) 的 实 根 。
因此 x = a 是 〔尺 ( x ) Q ( x ) ( x 一 a ) n 〕( ” ) 的 实根 。
定理
若x
=
a
是有 理式 Q ( x
)的
n
,
重 实根 则 在部 分 分式
)有 因式 ( x
一a
,
)故
Q ( k ) (a
)=
0 , 无=
i 2 … ,
,
,n
一l。
引理 2
若x
=
a
是 Q (x )的 n
【优质文档】11.分式递推
2bn 3
2 (3 2 2)bn ( 4 3 2) 3 2 2 bn
2 (3 2 2)bn ( 4 3 2) 3 2 2 bn
2 =( 2 -1) 4 bn 2 ,
2
bn 2
所以 , 数列 { bn
bn
2 } 是以为 ( 2 -1) 2 首项 , 公比为 ( 2 -1) 4 的等比数列
2
bn
2 =( 2 -1) 4n-2
an 4
1
a n 2 =-2( ) 1 n-1
5
2
an 4
5(
1 )
n
an=
2 2( 1 ) n
1
1 2 =5 14
2n 1 2n
2
bn= 1
=
2
(2
n-1
+2)
1 an 2
3
b1=2,b 2= 8 ,b 3=4,b 4= 20 ;
3
3
( Ⅱ) 由 bn= 1
1 an
2
bn(a n- 1 )=1
2
a bn n = 1 bn+1= 1 ×2n-1 + 5
5
2an 1
( Ⅰ) 求 {a n} 的通项公式 ;
( Ⅱ) 证明 : 对任意的 x>0,a n≥ 1
1 ( 2 x) ,n=1,2, … ;
(
1 x (1 x)2 3n
Ⅲ ) 证明 :a 1 +a2+… +an > n2 .
n1
解析 : ( Ⅰ ) 由 a = n+1 3an
2 an 1
1 11 2 an 1 3 an 3
1+ 1 > 2n 1 2n 1 2n 1
2 (3 2 2)bn ( 4 3 2) 3 2 2 bn
2 (3 2 2)bn ( 4 3 2) 3 2 2 bn
2 =( 2 -1) 4 bn 2 ,
2
bn 2
所以 , 数列 { bn
bn
2 } 是以为 ( 2 -1) 2 首项 , 公比为 ( 2 -1) 4 的等比数列
2
bn
2 =( 2 -1) 4n-2
an 4
1
a n 2 =-2( ) 1 n-1
5
2
an 4
5(
1 )
n
an=
2 2( 1 ) n
1
1 2 =5 14
2n 1 2n
2
bn= 1
=
2
(2
n-1
+2)
1 an 2
3
b1=2,b 2= 8 ,b 3=4,b 4= 20 ;
3
3
( Ⅱ) 由 bn= 1
1 an
2
bn(a n- 1 )=1
2
a bn n = 1 bn+1= 1 ×2n-1 + 5
5
2an 1
( Ⅰ) 求 {a n} 的通项公式 ;
( Ⅱ) 证明 : 对任意的 x>0,a n≥ 1
1 ( 2 x) ,n=1,2, … ;
(
1 x (1 x)2 3n
Ⅲ ) 证明 :a 1 +a2+… +an > n2 .
n1
解析 : ( Ⅰ ) 由 a = n+1 3an
2 an 1
1 11 2 an 1 3 an 3
1+ 1 > 2n 1 2n 1 2n 1
有理函数
（其中各系数待定）； 其中各系数待定）；
例1
x+3 x2 − 5x + 6
=
分母因式分解
=
x + 3 ( x − 2 )( x − 3 )
比（ 较 系 数 法 ）
部分分式之和
A B , + x−2 x−3
x + 3 = A( x − 3 ) + B ( x − 2 ),
通分后分子相等
⇒
∴ x + 3 = ( + B ) x − ( 3 A + 2 B ),
3、有理函数积分法
(1) 假分式
多项式除法
→
多项式 + 真分式;
x3 + x + 1 1 如 = x+ 2 2 x +1 x +1
(2) 真分式
待定系数法
→
： 部分分式之和
P( x ) 化为部分分式之和的步骤： 有理真分式 化为部分分式之和的步骤： Q( x ) 在实数系作标准分解： （1）对分母 Q ( x )在实数系作标准分解： b0 ( x − λ1 )α1 L( x − λk )α k ( x 2 + p1 x + q1 ) β1 L( x 2 + ph x + qh ) β h
（其中 x 2 + p i x + q i , i = 1, L , h 为 不可约因式 )
( x − a ) k ，对应的部分分式为 （2）分母中因式 ） A1 A2 Ak , + + L+ k k −1 ( x − a) ( x − a) x−a
都是待定 常数. 待定的 其中 A1 , A2 ,L , Ak 都是待定的常数
分式递推数列 一般式 推导
分式递推数列一般式推导
分式递推数列一般式推导是指通过对分式递推序列进行递归求解，得到其通项公式的过程。
其推导基于以下两个假设：
1.分式递推数列具有递推性质，即每一项都可以通过前面的若干
项和固定的常数项组合而成。
2.分式递推数列满足某种特定的数学规律，可通过这种规律来推
导其通项公式。
具体的推导步骤如下：
1.确定初始项和递推公式
对于一个分式递推数列来说，我们需要先确定它的初始项，即第
一项的值，和递推公式，即每一项与前面一定项的关系式。
2.写出前几项的数值
利用递推公式，我们可以递归地计算出前几项的数值，用于验证
后续的通项公式。
3.推导通项公式
通过数学归纳法证明分式递推序列的通项公式，推导出其通项公式。
4.验证通项公式的正确性
利用通项公式，我们可以验证分式递推数列中任意一项的值是否符合计算公式。
在推导分式递推数列一般式时，我们需要充分利用数学知识，运用常用的数学方法和技巧，以求得正确的结果。
递推公式和通项公式
递推公式和通项公式递推公式和通项公式是数学中常用的两种表示数列的方式。
数列是按照一定规律排列的一系列数值，比如斐波那契数列、等差数列等都是数学中常见的数列。
递推公式是通过前面的项得出后面的项，而通项公式则是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值。
下面将详细介绍递推公式和通项公式的概念、计算方法以及应用。
一、递推公式递推公式是通过前面的项推导出后面的项的公式，通常用于描述数列的规律。
递推公式的形式可以是直接递推公式和间接递推公式。
1.直接递推公式直接递推公式是根据数列中前面的若干项直接计算出后面其中一项的公式。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F表示数列中的项数，n表示项数的下标，n-1表示前一项的下标，n-2表示前两项的下标。
根据这个递推公式，可以依次计算出数列中后续的项。
2.间接递推公式间接递推公式是通过数列中前面的项与后面的项的关系间接推导出后面其中一项的公式。
以等差数列为例，等差数列的递推公式为：an = a1+ (n-1)d，其中a表示数列中的项数，n表示项数的下标，a1表示首项，d表示公差。
根据这个递推公式，可以通过首项和公差来计算出数列中后续的项。
二、通项公式通项公式又称为数列的通项公式、一般项公式或通项公式，是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值的公式。
通项公式可以直接计算出数列中任意一项的数值，而不需要通过前面的项来逐步推导。
通项公式的形式可以是显式通项公式和递推通项公式。
1.显式通项公式显式通项公式是通过数列中任意项的位置直接计算该项的数值的公式。
以等差数列为例，等差数列的显式通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中第n项的数值，a1表示首项，d表示公差。
根据这个公式，可以直接计算出数列中任意一项的数值。
2.递推通项公式递推通项公式是通过数列中前面的若干项推导出后面其中一项的数值的公式。
递推通项公式通常是基于递推公式得到的。
8有理函数
2u + 1 + u2 − 1 − u2 du =∫ 2 (1 + u)(1 + u )
(1 + u)2 − (1 + u 2 ) 1+ u 1 du = ∫ =∫ du − ∫ du 2 2 (1 + u)(1 + u ) 1+ u 1+ u
1 = arctan u + ln(1 + u 2 ) − ln | 1 + u | + C 2 x Q u = tan 2 x x = + ln | sec | − ln | 1 + tan x | + C . 2 2 2
2B A + 2B = 0, 4 2 1 B + 2C = 0, ⇒ A = , B = − , C = , 5 5 5 A + C = 1, 4 2 1 − x+ 1 ∴ = 5 + 5 25. 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1+ x
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
有理函数和可化为有理函数的 不定积分
一、有理函数的不定积分
二、三角函数有理式的不定积分 三、简单无理函数的不定积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义： 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. 两个多项式的商表示的函数称之.
P ( x ) a0 x n + a1 x n−1 + L + an−1 x + an = m m −1 Q( x ) b0 x + b1 x + L + bm −1 x + bm
有理式的不定积分与有理化方法二
补例 求 dx . x3 1
解
1 1 1 x2 3 ( 2 ). x 1 3 x 1 x x 1
x2 1 2x 4 1 2x 1 3 dx x 2 x 1 2 x 2 x 1dx 2 x 2 x 1dx
1 (2 x 1)dx 3 dx 2 2 2 x x 1 2 x x 1
化简并约去两端的公因子 x后为 2 x 2 3x 1 A12 ( x 1) 2 A22 ( x 1),
即 2 x 1 A12 x A12 A22 ,
A12 2, A22 1.
得
例2 求
解
1 A Bx C , 2 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x
两端去分母,得 或
1 A(1 x 2 ) ( Bx C)(1 2x),
1 ( A 2B) x 2 ( B 2C) x C A.
比较两端的各同次幂的系数及常数项，有
A 2 B 0, 4 2 1 A , B ,C . 解之得 B 2 C 0 , 5 5 5 A C 1. 4 2 1 x 1 5 5 5. (1 2 x)(1 x 2 ) 1 2 x 1 x2
1 d (x ) 1 d ( x 2 x 1) 3 2 1 2 3 2 2 x2 x 1 (x ) 2 4
1 2x 1 2 ln(x x 1) 3 arctan C. 2 3
dx 1 1 1 2x 1 2 x3 1 3 ln(x 1) 6 ln(x x 1) 3 arctan 3 C.
变分子为
B 2
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§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
第八讲 有理真分式的递推公式
数学分析 第八章 不定积分
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三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形 式的不定积分之和：
(i)
(
x
dx a
)k
;
(ii)
(
x
Lx M 2 px q)k
dx
( p2 4q 0).
下面解这两类积分:
ln | x a | C,
(i)
dx ( x a)k
1 (1 k)( x a)k1
2
23
3
于是
I ln | x 2 | 2ln | x 2 | 1 1 ln | x2 x 1 | x2 2
(x x2
1)dx x1
1
123
adr(xcxt22anx2xx131)112C.
x
2
1 x
dx 1
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§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
dx
Lt N (t 2 r 2 )k dt
k 1 时,
L
t dt N
dt .
(t 2 r2 )k
(t 2 r2 )k
t2
t
r
2 dt
1 2
ln(t
2
r
2
)
C,
dt
t2 r2
1 arctan r
t r
C.
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有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
Ik
1 r2
I k 1
1 2r 2 (k
1)
(t 2
t r 2 )k1
Ik1 .
化简得
Ik
2r 2 (k
t 1)(t 2
r 2 )k1
2k 3 2r 2(k 1)
I k 1 ,
k 2, 3, .
2
dx 1
x 12 1
arctanx
1
C, 1
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有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
2x 1
( x2 2x 2)2dx
(
(2 x2
x
2
2) 1 x 2)2
1)
C2 .
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有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
于是
x2 1 dx
1 dx
2x 1 dx
( x2 2x 2)2
x2 2x 2
( x2 2x 2)2
x5
x4
5x3
2x2
4x
dx 8
dx x2
2dx x2
dx ( x 2)2
(x x2
1)dx . x1
ln
|
x
2
|
2 ln
|
x
2
|
x
1
2
(x x2
1)dx . x1
其中
( x 1)dx x2 x 1
1 2
d( x2 x 1) x2 x 1
1 2
1
x2
x
dx 1
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dx
某些无理函数的不定积分
由递推公式
d(x2 2x 2)
d( x 1)
( x2 2x 2)2 [( x 1)2 1]2
x2
1 2x
2
(t
2
dt 1)2
.
t x1
dt
(t 2 1)2
t 2(t 2
1)
1 2
dt t2 1
2( x2
x 1 2x
2)
1 2
arctan( x
x3
3
2( x2 2x 2) 2 arctan( x 1) C.
dx
x2 2x 2
arctan x 1 C
(x2
2x 1 2x
2)2
dx
x3 2( x2 2x
2)
1 2
arctan( x
1)
C
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有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
例3 求 I=
x
2x 5
4 x4
x
3 5x
4x 3
2 2x
9x 2
10 4x
dx 8
.
解 由例1,
2x4 x3 4x2 9x 10
C,
k 1, k 1.
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(ii)
令t x
p,
r2 q
p2 ,N
M
pL , 则
2
4
2
(
Lx M x2 px q)k
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
例4
求
(
x
2
x
2 2x
1
2)2dx.
解 由于
某些无理函数的不定积分
x2 1
x2 2x 2 (2x 1)
( x2 2x 2)2 ( x2 2x 2)2
x2
1 2x
2
(x2
2x 1 2x
2)2
,
而
x2
dx 2x
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有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
1 ln | x2 x 1 | 1
2
2
dx
x
1 2
2
2
3
2
1 ln | x2 x 1 | 1 2 arctan 2x 1 C.
2
dt
1 r2
I k 1
1 r2
(t 2
t2 r 2 )k
dt
1
1
1
r 2 Ik1 2r 2(k 1)
td
(t 2
r 2 )k1
1 r2
I k r 2 )k1
Ik1 .
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某些无理函数的不定积分
k 2 时,
t2
t r2
k
dt
1 2
dt 2 r 2
(t 2 r 2 )k
21
1
k t 2
r2
k 1
C.
记 Ik
dt (t 2 r2 )k
,则
Ik
1 r2
(
t2 (t
2
r
2)t r 2 )k
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(i)
(
x
dx a
)k
;
(ii)
(
x
Lx M 2 px q)k
dx
( p2 4q 0).
下面解这两类积分:
ln | x a | C,
(i)
dx ( x a)k
1 (1 k)( x a)k1
2
23
3
于是
I ln | x 2 | 2ln | x 2 | 1 1 ln | x2 x 1 | x2 2
(x x2
1)dx x1
1
123
adr(xcxt22anx2xx131)112C.
x
2
1 x
dx 1
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dx
Lt N (t 2 r 2 )k dt
k 1 时,
L
t dt N
dt .
(t 2 r2 )k
(t 2 r2 )k
t2
t
r
2 dt
1 2
ln(t
2
r
2
)
C,
dt
t2 r2
1 arctan r
t r
C.
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Ik
1 r2
I k 1
1 2r 2 (k
1)
(t 2
t r 2 )k1
Ik1 .
化简得
Ik
2r 2 (k
t 1)(t 2
r 2 )k1
2k 3 2r 2(k 1)
I k 1 ,
k 2, 3, .
2
dx 1
x 12 1
arctanx
1
C, 1
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三角函数有理 式的不定积分
2x 1
( x2 2x 2)2dx
(
(2 x2
x
2
2) 1 x 2)2
1)
C2 .
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三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
于是
x2 1 dx
1 dx
2x 1 dx
( x2 2x 2)2
x2 2x 2
( x2 2x 2)2
x5
x4
5x3
2x2
4x
dx 8
dx x2
2dx x2
dx ( x 2)2
(x x2
1)dx . x1
ln
|
x
2
|
2 ln
|
x
2
|
x
1
2
(x x2
1)dx . x1
其中
( x 1)dx x2 x 1
1 2
d( x2 x 1) x2 x 1
1 2
1
x2
x
dx 1
数学分析 第八章 不定积分
dx
某些无理函数的不定积分
由递推公式
d(x2 2x 2)
d( x 1)
( x2 2x 2)2 [( x 1)2 1]2
x2
1 2x
2
(t
2
dt 1)2
.
t x1
dt
(t 2 1)2
t 2(t 2
1)
1 2
dt t2 1
2( x2
x 1 2x
2)
1 2
arctan( x
x3
3
2( x2 2x 2) 2 arctan( x 1) C.
dx
x2 2x 2
arctan x 1 C
(x2
2x 1 2x
2)2
dx
x3 2( x2 2x
2)
1 2
arctan( x
1)
C
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
数学分析 第八章 不定积分
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§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
例3 求 I=
x
2x 5
4 x4
x
3 5x
4x 3
2 2x
9x 2
10 4x
dx 8
.
解 由例1,
2x4 x3 4x2 9x 10
C,
k 1, k 1.
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§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
(ii)
令t x
p,
r2 q
p2 ,N
M
pL , 则
2
4
2
(
Lx M x2 px q)k
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
例4
求
(
x
2
x
2 2x
1
2)2dx.
解 由于
某些无理函数的不定积分
x2 1
x2 2x 2 (2x 1)
( x2 2x 2)2 ( x2 2x 2)2
x2
1 2x
2
(x2
2x 1 2x
2)2
,
而
x2
dx 2x
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§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
1 ln | x2 x 1 | 1
2
2
dx
x
1 2
2
2
3
2
1 ln | x2 x 1 | 1 2 arctan 2x 1 C.
2
dt
1 r2
I k 1
1 r2
(t 2
t2 r 2 )k
dt
1
1
1
r 2 Ik1 2r 2(k 1)
td
(t 2
r 2 )k1
1 r2
I k r 2 )k1
Ik1 .
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有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
k 2 时,
t2
t r2
k
dt
1 2
dt 2 r 2
(t 2 r 2 )k
21
1
k t 2
r2
k 1
C.
记 Ik
dt (t 2 r2 )k
,则
Ik
1 r2
(
t2 (t
2
r
2)t r 2 )k