简单有理分式函数的积分
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
理学新不定积分分部积分
sinx
2t 1 t
2
,
cosx
1 1
t t
2 2
,
dx
1
2 t
2
dt
R(sin x,cos x)dx
R
1
2t t
2
1t2
, 1
t
2
1
2 t
2
dt.
例16
求
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
.
解:令 t tan x , 则 2
sinx
1
2
tan
x 2
u tan x, v tan x
原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
tan x lncos x tan x x C
例9 求
解: 令 u
x2 a2 , v 1, 则 u
x x2a2
,
vx
x2 a2 dx x x2 a2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
一般地
把被积函数视为两个函数之积 ,按“反对幂指三”的
顺序, 前者为 u 后者为 v.
例3 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和 一个真分式之和.
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
有理函数积分待定系数法
有理函数积分待定系数法有理分式的积分可以使用待定系数法进行求解，具体步骤如下：1. 将有理分式进行部分分式分解。
例如，对于形如$$\frac{N(x)}{D(x)} = \frac{N_1(x)}{D_1(x)} + \frac{N_2(x)}{D_2(x)} + \cdots + \frac{N_k(x)}{D_k(x)}$$的有理分式，其中$N(x)$和$D(x)$分别为分子和分母多项式，$N_1(x)$和$D_1(x)$等为部分分式形式。
2. 根据部分分式的形式进行计算。
对于每一项$\frac{N_i(x)}{D_i(x)}$，可以使用待定系数法进行计算。
若$D_i(x)$的次数大于$N_i(x)$的次数，则可设$\frac{N_i(x)}{D_i(x)} = \frac{A_{i1}}{D_{i1}(x)} + \frac{A_{i2}}{D_{i2}(x)} + \cdots + \frac{A_{im_i}}{D_{im_i}(x)}$，其中$D_{ij}(x)$的次数小于$D_i(x)$的次数。
若$D_i(x)$的次数等于$N_i(x)$的次数，则可设$\frac{N_i(x)}{D_i(x)} = \frac{A_{i1}x + B_{i1}}{D_{i1}(x)} + \frac{A_{i2}x + B_{i2}}{D_{i2}(x)} + \cdots + \frac{A_{im_i}x + B_{im_i}}{D_{im_i}(x)}$。
3. 将部分分式进行通分，整理等式。
4. 将所得等式两边同时积分。
例如，对于每一个部分分式$\frac{A_{ij}x + B_{ij}}{D_{ij}(x)}$，可以通过先对其分子进行展开得到$\frac{A_{ij}x}{D_{ij}(x)} + \frac{B_{ij}}{D_{ij}(x)}$。
然后，可通过分别使用常数乘法法则和有理函数法则进行积分，最终得到对应的积分结果。
有理函数积分法
第21讲 理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为mm mn n n xxx x x Q x P x R βββααα++++++==-- 110110)()()(， (1)其中，m 为n 非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β． 若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)： 第一步 对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()()()tt t s q p x q x p xa x a x x Q μμλλ++++--=21121121， （2）其中()t iji ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且.,,2,1,04;2211t j q p m j j si tj ji =-=+∑∑==μλ第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()ka x -的因式，它所对应的部分分式是 ()();221kka x A a x A ax A -++-+-对每个形如()kq px x ++2的因式，它所对应的部分分式是()().22222211kkk q px xC x B q px xC x B qpx x C x B ++++++++++++把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8425109422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解解 按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252345-+--+x x x x x ()()().12222+-+-=x x x x部分分式分解的待定形式为()().122222210+-++++++-=x x C Bx x A x A x A x R （3）用()x Q 乘上式两边，得一恒等式()()1210942220234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()121222221+--++-+-x x x A x x x x A+()()()222+-+x x C Bx （4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++常数项的系数，的系数，的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：.11)2(12221)(22+---+-++-=x x x x x x x R上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成为)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+.83,233,42111C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数． 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：⎰-I ka x dx)()(；()⎰<-+++I I )04()(22q p dx q px x M Lx k．对于()I ，已知()()⎪⎩⎪⎨⎧>+--=+-=--⎰.1,11,1,ln )(1k C a x k k C a x a x dx k k对于()II ，只要作适当换元(令2p x t +=)，便化为()⎰⎰++=+++dt rtNLt dx q px xMLx kk222)(⎰⎰+++=,)()(2222kkr t dt N dt r t t L （5）其中.2,422L p M N pq r-=-=．当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为⎰++=+C r t dt rtt)ln(212222，.a r c t a n 122C rtr rtdt+=+⎰ （6） 当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为C r t k dt r t tk k++-=+⎰-12222))(1(21)(.对于第二个不定积分，记 ,)(122⎰-+=k k r tdtI 可用分部积分法导出递推公式如下：dt r t t r t rI kk ⎰+-+=)()(1222222⎰+-=-dt r ttrI rkk )(11222212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=--122212)(1)1(211k k r t td k r I r.)()1(2111122212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=---k k k I r t tk r I r 经整理得到.)1(232))(1(2121222----++-=k k k I k r k r t k r tI （7）重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令2p x t +=，就II ）的计算．例2 求.)22(1222dx x xx ⎰+-+解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为222222)22()12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)22(12221222+--++-=x x x x x现分别计算部分分式的不定积分如下：.)1arctan(1)1()1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-⎰⎰dx x xx dx x xx ⎰⎰+-+-=+--2222)22(1)22()22(12++-+-=⎰222)22()22(x xx x d []⎰+--221)1()1(x x d.)1(221222⎰+++--=tdtx x由递推公式（7）,求得其中⎰⎰+++=+121)1(2)1(2222tdtt t t dt .)1arctan(21)22(2122C x x x x +-++--=于是得到.)1a r c t a n (23)22(23)22(12222C x x x x dx x xx +-++--=+-+⎰二、三角函数有理式的不定积分⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。
大一高数第四章简单有理函数的积分
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a 0 0 ，b0 0 .
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m , 这有理函数是真分式；
( 2) n m , 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成 一个多项式和一个真分式之和.
例 难点
1 x x1 x 2 . 2 x 1 x 1
1 dx 例 2 1x
1 1 dx dx 解： 2 1x (1 x)(1 x) 1 1 1 [ ]dx 2 1x 1x
1 [ln | 1 x | ln | 1 x |] C 2 1 1x ln | | C 2 1x
注意：分母拆项是常用的技巧！
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
A 5 A B 1, , B 6 ( 3 A 2 B ) 3, x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
例. 求
1 d x d ( 解: 原式 2 2 x 1) ( x 1) ( 22 ) 1 x 1 arctan C (P203 公式 (20) ) 2 2
1 练习：求积分 x(x 1) dx.
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例. 求
解: 原式
1 ( 2 x 2) 3 2 2
如
dx, 使用凑微分法比较简单 . x 1
3
x
2
基本思路
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等 化部分分式，写成分项积分
可考虑引入变量代换
二、简单无理函数的积分
有理函数积分法(3)
2
2
( x2 px q)n
dx
类型4
A
2
(x2
2x px
p
q)n dx
(B
p 2
A)
1 ( x2 px q)n dx
A
2
(x2
1 px
q)n d ( x 2
px
q)
(B
p 2
A)
1 ( x2 px q)n dx
A 1 2 1n
(x2
1 px q)n1
(B p A) 2
arctan
x
2 x (1 x2 )2 dx
arctanx
1 2x 2
2 (1 x2 )2
dx
arctanx 1 2
2x (1 x2 )2 dx
2 (1 x 2 )2 dx
arctanx
1 2
1
1 x2
2
1 (1 x 2 )2 dx
15
1 x x2 ( x2 1)2
13
例4
求
1
3
x x
3
dx.
解
1
3
x x
3
dx
(
1
1
x
1
x1 x x2
)dx
1
3
ln1
x
1
x1 x x
2
dx
ln1
x
(2x 1) 2 1 x x2 2dx
ln1
x
1 2
1
2x x
1 x2 dx
3 2
1
1 x
x2 dx
ln 1 x 1 ln1 x x2 3
( x 1)( x 2)2
有理函数最简分式的计算 - Homepagefudaneducn Fudan
例 1. 求
x2 + x + 5 f (x) =
(x + 1)(x − 1)(x − 2)
x6 + x5 + . . . = x(x5 − 4x4 + . . .) + 5(x5 − 4x4 + . . .) + . . . .
由此易得 其中
A
B
C
Dx + E
f (x) = x + 5 +
+
+
+
,
x − 1 x − 2 x − 3 x2 + 2x + 2
x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
法I： 设 x 为 x2 + x + 1 = 0 的一个解. 由 (1) 可得
Bx + C
2x2 + 1 = (x + 1)((x(2 +(x(+(1()
= −2x − 1 x+1
(x2 = −x − 1)
= −(2x + 1)x (x + 1)x
(让分母前两项等于x2 + x)
= −(x + 2).
[
]
x2 + x + 5
5
A
=
lim
x→−1
(x + 1)f (x)
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一、有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和 有理分式两类：
有理整式 f(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an;
有理分式
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是 实数，并且a0≠0,b0≠0.
一、有理函数的积分
1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+x)，
一、有理函数的积分
整理得 1=(A+B)x2+(B+C)x+A+C.（4-19）
比较式（4-19）两端x的同次幂的系数及常数，有
一、有理函数的积分
3. 有理函数积分举例 【例1】
去分母,得 2x3+x－1=(Ax+B)(x2+1)+(Cx+D) =Ax3+Bx2+(A+C)x+(B+D),
三、积分表的使用
同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的 区别.求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做， 而求一个函数的不定积分却没有统一的规则可循，需要具 体问题具体分析，灵活应用各类积分方法和技巧.
实际应用中常常利用积分表来计算不定积分.求不定积 分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过 少量的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
【例3】
二、可化为有理函数的积分
【例4】
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
求简单无理函数的积分，其基本思想 是利用适当的变换将其有理化，转化为有理 函数的积分.下面通过例子来说明.
二、可化为有理函数的积分
【例5】
【例6】
三、积分表的使用
本章介绍了不定积分的概念及计算方法.必须指出的 是：初等函数在它的定义区间上不定积分一定存在，但 不定积分存在与不定积分能否用初等函数表示出来不是 一回事.事实上，有很多初等函数，它们的不定积分是存 在的，但它们的不定积分却无法用初等函数表示出来， 如
M1x+N1(x2+px+q)k+M2x+N2(x2+px 其中Mi,Ni(i=1,2,…,k)都是常数.
（4-17） 其中A,B为待定常数，可用如下方法求出待定系数.
一、有理函数的积分
第一种方法 式（4-17）两端去分母后，得 x+3=A(x－3)+B(x－2),
整理得 x+3=A+Bx－3A+2B.（4-18）
在有理分式中，n<m时，称为真分式；n≥m时，称为假分式.
利用多项式除法，可以把任意一个假分式化为一个有理整式
和一个真分式之和.例如，
(4-10)
有理整式的积分很简单，下面只讨论真分式的积分.
一、有理函数的积分
1. 最简分式的积分
下列四类分式 （1）Ax－a;（2）A(x－a)n;（3）Mx+Nx2 统称为最简分式，其中n为大于等于2的正整数；A,M,N,a,p,q 均为常数，且p2－4q<0. 下面先讨论这四类最简分式的不定积分. 前两类最简分式的不定积分可以由基本积分公式直接得到. 对第三类最简分式，将其分母配方得
设给定真分式P(x)/Q(x)，要把它表示为最简分式的 和，首先要把分母Q(x)在实数范围内分解为一次因式与 二次因式的乘积，再根据这些因式的结构，利用待定系 数法确定所有系数.
设多项式Q(x)在实数范围内能分解为如下形式： Q(x)=b0(x－a)α…(x－b)β(x2+px+q)λ…(x2+rx+s)μ,
一、有理函数的积分
一、有理函数的积分
上式最后一个不定积分的求法在上节的例8中已经给出. 综上所述，最简分式的不定积分都能被求出，且原函数都 是初等函数.根据代数学的有关定理可知，任何真分式都可以分 解为上述四类最简分式的和，因此，有理函数的原函数都是初 等函数.
Байду номын сангаас
一、有理函数的积分
2. 有理分式化为最简分式的和
一、有理函数的积分
比较两端同次幂系数,得A=2,B=0,C=－1,D=－1.从而
一、有理函数的积分
【例2】
一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
1. 三角函数有理式的积分
由sin x，cos x和常数经过有限次四则运算构成 的函数称为三角有理函数，记为 R(sin x,cos x).
三角函数的积分比较灵活，方法很多.在换元积 分法和分部积分法中介绍过一些方法.这里主要介绍 三角函数有理式的积分方法，其基本思想是通过适 当的变换，将三角有理函数化为有理函数的积分.
一、有理函数的积分
其中Ai,…,Bi,Mi,Ni,…,Ri及Si等都是常数. 对式（4-16），应注意到以下两点： （1）若分母Q(x)中含有因式(x－a)k，则分解后含有下列k个最简分式 之和： 其中A1,A2,…,Ak都是常数.
一、有理函数的积分
（2）若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p2－ 4q<0，则分解后含有下列k个最简分式之和：
三、积分表的使用
三、积分表的使用
所以
谢谢聆听
因为这是恒等式，等式两端x的系数和常数必须分别相等， 于是有
从而解得A=－5,B=6.
一、有理函数的积分
第二种方法在恒等式（4-18）中，代入特殊的x值，从而求出 待定的常数.在式（4-18）中，令x=2，得A=－5;令x=3，得B=6. 同样得到
又如，真分式11+x1+x2可分解为 11+x1+x2=A1+x+Bx+C1+x2， 两端去分母后，得