有理函数化为部分分式之和
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
有理分式的快速分解方法及其应用
有理分式的快速分解方法及其应用鲁志波;勒孚龙;张启慧【摘要】根据有理分式的不同结构特点,给出了相应的分解为部分分式的快速算法及其应用,有效解决了这类函数的积分问题.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2011(031)005【总页数】4页(P7-10)【关键词】有理分式;部分分式;快速分解【作者】鲁志波;勒孚龙;张启慧【作者单位】信息工程大学理学院,河南郑州450001;信息工程大学理学院,河南郑州450001;信息工程大学理学院,河南郑州450001【正文语种】中文【中图分类】O13有理分式（又称有理函数）是由2个多项式的商所表示的函数[1]，即形如的函数，其中：m和n都是非负整数；a0,a1, …,an 及b0,b1, …,bm 都是实数，且a0≠0，b0≠0．这是不定积分和定积分计算中经常遇到的一类函数，处理这类问题关键的是分解有理函数为部分分式之和，通常使用“待定系数法”来解决[2-3]．这种方法理论可完全解决有理函数的分解问题，但当多项式次数较高时，用这种常规方法计算往往很繁琐且容易出错，本文根据有理函数中分母Q(x)的不同结构特点，给出直接计算分解系数的方法．不失一般性，不妨设有理函数（1）中P(x)和Q(x)之间没有公因式，且有理函数为真分式，即n＜m．定理1 若Q(x)=(x -a)Q1(x)，且Q1(a)≠0，则有分解式其中：是一实系数多项式．证明在式（2）中利用待定系数法，并取x=a即得式（2）．证毕．推论若这里ai为互不相同的实数，则其中：由推论可以看出，当有理分式中分母为m个单重一次因式的乘积时，计算系数Ai 只需把有理函数中分母里对应的因式(x-ai )去掉后再代入x=ai 即可．系数计算式（3）形式简洁，应用方便，在分解有理函数时不需要像使用“待定系数法”时求解方程组，可以直接计算得到分解后的系数，极大地减少了计算量．例1 分解有理函数解有理函数中分母为3个一次因式的乘积，根据式（3），即有定理2[4]185 若且则有分解式其中：P1(x)是一实系数多项式；系数显然，r=1时，式（4）和式（2）相同．例2 分解有理函数为部分分式．解分母中含有1个三重一次因式，设，由式（2）易得；由式（4）可得故从例2可以看出，在计算系数Ak时可以利用计算Ak-1过程中的求导结果简化运算．但是当Q1(x)是2个以上因式的乘积时，求导运算仍然很繁琐．在某些特殊情形下可使用极限法来计算分解系数．定理3 若Q互不相同）时，则其中：系数A0和Bi(i=1,2,…, m)的计算同式（2）；当k=r-1,r-2, …, 1时，证明显然，用式（2）可计算系数A0和Bi(i =1,2, …, m)．当k=r-1,r -2, …, 1时，在式（5）两端同乘xr-k ，整理得令x→∞，则有证毕．例3 分解有理函数解设易知A0=-1，A4=1．为避免用复杂的求导运算计算A3，在式（6）两端同乘x，并令x→∞，两端同取极限，则有．在式（6）两端同乘x2，并令x→∞，则有A=-1．同理可2得A3=-1，从而若有理函数中分母包含二次因式，这时候的分解一般都较为复杂，但在前面分析的基础上类似地有以下几种求解部分分式中待定系数的方法．定理4 若Q(x)包含二次因式，即Q(x)=(x2+px+q)r Q1(x)，其中：p2-4q＜0；r≥1，设x2+px+q=(x-α)(x -)，(α)≠0，则有分解式其中：P1(x)为一实系数多项式；系数Ak和Bk(k=0,1,…, r-1)可利用以下4种方法计算：方法1 使用常规的待定系数法．方法2 复根代入计算法．两端同乘(x 2+px+q)r-k (k =0,1,…, r -1)，然后代入复根α（或）后比较等式两边的实部和虚部，依次计算A0,B0,A1,B1,…,Ak-1,Bk-1，并利用这些结果计算Ak,Bk(k=0,1,2,…,r-1)．方法3 直接公式计算法．注意到在复数域内二次因式可进一步分解为其中：系数c和c是共轭复数．因此可以利用定理2中的式（4）直接计算系数c 和，即其中：方法4 当r=1时，设，利用复根代入计算法易知，Ax+B满足此时不必解出x2+px+q=0的虚根再来分别计算系数A和B，只需利用恒等式x2+px+q=0将有理函数化为一次多项式即可整体上得到Ax+B．注1 将有理函数分解为部分分式的目的是为了计算积分，直接公式计算法中得到式（8）后，右端前r-1项（k=0,1,…, r -2）先分别积分后通分，第r项（即k=r-1项）则先通分后积分，即可得到实系数的有理式[4]185．注2 式（9）在r=1时相对较为简单，具有较强的实用性．注3 一般地，当r＞1时，式（9）对计算系数A0x+B0同样适用．例4 分解有理函数解设，则由式（9）可得Ax+B=，即有例5 分解有理函数为部分分式．解设，由式（3）得由式（9）得，则化简分式易得从而有本文针对有理函数的结构不同，给出了不同的分解为部分分式的方法，通过综合应用以上方法，可以避免常规待定系数法中求解多个方程的繁琐计算，具有较强的实用性和可操作性．需要指出的是，一些特殊情况使用其他特殊方法可能更加简便，大多数情况中需要综合运用以上方法来确定部分分式的系数．【相关文献】[1] 同济大学应用数学系．高等数学[M]．5版．北京：高等教育出版社，2002[2] 姜长友，张武军，魏宝军，等．高等数学教与学[M]．北京：北京航空航天大学出版社，2010[3] 吉米多维奇．吉米多维奇数学分析习题集[M]．济南：山东科技出版社，2005[4] 朱文辉．分解与积分有理函数的直接方法[J]．大学数学，2007，23（6）：182-185。
有理函数分解成部分分式的几种方法
取 ｘ＝ａｉ代 入 可 得 ，
Ａｉ＝ｘ－ａ１）器 ｉ＝１，２，… ）
即 ， 部 分 分 式 中各 待 定 系 数 Ａ 都 等 于 把 ｘ＝Ａ， 代 人 原 有 理 函数 中 （分 母 中 因 式 ｘ—ａ，除 外 ），此 方 法 可 称 为 “实 根 代 人 法 ”。
襄樊职业技术学院学报 第 ９卷 第 ３期 双 月 刊 ２０１０年 ５月
有理函数分解成部分分式的几种方法
李艳 萍
（健雄职业技术学院 基础教 学部 ，江苏 太仓 ２１５４１１）
摘 要：本文介绍 了将有理函数分解成部分分式的实根代入法 、复根代入法、极 限法 求导法等几种简单方法，简捷
有效地解决了有理函数的积分问题
Ｄ
’＝Ｘｌ＋ｌｑ
—
—
’
一
±巳！ ｇ ２
ｘ‘＋ｐ ｘ＋ｑ
设 ｘｌ与 ｘ２是 方 程 ｘ ＋Ｐｌｘ＋ｑ１：Ｏ的 一 对 共 轭 虚
根 ，取 ｘ＝ｘ （或 ｘ：ｘ，）代 入 可 得 。
例 １．分 解 塾 二 成 部 分 分 式 。
（ｘ ＋ｐ．ｘ＋ｑ ）Ｉ ＝Ａ ｘ１＋Ｂｉ，（ｉ＝１，２，…，ｎ）， ｌｘ １
法 ”可 得 ，
用“实根代人法”，可先求得Ａ＝丽８ｘ Ｌ－＝４，ｃ＝ ｌｘ＝１＝２．
怎 样 来 确 定 Ｂ 的 值 呢 ？将 一 个 恒 等 式 两 边 同时
‘ 两骊１ Ｉ ，＝击 Ｊ ＝ ＝ 号 施 以 某 种 运 算 仍 然 相 等 ，因 此 把 上 式 两 边 同 乘 以 ｘ，
卧ｕ ４· 分 解胖
例 ２·化分 式 可
为部 分分式 。
解 ：设
营 二 成厩部 ｓ分分 撼分式 。
4.2.5有理函数拆分
有理函数拆分有理函数是通过多项式的加减乘除得到的函数。
在数学中，理性函数是可以由有理分数定义的任何函数，即代数分数，使得分子和分母都是多项式。
多项式的系数不需要是有理数，它们可以在任何字段K 中进行。
变量的情况可以在包含K 的任何字段L 中进行。
函数的域是变量，分母不为零，代码区为L 。
● 实根代入法当分母Q(x)含有一次因式的单重因式时 即()()()()n 21a -x a -x a -x x Q Λ= 可设()()nn2211a -x A a -x A a -x A x Q x P ++=Λ 两边同乘以()n ,2,1i a -x i Λ=，即()()()()()()ni n i 2i 21i 1i a -x a -x A A a -x a -x A a -x a -x A x Q x P a -x +++=ΛΛ取i a x =，代入可得()()()()n ,2,1i x Q x P a -x A ia x i i Λ===，即，部分分式中各待定系数i A 都等于把i a x =代入原有理函数中(分母中因式x=a i 除外) 此方法称为“实根代入法”。
➢ 例1、分解x-x 1-x 3x 232+成部分分式。
解：设()()()()1-x C1x B x A 1-x 1x x 1-x 3x 2x -x 1-x 3x 2232+++=++=+用“实根代入法”可得()()()()()()21x x 1-x 3x 2x -x 1-x 3x 21-x C 1-1-x x 1-x 3x 2x -x 1-x 3x 21x B 11-x 1x 1-x 3x 2x -x 1-x 3x 2x A 1x 21x 32-1x 2-1x 320x 20x 32=++=+==+=++==++=+=======所以()()1-x 21x 1-x 1x -x 1-x 3x 232++=+● 复根代入法当分母Q(x)含有一次因式的单重因式时，其中()n ,2,1i q 4p i 2i Λ=≤，即()()()()n n 2222112q x p x q x p x q x p x x Q ++++++=Λ可设()()nn 2nn 2222211211q x p x B x A q x p x B x A q x p x B x A x Q x P +++++++++++=Λ 两边同乘以()n ,2,1a q x p x i i i 2Λ=++，即()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++++++++++++=++n n 2i i 2n n i i 222i i 222112ii 211i i 2q x p x q x p x B x A B x A q x p x q x p x B x A q x p x q x p x B x A x P x Q q x p x M M 设1x 与2x 是方程i i 2q x p x ++的一对共轭虚根 取1x x =或2x x =，代入可得()()()()n ,2,1i x P x Qq x p x B x A 1x x i i 2i i Λ=++=+=，比较等式两边的实部与虚部，即可确定i A 与i B 的值从而确定待定一次多项式()n ,2,1i B x A i i Λ=+，，此方法可称为“复根代入法”。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
高等数学 4-4几种特殊类型函数的积分
sin x
解：由万能置换公式 sin x =
sin x 2u 2u + 1 + u 2 − 1 − u 2 dx = ∫ du = ∫ du ∫ 1 + sin x + cos x (1 + u )(1 + u 2 ) (1 + u )(1 + u 2 )
A1 A2 A + + L + k , 其中 k k −1 A1, A2 , L, Ak 都是常数. ( x − a) ( x − a) x−a
特殊地： k = 1, 分解后为
A ; x−a
（2）分母中若有因式 ( x 2 + px + q ) k ，其中 p 2 − 4q < 0 则分解后为
M 1 x + N1 M x + N2 M x + Nk + 2 2 +L+ 2 k k k −1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
∫ sin 3x + sin x dx.
A+ B A− B cos 2 2
1 + sin x
sin A + sin B = 2 sin
6
∫ sin 3x + sin x dx = ∫ 2 sin 2 x cos x dx = ∫ 4 sin x cos
=
1 + sin x
1 + sin x
1 + sin x
部分分式展开法公式
部分分式展开法公式部分分式展开法公式是高等数学中常用的一种技巧，用于将一个分式拆分成多个分式之和的形式。
这种技巧在微积分、复变函数、常微分方程等领域都有广泛的应用。
一、部分分式展开法的基本思想部分分式展开法的基本思想是将一个分式表示成若干个分式之和的形式，其中每个分式的分母是不可约的一次多项式。
具体而言，对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，如果 $Q(x)$ 可以分解成若干个不可约的一次多项式的乘积，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$，则我们可以将 $frac{P(x)}{Q(x)}$ 表示成如下形式的分式之和：$$frac{P(x)}{Q(x)} = frac{A_{1,1}}{x - a_1} + cdots +frac{A_{1,k_1}}{(x - a_1)^{k_1}} + cdots + frac{A_{m,1}}{x - a_m} + cdots + frac{A_{m,k_m}}{(x - a_m)^{k_m}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数，可以通过比较系数的方法求得。
这样，我们就成功地将一个分式展开成了若干个分式之和的形式，每个分式的分母都是不可约的一次多项式。
二、部分分式展开法的具体步骤部分分式展开法的具体步骤如下：1. 对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，首先将 $Q(x)$ 分解成不可约的一次多项式的乘积形式，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$。
2. 对于每个不可约的一次多项式 $(x - a_i)^{k_i}$，分别列出如下形式的分式：$$frac{A_{i,1}}{x - a_i} + cdots + frac{A_{i,k_i}}{(x -a_i)^{k_i}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数。
大一高数第四章简单有理函数的积分
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a 0 0 ，b0 0 .
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m , 这有理函数是真分式；
( 2) n m , 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成 一个多项式和一个真分式之和.
例 难点
1 x x1 x 2 . 2 x 1 x 1
1 dx 例 2 1x
1 1 dx dx 解： 2 1x (1 x)(1 x) 1 1 1 [ ]dx 2 1x 1x
1 [ln | 1 x | ln | 1 x |] C 2 1 1x ln | | C 2 1x
注意：分母拆项是常用的技巧！
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
A 5 A B 1, , B 6 ( 3 A 2 B ) 3, x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
例. 求
1 d x d ( 解: 原式 2 2 x 1) ( x 1) ( 22 ) 1 x 1 arctan C (P203 公式 (20) ) 2 2
1 练习：求积分 x(x 1) dx.
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结束
例. 求
解: 原式
1 ( 2 x 2) 3 2 2
如
dx, 使用凑微分法比较简单 . x 1
3
x
2
基本思路
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等 化部分分式，写成分项积分
可考虑引入变量代换
二、简单无理函数的积分
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A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
6 x
. 3
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,
1
(1 2x)(1
A x2 )
1
4, B 5 4
5 2x
2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
特殊地：k 1时, 分解后为 A ;
xa
（2）对每个分母为 ( x2 px 的q部)k 分，
分解后为
M1x N1 ( x2 px q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中 Mi , Ni都是常数(i 1,2, , k).
如何将有理函数化 为部分分式之和？
两个多项式的商表示的函数叫有理函数。例如：
P(x) Q( x)
a0 x n a1 x n1 b0 x m b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m、n都是非负整数；a0 , a1 , , an及 b0 , b1 , , bm都是实数，并且a0 0，b0 0.
特殊地：k
1时, 分解后为
Mx N x2 px
q
;
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
,
例4.
1 2x2 3x3 x4 (x 1)2 (x2 x 1)2
A x 1
x
B
12
Cx x2 x
D 1
Ex (x2
F x 1)2
.
两端乘以(x 1)2(x2 x 1)2,得到恒等式 :
A(x 1)(x2 x 1)2 B(x2 x 1)2 Cx D x 12 (x2 x 1)
anxn
n0
(x p)k
和
n0
(x2 px q)k
( p2 4q 0)
的一些真分式的和.
k 1
an xn
(1)
每个
n0
(x
p)k
可以分解为
A1 (x p)k
A2 (x p)k1来自Ak , x p
其中 A1 , A2 , , Ak都是常数.
我们总假定分子与分母之间没有公因式。
(1) 当n m时, 上述有理函数叫真分式； (2) 当n m时, 上述有理函数叫假分式。
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和
一个真分式之和. 例如：
x3 x2
x 1
1
x
x
1 2
1
.
任何一个真分式可以化为一些形如
k 1
2k 1
anxn
Ex F x 12 1 2x2 3x3 x4.
分别取x 0,1, 2,3 得到A, B,C, D, E, F满足的方程组,
解这个方程组就得到 A 3, B 1,C 3, D 0, E 2, F 3.